một số mô hình dạng vi phân, sai phân trong kinh tế

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (533.61 KB, 69 trang )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————o0o————
NGỤY THỊ THANH HẢI
MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN
TRONG KINH TẾ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2009
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————o0o————
NGỤY THỊ THANH HẢI
MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN
TRONG KINH TẾ
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN SINH BẢY
Hà Nội - 2009
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân
dịp này em xin chân thành cảm ơn Thầy đã giành nhiều công sức, thời gian
để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên
ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy trong Khoa Toán - Tin - Cơ, phòng Sau
Đại học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức và những điều tốt đẹp mang
lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy,
các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Xin chân thành cảm ơn lãnh
đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Chương Mỹ B về sự ủng
hộ quý giá, về những điều kiện thuận lợi. Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn

bè về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự giúp đỡ thân tình.
Hà Nội 11/ 2009
Ngụy Thị Thanh Hải
i
Mục lục
Lời cảm ơn i
Bảng ký hiệu iii
Mở đầu 1
1 Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ
điển 2
1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . 3
1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân . . . . 8
1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW . . . . . . . . . . . . 10
2 Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai
vùng 14
2.1 Giới thiệu và xây dựng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Lập mô hình di cư lao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình . . . . . . . . . . 18
2.2 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không . . . . . . . . 21
2.2.1 Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Tính hút về điểm biên của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương . . . . . . . . . 39
2.3.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương . . . . . . . . 40
Kết luận 62
Tài liệu tham khảo 63

ii
Bảng ký hiệu
a Hệ số khuếch tán lao động
b Hệ số di cư lao động
c Tỷ lệ gia tăng Vốn - đầu ra (thu nhập quốc dân)
L Lao động
K Vốn
R Tỷ số Vốn - Lao động
s Hệ số tiết kiệm
X Hàm chi phí
Y Hàm sản xuất
µ Hệ số trượt giá
iii
Mở đầu
Hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác động của nhiều yếu
tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta phải mô hình hóa
bằng mô hình toán học. Để xây dựng mô hình toán cần thiết phải đưa vào các
giả thiết nhằm đơn giản hóa mô hình. Đây là một vấn đề rất khó khăn và phức
tạp, không có một mô hình nào có thể mô tả đầy đủ mọi vấn đề kinh tế cần giải
thích và phải chấp nhận những sai khác với mức độ nhất định so với thực tế.
Một mô hình kinh tế quá đơn giản thì ta có thể dễ dàng xây dựng và giải mô
hình đó, nhưng nó thiếu tính chính xác khi bỏ qua nhiều yếu tố quan trọng của
thực tiễn. Một mô hình kinh tế quá phức tạp có đầy đủ các yếu tố thực tiễn thì
sẽ phải sụp đổ dưới sức nặng của chính nó. Do vậy ta cần phải dựa vào quan
sát và các số liệu thống kê để đưa ra một mô hình vừa đủ để có thể giải quyết
được, nhưng cũng đủ để đưa ra những dự báo, những giải thích, đánh giá có độ
tin cậy. Các mô hình này thường được mô tả bởi các phương trình vi phân hoặc
sai phân. Trong các mô hình này điều được quan tâm là tính ổn định của mô
hình và để khảo sát tính ổn định của mô hình ta sử dụng lý thuyết ổn định. Lý
thuyết này đã được xây dựng cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Nga V. I.

Lyapunov. Từ đó đến nay lý thuyết này không ngừng phát triển và trở thành
một hướng Toán học có nhiều thành tựu trong việc nghiên cứu định tính các
quá trình thực tiễn [1-16]. Luận văn được nghiên cứu theo hướng này, đầu tiên
đi xây dựng mô hình kinh tế sau đó khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây
là mô hình có nhiều điểm mang tính thời sự, chưa được tìm hiểu nhiều.
Bố cục luận văn gồm hai chương chính:
- Chương 1: Giới thiệu về lý thuyết ổn định, các phương pháp nghiên cứu ổn
định và một số mô hình kinh tế cổ điển.
- Chương 2: Giới thiệu mô hình "Di cư lao động giữa hai vùng" và khảo sát
tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình đã được một số tác giả nghiên
cứu ([13, 14, 16]). Chúng tôi là người thu thập, tự tìm cách tái xây dựng lại mô
hình, khôi phục lại việc chứng minh các kết quả, rút ra ý nghĩa kinh tế từ những
mệnh đề thuần tuý Toán học trong các công trình trên.
1
Chương 1
Giới thiệu về lí thuyết ổn định và
một số mô hình kinh tế cổ điển
1.1 Tóm tắt về lí thuyết ổn định
1.1.1 Khái niệm
Xét hệ phương trình vi phân thường
˙x = f(t, x), (1.1)
trong đó t ≥ 0, x ∈ X (X nói chung là không gian Banach, đôi khi lấy X = R
n
),
f : R
+
× D −→ X (D ⊆ X).
f đủ tốt để thỏa mãn điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm trên R
+
× D.

