Cấu trúc đa tạp Riemann của nửa không gian trên

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
    
TÔN THỊ YẾN ANH
CẤU TRÚC ĐA TẠP RIEMANN
CỦA NỬA KHÔNG GIAN TRÊN
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
HUẾ, KHÓA HỌC 2007 - 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học tận tình,
chu đáo của Thầy Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân
thành, lòng biết ơn sâu sắc và mong muốn được thầy hướng dẫn, chỉ bảo trong
lĩnh vực nghiên cứu Toán học sau này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Toán - Trường
Đại học sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có kiến thức, tài liệu,cũng như
tạo điều kiện để tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè trong
lớp toán 4A đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian học tập
vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện
Tôn Thị Yến Anh
ii
Mục Lục
Trang phụ bìa i
Lời cảm ơn ii

MỤC LỤC 1
Mở đầu 1
1 ĐA TẠP RIEMANN 2
1.1 Trường véc tơ và trường mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Dạng vi phân và trường đối mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Phép biến đổi đẳng cự trên đa tap Riemann . . . . . . . . . . . 9
1.6 Dạng liên kết và phương trình cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . 9
2 CẤU TRÚC RIEMANN CỦA NỬA PHẲNG POINCARÉ VÀ
NỬA KHÔNG GIAN TRÊN 15
2.1 Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré . . . 15
2.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên . . . . . . . . . . . 27
KẾT LUẬN 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO 37
1
MỞ ĐẦU
Trong quá trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, nhiều cấu trúc
quan trọng đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát. Một trong những
cấu trúc quan trọng được khảo sát cảm sinh từ cấu trúc đa tạp đó là cấu trúc
đa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tử
của đa tạp, không gian tiếp xúc tại điểm đó được trang bị một metric Riemann,
tức là một tích vô hướng tương thích với cấu trúc khả vi của đa tạp đó. Với
mong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc này và được sự
hướng dẫn tận tình của thầy Trần Đạo Dõng, tôi đã lựa chọn đề tài Cấu trúc
đa tạp Riemann của nửa không gian trên để nghiên cứu.
Nội dung nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu các các khái niệm và tính
chất cơ bản của đa tạp Riemann và ứng dụng để khảo sát cấu trúc đa tạp
Riemann của nửa mặt phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré và nửa không gian
trên. Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, khoá luận được chia

làm hai chương.
Chương 1 giới thiệu các kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemann
có liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc Riemann của nửa mặt phẳng trên
và nửa không gian trên của chương 2.
Chương 2 tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann 2-chiều của nửa mặt
phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Riemann,
khảo sát các phép biến đổi đẳng cự, độ cong Gauss và mở rộng một số kết
quả cho trường hợp nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann
3-chiều.
1
Chương 1
ĐA TẠP RIEMANN
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả
vi và đa tạp Rienmann như trường vector và dạng vi phân, phép biến đổi đẳng
cự, dạng liên kết và phương trình cấu trúc,... liên quan đến chương sau. Các
kiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [2], [3], [5].
1.1 Trường véc tơ và trường mục tiêu
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Euclid E
n
là một không gian afin liên kết với
không gian véc-tơ Euclid
−→
E
n
. Mỗi phần tử α
p
= (p,
−→
α ) ∈ T E
n

= E
n
×
−→
E
n
được
gọi là một véc-tơ tiếp xúc của E
n
tại p.
T E
n
được gọi là không gian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc)
của E
n
, mỗi phần tử của T E
n
được kí hiệu là α.
Với p ∈ E
n
, kí hiệu T
p
E
n
là tập các véc-tơ tiếp xúc của E
n
tại p. Khi đó
T
p
E

n
là một không gian véc-tơ thực n- chiều và được gọi là không gian véc-tơ
tiếp xúc của E
n
tại p.
Cho U là một tập mở trong E
n
. Khi đó T U = U ×
−→
E
n
được gọi là không
gian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc) của U. Với p ∈ U, kí hiệu
T
p
U = T
p
E
n
và gọi là không gian véc-tơ tiếp xúc của U tại p.
Định nghĩa 1.1.2. Trường véc-tơ trên tập mở U ⊂ E
n
là ánh xạ
X : U −→ T U
p −→ X(p)
sao cho với p ∈ U, ta có X(p) ∈ T
p
U.
Từ định nghĩa ta thấy trường véc-tơ X : U −→ T U xác định một hàm
2

