Chuyên đề Tích phân_QUÁCH DUY TUẤN_0914342498

Tích Phân_Quách Duy Tuấn
Tích Phân
I. Tích phân hàm đa thức
1.[ĐH Thuỷ Sản_95] I =

+
1
0
)1( dxx
n
(2
n+1
- 1)/(n + 1)
2.[ĐHBKHN_98] I =


1
0
2
)1( dxxx
n
Đặt t = 1 x
2
, I = 1/(2n + 1)
3.[ĐHKT_97] I =


1
0
635
)1( dxxx

Đặt t = x
3
1, I = 1/168
4.[ĐHQGHN_G97] Tính giá trị của hằng số a để có đẳng thức

=++
2
1
32
12]4)44([ dxxxaa

a = 3
5.[ĐH Tây Nguyên_D00] Cho f(x) = x
2
và g(x) = 3x 2, tính I =

2
0
)](),(max[ dxxgxf
xét f(x) g(x), I = 17/6
II. Tích phân hàm phân thức
6.[ĐHKT TPHCM_94] I =

+
1
0
3
)12( x
xdx
1/18

7.[ĐH Mỏ_95] I =

++
1
0
24
34xx
dx
(9 - 2
3
)/72
8.[ĐHQGHN_D95] Xác định các hằng số A, B, C để
21
)1(23
333
23
2
+
+

+

=
+
++
x
C
x
B
x

A
xx
xx
.
Tính I =

+
++
23
)333(
3
2
xx
dxxx
-3/(x - 1) + ln
)2()1(
2
+
xx
+ D
9.[ĐHTM_95] I =

+
1
0
2
5
1x
dxx
(1/2)ln2 1/4

10.[ĐH Thái Nguyên_D97]
I =
dx
x
x

+

2
1
4
2
1
1
Chia cho x
2
và đặt t = x + 1/x, I =
)22)(225(
)22)(522(
ln
22
1
+
+
11.[ĐHYHN_97] Gọi F(x) =

+
53
xx
dx

. Bằng phơng pháp thêm bớt vào tử số hãy tính nguyên hàm
F(x) trên
Cxx
x
+++
2
2
1ln
2
1
ln
2
1
12.[CĐSP Nghệ An_98] I =


+
1
1
2
)2(x
xdx
ln3 4/3
13.[ĐHXD_98] Cho f(x) = 4cosx + 3sinx, g(x) = cosx + 2sinx
a. Tìm các số A, B thoả mãn g(x) = A.f(x) + B.f(x)
b. Tính I =

4/
0
)(

)(

xf
dxxg

8
27
ln
5
1
10


14.[ĐHQGHN_D98] I =

+
2
)1( xx
dx

C
xx
x
+
+
+
+
1
1
1

ln
-1-
Tích Phân_Quách Duy Tuấn
15.[ĐHNTHN_99] I =

++
1
0
22
)23( xx
dx

16
9
ln
3
2
+
16.[ĐHTM_99] I =

+
4
1
2
)1(xx
dx

8
5
ln

4
3
+
17.[ĐHTCKT_00] I =

++
1
0
24
1xx
xdx

3
/18
18.[ĐHNNI_A00] I =

+
2
1
3
)1(xx
dx
Đặt t = x
3
, I = (4ln2 2ln3)/3
19.[ĐH Thái Nguyên_01] I =

++
+
2

1
24
2
1
)1(
xx
dxx
Chia cho x
2
và đặt t = x 1/x, I = /4
20.[ĐHQG_A01] I =

+++

)13)(15(
)1(
22
2
xxxx
dxx
I =
C
xx
xx
+
++
+
15
13
ln

8
1
2
2
21.[ĐHNN_B01] I =


+
1
1
22
)1( x
dx
Đặt x = tgt, I = 1/2 + /4
III. Tích phân hàm mũ, lôgarit
22.[ĐHNT TPHCM_94] I =