Định nghĩa 1.1. Giả sử x = x
∗
(t) là một nghiệm của hệ (1.1). Nói nghiệm này
ổn định nếu: ∀ t
0
≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, t
0
) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1)
thỏa mãn: ||x(t
0
) − x
∗
(t
0
)|| < δ thì ||x(t) − x
∗
(t)|| < , ∀ t ≥ t
0
.
Nếu x = x
∗
(t) ổn định và có tính hút, nghĩa là tồn tại δ
1
> 0, sao cho:
x(t
0
) − x
∗
(t
0

) < δ
1
⇒ x(t) − x
∗
(t) → 0 khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản
thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận.
Nếu δ, δ
1
có thể chọn không phụ thuộc vào t
0
thì các nghĩa ổn định trên được
gọi là ổn định đều.
Để bài toán được đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết
f(t, 0) = 0 ∀t ≥ 0.
Khi đó nghiệm x = x
∗
(t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x
∗
(t) ≡ 0.
Nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho:
||x(t)|| ≤ Ne
−δ(t−t
0
)
∀ t ≥ t
0
thì nói hệ là ổn định mũ.
2
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định

Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản, có thể
tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp (được trình
bày trong chương 2 của luận văn). Ngoài ra có thể khảo sát tính ổn định bằng
phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc các bất đẳng
thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các bất đẳng thức
mở rộng).
a. Phương pháp thứ nhất Liapunov
Tư tưởng chính của phương pháp là nghiên cứu tính ổn định của các hệ đơn
giản trước sau đó phát triển kết quả cho các hệ phức tạp hơn, theo thứ tự:
- Hệ tuyến tính thuần nhất dừng.
- Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng.
- Hệ tuyến tính.
- Hệ tựa tuyến tính.
- Hệ phi tuyến.
Hệ tuyến tính thuần nhất dừng
Hệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng
˙x = Ax (1.2)
t ≥ 0, x ∈ X.
Phổ của hệ (1.2) là tập
σ(A) = {λ ∈ C : (A − λI) không khả nghịch}.
Nếu A là ma trận hằng cỡ n × n thì
σ(A) = {λ ∈ C : det(A − λI) = 0}.
Định lí 1.1. Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực âm thì hệ (1.2)
là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x ≡ 0 là ổn định tiệm
cận).
- Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực không dương và các phần tử
có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ổn định.
- Nếu σ(A) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định.
Tiêu chuẩn Hurwitz. Với A là ma trận hằng, cỡ n × n, việc tìm phổ σ(A) là
khó, trong nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lý 1.2) để xét

tính ổn định của hệ (1.2).
3
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
Định lí 1.2. Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.2) là
f(λ) = a
0
+ a
1
λ + a
2
λ
2
+ · · · a
n−1
λ
n−1
+ a
n
λ
n
có dạng chuẩn, nghĩa là a
0
> 0 và a
n
= 0. Khi đó mọi phần tử của phổ σ(A) (hay
mọi nghiệm của phương trình đặc trưng) có phần thực âm nếu ma trận sau xác
định dương (các định thức con chính đều dương).
A =










a
1
a
0
0 0 0 . . . 0
a
3
a
2
a
1
a
0
0 . . . 0
a
5
a
4
a
3
a
2
a

1
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
a
2n−1
a
2n−2
a
2n−3
a
2n−4
a
2n−5

. . . a
n









,
trong đó a
s
= 0 khi s < 0 hoặc s > n.
.
Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng
Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng là hệ có dạng
˙x = A(t)x. (1.3)
Với hệ này ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó, ta xây dựng
phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2).
Định nghĩa 1.2. Giả sử x = x(t) là một nghiệm của hệ (1.3), ta gọi giới hạn
χ[x] = lim
t→+∞
1
t
lnx(t)
là số mũ Liapunov của nghiệm này. Tập hợp các số mũ Liapunov khác ±∞ của
tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phổ Liapunov của hệ này.
Định lí 1.3. Nếu A(t) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R

+
A(t) ≤ C ∀ t ≥ 0 (0 < C < ∞)
thì mọi nghiệm không tầm thường của hệ (1.3) đều có số mũ đặc trưng hữu hạn.
Trong trường hợp này hệ (1.3) có đúng n số mũ đặc trưng (không nhất thiết khác
nhau).
Định lí 1.4. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âm
λ
max
= max{λ
i
} < 0 (λ
i
là phần tử phổ của A(t)).
4
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
.
Hệ tuyến tính
Hệ tuyến tính là hệ có dạng
˙x = A(t)x + f(t). (1.4)
Nếu f(t) là một hàm liên tục, giới nội trên R
+
thì tính ổn định của hệ (1.4) được
suy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.3).
Hệ tựa tuyến tính
Hệ tựa tuyến tính là hệ có dạng
˙x = A(t)x + f(t, x). (1.5)
Giả sử A(t) là ma trận ổn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốc
O ∈ X sao cho với mọi x thuộc lân cận đó có
f(t, x) ≤ α(t)x,
trong đó α(t) là một hàm dương nào đó trên R

+
và α(t) → 0 khi t → +∞ thì hệ
(1.5) ổn định.
Có thể thay điều kiện α(t) → 0 khi t → +∞ bởi điều kiện

+∞
0
α(t)dt ≤ c < +∞.
Hệ phi tuyến
Hệ phi tuyến là hệ có dạng
˙x = f(t, x)
f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0.
(1.6)
Giả sử hàm f(t, x) đủ tốt về khả vi theo x. Phân tích Taylor f(t, x) tại x = 0 ta
có
f(t, x) =
∂f(t, 0)
∂x
x + g(t, x)x,
trong đó g(t, x) = 0(||x||). Đặt A(t) =
∂f(t, 0)
∂x
ta đưa hệ (1.6) về dạng
˙x = A(t)x + g(t, x).
Vậy, nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận
∂f(t, 0)
∂x
đều âm (hay số mũ cực đại
âm) thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận.
5

Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
b. Phương pháp thứ hai Liapunov
Xét hệ
˙x = f(t, x)
f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0,
(1.7)
trong đó x ∈ X( hoặc x ∈ R
n
) và f đủ tốt.
Ta kí hiệu K là lớp các hàm số
a(.) : R
+
−→ R
+
,
trong đó a(.) là hàm liên tục đơn điệu tăng trên R
+
và a(0) = 0.
Định nghĩa 1.3. Một hàm V (t, x) khả vi liên tục theo t và theo x trên một lân
cận R
+
× D ⊆ R
+
nhận giá trị trong R
+
V : R
+
× D −→ R
+
, V ∈ C

(1,1)
t,x
(R
+
× D)
được gọi là một hàm Liapunov của hệ (1.7) nếu:
i) V (t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0.
ii) Tồn tại hàm a ∈ K sao cho
a(||x||) ≤ V (t, x) ∀(t, x) ∈ R
+
× D.
iii) d
f
V (t, x) =
∂V
∂t
+
∂V
∂t
f(t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R
+
× D.
Trường hợp V (t, x) là hàm Liapunov và tồn tại b, c ∈ K sao cho
V (t, x) ≤ b(||x||) ∀(t, x) ∈ R
+
× D,
d
f
V (t, x) ≤ −c(||x||) ∀t ∈ R
+

, ∀x ∈ D \ {0}
thì V (t, x) được gọi là hàm Liapunov chặt của hệ (1.7).
Định lí 1.5. Nếu hệ (1.7) có hàm Liapunov thì nó ổn định, có hàm Liapunov
chặt thì nó ổn định tiệm cận đều.
Lưu ý. Định lí trên đây chỉ cho điều kiện đủ về ổn định. Việc tìm hàm
V (t, x) chưa có phương pháp tổng quát và hàm V (t, x) không duy nhất cho mỗi
hệ. Người ta còn dùng hàm bổ trợ (hàm Liapunov) để khảo sát các định tính
khác như tính giới nội, giới nội đều, dao động tuần hoàn của nghiệm.
6
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
1.2 Sơ lược về các hệ thống kinh tế
Trong thực tiễn, các hoạt động kinh tế hết sức đa dạng, phức tạp và chịu tác
động của nhiều yếu tố mang tính ngẫu nhiên. Chúng ta có thể sử dụng nhiều
phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết
chúng ở cả tầm vi mô và vĩ mô. Phương pháp mô hình là một trong những
phương pháp hiệu quả kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đồng thời
cũng kế thừa được nhiều mặt mạnh của các phương pháp truyền thống trong
nghiên cứu kinh tế-xã hội. Trong phần này chỉ giới thiệu chung về một số thuật
ngữ, khái niệm thường sử dụng trong các mô hình toán kinh tế.
Đặc điểm của các biến số kinh tế
Các biến Kinh tế nói chung thô ráp, không đơn giản và tròn trĩnh như những
gì thường được dùng trong lý thuyết. Các mối quan hệ qua lại giữa chúng và
quan hệ với các lĩnh vực khác của Xã hội như Chính trị, Văn hoá, Quốc phòng,
Đối ngoại, ... lại càng phức tạp. Điều đó làm cho việc mô tả các mô hình trở
nên khó khăn, thường là không sát lắm so với thực tiễn. Để có thể mô tả được
chúng bằng ngôn ngữ của Toán học ta cần lý tưởng hoá chúng bằng các quy ước
nhất định.
Khi mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề kinh
tế liên quan tới đối tượng, chúng ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ
bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng. Các yếu tố này gọi là các đại

lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị trong
phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và
thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất của các biến,
mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về ngôn ngữ dữ liệu liên
quan mà các biến số kinh tế được phân loại như sau:
- Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là đối tượng được xác định trực tiếp hoặc
gián tiếp bởi sự lựa chọn của các tác nhân. Tổng quát hơn, biến nội sinh là các
biến toán học được xác định bằng cách giải mô hình.
- Biến ngoại sinh (biến độc lập) là các biến nằm ngoài sự điều khiển của các
tác nhân trong mô hình. Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán học
được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế. Biến ngoại sinh còn được
gọi là các tham biến.
Tùy vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến nội
sinh và biến nào là biến ngoại sinh.
7
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
Xây dựng và phân tích mô hình
i) Đặt vấn đề
Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế cần
quan tâm, mục đích là gì, các nguồn lực có thể tham gia nghiên cứu.
ii) Mô hình hóa
Quá trình mô hình hóa các đối tượng liên quan đến vấn đề đã đặt ra thường
gồm các công việc sau:
- Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp
giữa chúng mà ta có thể cảm nhận trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lí luận đã
lựa chọn.
- Lượng hoá các yếu tố này của mô hình.
- Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập hệ thức toán học mô tả quan
hệ giữa các biến.
- Giải mô hình nhằm xác định mối quan hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh

và ngoại sinh cùng các tham số, tức là biểu diễn dưới dạng các hệ thức khác
nhau giữa từng biến nội sinh theo biến ngoại sinh và tham số và có thể theo
biến nội sinh khác.
Phân tích mô hình
Khi chúng ta đã tìm được nghiệm mô hình là một biến nội sinh phụ thuộc
vào các biến ngoại sinh và tham số, chúng ta quan tâm phân tích là khi biến
ngoại sinh thay đổi giá trị sẽ tác động như thế nào tới nghiệm. Từ đó chúng ta
có thể dự báo được những thay đổi nào của môi trường sẽ ảnh hưởng tới biến
đó. Kiểu phân tích này trong một mô hình toán kinh tế gọi là phân tích so sánh
tĩnh. So sánh bởi vì chúng ta đang so sánh một điểm cân bằng ổn định với một
điểm mới được tạo thành khi các tham số này thay đổi. Ổn định (hay tĩnh) vì
chúng ta không thường xuyên xem xét điểm cân bằng trong trạng thái động,
thay đổi từ vị trí này đến vị trí khác. Phân tích so sánh tĩnh thường đưa ra các
dự báo mang tính chất định tính. Chúng ta chỉ quan tâm đến kết quả định tính
hoặc những thay đổi lớn vì các mô hình toán thường trừu tượng và thiếu sự phù
hợp với thực tế, điều đó dẫn tới kết quả dự báo chưa có tính chính xác.
1.3 Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân,
sai phân
1.3.1 Mô hình HAROD-DOMA
Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những vấn đề
được quan tâm là xác định mối quan hệ giữa sự tăng trưởng và nhu cầu về vốn.
8
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
Nếu biết được mối quan hệ này, ta có thể tính được nhu cầu đầu tư của nền
kinh tế nhằm đảm bảo yêu cầu tăng trưởng đã dự kiến.
Mô hình này coi đầu ra của bất kỳ một đơn vị kinh tế nào đó, dù là một
công ty, một ngành công nghiệp hay toàn bộ nền kinh tế phụ thuộc vào tổng số
vốn đầu tư cho nó.
Nếu gọi Y
t

là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn t còn S
t
là mức
tích luỹ (tiết kiệm) thì
S
t
= sY
t
,
trong đó s là một hằng số và được gọi là tỉ lệ tích luỹ trong GDP.
Đầu tư I
t
tỉ lệ với sự thay đổi của thu nhập quốc dân ở mỗi thời kỳ, nên ta
có
I
t
= c(Y
t
− Y
t−1
),
trong đó c là một hằng số và được gọi là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra.
Do tiết kiệm là nguồn gốc của đầu tư nên đầu tư luôn bằng tiết kiệm, tức
làS
t
= I
t
.
Ta có mô hình tăng trưởng Harod-Domar
S

t
= sY
t
,
I
t
= c(Y
t
− Y
t−1
),
S
t
= I
t
.
Từ hệ trên ta có
c(Y
t
− Y
t−1
) = sY
t
. (1.8)
Phương trình (1.8) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất hệ
số hằng. Giải phương trình này ta tìm được
Y
t
= (
c

c − s
)
t
Y
0
.
Tính ổn định theo thời gian phụ thuộc vào
c
c − s
. Do c là tỉ số gia tăng vốn -
đầu ra nên c > 1. Chính vì thế Y
t
tăng nhanh nhưng không bị dao động. Thu
nhập sẽ phát triển không giới hạn và cũng có nghĩa là nó không bị chặn.
Từ (1.8) ta thấy thu nhập ở mỗi giai đoạn bằng
c
c − s
lần thu nhập của giai
đoạn trước
Y
t
=
c
c − s
Y
t−1
.
Tỉ lệ tăng trưởng giữa các giai đoạn được xác định là
g =
Y

t
− Y
t−1
Y
t−1
=
c
(c − s)
Y
t−1
− Y
t−1
Y
t−1
=
s
c − s
.
9
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
Vậy tỉ lệ tăng trưởng là
g =
s
c − s
.
Mô hình Harod-Domar chỉ ra sự tăng trưởng là do kết quả tương tác giữa
tiết kiệm với đầu tư, là động lực cơ bản của sự phát triển kinh tế. Đầu tư phát
sinh ra lợi nhuận và gia tăng khả năng sản xuất của nền kinh tế. Tuy nhiên
trong giả thiết của mô hình vẫn còn nhiều yếu tố bất cập như đầu tư tính theo
tỉ lệ cố định với thu nhập. Có thể dẫn đến đầu tư nhanh hoặc chậm hơn mức

cần thiết, gây ra tình trạng thiếu hoặc thừa năng lực sản xuất.
1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW
Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow. Ông đã nghiên cứu mô
hình dựa trên các dữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm 1970.
Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do những
đóng góp to lớn của ông về lý thuyết tăng trưởng.
Khi xem xét nền kinh tế thế giới, chúng ta có thể dễ dàng nhận ra sự khác
biệt rất lớn giữa các nền kinh tế. Từ đó chúng ta có thể đặt ra các câu hỏi như:
Tại sao có nhiều quốc gia phát triển nhanh trong khi nhiều quốc gia khác lại
không phát triển hoặc phát triển rất chậm? Làm thế nào để giải thích sự tăng
trưởng kinh tế bền vững? Mô hình tăng trưởng kinh tế Solow có thể giúp chúng
ta trả lời câu hỏi đó.
Các giả thiết của mô hình Solow:
- Thời gian là liên tục.
- Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổi.
- Không có sự tham gia của chính phủ hoặc thương mại quốc tế.
- Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm.
- Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi
n =
L

L
.
- Giá trị ban đầu của vốn và lao động là K
0
, L
0
.
- Hàm sản xuất dạng tân cổ điển (Hàm Cobb-Douglas)
Y (t) = F [K(t), L(t)] = γK(t)

α
L(t)
1−α
.
Để đơn giản ta ký hiệu
Y = γK
α
L
1−α
,
trong đó K là vốn, L là lao động.
Y là hàm thuần nhất cấp một vì F (λK, λL) = λF (K, L) = λγK
α
L
1−α
.
10
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
- Mô hình thoả mãn điều kiện ban đầu
F (0, 0) = F (K, 0) = F (0, L) = 0.
- Sản xuất cận biên là dương