véc-tơ
−→
X : U −→ E
n
(và ngược lại X xác định bởi
−→
X), theo công thức X(p) =
(p,
−→
X (p)).
Trường véc-tơ X được gọi là khả vỉ (lớp C
k
) nếu hàm véc-tơ
−→
X khả vỉ
(lớp C
k
). Khi
−→
X là ánh xạ hằng thì trường véc-tơ X được gọi là trường véc-tơ
song song.
Định nghĩa 1.1.3. Cho cung tham số ρ : J → E
n
, t → ρ(t) Trường véc-tơ dọc
theo ρ là ánh xạ X : J −→ E
n
sao cho t ∈ J, ta có X(t) ∈ T
ρ(t)
E
n

.
Khi đó X xác định hàm véc-tơ
−→
X : J → E
n
, X(t) = (ρ(t),
−→
X (t)). Trường véc-tơ
X được gọi là khả vỉ (lớp C
k
) nếu hàm số ρ và hàm véc-tơ
−→
X khả vi (lớp C
k
).
Ta có thể xét trường véc-tơ dọc theo ρ là t → X

(t) = (ρ(t),
−→
X

(t)) gọi là đạo
hàm của X dọc ρ trong E
n
. Kí hiệu
D
dt
X.
Xét trường mục tiêu Z trên tập mở U ⊂ E
n

và véc-tơ α ∈ T
p
U. Lấy cung
tham số ρ : J → U sao cho ρ

(t
0
) = α, ta có t → Z(ρ(t)) là một trường véc-tơ
dọc theo ρ. Khi đó véc-tơ
D(Z◦ρ)
dt
(t
0
) không phụ thuộc vào ρ đã chọn. Ta định
nghĩa
D(Z◦ρ)
dt
(t
0
) là đạo hàm của trường véc-tơ Z theo véc-tơ tiếp xúc α. Kí hiệu
là D
α
Z.
Định nghĩa 1.1.4. Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂ E
n
là hệ n
trường véc-tơ (khả vi) {U
1
, U
2

, ..., U
n
} trên U sao cho mỗi p ∈ U, hệ véc-tơ
{U
1
(p), U
2
(p), ..., U
n
(p)} là một cơ sở của T
p
U.
Nếu với mỗi p ∈ U, U
i
(p).U
j
(p) = δ
j
i
thì trường mục tiêu {U
i
} được gọi là
trường mục tiêu trực chuẩn. Nếu có hai trường mục tiêu {U
i
}, {V
i
} trên tập
mở U thì ta có V
i
=


j
i
C
j
i
U
j
, trong đó C
j
i
là một hàm trên U. Ma trận (C
j
i
)
n×n
được gọi là ma trận chuyển mục tiêu.
1.2 Dạng vi phân và trường đối mục tiêu
1.2.1. Dạng vi phân bậc một
1. Cho U là một tập mở trong E
n
. Dạng vi phân bậc một( hay 1-dạng vi
phân) θ trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U, một ánh xạ R- tuyến tính
θ
p
: T
p
U → R. Kí hiệu Ω
1
(U) là tập hợp các dạng vi phân bậc một trên U.

2. Cho θ,

θ là hai 1-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta
3
định nghĩa θ +

θ, ϕθ là các 1-dạng trên U xác định bởi
(θ +

θ)
p
= θ
p
+

θ
p
, (ϕθ)
p
= ϕ(p)θ
p
, ∀p ∈ U.
3. Cho θ là 1-dạng vi phân và X là trường véc-tơ trên U. Ta có hàm số
θ(X) được xác định bởi θ(X)(p) = θ
p
(X(p)), ∀p ∈ U.
Khi đó nếu {U
1
, U
2

, ..., U
n
} là một trường mục tiêu trên U thì mọi dạng
vi phân bậc một θ trên U hoàn toàn xác định bởi các hàm số θ(U
i
), i = 1, n.
suy ra có các 1-dạng vi phân θ
i
trên U xác định bởi:
θ
i
(U
j
) = δ
i
j
=



