slide bài giảng xstk c.2 đại lượng ngẫu nhiên & quy luật phân phối xác suất

C.2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
&
QUY LUẬT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.KHÁI NIỆM
2.ĐLNN RỜI RẠC-ĐLNN LIÊN TỤC
3.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
1.KHÁI NIỆM ĐLNN.
1.1.ĐLNN RỜI RẠC
. X Chỉ nhận một số hửu hạn các giá
trị, hoặc một số vô hạïn đếm được các
giá trị.
1.2.ĐLNN LIÊN TỤC
. Tập hợp các giá trị mà X nhận lấp
đầy một khoảng của trục số hoặc
toàn bộ trục số.
. X là ĐLNN liên tụïc thì xác suất tại
một điểm bằng 0
P(X=a)=0
2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
2.1.BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT.
Với:


…
… …
1
x

2
x
n
x
1
p
2
p
n
p
0p;1p
n,1i;p)xX(P
i
n
1i
i
ii
≥=
===
∑
=
P
X
VD: Một lô hàng có 25 sp tốt, 5 sp xấu.
Một người mua 3 sp, gọi X là số sp tốt trong 3 sp
mua, lập bảng phân phối xác suất của X
NX: X là một ĐLNN rời rạc,
X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.
Bảng phân phối xs của X:

369458,0
C
CC
)2X(P
002463,0
C
C
)0X(P
3
30
1
5
2
25
3
30
3
5
===
===
566503,0
C
C
)3X(P
061576,0
C
CC
)1X(P
3
30

3
25
3
30
2
5
1
25
===
===
X 0

1 2 3
P 0,002463 0,061576 0,369458 0,566503
VD:
Một trò chơi:
Tung một con xúc xắc 3 lần.
Nếu xuất hiện 3 mặt 1 được 100 ngàn đồng.
Nếu xuất hiện 2 mặt 1 được 50 ngàn đ.
Nếu xuất hiện 1 mặt 1 được 10 ngàn đ.
Nếu không có mặt 1 xuất hiện thì mất 20 ngàn đ.
Gọïi X là số tiền được thua trong trò chơi trên.
Tìm quy luật phân phối xác suất của X.
X nhận các giá trị: -20, 10, 50, 100
Quy luật phân phối xác suất của X là:
216
75
)10X(P
216
1

)100X(P
==
==
216
125
)20X(P
216
15
)50X(P
=−=
==
X -20 10 50 100
P 125/216 75/216 15/216 1/216
2.2.HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT.
Hàm số f(x) xác định trên toàn trục số, được gọi là
hàm mật độ của ĐLNN liên tục X nếu:
CHÚ Ý:X là ĐLNN liên tục thì:

∫
∫
=<<
=
∈∀≥
∞+
∞−
b
a
dx)x(f)bXa(P)iii
1dx)x(f)ii
Rx;0)x(f)i

)bXa(P)bXa(P)bXa(P)bXa(P
0)bX(P)aX(P
≤≤=≤<=<≤=<<
====
VD: Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
Kiểm chứng:





∉
∈
=
]2,0[x;0
]2,0[x;
2
1
)x(f
1dx
2
1
dx)x(f.
Rx0)x(f.
2
0
==
∈∀≥
∫∫
∞+

∞−
3.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN
3.1.KỲ VỌNG
.X là ĐLNN rời rạc
.X là ĐLNN liên tục
TÍNH CHẤT KỲ VỌNG:
i) E(C)=C (C: hằng số)
ii) E(CX)=CE(X)
iii) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
iv) E(X.Y)=E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập


i
n
1i
i
px)X(E
∑
=
==µ
∫
+∞
∞−
==µ dx)x(f.x)X(E
VD: Thu nhập của 100 CN của một XN.

