BÀI TẬP 4
LÝ THUYẾT
Phân phối xác suất kết (Joint Probability Distribution)
, r ,
,0
,1
XY
XY
XY
xy
f x y P X x Y y
f x y
f x y
Tính phân phối xác suất lề (Marginal Probability Distribution) thông qua phân phối xác
suất kết:
Pr ,
x
X XY
R
f x X x f x y
với R
x
= tập hợp các điểm thuộc miền (X,Y) mà X=x
,
X XY
R
E X xf x y
2
2
ar ,
X x XY
R
v X x f x y
Xác suất có điều kiện
|
,
||
XY
Yx
X
f x y
f y f y x f Y y X x
fx
với f
X
(x)>0
Nếu X, Y độc lập
|
,
XY X Y
Y x Y
f x y f x f y
f y f y
Hiệp phương sai (Covariance)
cov(X,Y) = ϭ
XY
= E[(X-μ
X
)(Y-μ
Y
)] = E(XY) - μ
X
μ
Y
Độ tương quan (Correlation)
cov ,
11
ar( )var( )
XY
XY
XY
XY
v X Y
Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên (Linear combination of random variables)
Cho các biến ngẫu nhiên X
1
,X
2
,…,X
n
và các hằng số c
1
,c
2
,…,c
n
,
Y=c
1
X
1
+…+c
n
X
n
là một tổ hợp tuyến tính của X
1
,X
2
,…,X
n
Thì
Kỳ vọng E(Y)= c
1
E(X
1
)+…+c
n
E (X
n
)
Phương sai Var(Y)= c
1
2
Var (X
1
)+…+c
n
2
Var (X
n
)+
2 cov ,
i j i j
ij
c c X X
Nếu X
1
,X
2
,…,X
n
độc lập thì Var(Y)= c
1
2
Var (X
1
)+…+c
n
2
Var (X
n
).
Phân phối của tổ hợp tuyến tính
Nếu X
1
,X
2
,…,X
n
là các biến ngẫu nhiên, độc lập, có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(X
i
)=μ
i
, và
phương sai var(X
i
)=ϭ
i
2
, ∀i=1,…,n,
Y=c
1
X
1
+…+c
n
X
n
(c
1
,c
2
,…,c
n
là các hằng số)
Thì Y cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=c
1
μ
1
+ … + c
n
μ
n
, và phương sai
var(Y)=c
1
2
ϭ
1
2
+…+ c
n
2
ϭ
n
2
Định lý giới hạn trung tâm
Nếu X
1
, X
2
,…, X
n
là một mẫu ngẫu nhiên kích thước n của một quần thể với kỳ vọng μ và
phương sai ϭ
2
, và nếu
X
là trung bình của tập mẫu
12
n
X X X
X
n
thì
X
Z
n
có phân
phối chuẩn chính tắc khi
n
. (
X
có phân phối chuẩn với kỳ vọng
, phương sai
2
n
khi
n
).
Thường áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n ≥ 30.
Nếu X có phân phối liên tục, unimodal (có 1 mode), đối xứng, có thể áp dụng định lý giới hạn
trung tâm với n nhỏ hơn.
BÀI TẬP
1) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối bất kỳ với kỳ vọng μ và phương sai ϭ
2
. Cho tập mẫu
ngẫu nhiên đơn giản gồm n phần tử {X
1
,X
2
,…,X
n
} của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của
X
.
Giải:
{X
1
,X
2
,…,X
n
} là tập mẫu của X nên E(X
1
) = E(X
2
) = … = E(X
n
) = E(X),
var(X
1
) = var(X
2
) =…= var(X)
12
n
X X X
X
n
là một tổ hợp tuyến tính của {X
1
,X
2
,…,X
n
} suy ra:
12
1 1 1 1
n
E X E X E X E X n E X E X
n n n n
2 2 2 2
12
ar
1 1 1 1
ar ar ar ar ar
n
vX
v X v X v X v X n v X
n n n n n
2) Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X
1
, X
2
. Biết X
1
có phân phối chuẩn N(2; 0.1
2
), X
2
có phân phối chuẩn
N(5; 0.2
2
). Cho biến ngẫu nhiên Y = X
1
+2X
2
. Xác định Pr(Y>14.5)
Giải:
Y là tổ hơp tuyến tính của X
1
, X
2
X
1
, X
2
có phân phối chuẩn
=> Y có phân phối chuẩn
Y = X
1
+2X
2
=> Kỳ vọng E(Y) = E(X
1
) + 2E(X
2
) = 2 + 2.5 = 12
Phương sai var(Y) = 1
2
×var(X
1
) + 2
2
×var(X
2
) = 1×0.1
2
+ 4×0.2
2
=0.17
Như vậy, Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=12, phương sai var(Y)=0.17
Pr(Y>14.5) = 1-Pr(Y<14.5) = 0 (để tính Pr(Y>14.5), xem lại bài tập về phân phối chuẩn)
3) X là biến ngẫu nhiên cho biết điện trở của thiết bị. Biết rằng X có phân phối chuẩn với trung
bình 100 ohm, độ lệch chuẩn 10 ohm. Cho một tập dữ liệu mẫu ngẫu nhiên của X gồm 25 phần
tử. Xác định xác suất tập mẫu có trung bình
X
nhỏ hơn 95 ohm.