+


13
sin
2
x
xdx
Đặt t = -x, I = /2
Chú ý: Nếu f(x) là hàm số chẵn thì đặt t = -x để tính I =

+
b
b
x
a
dxxf
1
)(
và có kết quả I =

b
dxxf
0
)(
23.[ĐHNT TPHCM_95] I =

e
xdxx
1
2
ln.
(e
2
- 1)/4
24.[HVQHQT_A96] I =

+
xx
dxex
ln.3

)ln(
Đặt t = 3 + x.lnx, I =
Cxx
++
ln.3ln
25.[ĐH Đà Nẵng_97] I =

+
3ln
0
2
x
e
dx
Đặt t = e
x
, I =
5
9
ln
2
1
26.[ĐHNNgữ_97] I =

+
e
e
x
xdx
/1

2
)1(
ln
Từng phần, I = 0
27.[ĐHQG_A98] I =

+
1
0
1
x
e
dx
I =
2
1
ln1
+

e
28.[ĐH Huế_D98] I =

2
1
2
ln
x
xdx
I = (1 ln2)/2
29.[ĐHBKHN_99] Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x

a. Tìm họ nguyên hàm của g(x)
b. Tính I =


+
2/
2/
1
)(


x
e
dxxg
g(x) chẵn, I = 0
30.[CĐSPHN_01] I =


+
2/1
2/1
2
)1)(1( xe
dx
x
Đặt t = -x, I = (ln3)/2
31.[ĐHTL_01] I =

+
4/

0
)1ln(

dxtgx
1 + tgx =
x
x
cos
)4/cos(2


I = I
1
+ I
2
+ I
3
= I
1
= ln2/8
-2-
TÝch Ph©n_Qu¸ch Duy TuÊn
32.[§HSP Vinh_01] I =
dx
x
x
x
∫
+
+

+
2/
0
cos1
cos1
)sin1(
ln
π
→ I = 2.ln2 – 1
IV. TÝch ph©n hµm lîng gi¸c
33.[§HBK TPHCM_94] I =
∫
+
2/
0
2
3cos
sin
π
x
xdx
→ I = π
3
/18
34.[§HSP TPHCM_94] I =
∫
+
2/
0
3

cos1
sin4
π
x
xdx
→ I = 2
35.[§HTM_95] I =
∫
4/
0
4
cos
π
x
dx
→ §Æt t = tgx, I = 4/3
36.[§HGT_97] CMR I =
∫
=
+
2/
0
4sincos
cos
π
π
xx
xdx
nn
n

víi mäi sè tù nhiªn n → §Æt t = π/2 - x
37.[§HNTHN_97] T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè f(x) =
xgtgx
xx
2cot
4sin.3sin
+
→ MS = 1/sin2x
38.[§HQG TPHCM_B97] I =
∫
+
2/
0
3cos
3sin
π
x
xdx
→ sin3x = sinx(4cos
2
x - 1), I = 3ln2 – 2
39.[C§SP TPHCM_97] I =
∫
+−
6/
0
2
sinsin56
cos
π

xx
xdx
→ ln(10/9)
40.[§HAN_A98] I =
∫
+
2/
0
33
)sin(cos
π
dxxx
→ I = 4/3
41.[§HNNI_B98] I =
∫
+
2/
0
cos1
cos
π
x
xdx
→ T¸ch ph©n sè, I = π/2 – 1
42.[§HNNI_A98] I =
∫
+
++
2/
6/

cossin
)2cos2sin1(
π
π
xx
dxxx
→ 1 + sin2x = ?, cos2x = ?, I = 1
43.[HVKTMM_99] I =
∫
3/
6/
4
cos.sin
π
π
xx
dx
→ §Æt t = sinx, I =
3
323
ln
27
326
3
14
+
+−
44.[§H KiÕn Tróc HN_99] I =
∫
2/