∂F
∂K
= αγK
α−1
L
1−α

> 0,
∂F
∂L
= (1 − α)γK
α
L
−α
> 0.
- Sản xuất cận biên giảm, tức là



∂
2
F
∂K
2
= (α − 1)αγK
α−2
L
1−α
< 0,
∂
2
F
∂L
2
= (−α)(1 − α)γK
α
L

−α−1
< 0.
Xây dựng mô hình
Đặt y =
Y
L
là giá trị đầu ra trên một lao động. Khi đó
y =
Y
L
=
γK
α
L
1−α
L
= γ(
K
L
)
α
(
L
L
)
1−α
= γ(
K
L
)

α
= γR
α
, (1.9)
trong đó R =
K
L
là vốn trên một lao động.
Tại mọi thời điểm, đầu tư I = sY biểu thị tốc độ gia tăng vốn, nên ta có
phương trình tích luỹ vốn
K

= sY − µK,
trong đó tỉ lệ tiết kiệm s là hằng số, tỉ lệ trượt giá µ là hằng số.
Chia hai vế phương trình trên cho K ta có
K

K
= s
Y
K
− µ ⇔
K

K
= s
Y
L
K
L

− µ = s
y
R
− µ.
Ta có
R =
K
L
⇒ R

=
K

L − KL

L
2
⇒
R

R
=
K

L − KL

L
2
.
L

K
=
K

K
−
L

L
=
K

K
− n.
⇒
K

K
=
R

R
+ n ⇒
R

R
+ n = s
y
R
− µ.

⇒ R

= sy − (µ + n)R. (1.10)
Từ phương trình (1.9) và (1.10) ta được phương trình vi phân của mô hình
Solow
R

= sγR
α
− (µ + n)R.
Đây là phương trình Becnully, ta có thể giải phương trình để tìm R theo γ, s, n, µ.
11
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
Phân tích mô hình
Từ phương trình vi phân của mô hình Solow ta thấy trạng thái ổn định là
khi có nguồn vốn R
∗
thỏa mãn phương trình
sγ(R
∗
)
α
− (n + µ)R
∗
= 0 ⇒ R
∗
=

sγ
n + µ


1
1−α
.
Khi đó đầu ra ổn định trên một lao động là y
∗
= γ

sγ
n + µ

α
1−α
.
Như vậy sự ổn định đầu ra trên một lao động phụ thuộc vào tỉ lệ tiết kiệm, tỉ
lệ gia tăng dân số và tỉ lệ trượt giá.
Ta có
∂y
∗
∂s
= γ

γ
n + µ

α
1−α
α
1 − α
s

2α−1
1−α
> 0,
∂y
∗
∂µ
=
∂y
∗
∂n
= γ

sγ
n + µ

2α−1
1−α
α
1 − α
−sγ
(n + µ)
2
< 0.
Từ đó ta có thể rút ra kết luận rằng nếu các quốc gia đang trong tình trạng ổn
định thì:
- Những quốc gia giàu có tỉ lệ tiết kiệm cao hơn những quốc gia nghèo.
- Những quốc gia giàu có tỉ lệ gia tăng dân số thấp hơn các quốc gia nghèo.
Một vài trường hợp đặc biệt
a. Mô hình sản xuất Cobb-Douglas
Hàm sản xuất Cobb-Douglas chỉ sử dụng hai yếu tố đầu vào là vốn và lao

động có dạng
Y = γK
α
L
β
,
trong đó Y là sản lượng, γ là năng suất toàn bộ nhân tố, K là lượng vốn, L là
lượng lao động và α, β lần lượt là hệ số co dãn theo sản lượng của vốn và lao
động.
Hệ số α, β là cố định và phụ thuộc vào công nghệ:
- Nếu α + β = 1 thì hàm sản xuất có lợi tức không đổi theo qui mô.
- Nếu α + β < 1 thì hàm sản xuất có lợi tức giảm theo qui mô.
- Nếu α + β > 1 thì hàm sản xuất có lợi tức tăng theo qui mô.
b. Mô hình di cư quần thể
Giả sử có hai vùng sinh thái có điều kiện sống tương tự nhau, được ký hiệu
là X và Y . Sống và thông thương được trên hai vùng sinh thái đó là n loài động
vật. Gọi x
i
là mật độ của loài động vật thứ i có ở vùng X, y
i
là mật độ của loài
động vật thứ i sống ở vùng Y .
Xét mô hình



˙x
i
= x
i

(b
i
+

n
j=1
a
ij
x
j
) + D
i
(y
i
− x
i
),
˙y
i
= y
i
(b

i
+

n
j=1
a


ij
y
j
) + D

i
(y
i
− x
i
),
12
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
trong đó a
ij
, b
i
, b

i
, a

ij
là các hằng số dương.
Luật cạnh tranh sinh tồn dẫn đến hiện tượng động vật có xu hướng di cư từ
nơi có mật độ cao đến nơi có mật độ thấp. Như vậy:
- Nếu x
i
> y
i

thì loài thứ i có xu hướng di cư từ miền X sang miền Y .
- Nếu x
i
< y
i
thì loài thứ i có xu hướng di cư từ miền Y sang miền X.
D
i
và D

i
là các hằng số không âm, gọi là hệ số di cư giữa hai miền X và Y .
Có nhiều định tính của mô hình đã được nghiên cứu. Trong mô hình trên các
biến x; y đều có số mũ là 1 hoặc 2. Mô hình mà ta sẽ quan tâm trong chương
hai của luận văn này sẽ có bản chất sai khác không nhiều với mô hình vừa nêu
trên, nhưng có độ phức tạp cao hơn (số mũ của các biến không còn là các số
nguyên 1 hoặc 2 mà là các số thực (α
0
; α
1
, β
0
, β
1
∈ R).
13
Chương 2
Ổn định điểm cân bằng trong mô
hình di cư lao động giữa hai vùng
2.1 Giới thiệu và xây dựng mô hình