1 nếu i = j
0 nếu i = j (i, j = 1, n).
Họ {θ
i
}
i=1,n
được gọi là trường đối mục tiêu của trường mục tiêu {U
i
}
i=1,n

.
1.2.2. Dạng vi phân bậc hai
1. Cho U là một tập mở trong R
n
. Một dạng vi phân bậc hai (hay 2-dạng vi
phân) ω trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U một ánh xạ ω
p
: T
p
U×T
p
U → R
là dạng song tuyến tính phản xứng trên T
p
U. Kí hiệu Ω
2
(U) là tập hợp các
2-dạng vi phân trên U.
2. Cho ω,

ω là hai 2-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U. Ta có
ω +

ω, ϕω là các 2-dạng vi phân trên U xác định bởi
(ω +

ω)
p
= ω
p

+

ω
p
, (ϕω)
p
= ϕ(p)ω
p
, ∀p ∈ U.
3. Cho θ, γ ∈ Ω
1
(U), tích ngoài của θ và γ, kí hiệu θ ∧ γ, là dạng vi phân
bậc hai trên U xác định bởi
∀X, Y ∈ T
p
U, (θ ∧ γ)
p
(X, Y ) = θ
p
(X)γ
p
(Y ) − θ
p
(Y )γ
p
(X).
1.2.3. Nhận xét
Cho {U
i
}

i=1,n
là trường mục tiêu trên U và {θ
i
}
i=1,n
là trường đối mục
tiêu của {U
i
}. Khi đó mọi ω ∈ Ω
2
(U) viết được duy nhất dưới dạng:
ω =

i<j
ϕ
i,j
θ
i
∧ θ
j
, ϕ
i,j
= ω(U
i
, U
j
).
Đặc biệt, trong tọa độ afin (x
1
, x

2
, ..., x
n
) trên tập mở U trong E
n
, mỗi
ω ∈ Ω
2
(U) viết được duy nhất dưới dạng:
ω =

i<j
ϕ
i,j
dx
i
∧ dx
j
, ϕ
i,j
= ω(U
i
, U
j
).
4
1.2.4. Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc một
Cho U là một tập mở trong E
n
, xét toạ độ afin (x

1
, x
2
, ..., x
n
) của E
n
. Khi
đó mọi dạng vi phân bậc một θ được viết duy nhất dưới dạng θ =

n
i=1
ϕ
i
dx
i
.
Ta định nghĩa ánh xạ sau gọi là vi phân ngoài của vi phân bậc một:
d : Ω
1
(U) −→ Ω
2
(U)
θ =

n
1
ϕ
i
dx

i
−→ d(θ) :=

n
i=1
dϕ
i
∧ dx
i
.
Khi đó ta có các tính chất:
1. d là R- tuyến tính;
2. d(ϕθ) = dϕ ∧ θ + ϕdθ, với ϕ ∈ Ω
0
(U), θ ∈ Ω
1
(U).
3. d(d(ϕ)) = 0, với ϕ ∈ Ω
0
(U).
1.3 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi
1.3.1. Đa tạp tôpô
Cho M là không gian tôpô Haudorff. Một bản đồ trên M là cặp (V, ϕ)
trong đó V là một tập mở của M và ϕ : V → V

là một đồng phôi từ V lên
một tập mở V

của R
n

.
Giả sử (V, ϕ) là một bản đồ trên M. Khi đó với mỗi x ∈ V , ϕ(x) ∈ V

được hiển thị dưới dạng ϕ(x) = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) trong đó x
1
, x
2
, ..., x
n
∈ R. Ta
gọi các số x
i
là các toạ độ địa phương của x.
Một họ các bản đồ {(V
i
, ϕ
i
)}
i∈I
của M sao cho {V
i
}
i∈I
là một phủ mở của

M được gọi là một atlas của M. Không gian tôpô M có một atlas được gọi là
một đa tạp tôpô .
1.3.2. Đa tạp khả vi
Cho M là không gian tô pô Hausdorff. Atlas {(V
i
, ϕ
i
)}
i∈I
của M được
gọi là atlas khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý (V
1
, ϕ
1
), (V
2
, ϕ
2
) của at-
las sao cho V
1
∩ V
2
= ∅ và ϕ
1
: V
1
−→ V