0
3sin
cos.sin.
2
π
xdxxe
x
→ §Æt t = sin
2
x, I = e/2 – 1
45.[§H HuÕ_00] I =
∫
+
2/
0
66
6
cossin
sin
π
xx
xdx
→ §Æt x = π/2 – t, I = π/4
46.[PVBC_00] I =
∫
+
4/
0
2
cos

)2sin1(
π
x
dxx
→ §Æt t = tgx, I = 1 + ln2
47.[§HTM_00] I =
∫
+
2/
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
→ §Æt t = π/2 – x, I = 2
48.[§HGT_01] I =
∫
+
−
2/
0
3
)sin(cos
)sin4cos5(
π
xx
dxxx
→ §Æt t = π/2 – x, I = 1/2

49.[§HBK_97] I =
∫
4/
0
2
.
π
xdxtgx
→ tg
2
x = 1/cos
2
x – 1, I =
32
2ln
2
1
4
2
ππ
−−

50.[HVNH_98] I =
∫
π
0
2
cos.sin. xdxxx
→ §Æt t = π - x, I = π/3
-3-

Tích Phân_Quách Duy Tuấn
51.[ĐHGT_00] I =



+
2/
2/
2
sin4
)cos(


x
dxxx
Tách đợc 1 hàm lẻ và 1 hàm chẵn, I = (ln3)/2
V. Tích phân hàm số chứa dấu gttđ
52.[ĐH Dợc HN] I =


+
2/
2/
2
21
sin


x
dxxx

f(x) =
xx sin
2
chẵn, đặt t = -x, I = 2 + /2
53.[ĐHDL Phơng Đông_A96] I =


1
0
2
1
dxxx
I = 1/8
54.[ĐHXD_01] I =



1
1
24
12xx
dxx
Nhận xét hàm chẵn, I =
4
3
ln
7
2
VI. Tích phân của hàm chứa căn
55.[ĐHBKHN_95] I =

2
3/2
2
1xx
dx
I = /12
56.[ĐHGT_95] Cho I =

+
2/
0
cossin
sin

xx
dxx
. CMR I =

+
2/
0
cossin
cos

xx
dxx
và I = /4
Đặt t = /2 x

57.[ĐH Đà Nẵng_96] I =

++
3
1
11 xx
dx
I = (8 - 4
2
)/3
58.[ĐHDL Đông Đô_A96] I =
dxxx


1
0
22
1
Đặt x = sint, I = /16
59.[ĐHGT_96] I =
dxxx

+
3
0
25
1
I = 848/105
60.[ĐHNT TPHCM_96] I =
dxxx

1
0
23
1
Đặt x = cost hoặc t =
2
1 x

, I = 2/15
61.[ĐH Đà Nẵng_97] I =

++
7
2
21 x
dx
I = 2 + ln
16
9
62.[HVKTQS_97] I =


2/
3/
3
3
3
sin

.cot.sinsin


x
dxgxxx
Đặt t = cotgx, I = -
3
9
/24
63.[ĐHTCKT_97] I =


2/2
0
2
2
1 x
dxx
Đặt x = sint, I = ( -2)/8
64.[ĐHTL_97] I =

+

0
2cos1 dxx
I = 2
2
65.[ĐHTM_97] I =

+

7
0
3
2
3
1 x
dxx
I = 141/20
66.[ĐHQG TPHCM_A98] I =

+
1
0
12x
xdx
I = 1/3
67.[HVKTMM_99] I =


++
2/
2/
2
)1ln(.cos


dxxxx
c/m f(x) lẻ, I = 0
68.[ĐHAN_A99] I =

+
4
7
2
9xx
dx
I =
4
7
ln
6
1
-4-
TÝch Ph©n_Qu¸ch Duy TuÊn
69.[§HBKHN_A00] I =
∫
+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
→ I = 2
2
/3
70.[§H Hång §øc_A01] I =
∫

−
2/
0
)sincos(
π
dxxx
→ §Æt t = π/2 – x, I = 0

-5-