TOÁN NÂNG CAO:TÍCH PHÂN docx

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO





TOÁN NÂNG CAO:TÍCH PHÂN


I. Mục tiêu:
a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
-Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi
được của một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân
b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng
vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi
được của một vật
c) Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ.
+ Chuẩn bị của học sinh :
- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.
- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
IV. Tiến trình tiết dạy :

1.Ổn định lớp :
2.Kiểm tra bài cũ : 5’
- Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp.
- Tính :

 dxx )1(
- GV nhắc công thức :
 




0
0
0
'
0
lim
xx
xfxf
xf
xx





3.Vào bài mới
Tiết1:
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong

1


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO



2

Tg
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng











10’

2o’

I/Khái niệm hình thang cong
y
7 B
H
f(t)=t+1

3 A

1 D G C
-1 x

O 2 t 6

( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết
các đư
ờng thẳng: AB: f(x)=x+1,AD:
x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang ABCD

-Lấy t


6;2 . Khi đó diện tích hình
thang AHGDbằng bao nhiêu?

-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên
hệ như thế nào ?
-Tính S(6) , S(2) ? và S
ABCD
?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình
thang cong và công thức tính d/t nó.


y

B
y= f (x)

A


x
O a b
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính di
ện
tích của hình thang cong aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên
tục y = f(x) , f(x)

0, trục Ox v
à các
đương thẳng x = a , x = b (a<b)
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk
-Kí hiệu S(x) là diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị (C)
của hàm số y = f(x), trục Ox và các
đường thẳng đi qua a, x và song
song Oy. Hãy chứng minh S(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]

S = 204.
2
37



S(t) = 4
2
)2(
2
13
2


t
t
t
t

t



6;2
S’(t) = t+1= f(t)

S(t) là nột
nguyên hàm của f(t) = t+1
S(6) = 20,S(2) = 0
và S
ABCD
= S(6)-S(2)







-Bài toán tích diện tích hình ph
ẳng
giới hạn bởi một đường cong có
thể đưa về bài toán tính diện tích
của một số hình thang cong

1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm
tích phân:
a) Diện tích hình thang cong

-Bài toán 1: (sgk)
y
y=f(x)




S(x)

x
o a x b
Hình 3
KH: S(x) (a
bx


)
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

3’









-Giả sử x
0
là điểm tùy ý cố định
thuộc (a ; b)
*Xét điểm x

(a ; b ]
-Diện tích h
ình thang cong MNEQ?
-Dựa vào hình 4 so sánh diện tích
S
MNPQ
, S
MNEQ
và S
MNEF
*f(x) liên tục trên [ a; b ]





xf
xx
0
lim ?
- Suy ra 




0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
?


*Xét điểm x

[a ; b )
Tương tự 




0

0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
?

Từ (2) và (3) suy ra gì?




S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên
[ a; b ] ta biểu diễn S(x)?

* S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)

S =?

-Giáo viên củng cố kiến thức BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm số liên
tục và f(x)

0 trên [ a; b ]. Khi đó

diện tích của hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị (C) của hàm số
y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng
x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong
đó F(x) là một nguyên hàm bất kì
của hàm số f(x) trên [ a; b ]













S
MNEQ
= S(x) – S(x
0
)

S
MNPQ
< S
MNEQ
< S

MNEF





xf
xx
0
lim f(x
0
)





0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
) (2)






0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
) (3)





0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx

f(x
0
)




S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)



S = S(b) – S(a)



y y=f(x)

F E
f(x)

f(x
0
) Q P
x
o x
x
0 a M N b
Hình 4
*Xét điểm x


(a ; b ]
S
MNEQ
là S(x) – S(x
0
)
Ta có:S
MNPQ
< S
MNEQ
< S
MNEF

f(x
0
)(x-x
0
)<S(x)-S(x
0
)<f(x)(x-x
0
)

f(x
0
)<
0
0
x-x
)S(x-S(x)

<f(x) (1)
Vì




xf
xx
0
lim f(x
0
)
(1)






0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)(2)

*Xét điểm x

[a ; b )
Tương t
ự: 




0
0
)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)(3)

Từ (2) và (3)ta có:




0
0

)()(
lim
0
xx
xSxS
xx
f(x
0
)
Hay S’ (x) = f(x
0
)
Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x

(a ; b )
nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x)
trên [ a; b ]

S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
= (F(b) +C) – (F(a) + C)
= F(b) – F(a)


3


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

7’





-Giáo viên định hướng học sinh
gi
ải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập
số 1
-Tìm họ nguyên hàm của f(x)?