2.1.1 Lập mô hình di cư lao động
Ta quy ước gọi chung các địa phương nông thôn của một quốc gia nào đó là
"vùng Nông thôn", và ký hiệu là vùng Ω
0
. Các thành phố, thị xã của quốc gia đó
gọi là "vùng Thành thị", ký hiệu là Ω
1
. Nói chung giữa hai vùng kinh tế này của
bất kỳ quốc gia nào cũng có sự khác biệt, các ưu thế thường là nghiêng về phía
vùng Thành thị. Điều này được thể hiện bằng những điều kiện xác định trong
mô hình. Việc luân chuyển cư dân (chủ yếu là lực lượng lao động) giữa hai vùng
này thường diễn ra liên tục hoặc theo thời vụ. Đó là một quá trình đa dạng, khó
kiểm soát một cách cụ thể mà chỉ có thể nói về những nét cơ bản nhất, tổng
quan nhất mang tính quy luật chung. Nhu cầu về nhân lực và nhu cầu về thu
nhập bằng lao động luôn là những yếu tố gây nên những biến động về lượng lao
động. Nói cách khác, sự biến động của lượng lao động chủ yếu được gây ra bởi
sự chênh lệch về "tỷ số vốn - lao động" giữa hai vùng trên. Sự dịch chuyển lao
động, được gây ra bởi nguyên nhân này gọi là sự "di cư lao động". Ngoài ra,
trong thực tế, hoặc thường xuyên hoặc theo thời vụ vẫn tồn tại một lượng lao
động dịch chuyển qua lại giữa hai vùng với một tỷ lệ nào đó của sự khác nhau
về lượng lao động trên hai vùng. Ta gọi sự dịch chuyển dạng này là sự "khuếch
tán lao động". Không phải toàn bộ sự khác biệt đều chuyển hoá thành di cư
hay khuếch tán lực lượng lao động mà chỉ một tỷ lệ nào đó của sự sai khác này
được chuyển hoá thành sự dịch chuyển, gọi các tỷ lệ đó là các hệ số. Có thể khái
quát một cách không thật chính xác rằng, hiện tượng di cư mang tính quy luật,
hiện tượng khuếch tán mang tính ngẫu nhiên nhiều hơn, thường diễn ra theo
thời vụ. Để tìm hiểu cách xây dựng mô hình ta đưa vào một số ký hiệu sau:
14
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
-) L

0
; L
1
tương ứng là lượng lao động ở vùng nông thôn; vùng thành thị.
-) K
0
; K
1
tương ứng là lượng vốn ở vùng nông thôn; vùng thành thị.
-) R
0
; R
1
tương ứng là tỷ lệ vốn - lao động ở vùng nông thôn; vùng thành thị,
dành cho lao động.
-) Y
0
; Y
1
tương ứng là lượng sản phẩm lao động ở vùng nông thôn; vùng thành
thị.
-) X
0
; X
1
tương ứng là lượng chi phí ở vùng nông thôn; vùng thành thị khi
sử dụng hết lượng lao động.
Lấy hàm sản xuất là hàm Cobb-Douglas
Y
i

= γ
i
K
α
i
i
L
β
i
i
,
với trường hợp đặc biệt α
i
+ β
i
= 1 (i = 0, 1).
Hàm chi phí
X
i
= δ
i
Y
i
+ 
i
L
i
= δ
i
γ

i
K
α
i
i
L
β
i
i
+ 
i
L
i
với 0 < δ
i
< 1; 
i
> 0.
Các đại lượng L
i
; K
i
; R
i
; Y
i
; X
i
đều là hàm số của biến thời gian t:
L

i
= L
i
(t), K
i
= K
i
(t), R
i
= R
i
(t), Y
i
= Y
i
(t), X
i
= X
i
(t).
Tỷ số vốn - lao động R
i
=
K
i
L
i
(với i = 0, 1), thực chất là tỷ số giữa khối lượng
việc làm quy ra tiền trên một đơn vị lao động ở khu vực thứ i. Một điều tự
nhiên là lực lượng lao động sẽ có xu hướng giảm ở vùng có ít việc làm và tăng

ở vùng có nhiều việc làm, nghĩa là khi R
1−i
> R
i
thì lao động có hướng di cư từ
khu vực Ω
i
sang Ω
1−i
. Nhưng không phải bất kỳ một lượng sai khác nào về tỷ
lệ vốn - lao động cũng gây ra một lượng chuyển dịch lao động hoàn toàn tương
xứng. Người ta cho rằng chỉ một tỷ lệ nào đó của lượng sai khác được chuyển
hoá thành dòng di cư lao động. Ta gọi tỷ lệ đó là hệ số di cư lao động và ký
hiệu là b (0 < b < ∞). Tương tự như vậy, hệ số khuếch tán lao động được định
nghĩa và ký hiệu là a (0 ≤ a < ∞).
Ta có quan hệ
dK
i
(t)
dt
= −µ
i
K
i
+ Y
i
(K
i
; L
i