1

, ϕ
2
: V
2
−→ V

2
, ta có ánh xạ:
ϕ
2
◦ ϕ
−1
1
|
ϕ
1
(V
1
∩V
2
)
: ϕ
1
(V
1
∩ V
2
) −→ V

2

là một ánh xạ khả vi.
Trên tập các atlas khả vi của không gian tô pô M ta xét một quan hệ hai
ngôi như sau:
Cho A = {(U
i
, ϕ
i
)}
i∈I
,B = {(V
j
, ψ
j
)}
j∈J
là hai atlas của M. Khi đó A
5
được gọi là tương đương với B, kí hiệu là A ∼ B, nếu {(U
i
, ϕ
i
), (V
j
, ψ
j
)}
i∈I,j∈J
là một atlas khả vi của M. Quan hệ hai ngôi ở trên là một quan hệ tương
đương và mỗi lớp tương đương được gọi là một cấu trúc khả vi trên M.
Do mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện của

nó nên một atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi.
Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác định
bởi atlas {(V
i
, ϕ
i
)}
i∈I
với ϕ
i
: V
i
−→ V

i
⊂ R
n
được gọi là một đa tạp khả vi n
chiều, ký hiệu dim M = n.
1.3.3. Ví dụ
1. R
n
là đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(R
n
, id)}.
2. Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(V
i
, ϕ
i
)}

i∈I
và N là một tập
con mở của M. Khi đó N là một đa tạp khả vi với atlas {(N ∩ V
i
, ϕ
i
|
N∩V
i
)}
i∈I
.
3. Xét siêu cầu n chiều trong R
n+1
S
n
= {x = (x
1
, x
2
, ..., x
n+1
∈ R
n+1
, (x
1
)
2
+ (x
2

)
2
+ ... + (x
n+1
)
2
= 1}.
Gọi N = (0, 0, ..., 0, 1) ∈ R
n+1
và S = (0, 0, ..., 0,−1) ∈ R
n+1
lần lượt là
điểm cực bắc và cực nam của S
n
. Xét U
N
= S
n
\{N}, U
S
= S
n
\{S} là các tập
mở của S
n
. Ta có {U
N
, U
S
} tạo thành một phủ mở của S

n
.
Xét phép chiếu nổi P
N
lên siêu phẳng x
n+1
= 0 sao cho với mỗi x ∈ U
N
,
ảnh P
N
(x) là giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳng
x
n+1
= 0. Phép chiếu nổi từ cực nam P
S
được xác định tương tự.
Khi đó S
n
là đa tạp khả vi với atlas {(U
N
, P
N
), (U
S
, P
S
)}.
1.3.4. Ánh xạ khả vi
Cho M và N là các đa tạp khả vi lần lượt có số chiều là m, n. Ánh xạ

f : M → N được gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bản
đồ (U, ϕ) của M, bản đồ (V, ψ) của N sao cho U ∩ f
−1
(V ) = ∅ ta có ánh xạ
ϕ ◦ f ◦ ϕ
−1
từ tập con mở ϕ(U ∩ f
−1
(V )) của R
m
vào R
n
là ánh xạ khả vi.
Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f
−1
: N → M khả vi được gọi là
vi phôi.
1.3.5. Trường mục tiêu trên đa tạp khả vi
1. Định nghĩa
Giả sử M là một đa tạp khả vi, C
∞
(M) là tập các hàm khả vi trên M. khi đó
ánh xạ X : C
∞
(M) → R được gọi là một véc-tơ tiếp xúc tại p ∈ M nếu X nếu
6
thoả mãn:
i. X(f + g)(p) = X(f)(p) + X(g)(p),
ii. X(fg)(g) = X(f)g(p) + f(p)X(g).
Chúng ta có một kết quả về các vectơ tiếp xúc được thể hiện qua định lí sau:

2. Định lí [3, Định lý 4.1.1]
Tập hợp T
p
(M) tất cả các véc-tơ tiếp xúc tại p là không gian véc-tơ hữu hạn
chiều với số chiều bằng dimM.
3. Định nghĩa
a. Cho M là một đa tạp khả vi. Khi đó T (M) = ∪
p∈M
T
p
(M) được gọi là một
phân thớ tiếp xúc trên M và không gian véc-tơ T
p
(M) được gọi là thớ đi qua
p. Mỗi ánh xạ X : M → T M sao cho với mọi p ∈ M, X(p) ∈ T
p
(M) được
gọi là một trường véc-tơ trên M. b. Trường mục tiêu trên đa tạp n-chiều M là
họ n trường véc-tơ {X
1
, X
2
, ..., X
n
} trên M sao cho tại mọi p ∈ M, hệ véc-tơ
{X
1
(p), X
2
(p), ..., X

n
(p)} là một cơ sở của không gian véc-tơ T
p
M.
1.4 Đa tạp Riemann
1.4.1. Cấu trúc Riemann
Cho M là một đa tạp khả vi. Một cấu trúc metric Riemann trên M là
việc đặt tương ứng với mỗi p ∈ M một tích vô hướng trên T
p
M sao cho với hai
trường véc-tơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M, hàm số p → X(p), Y (p) là hàm
khả vi.
Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một
đa tạp Riemann. Kí hiệu (M,,
M
).
1.4.2. Độ dài cung
Cho α : I → M là một đường cong lớp C
1
trên đa tạp Riemann (M,,
M
).
Độ dài của α được xác định như sau:
L(α) =

I
 γ

(t)  dt =


I

γ

(t), γ

(t)
M
dt.
1.4.3. Ví dụ
1. R
n
với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann.
Chứng minh
Theo ví dụ trên ta có R
n
là một đa tạp khả vi. Tại mỗi điểm p ∈ R
n
,
7
không gian tiếp xúc tại điểm đó chính là R
n
p
∼
=
R
n
nên tích vô hướng trên không
gian tiếp xúc tại điểm p được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên R
n

.
Vậy R
n
với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann.
2. Xét M = R
n
và tại mỗi p ∈ M ta xác định một tích vô hướng :
,
M
=
4
(1 + |p|
2
)
2
< X
p
, Y
p
>,
với <,> là tích vô hướng chính tắc trên R
n
. Khi đó, (R
n
,,
M
) là một đa tạp
Riemann n-chiều.
Chứng minh
Ta có R

n
là một đa tạp khả vi.
Mặt khác ta có tích vô hướng tại điểm p ∈ R
n
trên không gian tiếp xúc
R
n
p
được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên R
n
. Do đó tích vô hướng
như trên xác định một metric Riemann trên R
n
Vậy (R
n
,,
M
)) là một đa tạp
Riemann n- chiều.
Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một đường cong trên đa tạp Rienmann (R
n
,,
M
).
Cho γ : R
+
→ R
n
là đường cong được xác định bởi γ(t) = (t, 0, ..., 0), với
mọi t ∈ R

+
. Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác định như sau: L(γ) =

+∞
0
 γ

(t)  dt
= 2

+∞
0
√
<γ

(t),γ

(t)>
1+|γ|
2
dt
= 2

+∞
0
dt
1+t
2
= 2arctan t|
+∞

0
= Π. 3. Gọi B
n
là hình cầu
mở n-chiều, tức là B
n
= {x ∈ R
n
||x| < 1}. Trên B
n
ta trang bị metric Riemann
sau:
,
B
n
=
4
(1 − |p|
2
)
2
< X
p
, Y
p
> .
Khi đó (B
n
,,
B

n
) là một đa tạp Riemann và được gọi là không gian
Hypebolic n-chiều. Kí hiệu H
n
.
Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một cung tham số trên B
n
.
Cho γ : (0, 1) → H
n
là một đường cong xác định bởi γ(t) = (t, 0, ..., 0),
với mọi t ∈ (0, 1). Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác đinh như sau:
L(γ) =