-Chọn một nguyên hàm F(x) của
f(x) trong họ các nguyên hàm đ
ã tìm
được ?
-Tính F(1) và F(2)

Diện tích cần tìm ?



-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên:
I = dxx


4
= 
5
5
x
C ( C là hằng số)

Chọn F(x) =
5
5
x


F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32

S = F(2) –F(1) = )(
5
31
dvdt




GIẢI:
I = dxx


4
= 
5
5
x
C

Chọn F(x) =
5
5
x
( C là hằng số)

F(1) =
5
1
, F(2) =
5
32

S = F(2) –F(1) = )(
5
31
đvdt

Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong

Tg
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng

8’


















5’
-Giáo viên định hướng học sinh
giải bài toán 2 (sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường đi được
của vật cho đến thời điểm t. Quãng
đường đi được trong khoảng thời
gian từ thời điểm t = a đến thời
điểm t = b là bao nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ như thế
nào?
+Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ như

thế nào?
+Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ như
thế nào?
+Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a)
và F(b)?

-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của f(t)?

+Lấy một nguyên hàm của F(t) của
f(t) trong họ các nguyên hàm đã
tìm được
+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi được trong
khoảng thời gian từ t
1
=20 đến
t
2
=50 liên hệ như thế nào với
F(20) và F(50)

-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên
Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1)

v(t) = s’(t)


s’(t) = f(t)

s(t) là một nguyên hàm của f(t)
suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)

L= F(b)–F(a)


-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên

I = Cttdtt 

2
2
3
)23(
2

F(t) = tt 2
2
3
2


F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)



b, Quãng đường đi đượccủa1 vật
Bài toán 2: (sgk)
CM: Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1)

v(t) = s’(t)


s’(t) = f(t)

s(t) là một nguyên hàm của f(t)
suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)

L= F(b)–F(a)



GIẢI:
I = Cttdtt 

2
2

3
)23(
2

F(t) = tt 2
2
3
2


F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)

4



GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO



Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân

Tg

Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
7’

5’

15’







-Giáo viên nêu định nghĩa tích
phân (sgk)
-Giáo viên nhấn mạnh. Trong
trường hợp a < b, ta gọi

b
a
dxxf )(
là
tích phân của f trên đoạn [a ; b ].
Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời
câu hỏi (H2)
Gợi ý:
-Gọi F(x) = g(x) +C là họ các
nguyên hàm của f(x)

-Chọn nguyên hàm F
1
(x) = g(x)+C
1

bất kì trong họ các nguyên hàm đó.
-Tính F
1
(a), F
1
(b)?


-Tính

b
a
dxxf )(
?


-Nhận xét kết quả thu được

-Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta
còn dùng kí hiệu F(x)|
b
a
để chỉ hiệu
số F(b) -F(a).
-Hãy dùng kí hiệu này để viết


b
a
dxxf )(

-Giáo viên lưu ý học sinh: Người
ta gọi hai số a, b là hai cận tích
phân, số a là cận dưới, số b la cận
trên, f là hàm số dưới dấu tích
phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu
tích phân và x là biến số lấy tích
phân
-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 3




Học sinh tiếp thu và ghi nhớ






Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên

Giả sử: F(x) =

b
a
dxxf )(
= g(x)+C
Chọn F
1
(x) = g(x)+C
1
bất kì


F
1
(a) = g(a)+C
1

F
1
(b) = g(b)+C
1




b
a
dxxf )(
= [g(b)+C

1
]-[g(a)+C
1
]
= g(b) – g(a)
Không phụ thuộc vào cách chọn
C
1


đpcm

Học sinh tiếp thu , ghi nhớ


Giả sử F(x) là một nguyên hàm
của f(x) thì:

b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a

Học sinh giải quyết dưới sự định
hướng của giáo viên:


5
2/Khái niệm tích phân
Định nghĩa: (sgk)

Người ta còn dùng kí hiệu F(x)|
b
a

để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy
nếu F là một nguyên hàm của f
trên k thì :

b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a














GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

5’







a)

5
1
2xdx

-Tìm nguyên hàm của 2x?
-Thay các cận vào nguyên hàm trên
b)

2/
0
sin


xdx

-Tìm nguyên hàm của sinx?
-Thay các cận v
ào nguyên hàm trên
c)

