Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 3 doc

Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

BI TÁÛP CHỈÅNG 3 :
CHUØN ÂÄÜNG QUAY CA VÁÛT RÀÕN
XUNG QUANH TRỦC CÄÚ ÂËNH

Ạp dủng 1 : (Trang 128) Liãn kãút trủ quay l tỉåíng (Hon chènh)
Váût ràõn (S) âỉåüc giỉỵ båíi hai trủ quay gáưn nhỉ l âiãøm åí A v B sao cho nọ
cọ thãø quay quanh trủc cäú âënh (AB) trong hãû quy chiãúu nghiãn cỉïu. Ta gi
thiãút ràòng cạc liãn kãút åí A v B l l tỉåíng (hon chènh) : cạc tạc âäüng cå
tiãúp xục m (S) tạc dủng lãn A v B tỉång ỉïng âỉåüc thu gn vãư cn hai
lỉûc :
1
R

âi qua A v
2
R

âi qua B.
2
R

B
1
R

Tênh cạc pháưn tỉí rụt gn tải A ca toọc-så cạc tạc âäüng cå tiãúp xục lãn (S).
Bi gii :

Tạc âäüng cå tiãúp xục lãn váût ràõn (S) gäưm hãû hai lỉûc

12
(, )
R
R


khi thu gn vãư
âiãøm A bao gäưm :
A

+ Lỉûc thu gn :
12
R
RR=+
 

+ Momne thu gn :
,12A tiepxuc
M
AA R AB R=×+×


,2Atiepxuc

⇒
M
AB R
=
×






Ta tháúy
,A tiepxuc
M
AB⊥


: liãn kãút l l tỉåíng.
(Ghi chụ : Cho hai váût ràõn (S) v (
Σ
) tiãúp xục nhau. Tạc âäüng cå tiãúp xục tỉì (
Σ
) lãn (S) khi
thu gn vãư âiãøm I no âọ thäng thỉåìng bao gäưm lỉûc thu gn
R

v momen thu gn .
Khi âọ tạc âäüng cå tiãúp xục tỉì (
Σ
) lãn (S) âỉåüc biãøu diãùn bàòng mäüt tọocså ( .
,Itiepxuc
M

,
(, )
I tiepxuc
RM


Tuy nhiãn, khäng phi lục no cng tạc âäüng cå tiãúp xục khi thu gn vãư âiãøm I cng bao gäưm
lỉûc thu gn
R

v momen thu gn
,Itiepxuc
M

. Trỉåìng håüp âàûc biãût, khi thu gn vãư âiãøm I, tạc
âäüng cå tiãúp xục chè cn mäüt lỉûc
R

hồûc chè cn mäüt ngáùu lỉûc
,I tiepxuc
M

).

p dủng 2 (trang 130) : Vä làng quạn tênh :
Mäüt vä làng quạn tênh (bạnh â) cọ thãø xem nhỉ mäüt hçnh
trủ âäưng cháút trủc
, momen quạn tênh âäúi våïi trủc
()∆ ()
∆
l
J, cọ thãø quay nhåì hai âäüng cå.
Väln
g
Âäüng cå

(∆)
+ Mäüt âäüng cå chênh cọ cäng sút låïn dng âãø khåíi âäüng
vä làng (lm vä làng quay tỉì trảng thại âỉïng n).
+ Mäüt âäüng cå phủ âm bo cho välàng quay våïi váûn täúc
gọc
0
ω
khäng âäøi khi vä làng â âỉåüc khåíi âäüng.
1) Cho vä làng quay. B qua táút c cạc ma sạt.
a) Thỉìa nháûn ràòng âäüng cå chênh cọ cng cäng sút P âäúi våïi mi váûn täúc gọc ca âäüng cå,
tênh thåìi gian t
1
cáưn thiãút âãø khåíi âäüng välàng (âỉa välàng tỉì váûn täúc ban âáưu bàòng 0 âãún giạ
trë
0
ω
).
b) Thỉìa nháûn ràòng âäüng cå chênh thỉûc hiãûn mäüt ngáùu lỉûc cọ momen khäng âäøi v cọ cäng
sút l P khi välàng cọ váûn täúc gọc lm viãûc l
0
ω
. Tênh thåìi gian t
2
cáưn thiãút âãø khåíi âäüng
välàng trong nhỉỵng âiãưu kiãûn âọ. So sạnh t
2
v t
1
.