1
0
 γ

(t)  dt
= 2

1
0
√
<γ

(t),γ

(t)>
1−|γ|

2
dt
= 2

1
0
dt
1−t
2
= 2ln
1+t
1−t
= +∞.
Định lí sau đây cho ta kết quả về sự tồn tại cấu trúc metric Rienmann
8
trên một đa tạp khả vi.
1.4.4. Định lí [2, Định lí 5.1.1]
Trên mỗi đa tạp khả vi đều có một metric Riemann.
1.5 Phép biến đổi đẳng cự trên đa tap Riemann
1.5.1. Biến đổi đẳng cự
Cho M, N là các đa tạp Riemann n-chiều. Khi đó ánh xạ f : M → N
được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm p ∈ M, ta có T
p
f : T
p
M → T
f(p)
N
là một ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng.
Trường hợp ánh xạ đẳng cự f đồng thời là vi phôi được gọi là một vi

phôi đẳng cự.
Một ánh xạ đẳng cự f : M → M còn gọi là phép biến đổi đẳng cự của
đa tạp Riemann M.
Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau:
1.5.2. Nhận xét
1. Ánh xạ đồng nhất id là một phép biến đổi đẳng cự.
2. Nghịch đảo của phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự.
3. Tích của các phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự.
Nói cách khác, tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của M lập thành một
nhóm gọi là nhóm đẳng cự.
1.6 Dạng liên kết và phương trình cấu trúc
1.6.1. Dạng liên kết
Cho R = {U
1
, U
2
, ..., U
n
} là trường mục tiêu trên tập mở U ⊂ R
n
.
Với mọi trường vecto X trên U, kí hiệu
D
X
U
i
=
n

j=1

ω
j
i
(X)U
j
, i = 1, n,
trong đó ω
j
i
(X) ∈ F (U), với F (U) là vành các hàm khả vi trên U.
Khi đó ω
j
i
là 1-dạng vi phân trên U và được gọi là dạng liên kết của R
n
trong trường mục tiêu R trên U.
9
1.6.2. Nhận xét
Cho R = {E
1
, ..., E
n
} là trường mục tiêu trực chuẩn trên U. Khi đó
ω = (ω
j
i
)
n×n
là ma trận phản xứng.
1.6.3. Phương trình cấu trúc

Gọi {θ
i
}
i=1,n
là trường đối mục tiêu của {U
i
}
i=1,n
và ω = (ω
j
i
)
n×n
là ma
trận các dạng liên kết của E
n
. Khi đó ta có công thức sau:
dθ
i
= −
n

1
ω
i
j
∧ θ
j
(i = 1, n)
được gọi là phương trình cấu trúc thứ nhất của E

n
trong trường mục tiêu
{U
i
}
i=1,n
.
Chứng minh
Gọi {E
i
=
∂
∂x
i
} là trường mục tiêu song song ứng với toạ độ (x
1
, x
2
, ..., x
n
).
Khi đó U
i
= Σ
n
j=1
C
i
j
E

j
.
Suy ra δ
k
i
= θ
k
(U
i
) = Σ
n
j=1
C
i
j
θ
k
(E
j
).
Nên θ
k
(E
j
) = (C
−1
)
k
j
.

Mặt khác dx
k
(E
j
) = δ
k
j
.
Suy ra θ
k
= Σ
n
j=1
(C
−1
)
k
j
dx
j
.
Từ đó dθ
k
= Σ
n
j=1
d(C
−1
)
k

j
∧ dx
j
.
Và Σ
n
j=1
ω
k
j
∧ θ
j
= Σ
n
i,j,l=1
(C
−1
)
k
i
d(C
i
j
) ∧ (C
−1
)
j
l
dx
l

.
Ta lại có Σ
n
i=1
(C
−1
)
k
i
C
i
j
= δ
k
j
.
Suy ra d(Σ
n
i=1
(C
−1
)
k
i
C
i
j
) = 0.
Hay Σ
n

i=1
d(C
−1
)
k
i
C
i
j
+ Σ
n
i=1
(C
−1
)
k
i
dC
i
j
= 0.
Do đó Σ
n
j=1
ω
k
j
∧ θ
j
= −Σ

n
i,j,l=1
(C
−1
)
k
i
d(C
i
j
) ∧ (C
−1
)
j
l
dx
l
= −Σ
n
i,l=1
d(C
−1
)
k
i
δ
i
l
∧ dx
l