3/
4/
2
cos


x
dx

-Tìm nguyên hàm của
x
2
cos
1
?
-Thay các cận v
ào nguyên hàm trên

d)

4
2
x

dx

-Tìm nguyên hàm của
x
1
?
-Thay các cận vào nguyên hàm trên

+Với định nghĩa tích phân như trên,
kết quả thu được ở bài toán 1 được
phát biểu lại như thế nào?
-Giáo viên thể chế hóa tri thức, đưa
ra nội dung của định lý 1:Cho hàm
số y = f(x) liên tục và không âm
trên K; a và b là hai số thuộc K
( a<b). Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x) trục hoành và 2 đường
thẳng x = a, x =b là: S =

b
a
dxxf )(

-Giáo viên hướng dẫn học sinh
trả lời H3.
-Theo kết quả của bài toán 2. quãng
đường vật đi được từ điểm a đến
thời điểm b được tính như thế nào?

-Dựa vào định nghĩa tích phân hãy
viết lại kết quả thu được?


a)

5
1
2xdx
= x
2
|
5
1
= 25 – 1 = 24



b)

2/
0
sin

xdx
= - cosx |
2/
0


=- (0 -1)
=1


c)

3/
4/
2
cos


x
dx
= tanx|
3/
4/


= 13 



d)

4
2
x
dx
= ln|x||

4
2
= ln4 – ln2 =ln
2
4

= ln2
Học sinh thảo luận theo nhóm trả
lời.











Học sinh giải quyết dưới sự định
hướng của giáo viên:
Theo kết quả của bài toán 2.
Quãng đường vật đi được từ điểm
a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a)
F(x) là nguyên hàm của f(x)
Theo định nghĩa tích phân



b
a
dxxf )(
= F(b) –F(a)

L =

b
a
dxxf )(
(đpcm)
Giải:

a)

5
1
2xdx
= x
2
|
5
1
= 25 – 1 = 24



b)

2/

0
sin

xdx
= - cosx |
2/
0

=- (0 -1)
=1


c)

3/
4/
2
cos


x
dx
= tanx|
3/
4/


= 13 

d)

4
2
x
dx
= ln|x||
4
2
= ln4 – ln2 =ln
2
4

= ln2



ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x)
liên tục và không âm trên K; a và
b là hai số thuộc K
( a<b). Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f(x) trục hoành và 2
đường thẳng x = a, x =b là:
S =

b
a
dxxf )(

Theo kết quả của bài toán 2.
Quãng đường vật đi được từ điểm
a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a)
F(x) là nguyên hàm của f(x)
Theo định nghĩa tích phân


b
a
dxxf )(
= F(b) –F(a)

L =

b
a
dxxf )(
(đpcm)
6

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO




Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân;

Tg

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng






15’

-Giáo viên phát biểu định lí 2(sgk)
-Giáo viên định hướng học sinh
chứng minh các tính chất trên: Giả
sử F là một nguyên hàm của f, G là
một nguyên hàm của g .
1)

a
a
dxxf )(
= 0
-Nguyên hàm của f(x) ?
-Thay các cận vào nguyên hàmtrên?

2)

b
a

dxxf )(
= -

a
b
dxxf )(



b
a
dxxf )(
= ?


a
b
dxxf )(
= ?


3)

b
a
dxxf )(
+

c
b

dxxf )(
=

c
a
dxxf )(



b
a
dxxf )(
= ?


c
b
dxxf )(
= ?


c
a
dxxf )(
= ?


4) F(x) là nguyên hàm của f(x),
G(x) là nguyên hàm của g(x)


nguyên hàm của f(x) + g(x) =?
 
?)()( 

dxxgxf
b
a




b
a
dxxf )(
+

b
a
dxxg )(
= ?
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh thực hiện dưới sự định
hướng của giáo viên





a
a

dxxf )(
= F(x)|
a
a
= F(a) – F(a) = 0



b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
= F(b) – F(a)


a
b
dxxf )(
= F(x)|
a
b
= F(a) – F(b)


b
a
dxxf )(
= -


a
b
dxxf )(


b
a
dxxf )(
+

c
b
dxxf )(

=F(x)|
b
a
+F(x)|
c
b
=F(b) – F(a) +
F(c) – F(b)= F(c) – F(a)



c
a
dxxf )(
= F(x)|

c
a
= F(c) – F(a)


b
a
dxxf )(
+

c
b
dxxf )(
=

c
a
dxxf )(

4)
 


dxxgxf
b
a
)()(


)()( xGxF 

b
a

=




)()()()( aGaFbGbF 

= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)


b
a
dxxf )(
+

b
a
dxxg )(
= F(x)|
b
a
+G(x)|
b
a

= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)