Giải:
Gọi tập dữ liệu mẫu kích thước n=25 của X là {X
1
,X
2
,…,X
25
}.
Vì X có phân phối chuẩn N(100; 10
2
) nên X
1
,X
2
,…,X
25
cũng có phân phối chuẩn N(100; 10
2
).
X
1
,X
2
,…,X
25
có phân phối chuẩn, nên mọi tổ hợp tuyến tính của X
1
,X
2
,…,X
25
có phân phối
chuẩn. Suy ra
X
có phân phối chuẩn.
X
có kỳ vọng E(
X
) = E(X), var(
X
) = var(Y) / n (với n=25)
=> E(
X
)=100, var(
X
)=10
2
/25=4
Vậy
X
có phân phối chuẩn N(100; ϭ
2
=4)
Pr(
X
<95) = 0.0062 (để tính Pr(
X
<95), xem lại bài tập về phân phối chuẩn)
4) Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau:
1
, 1,2,3
3
0, khá
x
fx
c
Xác định phân phối của trung bình mẫu
X
biết rằng kích thước tập mẫu n=36.
Xác định xác suất trung bình mẫu
X
lớn hơn 2.1 nhưng nhỏ hơn 2.5 (giả sử trung bình mẫu
X
được đo tới độ chính xác 0.1).
Giải:
Kỳ vọng của X:
1 1 1
1 2 3 2
3 3 3
E X xf x
Phương sai của X:
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2
ar 2 1 2 3 4
3 3 3 3
v X E X E X E X x f x
Vì kích thước tập mẫu lớn n = 36 > 30, theo định lý giới hạn trung tâm,
X
có thể xem như có
phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương sai:
E(
X
)=E(X) = 2
var(
X
) = var(X)/ n = 2/(3×36 ) = 1/54
Vậy
X
có phân phối chuẩn N(2;ϭ
2
=1/54)
Pr(2.1<
X
<2.5) = Pr(
X
<2.5) – Pr(
X
<2.1) = 0.231 (để tính Pr(2.1<
X
<2.5), xem lại bài tập về
phân phối chuẩn)
BÀI TẬP
Bài 1:
Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ và phương sai ϭ
2
. Cho tập mẫu ngẫu
nhiên đơn giản gồm n phần tử {X
1
,X
2
,…,X
n
} của X. Xác định phân phối của
X
(loại phân phối,
giá trị kỳ vọng, phương sai).
Bài 2:
Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X
1
, X
2
. Biết X
1
có phân phối chuẩn N(2; 0.2
2
), X
2
có phân phối chuẩn
N(5; 0.3
2
). Cho biến ngẫu nhiên Y = 3X
1
+2X
2
. Xác định Pr(Y<5).
Bài 3:
X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20, phương sai 4. Cho một tập dữ liệu mẫu
ngẫu nhiên của X gồm 10 phần tử. Xác định xác suất tập mẫu có trung bình mẫu
X
nhỏ hơn 15.
Bài 4:
Một tập mẫu ngẫu nhiên kích thước n=16 được lấy mẫu từ một phân phối chuẩn với kỳ vọng 40,
phương sai 5. Xác định xác suất trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 37.
Bài 5: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều liên tục với hàm xác suất như sau:
1
,4 6
2
0, khá
x
fx
c
Xác định phân phối của trung bình mẫu
X
biết rằng kích thước tập mẫu n=40.
Bài 6: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau:
1
, 2,3,4,5,6
5
0, khá
x
fx
c
Xác định phân phối của trung bình mẫu
X
biết rằng kích thước tập mẫu n=30.
Xác định xác suất trung bình mẫu
X
lớn hơn 3.2 (giả sử trung bình mẫu
X
được đo tới độ chính
xác 0.1).