= −Σ
n
j=1
d(C
−1
)
k
j
∧ dx
j
= −dθ
k
.
Tương tự ta có phương trình sau
dω
j
i
= −
n

1
ω
j
k
∧ ω
k
i
(i =
1, n)
được gọi là phương trình cấu trúc thứ hai của E

n
.
Áp dụng các phương trình cấu trúc cho các mặt trong E
3
, ta thu được
kết quả sau:
10
1.6.4. Phương trình cấu trúc của mặt trong E
3
1. dθ
1
= −ω
1
2
∧ θ
2
( phương trình cấu trúc).
2. dθ
2
= −ω
2
1
∧ θ
1
, ω
3
1
∧ θ
1
+ ω

3
2
∧ θ
2
= 0 (phương trình đối xứng).
3. dω
1
2
= −ω
1
3
∧ ω
3
2
(phương trình Gauss).
4. dω
1
3
= −ω
1
2
∧ ω
2
3
, dω
2
3
= −ω
1
2

∧ ω
1
3
.
1.6.5. Độ cong Gauss của mặt trong E
3
1. Định nghĩa
Giả sử S là một mặt trong E
3
có hướng xác định bởi trường vecto pháp
tuyến đơn vị n. Khi đó ánh xạ
h
p
: T
p
S −→ T
p
S
(α) −→ h
p
(α) = −D
α
n
được gọi là ánh xạ Weingarten của S tại p.
2. Định lí [3, Định lý 4.1.1]
Với mỗi p ∈ S, h
p
là một tự đồng cấu đối xứng của T
p
S, nghĩa là h

p
là
một tự đồng cấu và với ∀α, β ∈ T
p
S ta có
h
p
(α)β = αh
p
(β).
Chứng minh
+ h
p
là một tự đồng cấu của T
p
S. Thật vậy, ta có
h
p
(k.α) = −D
k.α
n = −k.D
α
n = k.h
p
(α);
h
p
(α + β) = −D
α+β
n = −D

α
n − D
β
n = h
p
(α) + h
p
(α).
+ Ta chỉ cần chứng minh h
p
đối xứng trên cơ sở của T
p
S. Thật vậy,
lấy một tham số hoá địa phương (u, v) → r(u, v) ∈ S, thì tại r(u, v)ta có
h
p
(r
u
) = −D
r
u
n = −
∂
∂u
(n ◦ r)(u, v),
h
p
(r
v
) = −D

r
v
n = −
∂
∂v
(n ◦ r)(u, v).
Mặt khác (n ◦ r)(u, v), r
u
 = 0.
Nên 
∂
∂v
(n ◦ r)(u, v), r
u
 + (n ◦ r)(u, v), r
uv
 = 0.
Suy ra h
p
(r
v
), r
u
 = (n ◦ r)(u, v), r
uv
.
Tương tự h
p
(r
u

), r
v
 = (n ◦ r)(u, v), r
vu
.
Suy ra h
p
(r
v
), r
u
 = h
p
(r
u
), r
v
.
Vậy h
p
là một tự đồng cấu đối xứng.
Dựa vào ánh xạ Weingarten ta có định nghĩa sau:
11
3. Định nghĩa
Định thức của tự đồng cấu h
p
được gọi là độ cong Gauss của S, kí hiệu
là K = det h
p
.

4. Hệ quả
Với K là độ cong Gauss của mặt S trong E
3
, ta có
dω
1
2
= Kθ
1
∧ θ
2
.
Chứng minh
Thật vậy, ta có với mọi α ∈ T
p
S, h
p
(α) = −D
α
n
suy ra h
p
(α) = ω
3
1
(α)U
1
(p) + ω
3
2

(α)U
2
(p),
Nên h
p
(U
1
) = ω
3
1
(U
1
)U
1
(p) + ω
3
2
(U
1
)U
2
(p),
h
p
(U
2
) = ω
3
1
(U

2
)U
1
(p) + ω
3
2
(U
2
)U
2
(p).
Do đó K = deth
p
= ω
3
1
(U
1
)ω
3
2
(U
2
) − ω
3
1
(U
2
)ω
3