41
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
2) Khi välàng â âảt âỉåüc váûn täúc lm viãûc
0
ω
, ngỉåìi ta càõt âäüng cå chênh. Âäüng cå phủ chảy
tiãúp âãø trạnh vä làng dỉìng lải do ma sạt khäng thãø trạnh khi åí äø trủc.
Xem ràòng ma sạt âọ tỉång âỉång våïi mäüt ngáùu lỉûc cọ momen (âäúi våïi trủc quay) khäng âäøi l
- C
1
v âäüng cå tạc âäüng mäüt ngáùu lỉûc cọ momen
12
() cosCt C C t
=
+Ω
(C
2
v bàòng hàòng
säú). Xạc âënh chuøn âäüng quay ca vä làng.
Ω

Bi gii : Cáu 1 :

a) Cäng sút P ca âäüng cå bàòng hàòng säú åí mi thåìi âiãøm (cho d váûn täúc gọc
ω ca vä làng
bàòng bao nhiãu âi nỉỵa).
Ạp dủng âënh l âäüng nàng cho vä làng, giỉỵa thåìi âiãøm ban âáưu t = 0 (
ω = 0) v thåìi âiãøm
vä làng âảt váûn täúc gọc ω
0

(t = t
1
) :
int
0
00
tt
t
ext
ii
t
ii
tt
EW W
=
==
∆= +
∑∑
⇒
1
1
2
0
0
1
2
tt
tt
t
t

JPdt
ω
=
=
=
=
=
∫
2
01
1
2
J
ω
= Pt
⇒
2
0
1
1
2
J
t
P
ω
=
⇒
b) Gi C
0
l ngáùu lỉûc do âäüng cå chênh tạc âäüng lãn vä làng : C

0
= hàòng säú.
Ngáùu lỉûc ny cọ cäng sút l P khi välàng cọ váûn täúc gọc lm viãûc l
0
ω
, do âọ :
00
CP
ω
=
Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi trủc quay (∆) :
()⇒
ext
i
i
dL
MF
dt
∆
∆
=
∑


0
JC
ω
=

(1)

Têch phán (1) tỉì t
0
âãún t
2
(tải t = 0, ω = 0 ; tải t = t
2
, ω = ω
0
) :
22
0
00
tt tt
tt
Jdt Cdt
ω
==
==
=
∫∫

⇒
0
2
0
00
tt
t
Jd C dt
ωω

ω
ω
=
=
==
=
∫
∫
⇒
002
JCt
ω
=
⇒
0
2
0
J
t
C
ω
=
⇒
2
0
2
J
t
P
ω

=

⇒

21
2tt=

Nhỉ váûy âãø khåíi âäüng bạnh â nhanh hån, nãn thao tạc theo nhiãưu täúc âäü (lục âáưu âỉa tỉì 0
âãún
ω
01
, sau âọ tỉì ω
01
âãún ω
0
) âãø táûn dủng cäng sút ca âäüng cå kẹo bạnh â.
Cáu 2 :

Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng cho vä làng âäúi våïi trủc quay (
∆) :
1
()JCCt
ω
=− +

⇒
112
cosJ CCC t
ω
=− + + Ω


⇒
2
cos
d
JC
dt
t
ω
=
Ω

⇒ ⇒
()
2
cosJd C t dt
ω
=Ω
∫∫
2
sin
C
Jt
ω
A
=
Ω+
Ω

Láúy gäúc thåìi gian l lục däüng cå phủ bàõt âáưu chảy : tải t = 0 thç

ω = ω
0

⇒
0
JA
ω
= ⇒
2
0
sin
C
J
tJ
ω
ω
=Ω+
Ω
⇒
2
0
sin
C
t
J
ω
ω
=
Ω+
Ω

(Ghi chụ : Ta tháúy âãø âäü biãún thiãn
2
0
sin
C
t
J
ωωω
∆
=− = Ω
Ω
ca váûn täúc gọc cng bẹ khi
momen quạn tênh ca vä làng phi cng låïn. Tỉì âọ tháúy r tạc dủng ca vä làng hay cn gi
l bạnh â l lm cho chuøn âäüng ca mạy âỉåüc âãưu hån).