) − X
i
(K
i
; L
i
)
= −µ
i
K
i
+ γ
i
K
α
i
i
L
β
i
i
− γ
i
δ
i
K
α
i
i
L

β
i
i
− 
i
L
i
= −µ
i
K
i
+ γ
i
(1 − δ
i
)K
α
i
i
L
β
i
i
− 
i
L
i
= −µ
i
K

i
+ ν
i
K
α
i
i
L
β
i
i
− 
i
L
i
,
với ký hiệu ν
i
= γ
i
(1 − δ
i
)
15
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
ta có hệ phương trình




















dK
0
(t)
dt
= −µ
0
K
0
+ ν
0
K
α
0
0
L

β
0
0
− 
0
L
0
,
dK
1
(t)
dt
= −µ
1
K
1
+ ν
1
K
α
1
1
L
β
0
1
− 
1
L
1

,
dL
0
(t)
dt
= a(L
1
− L
0
) − b(R
1
− R
0
)
+
L
0
+ b(R
0
− R
1
)
+
L
1
,
dL
1
(t)
dt

= a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)
+
L
0
− b(R
0
− R
1
)
+
L
1
.
Mặt khác
R
i
(t) =
K
i
(t)
L
i

(t)
⇒
dR
i
dt
=
1
L
dK
i
dt
−
1
L
2
dL
i
dt
.
Vậy, hệ phương trình trên trở thành




















dR
0
(t)
dt
= −µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0
− 
0
− [a(L
1
− L
0
) − b(R

1
− R
0
)
+
L
0
+ b(R
0
− R
1
)
+
L
1
]
R
0
L
0
,
dR
1
(t)
dt
= −µ
1
R
1
+ ν

1
R
α
1
1
− 
1
− [a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)
+
L
0
− b(R
1
− R
0
)
+
L
1
]
R
1

L
1
,
dL
0
(t)
dt
= a(L
1
− L
0
) − b(R
1
− R
0
)
+
L
0
+ b(R
0
− R
1
)
+
L
1
,
dL
1

(t)
dt
= a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)
+
L
0
− b(R
0
− R
1
)
+
L
1
.
Trong hệ phương trình trên 
0
là chi phí cho một đơn vị lao động (chẳng hạn
là trung bình lương của một nhân công), nó rất bé, không đáng kể so với
dR
0
dt

là
tốc độ thay đổi tỷ số vốn trên lao động của toàn xã hội. Vậy, trong hệ phương
trình trên có thể bỏ bớt số hạng 
0
ở vế phải. Tương tự, cũng có thể bỏ 
1
, ta đi
đến hệ



















dR
0
(t)

dt
= −µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0
− [a(L
1
− L
0
) − b(R
1
− R
0
)
+
L
0
+ b(R
0
− R
1
)
+
L

1
]
R
0
L
0
,
dR
1
(t)
dt
= −µ
1
R
1
+ ν
1
R
α
1
1
− [a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)

+
L
0
− b(R
1
− R
0
)
+
L
1
]
R
1
L
1
,
dL
0
(t)
dt
= a(L
1
− L
0
) − b(R
1
− R
0
)

+
L
0
+ b(R
0
− R
1
)
+
L
1
,
dL
1
(t)
dt
= a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)
+
L
0
− b(R
0

− R
1
)
+
L
1
.
(2.1)
Trong mô hình này:
- α
i
là số mũ trong hàm sản xuất trên khu vực i, giả thiết 0 < α
0
< α
1
< 1.
- µ
i
là hệ số chỉ độ sụt giảm vốn ở khu vực i, giả thiết 0 < µ
0
< µ
1
< ∞.
- γ
i
là hệ số được xác định bởi hàm sản phẩm và hàm chi dùng ở khu vực i, giả
thiết 0 < γ
0
; γ
1

< ∞.
Giả thiết
0 < (
ν
0
µ
0
)
1/β
0
< (
ν
1
µ
1
)
1/β
1
< ∞. (2.2)
16
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
Điều đó nói lên ưu thế của vùng thành thị trước vùng nông thôn. Ta ký hiệu:
(R)
+
=



R nếu 0 ≤ R < ∞,
0 nếu − ∞ < R < 0.

G = {(R
0
; R
1
; L
0
) : 0 < R
0
, R
1
< ∞, 0 < L
0
< 1}.
Mọi điểm thuộc miền này có các thành phần tọa độ đều dương. Thuật ngữ "điểm
cân bằng dương" dùng để chỉ một điểm cân bằng, thuộc miền G của hệ.
Trường hợp đặc biệt, khi không có sự chuyển dịch lao động giữa các vùng
(a = b = 0) ta có hệ đơn giản hơn




















dR
0
(t)
dt
= −µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0
,
dR
1
(t)
dt
= −µ
1
R
1
+ ν

1
R
α
1
1
,
dL
0
(t)
dt
= 0,
dL
1
(t)
dt
= 0.
Điểm cân bằng tìm được



−µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0

= 0,
−µ
1
R
1
+ ν
1
R
α
1
1
= 0
⇔





R
0
= (
ν
0
µ
0
)
1/β
0
= r
0

,
R
1
= (
ν
1
µ
1
)
1/β
1
= r
1
.
Nhận xét:
i) Hệ cuối có duy nhất một điểm cân bằng dương với hai thành phần toạ độ đầu
là r
0
= (
ν
0
µ
0
)
1/β
0
, r
1
= (
ν