2
(U
1
)
= ω
3
1
∧ ω
3
2
(U
1
, U
2
).
Theo phương trình Gauss dω
1
2
(U
1
, U
2
) = −ω
1
3
∧ ω
3
2
(U
1

, U
2
).
Suy ra
dω
1
2
= Kθ
1
∧ θ
2
.
5. Định lí [3, Định lý 4.3.1]
Cho (M, <, >) là một đa tạp Riemann 2- chiều. Khi đó với mọi trường
mục tiêu trực chuẩn {U
1
, U
2
} trên tập mở V của M và {θ
1
, θ
2
} là trường đối
mục tiêu tương ứng, có một và chỉ một dạng vi phân bậc một tương ứng ω
1
2
trên
V thoả mãn:
dθ
1

= −ω
1
2
∧ θ
2
, dθ
2
= −ω
2
1
∧ θ
1
.
Chứng minh. Mọi dạng vi phân bậc một ω
1
2
trên V có dạng:
ω
1
2
= ω
1
2
(U
1
)θ
1
+ ω
1
2

(U
2
)θ
2
.
Mặt khác d(θ
1
) = −ω
1
2
∧ θ
2
.
Suy ra dθ
1
(U
1
, U
2
) = −ω
1
2
∧ θ
2
(U
1
, U
2
).
⇔ dθ

1
(U
1
, U
2
) = −ω
1
2
(U
1
)θ
2
(U
2
) + ω
1
2
(U
2
)θ
2
(U
1
),
⇔ dθ
1
(U
1
, U
2

) = −ω
1
2
(U
1
).
12
Tương tự dθ
2
(U
1
, U
2
) = −ω
2
1
(U
2
) = ω
1
2
(U
2
).
Do đó ω
1
2
được xác định như sau:
ω
1

2
= −dθ
1
(U
1
, U
2
)θ
1
+ dθ
2
(U
1
, U
2
)θ
2
.
Ta sẽ có khái niệm độ cong Gauss trên đa tạp Riemann 2-chiều thông qua
định lí sau.
6. Định lí [3, Định lý 4.3.2]
Cho (M, <, >) là đa tạp Riemann 2-chiều. Khi đó có một và chỉ một hàm
số K trơn trên M sao cho với trường đối mục tiêu {θ
1
, θ
2
} của trường mục tiêu
trực chuẩn {U
1
, U

2
} tuỳ ý trên tập mở V của M ta có
dω
1
2
= Kθ
1
∧ θ
2
,
trong đó ω
1
2
là dạng liên kết của (M,,).
Hàm K được gọi là hàm độ cong Gauss (hay độ cong toàn phần) của (M,,
M
).
Chứng minh
Dạng vi phân bậc hai dω
2
1
dược viết dưới dạng duy nhất
dω
2
1
= Kθ
1
∧ θ
2
.

Gọi {

U
1
,

U
2
} là một trường mục tiêu trực chuẩn khác trên V và {

θ
1
,

θ
2
} là
trường đối mục tiêu tương ứng.
Tương tự như trên ta có biểu thị d

ω
2
1
=

K

θ
1
∧


θ
2
.
Khi đó, tồn tại một hàm hằng ε sao cho

ω
2
1
= ε(ω
2
1
− dϕ),| ε |= 1.
Do d(dϕ) = 0 nên suy ra d(

ω
2
1
) = d(ε(ω
2
1
− dϕ)) = d(ω
2
1
).
Mặt khác định hướng V bởi trường mục tiêu {U
1
, U
2
} ta thây θ

1
∧θ
2
và ε(

θ
1
∧

θ
2
)
đều là dạng diện tích chính tắc trên V .
Suy ra K =

K.
Vậy có duy nhất một hàm số trơn K thoã mãn đẳng thức
dω
1
2
= Kθ
1
∧ θ
2
.
7. Mệnh đề
Cho M = S là một đa tạp 2-chiều trong E
3
với cấu trúc Riemann cảm
sinh từ tích vô hướng trong E

3
. Khì đó độ cong Gauss nói trong Định lí trên
trùng với độ cong Gauss của mặt S ta đã xét trong phần trước.
13