42
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Ạp dủng 3 - Chuøn âäüng quay quanh trủc ca mäüt hçnh trủ cọ dàòn :
Trãn mäüt hçnh trủ âäưng nháút tám O, khäúi lỉåüng M, bạn kênh R, momen quạn tênh âäúi våïi trủc
(Oz) ca hçnh trủ bàòng :
2
1
2

J
MR=
, cọ gàõn ba khäúi âiãøm
giäúng nhau A, B , C cọ khäúi lỉåüng m (A, B, C nàòm trãn
cng mäüt màût phàóng âi qua trủc hçnh trủ). Hçnh trủ quay
våïi váûn täúc gọc
ω khäng âäøi quanh trủc thàóng âỉïng ca
nọ, trủc ny cäú âënh trong hãû quy chiãúu trại âáút gi sỉí l
Galilẹe. Táút c cạc liãn kãút âỉåüc xem nhỉ khäng cọ ma
sạt.
z
2
R
O
A
B
2h
g
C
1) Cọ cáưn phi dng mäüt âäüng cå âãø kẹo nhàòm giỉỵ cho
váûn täúc gọc khäng âäøi ?
2) a) Tênh lỉûc thu gn v momen thu gn vãư âiãøm O ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục tạc dủng
lãn váût ràõn.
b) Cạc kãút qu trãn s nhỉ thãú no nãúu thạo b khäúi âiãøm tải C ?

Bi gii : Cáu 1 :
Xẹt hãû (S) gäưm hçnh trủ v ba khäúi âiãøm A, B, C.
Gi
.
dc dc z

M
Me=


l momen ca âäüng cå tạc dủng lãn hãû (S). Gi l hãû quy
chiãúu gàõn liãưn våïi hãû (S) sao cho màût phàóng
(,
(, , , )
xs ys z
Oe e e

, )
xs z
Oe e


trng våïi màût phàóng ABC.
+ Âäüng lỉåüng ca hãû (S) :
v( )
ys
PmC mRe
ω
==



+ Momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm O :
2
0
(3 )

zx
LJmRemRhe
s
ω
ω
=+ +




(Ghi chụ : Xem lải bi táûp 6, trang 42, chỉång Chuøn âäüng quay ca váût ràõn. Âäüng lỉåüng
v( )
ys
PmC mRe
ω
==

chênh l do khäúi âiãøm tải C gáy ra).

+ Hãû ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû (S) :
Trng lỉåüng
M
g

; trng lỉåüng ca 3 khäúi âiãøm A, B, C; momen
3mg

dc
M


ca âäüng cå ; tạc
âäüng cå tiãúp xục khi thu gn vãư âiãøm O thüc trủc quay Oz :
,
(, )
O tiepxuc
RM


. Do liãn kãút trủ
quay l khäng cọ ma sạt nãn :
,O tiepxuc
M
Oz⊥

.
Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm cäú âënh
O :
()
ext
O
Oi
i
dL
MF
dt
=
∑



Våïi :
()
2
O
xs ys
dL
mRh e mRh e
dt
ωω ω
=×=



v
,
()
ext
O i dc z O tiepxuc
i
M
F M e M OC mg=+ +×
∑






Suy ra :

(1)
2
,
R
ys dc z O tiepxuc ys
mRh e M e M mg e
ω
=+ +

 
Chiãúu (1) lãn trủc Oz :
Khäng cáưn dng âäüng cå âãø kẹo hãû nhàòm giỉỵ cho hãû cọ
váûn täúc gọc
ω khäng âäøi.
0
dc
M =
⇒






43
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng


A

B
C
O
z
e

xs
e

ys
e

g

dc
M

x
e


Cáu 2 :

a) Ạp dủng âënh l vãư däüng lỉåüng ca hãû (S), ta cọ :
ext
i
i
dP
F
dt
=
∑


.
Våïi
()
2
ys xs
dP
mR e mR e
dt
ωω ω
=×=−


v
3
ext
i

i
F
Mg mg R
=
++
∑





⇒
2
3
xs
mR e Mg mg R
ω
−=+


+
e

Chiãúu lãn phỉång
ee
, ta cọ :
,,
xs ys z
2
0

0( 3)
xs
ys
z
mR R
R
M
mg R
ω
⎧
−=
⎪
=
⎨
⎪
=+ +
⎩
⇒
2
0
(3)
xs
ys
z
RmR
R
R
Mm
ω
⎧