3 Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ2: (sgk)



CM:(Giáo viên HD chứng minh
tính chất 3,4,5)
1)

a
a
dxxf )(
= F(x)|
a
a
=F(a) – F(a)= 0


2)

b
a
dxxf )(
= F(x)|
b
a
= F(b) – F(a)


a

b
dxxf )(
= F(x)|
a
b
= F(a) – F(b)


b
a
dxxf )(
= -

a
b
dxxf )(

3)

b
a
dxxf )(
+

c
b
dxxf )(

=F(x)|
b

a
+F(x)|
c
b
=F(b) – F(a) + F(c)
– F(b)= F(c) – F(a)



c
a
dxxf )(
= F(x)|
c
a
= F(c) – F(a)


b
a
dxxf )(
+

c
b
dxxf )(
=

c
a

dxxf )(

4)
 


dxxgxf
b
a
)()(


)()( xGxF 
b
a

=




)()()()( aGaFbGbF 
= F(b)
– F(a) + G(b) – G(a)


b
a
dxxf )(
+


b
a
dxxg )(
= F(x)|
b
a
+G(x)|
b
a

= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)


7




GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

25’
5) F(x) là nguyên hàm của f(x)

nguyên hàm của kf(x)?

b
a
dxxkf )(
=?

b
a
dxxfk )(
=?

Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 4
Biểu thức của tính chất 4?

Áp dụng tính chất này tính tích
phân trên?

Xét dấu của x – 2 trên [1: 3]?


Áp dụng tính chất 3 tính tích phân
trên?


5)

b
a
dxxkf )(
=


b
a
xkF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]

b
a
dxxfk )(
= kF(x)
b
a
=k[F(b) –
F(a)]



b
a
dxxkf )(
=

b
a
dxxfk )(

Học sinh thực hiện dưới sự định
hướng của giáo viên
I =


2/
0
)cos2(sin

dxxx

=


2
0
2/
0
cos2sin



xdxxdx
= -
2
1
cos2x |
2/
0

- sinx |
2/
0


= -
2
1
(cos

- cos0 ) - sin
2

-sin0
= 0
J=
dxx


3

1
2

=


2
1
)2( dxx
+
dxx )2(
3
2



= [- x
x
2
2
2
 ]
2
1
+[ x
x
2
2
2
 ]

3
2

= 1

5)

b
a
dxxkf )(
=


b
a
xkF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]

b
a
dxxfk )(
= kF(x)
b
a
=k[F(b) –
F(a)]


b
a

dxxkf )(
=

b
a
dxxfk )(


I =


2/
0
)cos2(sin

dxxx

=


2
0
2/
0
cos2sin


xdxxdx
= -
2

1
cos2x |
2/
0

- sinx |
2/
0


= -
2
1
(cos

- cos0 ) - sin
2

-sin0
= 0
J=
dxx


3
1
2

=



2
1
)2( dxx
+
dxx )2(
3
2



= [- x
x
2
2
2
 ]
2
1
+[ x
x
2
2
2
 ]
3
2

= 1

IV. CỦNG CỐ:5’
- Phát biểu lại kết quả cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân.
- Trả lời câu hỏi H5.
V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ:
-Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật.
-Học thuộc các tính chất của tích phân.
- Giải bài tập sách giáo khoa
- Bài tập làm thêm:
1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x
2
+3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường
thẳng x =2 .
2) Tính : I =
dxxx



1
2
2
.
8


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

VI. PHỤ LỤC

Phiếu học tập số 1
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
4
trục hoành và hai đường thẳng x =1 ,
x =2

Phiếu học tập số 2
Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s. Tìm quãng đường L vật
đi được trong khoange thời gian từ t
1
= 20 s đến t
2
= 50 s?

Phiếu học tập số 3
Tính giá trị các tích phân sau:
a)

5
1
2xdx
b)

2/
0

sin

xdx
c)

3/
4/
2
cos


x
dx
d)

4
2
x
dx



Phiếu học tập số 4
Tính các tích phân sau:
I=


2/
0
)cos2(sin


dxxx
, J=
dxx


3
1
2

9