Tính thu nhập trung bình của 100 CN
HD:
Bảng phân phối xác suất:
E(X)=thu nhập trung bình của 100 CN=

X(trieäu ñ) 1,2 1,5 2,0 2,5
Soá CN 20 40 30 10
X 1,2 1,5 2,0 2,5
P 0,20 0,40 0,30 0,10
69,1)1,0(5,2)3,0(2)4,0(5,1)2,0(2,1px
i
4
1i
i
=+++=
∑
=
VD: X(phút): thời gian bị kẹt xe tại một giao lộ là một
ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:
a) Tính thời gian bị kẹt xe trung bình
b) Tính xác suất bị kẹt xe từ 1 đến 2 phút
HD:
a) E(X)=

b)





∉
∈
=
]3,0[x0
]3,0[xx

81
4
)x(f
3
5
12
dxx
81
4
dx)x(f.x
3
0
4
==
∫∫
+∞
∞−
81
15
dxx
81
4
dx)x(f)2X1(P
2
1
3
2
1
===≤≤
∫∫

3.2.PHƯƠNG SAI
.X là ĐLNN rời rạc
.X là ĐLNN liên tục

i
2
n
1i
i
2
X
p.)]X(Ex[)X(VAR −==σ
∑
=
∫
+∞
∞−
−==σ dx)x(f.)]X(Ex[)X(VAR
22
X
CHÚ Ý:

.X ĐLNN
T.L:X;dx)x(fx)X(E
R.R:X;p.x)X(E
)]X(E[)X(E)X(VAR
22
n
1i
i

2
i
2
222
X
∫
∑
∞+
∞−
=
=
=
−==σ
.TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI
,nếu X,Y đ.l
)Y(Var)X(Var)YX(Var)iv
)X(Var)CX(Var)iii
)X(VarC)CX(Var)ii
0)C(Var)i
2
+=+
=+
=
=
VD: Kiểm tra 100 gói mì ăn liền nhãn hiệu A và 100 gói
mì ăn liền nhãn hiệu B được số liệu như sau
Gọi X, Y lần lượt là trọng lượng của gói mì nhãn hiệu
A, nhãn hiệu B.
a) Tính kỳ vọng, phương sai của X, Y
b) Theo A/C nên mua mì nhãn hiệu nào?

T.L(g) 82 83 84 85 86 87
Soá goùi
mì A
10 20 10 30 20 10
Soá goùi
mì B
18 6 16 31 16 13
HD:
a) Ta có:
E(X)=84,6
E(Y)=84,6
Var(X)=2,24
Var(Y)=2,54
b)
NX:
Trọng lượng trung bình của một gói mì của hai nhãn
hiệu bằng nhau,
nhưng Var(X) < Var(Y) , nên trọng lượng một gói mì
A ổn định hơn.
Vậy nên mua mì nhãn hiệu A.
3.3.ĐỘ LỆCH CHUẨN
Độ lệch chuẩn của ĐLNN X :
được sử dụng để đánh giá sự phân tán của ĐLNN X so
với kỳ vọng.
3.4 MODE
. X là ĐLNN rời rạc:
MOD(X) là giá trị mà tại đó xác suất
tương ứng lớn nhất.
. X là ĐLNN liên tục:

MOD(X) là giá trị tại đó hàm mật độ
f(x) đạt cực đại.
. MOD(X) thường được gọi là:
giá trị tin chắc nhất
)X(Var
X
=σ
VD: Điểm thi môn Xác suất thống kê của SV K.35
NX: P(X=6)=0,40 lớn nhất
Vậy : Mod(X)=6
VD:
là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X,
ta có:
X 4 5 6 8 9
P 0,20 0,20 0,40 0,10 0,10
Rx;e
2
1
)x(f
2
x
2
∈
π
=
−
0)X(Mode
2
x
)x(f

2
x
,
2
=⇒
π
−
=
−
VD:
Một SV vào một hiệu sách mua một viết bic.
Cô bán hàng đưa 5 cây viết và nói : anh thử được viết
tốt thì mua, cho biết xác suất một
cây viết tốt là p. Gọi X là số lần thử.
Tìm quy luật phân phối xác suất của X.
VD:
X (giờ) là tuổi thọ của một loại bóng đèn là một ĐLNN
có hàm mật độ là:
Tính xác suất để bóng đèn được chọn ngẫu nhiên
trong các bóng đèn loại này có tuổi thọ trên 1000 giơ.ø





≤
>
=
−
0x;0

0x;e
1000
1
)x(f
1000
x