=
⎪
=
⎨
⎪
=− +
⎩
g

Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm cäú âënh O :
2
,
R
ys O tiepxuc ys
mRh e M mg e
ω
=+


⇒
2
,
()
O tiepxuc ys
M
mR h g e
ω
=−



(Ghi chụ : Thnh pháưn
l do khäúi âiãøm tải C gáy ra).
R
ys
mg e


b) Khi thạo b khäúi âiãøm åí gàõn tải C :
0P
=

v
2
0
(3 )
z
LJmRe
ω
=+


.
Suy ra :
0
0
(2)
xs
ys
z

R
R
R
Mmg
⎧
=
⎪
=
⎨
⎪
=− +
⎩
hay :
(2)
R
Mm=− +

g


V :
2
0
(3 )
z
LJmRe
ω
=+



⇒ 0
O
dL
dt
=


⇒ Âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca (S) âäúi våïi O cho ta :
,
0
O tiepxuc
M
=










44
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Ạp dủng 4 : Phn lỉûc trãn trủc ca mäüt con làõc :
Mäüt con làõc khäúi lỉåüng m, khäúi tám G, cọ thãø
quay tỉû do chung quanh mäüt trủc nàòm ngang Oz.
Con làõc âỉåüc th khäng váûn täúc âáưu tỉì vë trê nàòm
ngang

0
(
2
)
π
θ
=
. Hy tênh theo θ, giạ trë ca håüp
lỉûc
R

ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục tạc dủng lãn
trủc quay ca con làõc. Våïi giạ trë no ca
θ, giạ trë
nọi trãn l cỉûc âải ?
x
G
mg

θ
⊕
y
O

z
e

Bi gii :

Ạp dủng âënh l vãư âäüng lỉåüng ca con làõc âäúi våïi

âiãøm O cäú âënh :
()
ext
i
i
dP
ma G F
dt
==
∑




⇒ våïi G l khäúi tám ca con làõc.
()ma G mg R=+



y
O
x

G
mg

θ
⊕
R


,O tiepxuc
M
Oz⊥

xs
e

ys
e






z
e









Chiãúu lãn ba trủc
: ⇒
,,
xs ys z

eee

2
cos
sin
0
xs
ys
z
ma mg R
ma mg R
R
θθ
θθ
⎧
−= +
⎪
=− +
⎨
⎪
=
⎩


2
cos
sin
0
xs
ys

z
Rmamg
Rmamg
R
θ
θ
θ
θ
⎧
=− −
⎪
=+
⎨
⎪
=
⎩



Ạp dủng âënh l âäüng momen âäüng lỉåüng ca con làõc âäúi våïi trủc Oz :
Oz Oz
J
M
θ
=

⇒ sinJmga
θ
θ
=−


(1)
Têch phán hãû thỉïc (1) theo t :
2
1
cos
2
Jmga
θ
θ
=

⇒
2
2cos
mga
J
θ
θ
=

v
sin
mga
J
θ
θ
=−


Suy ra :
.2 cos cos
xs
mga
Rma mg
J
θ
θ
=− −
⇒
2
2
cos 1
xs
ma
Rmg
J
θ
⎛⎞
=
−+
⎜⎟
⎝⎠

V :
sin sin
ys
mga
Rma mg
J

θ
θ
=− +
⇒
2
sin 1
ys
ma
Rmg
J
θ
⎛⎞
=
−+
⎜⎟
⎝⎠

Tọm lải :
2
22
2
3
2cos1
ma ma ma
Rmg
JJ J
θ
⎛⎞⎛
=++−
⎜⎟⎜

⎝⎠⎝
2
⎞
⎟
⎠


45
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
R cỉûc âải khi : θ = 0, khi âọ :
2
max
2
1
ma
Rmg
J
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠


Ạp dung 5 (Trang 135) Khåíi âäüng välàng bàòng mäüt räto :
Mäüt räto (S
1
) v mäüt vä làng (S
2
) cọ thãø quay khäng ma sạt xung quanh mäüt trủc chung nàòm
ngang (zz’). (S

