Chuyên đề tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.6 KB, 28 trang )
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
∫
=
Cdx0
∫
+=
Cxdx
1
1
1
−≠+
+
=
∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
∫
+=
Cedxe
xx
∫
=
C
a
a
dxa
x
x
ln
∫
+−=
Cxxdx cossin
∫
+=
Cxxdx sincos
∫
+=
Cxdx
x
tan
cos
1
2
∫
+−=
Cxdx
x
cot
sin
1
2
∫
+=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫
+++++=+
Caxx
a
ax
x
dxax
222
ln
22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số
)(xf
liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
có nguyên hàm là
)(xF
.
Giả sử
)(xu
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ]
βα
,
và có miền giá trị là
[ ]
ba;
thì ta có :
[ ] [ ]
CxuxFdxxuxuf
+=
∫
)()()('.)(
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
1
0
2
1
1x
xdx
I
b)
∫
−
=
1
0
2
1
x
x
e
dxe
I
c)
∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :
a) Đặt
2
21
2
dt
xdxxdxdtxt
=⇒=⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
===
+
=
∫ ∫
t
t
dt
x
xdx
I
b) Đặt
dxedtet
xx
=⇒−=
1
www.giasubienhoa.net Trang 1
Đổi cận :
−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx
Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
x
x
c) Đặt
dx
x
tdtxt
1
ln1
=⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
∫
=
β
α
nxdxmxI cos.sin
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
∫
=
β
α
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan
=
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin
=
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :
∫
++
=
β
α
cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 :
∫
+
+
=
β
α
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
xdxc
xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
+
−
+=
+
+
www.giasubienhoa.net Trang 2
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3
−===
+
=
∫∫
tdtt
x
dxx
I
e
Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:
∫
++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++
cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a)
∫
+
=
2
0
4
1
)1(sin
cos
π
x
xdx
I
b)
∫
=
2
0
5
2
cos
π
xdxI
c)
∫
=
4
0
6
3
tan
π
xdxI
Bài làm :
a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin
=⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
4
1
=−==
+
=
∫∫
tt
dt
x
xdx
I
π
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
=⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2
=
+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
2
+=⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
1
4
00
tx
tx
π
www.giasubienhoa.net Trang 3
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3
π
π
π
−=−
+−=
+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I
b)
∫
+
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) Đặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222
+−=⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu
ba
≠
Vậy :
( )
ba
ab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
=
∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2
π
Nếu
ba
=
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
2222
1
=−==
=
+
=
∫
∫∫
π
π
ππ
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
=⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
www.giasubienhoa.net Trang 4
Vậy :
∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0
2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
Đặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I
b)
∫
++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) Đặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒
+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
Đổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+
=
∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
I
b)Đặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1
===
CBA
www.giasubienhoa.net Trang 5
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=
++
+
++
−
+=
++
++
=
∫∫
π
π
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
=
2
6
2
3
1
sin
cos
π
π
dx
x
x
I
b)
∫
=
2
0
3
2
sin.cos
π
xdxxI
c)
∫
+
=
2
0
3
2sin
π
x
dx
I
c)
∫
+
=
2
0
3
3
1cos
sin4
π
dx
x
x
I
d)
∫
++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I
d)
∫
++
+−
=
2
0
6
3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
( ) ( )
C
ax
n
ax
dx
I
nn
+
−
−
−=
−
=
−
∫
1
1
.
1
1
với
( ) { }( )
1,0,
−×∈
NCna
ta có :
Nếu
Ran
∈=
,1
ta có :
Cx
ax
dx
I
+=
−
=
∫
ln
Dạng 2 :
( )
∫
++
+
=
dx
cbxax
x
I
n
2
βα
trong đó :
<−=∆
∈
04
,,,,
2
acb
Rcba
βα
* Giai đoạn 1 :
0
≠
α
,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức
cbxax
++
2
,
sai khác một số :
( ) ( ) ( )
∫∫∫
++
−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2
α
βαα
α
β
α
* Giai đoạn 2 :
Tính
( ) ( )
∫∫
∆−
+
=
+
∆−
∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4
* Giai đoạn 3 :
Tính
( )
∫
+
=
dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
φ
tan
=
t
Dạng 3 :
( )
( )
∫
=
dx
xQ
xP
I
n
m
Ta có :
( )
( )
01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
www.giasubienhoa.net Trang 6
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg
≥
thì ta thực hiện phép chia
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+=
−
trong đó
phân số
( )
( )
xQ
xR
n
r
có
( ) ( )
QR degdeg
<
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg
<
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:
( )
( )
( )
( ) ( )
n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
−
−
−
1
11
......