1
µ
1
)
1/β
1
. Các giá trị này tương ứng là hoành độ các giao
điểm với trục R của đường cong Z = −µ
0
R + ν
0
R
α
0
(I) và Z = −µ
1
R + ν
1
R
α
1
(II)
(hình 2.1). Giả thiết (2.2) cho ta thấy, khi không có sự chuyển dịch lao động thì
tỷ lệ vốn - lao động ở trạng thái cân bằng ở thành phố là thực sự cao hơn ở
nông thôn.
ii) Điểm cân bằng (r
0
; r
1
) là ổn định toàn cục, tức là R

0
(t) → r
0
và R
1
(t) → r
1
khi
t → ∞. Thật vậy, cả hai phương trình trên là phương trình Bernouly có nghiệm:
R
0
(t) = (C
1
e
−µ
0
(1−α
0
)t
+
ν
0
µ
0
)
1
β
0
,
R

1
(t) = (C
2
e
−µ
1
(1−α
1
)t
+
ν
1
µ
1
)
1
β
1
.
Cho t → ∞ thì R
0
(t) → (
ν
0
µ
0
)
1
β
0

= r
0
và R
1
(t) → (
ν
1
µ
1
)
1
β
1
= r
1
.
iii) Các phương trình trên có dạng phi tuyến với ẩn là R
0
(t), R
1
(t), L
0
(t), R
1
(t).
iv) So với mô hình di cư quần thể n loài giữa hai vùng mô hình di cư lao động
có độ phức tạp cao hơn. Điều này thể hiện ở số mũ của R
0
là α
0

= 1 và số mũ
của R
1
là α
1
= 1.
17
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
Hình 2.1:
2.1.2 Một vài hệ thức quan trọng của mô hình
Ta viết hệ phương trình vi phân (2.1) một cách ngắn gọn hơn và tìm cách đưa
nó về một hệ phương trình vi - tích phân thuận lợi cho việc đánh giá nghiệm
sau này. Do lực lượng lao động của toàn xã hội là không đổi (L
0
(t) + L
1
(t) = l, l
là một hằng số). Không mất tổng quát, ta lấy l = 1. Vậy trong hệ (2.1) ta bớt
đi được một ẩn L
1
(t) = 1 − L
0
(t).
Đặt
P (t) =

R
0
(t); R
1

(t); L
0
(t)

,
F

P (t)

=

dR
0
(t)
dt
;
dR
1
(t)
dt
;
dL
0
(t)
dt

.
Ta có hệ
dP
dt

= F (P ).
Hay













dR
0
dt
= −µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0
− [a + b(R
0

− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
]
R
0
L
0
, (a)
dR
1
dt
= −µ
1
R
1
+ ν
1
R
α
1
1
+ [a + b(R

0
− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
]
R
1
1 − L
0
, (b)
dL
0
dt
= a + b(R
0
− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0

|)L
0
. (c)
(2.3)
Phương trình (2.3.c) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với L
0
. Giải
phương trình này:
dL
0
dt
= a + b(R
0
− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
18
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
Xét phương trình thuần nhất
dL
0
dt
= −(2a + b|R

1
− R
0
|)L
0
⇔

t
0
dL
0
L
0
= −

t
0
(2a + b|R
1
− R
0
|)dt
⇔L
0
(t) = e
−2at
e
−b

t

0
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ
L
0
(0).
Sử dụng công thức nghiệm Cauchy, ta được
L
0
(t) =e
−2at
e
−b

t
0
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ
L
0
(0)
+

t

0
e
−2a(t−s)
e
−b

t
s
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ

a + b

R
0
(s) − R
1
(s)

+

ds.
(2.4)
Tương tự, giải phương trình
dL
1
dt

= −(2a + b|R
1
− R
0
|)L
1
+ a + b(R
1
− R
0
)
+
ta được
L
1
(t) =e
−2at
e
−b

t
0
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ
L
1
(0)

+

t
0
e
−2a(t−s)
e
−b

t
s
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ

a + b

R
0
(s) − R
1
(s)

+

ds.
(2.5)
Từ phương trình (2.3.c) ta có

dL
0
dt
= a + b(R
0
− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
⇔
d
dt
(lnL
0
) =
˙
L
0
L
0
=
1
L
0

[a + b(R
0
− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
].
Khi đó ta đưa được phương trình (2.3.a) về dạng
dR
0
dt
= −µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0
− (
d
dt

lnL
0
)R
0
.
Đây là phương trình Bernouly đối với R
0
. Phương trình này được viết lại như
sau
˙
R
0
R
α
0
0
= −µ
0
R
1−α
0
0
+ ν
0
− (
d
dt
lnL
0
)R

1−α
0
0
.
Đặt
ρ
0
(t) = R
0
(t)
1−α
0
= R
0
(t)
β
0
,
khi đó ta được
˙ρ
0
= −β
0
(µ
0
+
d
dt
lnL
0

)ρ
0
+ β
0
ν
0
. (2.6)
19
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, trước hết ta xét phương trình
thuần nhất
˙ρ
0
ρ
0
= −β
0
µ
0
− β
0
d
dt
(lnL
0
).
Nghiệm tổng quát của phương trình này là
ˆρ
0
(t) = e

−β
0
µ
0
t
e
−β
0

lnL
0
(t)−lnL
0
(0)

C
= e
−β
0
µ
0
t
e
ln

L
0
(0)
L
0

(t)

β
0
C.
Ma trận nghiệm cơ bản
Φ(t, s) = e
−β
0
µ
0
t
e
ln

L
0
(s)
L
0
(t)

β
0
.
Theo công thức nghiệm Cauchy, ta có nghiệm của phương trình không thuần
nhất (2.6) là
ρ
0
(t) =e