1
) quay âãưu våïi váûn täúc gọc ω
0
. (S
2
) âỉïng n. Gi J
1
v J
2
láưn lỉåüt l momen
quạn tênh ca (S
1
) v (S
2
) âäúi våïi trủc (zz’).
Vo thåìi âiãøm t cho trỉåïc, ta cho âéa D
1
tiãúp xục våïi âéa D
2
(âéa D
1
gàõn cỉïng våïi S
1
, âéa D
2

gàõn cỉïng våïi S
2
). Sau mäüt khong thåìi gian nháút âënh no âọ, do ma sạt giỉỵa âéa D
1

v âéa D
2
,
räto v välàng cng quay våïi váûn täúc gọc ω.
1) Xạc âënh ω.
2) Viãút biãøu thỉïc cán bàòng nàng lỉåüng giỉỵa hai thåìi âiãøm âáưu v thåìi âiãøm cúi.


S
2
D
2
D
1
S
1
z z’




Bi gii : Cáu 1 :

Xẹt hãû (S
1
, S
2
) gäưm räto (S
1
) v välàng (S

2
). Tạc âäüng cå tiãúp xục lãn trủc quay thu gn vãư A
thüc trủc zz’ bao gäưm lỉûc
R

v
,A tiepxuc
M

. Do liãn kãút l l tỉåíng (khäng ma sạt)
:
,
'
A tiepxuc
M
zz⊥


Momen ca cạc ngoải lỉûc tạc âäüng lãn hãû âäúi våïi trủc quay zz’ bàòng 0
⇒ momen âäüng lỉåüng
ca hãû âäúi våïi trủc quay zz’ âỉåüc bo ton. Momen âäüng lỉåüng tải t = 0 :
10
J
ω
, momen âäüng
lỉåüng tải t âang xẹt :
12
()JJ
ω
+

⇒
10 1 2
()JJJ
ω
ω
=
+ ⇒
1
0
12
J
JJ
ω
ω
=
+

Cáu 2 :

p dủng âënh l âäüng nàng cho hãû (S
1
) v (S
2
) trong lhong thåìi gian tỉì t
0
âãún t âang xẹt :
int
0
00
tt

t
ext
ii
t
ii
tt
EW W
=
==
∆= +
∑∑
⇒
22
12 10
11
()
22
masat
JJ J W
ωω
+− =

Våïi :
l täøng cäng ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục tỉì âéa (D
masat
W
1
) lãn âéa (D
2
) v tỉì âéa (D

2
)
lãn âéa (D
1
). Âáy chênh l cäng ca näüi lỉûc ⇒
2
12
0
12
1
0
2
masat
JJ
W
JJ
ω
=
−<
+
.

46
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Bi táûp 1 (Trang 137) : Dao âäüng ca mäüt con làõc nghiãng :
Mäüt váût ràõn AOBC, hçnh chỉỵ T, khäúi lỉåüng m, khäúi tám G cọ thãø quay khäng ma sạt quanh
trủc AOB nghiãng mäüt gọc α so våïi trủc nàòm ngang
(trong hãû quy chiãúu trại âáút gi sỉí l Galilã). Hçnh v
mä t vë trê cán bàòng ca váût ràõn trong màût phàóng
thàóng âỉïng (AO = OB ; OG = b). Momen quạn tênh
ca váût ràõn âäúi våïi trủc AOB bàòng J. Tênh chu k T
ca cạc dao âäüng nh ca váût ràõn (hay con làõc)
quanh vë trê cán bàòng ca nọ.
g

B
C
G
•
•
α
A
O

Bi gii :
Chn hãû trủc ta âäü
nhỉ hçnh v sao
cho :
nàòm trong màût phàóng thàóng âỉïng chỉïa trủc quay;
(, ,
xy

ee

)
z
e

(, )
xy
ee

z
e

nàòm ngang v vng gọc våïi
trủc quay. Thanh OC s chuøn âäüng trong màût phàóng xOz. Gi θ l gọc giỉỵa OC v trủc Ox.
Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca con làõc âäúi våïi trủc quay AOB :
()
⇒
ext
AB
AB i
i
dL
MF
dt
=
∑

e
()

y
JOGmg
θ
=×





Våïi :
OG
cos
0
sin
b
b
θ
θ
⎧
⎪
=
⎨
⎪
−
⎩

;
cos
sin
0

g
gg
α
α
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
⎩

;
0
1
0
y
e
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩


⇒
cos sinJmbg
θ
αθ
=−



(Ghi chụ :
(
() ()
ext
Oi O
ii
)
M
F M mg OG mg==
∑∑

 