Vdụ 1a :
( )
( )
( )
∑
∏
=
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :
( )
( )
2
2
))()((
cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xP
m
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
*Qt 2':
( )
( )
( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
2
1
2
11
2
11
2
......
với
0
<∆
*Qt 3:
( )
( )
( )
( )
( )
∑ ∑
= =
++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2
α
α
Vdụ 1 :
( )
( ) ( )
cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
−
=
++−
22
)(
αα
Vdụ 2 :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
++
+
+
−
=
++−
α
α
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
2
1
23xx
dx
I
b)
( )
∫
++
=
1
0
2
2
2
23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( )
∫∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( )
( ) ( )
( )( )
dx
xx
xx
dx
xx
dx
I
∫∫
++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2
1
1
1
23
( )
OKxx
xx
=
+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
www.giasubienhoa.net Trang 7
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+=
xx
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
24
1
33xx
dx
I
b)
( )
( )
∫
++
−
=
1
0
2
2
21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
∫
+=
+
= C
a
x
aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0
>
a
( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
∫ ∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
24
1
3
1
1
1
2
1
3133
( )
329
2
3
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=
−=
π
x
x
b) Đặt :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
12
22
1
2
12
24
2
2
22
++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do đó ta có hệ :
=
=
−=
⇔
=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
( )
( )
∫ ∫
+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
2
2
2
1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−=
xx
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−
+
=
3
2
2
1
1
1
dx
xx
x
I
b)
∫
−+
=
5
2
2
2
32xx
dx
I
c)
dx
xx
x
I
∫
−
−
=
2
1
3
3
3
4
1
d)
∫
+−
=
2
3
24
3
23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( )
1
1
1
22
−
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
b)
31
32
1
2
+
+
−
=
−+
x
B
x
A
xx
c)
( )( )
−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22
1123
24
−
+
+
+
+
+
−
=
+−
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Đẳng thức tích phân :
www.giasubienhoa.net Trang 8
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
−=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx
m
n
n
m
Bài làm :
Xét
( )
∫
−=
1
0
1 dxxxI
n
m
Đặt :
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
1
Đổi cận :
=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI
n
m
n
mn
m
(đpcm)
Chứng minh rằng nếu
)(xf
là hàm lẻ và liên tục trên đoạn
[ ]
aa,
−
thì :
( )
∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )
1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
( )
∫
−
0
a
dxxf
. Đặt
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
Đổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta được :
0
=
I
(đpcm)
www.giasubienhoa.net Trang 9
• Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu
)(xf
là hàm chẳn và liên tục trên
đoạn
[ ]
aa,
−
thì
( ) ( )
∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho
0
>
a
và
( )
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R
.
Chứng minh rằng :
( )
( )
∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
0
1
Bài làm :
Xét
( )
dx
a
xf
x
∫
−
+
0
1
α
. Đặt
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
Đổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
tx
αα
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
+
=
+
−
=
+
−
−
α α
α
0 0
0
111
t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
Thế vào (1) ta được :
( ) ( ) ( )
( )
∫∫ ∫ ∫
=
+
+
+
=
+
− −
αα
α α
α
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
(đpcm)
Cho hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
1,0
. Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
=
π π
π
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét
( )
∫
π
0
sin. dxxfx
. Đặt
dtdxdxdtxt
−=⇒−=⇒−=
π
Đổi cận :
=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy :
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )
∫ ∫
−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
www.giasubienhoa.net Trang 10
( ) ( ) ( )
( )
∫ ∫ ∫
− −
+
+
+
=
+
α
α α
α
0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
( ) ( )
( ) ( )
dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
• Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và
( ) ( )
xfxbaf
=−+
. Thì ta luôn có :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
0
2
.
Cho hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
.
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét
( )
∫
a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt
=⇒+=
Đổi cận :
+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy :
( ) ( )
∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf
Hay :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(đpcm)
• Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn
có :
( ) ( )
∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−=
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
( )
∫
−
++=
1
1
22
2
1lncos.sin dxxxxxI
www.giasubienhoa.net Trang 11
