Phép tính sai số và các phương pháp xử lí số liệu pdf

PHÉP TÍNH SAI SỐ
VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP
SỬ LÍ SỐ LIỆU
Trần Minh Thi
ĐHSP Hà Nội

I. PHÉP TÍNH SAI SỐ
Sai số đo lường
sai số đo trực tiếp


n
A
n
AAA
A
n
i
i
n
∑
=
=
+++
=
1
21

nn
AAA
AAA
AAA
−=∆
−=∆
−=∆

22
11
A
∆
n
A
n
i
i
∑
=
∆
1
=
A
A
±
A
∆
=
d
sai số đo gián tiếp

),,( zyxfA
=
x x x
y y y
z z z
= ± ∆
= ± ∆
= ± ∆
Cách 1: Nếu hàm f(x,y,z) l m t t ng hay m t à ộ ổ ộ
hi u:ệ
a. Tính vi phân toàn phần df(x,y,z), gộp các số
hạng chứa vi phân cùng biến số
b. Lấy trị tuyệt đối các biểu thức trước dấu vi phân,
thay dấu vi phân “d” bằng kí hiệu .Ta thu được
Cách 2: Nếu hàm f(x,y,z) là một tích, thương, lũy
thừa, hàm mũ:
a. Lấy logarit cơ số e của A=f(x,y,z)
b. Lấy vi phân toàn phần của lnA = lnf(x,y,z)
c. Chuyển dấu vi phân “d” thành

∆
A∆
A A A
= ± ∆
∆
A
A
δ

∆
=

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỬ LÍ SỐ LIỆU
Phương pháp biểu diễn kết quả thí nghiệm bằng đồ thị
Giả sử

Biểu diễn hàm bằng cách:
a. Đưa các giá trị đo lên hệ tọa độ oxy với tỉ lệ xích thích hợp
b. Mô tả sai số của các đại lượng đo bằng các đoạn thẳng song song với ox, oy
c. Lập đường bao sai số
d. Dựng đường cong trơn trong đường bao sai số. Đoán nhận dạng phương
trình đường cong trơn trong đường bao sai số

e. Lập hệ phương trình để tính các hằng số a, b, c, d




∆±
∆±
11
11
yy
xx



∆±
∆±




∆±
∆±
nn
nn
yy
xx
yy
xx


22
22
)(xfy
=
2
3 2
ax
ax
ax
ax
( , )
n
y b
y bx c
y bx cx d
y e
a

y n nguyen duong
x
= +
= + +
= + + +
=
= L
1.
+
+
+
+
+
+
y
x
0
x∆
y
∆

2. Phương pháp bình phương tối thiểu
•
Giả sử bộ số liệu thực nghiệm xi, yi (i = 1, 2 n) cho
phép vẽ được đường thẳng. Ta cần viết phương trình đường
thẳng dạng y = f(x) = ax + b
•
Khảo sát
( )
( )

( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
i
2
i
i
i
ax
ax
0 2 ax
0
1
0
0 2 ax 1
i i
n
i
i
n
i i
i
n
i
i
e y b
S y b
S

S
y b x
a
a
S
S
y b
b
b
= − + 
 
= − + 
 
∂
∂
= = − + − 
=
 
∂
∂
→
∂
∂
=
= = − + −
 
 
∂
∂
∑

∑
∑


( )
( )
( )
2
2
2
2
2
( )
i i i i
a
i i
i i i i i
b
i i
N x y x y
a
N x x
x y x x y
b
N x x
−
∆
= =
∆
−

−
∆
= =
∆
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
2 2
2
a b i
N
x
σ σ
δ δ
= =
∆ ∆
∑
( )
N
y
yy
N
i
iy
∑
∑
∆
≈−

−
=
2
2
1
σ
N
x
i
x
∑
∆
=
σ
Lập bảng số liệu:
[ ]
2
( )
i
y y x
−
n
2
1
y(x
i
) = ax
i
+ bx
i

y
i
x
i
y
i
TT
i
y
∑
i
x
∑
i i
x y
∑
2
i
x
∑
[ ]
2
( )
i
y y x
−
∑
2
i
x

3. Tuyến tính hóa đường cong
•
Nếu đã biết mối quan hệ hàm số và biến số y = f(x) không phải là
hàm tuyến tính, và bài toán có yêu cầu là phải xác định các tham số nào
đó trong biểu thức đó. Ví dụ một số hàm số:
•
y = ae
bx
, a>0;
•
y = ax
b
, a>0; x>0;
•
hoặc: dưới dạng y = ax
n
+ b với n tùy ý
•
thì có thể đưa về dạng tuyến tính hóa như sau
- đối với 2 dạng đầu: lấy logarit 2 vế thu được
lny = bx + lna thành phương trình tuyến tính Y = lny = bx + lna

•
lny = blnx + lna hay Y = bX + lna, với X = lnx
•
đối với phương trình cuối thì đặt X = x
n

•

Bài toán ví dụ : Xác định tham số khe năng lượng của điện trở bán dẫn.
Biết rằng biểu thức điện trở có dạng:
•
R = Aexp
•
+ tuyến tính hóa: y = lnR = lnA + (với x = 1/T)
•
+ lập bảng y = lnR, (x = 1/T)
( )
/ 2E kT
∆

Kết luận
1. Phép tính sai số dùng trong đo lường trực tiếp các đại
lượng vật lí và tính toán các đại lượng đo gián tiếp
thông qua công thức vật lí
2. Các phương pháp sử lí số liệu:
- cho phép nghiên cứu xây dựng biểu thức toán học thể
hiện mối liên hệ giữa các đại lượng vật lí
- cho phép khảo sát các đại lượng vật lí
- sử dụng rất hiệu quả trong các TN nâng cao và TN
olympic vật lí
3. Cần phối hợp chặt chẽ và hợp lí các phương pháp sử lí
số liệu: tuyến tính hóa, bình phương tối thiểu, phương
pháp đồ thị (trực quan)

Xin chân thành cám ơn!