×

. Chiãúu lãn trủc AOB :
()
()
A
By
i
M
mg OG mg e=×
∑


)
Khi

θ bẹ ⇒ sin θ ∼ θ ⇒ cos .Jmbg
θ
αθ
=−

⇒
cos
0
mbg
J
α
θθ
+
=

⇒ Con làõc dao âäüng
(nh) theo dảng hçnh sin våïi chu k :
2
cos
J
T
mbg
π
α
=

y
N
hçn theo hỉåïng mi tãn









mg


z
B
C
G
•
•
α
α
x

A

O
C
x

O
y


θ
G
•
z






47
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
@ Bi táûp 4 (Trang 137) : Dao âäüng ca mäüt cại cán :
Hçnh v mä t så âäư ca mäüt chiãúc cán tiãøu ly. Ân cán khäúi lỉåüng m cọ thãø chuøn âäüng
quay khäng ma sạt quanh mäüt trủc nàòm ngang Oz âi qua O (trong hãû quy chiãúu trại âáút gi sỉí
l Galilã). Khi ân cán åí vë trê cán bàòng, khäúi tám G ca nọ nàòm cạch O mäüt khong a trãn
âỉåìng thàóng âỉïng âi qua O. Momen quạn tênh ca ân cán âäúi våïi trủc qua G v song song
våïi Oz bàòng J. Cạc âéa cán cọ khäúi lỉåüng M, âỉåüc treo trãn hai mụt A v B ca ân cán (cạc
âiãøm A, C, B thàóng hng v OA = OB =
b). Cạc âéa cán cọ thãø quay khäng ma
sạt quanh cạc trủc nàòm ngang qua A v
B v song song våïi trủc Oz, nhåì âọ khi
chuøn âäüng, cạc khäúi tám ca hai âéa
cán ln ln nàòm trãn cạc âỉåìng thàóng
âỉïng qua cạc âiãøm A v B.

g
b
B
b
O
G
a A
Tênh chu ky
ì T ca cạc dao âäüng nh
ca hãû quanh vë trê cán bàòng.

Bi gii :

Cạch 1 : Phỉång phạp âënh l momen âäüng lỉåüng :

Xẹt hãû (S) gäưm hai âéa cán v ân cán. Xẹt hãû tải vë trê m ân cán håüp våïi âỉåìng thàóng nàòm
ngang mäüt gọc bàòng α. Ta cáưn viãút phỉång trçnh chuøn âäüng cho hãû.

+ Ta cọ :

2
112
() v() v(
Oz
LJmaeOGMGOGMG
α
=+ + × + ×
 
2
)

 

Chiãúu lãn trủc Oz (nhán våïi ) :
z
e

2
112 2
() v() v()
Oz z
L J ma OG M G OG M G e
α
⎡
⎤
=+ + × + ×
⎣
⎦

 




(Ghi chụ :
+ Ân cán quay quanh trủc Oz cäú âënh, nãn
//OO O
LL L
⊥
=+



våïi
//Oz
LJJe
=
Ω= Ω



v
0
O
L
⊥
=


vç váût ràõn phàóng qua O v vng gọc våïi trủc Oz

⇒
2
,
()
O doncan z
LJmae
α
=+




+ Âéa cán 1 chuøn âäüng tënh tiãún trn nãn :
*
,1 1 1 1, 1
v( )
Odia G diacan
LOGMGL=× +





våïi
do âéa cán 1 l cäú âënh trong hãû quy chiãúu khäúi tám
*
1, 1
0
Gdiacan
L =

⇒
,1 1 1
v( )
Odia
LOGMG=×



).

Cạc âéa chuøn âäüng tënh tiãún trn, nãn :
1
v( ) v( )GA
=
;
2
v( ) v( )GB
=





e
α

O
G
B
G

2
G
1
A

r
e

α
z
e


⊕
1
v( ) v( )GA=

α
⇒

2
12
() v() v()
Oz z
L J ma OG M A OG M B e
α
⎡
⎤
=+ + × + ×
⎣

⎦
 




Màût khạc:
v( ) v( )
B
Abe
α
α
=− =
 
⇒



48
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng


2
11111
v( ) . . .sin( ) sin . . .
z
OG M A e OG M b AG O OG AG O M b bMb Mb
α
αα
⎡⎤

×= +≈ ==
⎣⎦



αα


Tỉång tỉû :
2
2
v( )
z
OG M B e Mb
α
⎡⎤
×=
⎣⎦



. Suy ra :
22
()2
Oz
L
Jma Mb
α
α
=+ +



⇒

22
(2
Oz
dL
Jma Mb
dt
)
α
=+ +


+ Ta cọ :
() sin
ext
Oz i
i
MF mg
α
=−
∑


+ Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi trủc Oz cäú âënh:
()
ext
Oz

Oz i
i
dL
MF
dt
=
∑


⇒
22
(2)sJma Mb mgin
α
α
++ =−


Nãúu
α bẹ ⇒ Hãû thỉûc hiãûn cạc dao âäüng nh xung quanh vë
trê cán bàòng våïi chu k :
22
(2) 0Jma Mb mg
αα
++ + =

⇒
22
22
2
Jma Mb

T
mg
π
π
ωα
++
==

Cạch 2 : Phỉång phạp nàng lỉåüng :

22 2 2
12
111
() v()v()
222
K
E
Jma m G m G
α
=+ + +


+ Âäüng nàng ca hãû (S) :
(Ghi chụ : Ân cán chuøn âäüng quay xung quanh trủc cäú âënh nãn :
2
,
1
()
2
K doncan

EJma
2
α
=+

;
Ạp dủng âënh l Koenig vãư âäüng nàng cho âéa 1 :
,1
2
,1 1
1
Mv ( )
2
*
K
dia
Kdia
EG=+E
2
)
. Âéa 1 chuøn
âäüng tënh tiãún
trong hãû quy quy chiãúu khäúi tám, âéa 1 cäú âënh : ).
⇒
,1
*
0
Kdia
E =
Suy ra :

22
(2
K
EJmaMb
α
=+ +


+ Do thãú nàng ca táûp håüp hai âéa khäng thay âäøi trong quạ trçnh chuøn âäüng
thãú nàng
ca hãû bàòng thãú nàng ca ân cán :
⇒
cos
P
E mag hangso
α
=
−+
.
+ Do b qua táút c cạc ma sạt
⇒
cå nàng ton pháưn ca hãû âỉåüng bo ton :
KP
E E E hangso=+=
⇒
222
(2)cosJ ma Mb mag hangso
αα
++ − =


Láúy âảo hm hai vãú, ta cọ :

22
(2)sinJma Mb mg
αα
++ + =

0
Jma Mb mg
αα
++ + =

⇒
Nãúu
α bẹ ⇒ Hãû thỉûc hiãûn cạc dao âäüng nh xung quanh vë
trê cán bàòng våïi chu k :
22
(2) 0
22
22
2
Jma Mb
T
mg
π
π
ωα
++
==

(Ghi chụ : Ạp dủng âënh l âäüng nàng cho hãû (S) :
int ext
Ki
ii
EW W∆= +
i
∑
∑
våïi v
láưn lỉåüt l cäng ca näüi lỉûc v ca ngoải lỉûc. Cäng
int
i
i
W
∑
ext
i
i
W
∑
int
i
i
W
∑
ca näüi lỉûc trong hãû (S)
chênh l täøng cäng ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục giỉỵa cạc âé a cán v ân cán. Do b qua táút
c cạc ma sạt nãn
. Ngoải lỉûc chè gäưm cọ lỉûc trng trỉåìng nãn cäng
ca ngoải lỉûc chênh bàòng âäü gim thãú nàng :

int
0
i tiepxuc
i
WW=
∑
=
P
E
ext
i
i
W
∑
ext
i
i
W=−∆
∑
. Suy ra :

⇒

⇒

0
KP
EE∆−∆=
()
0

KP
EE∆+=
KP
E
E hangso
+
=
).

49
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng





Tài liệu tham khảo :
[1] Cơ học vật rắn, Năm thứ hai, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette Supérieure, Nxb. Giáo
dục Hà Nội 2002
[2] Mécanique des solides, Deuxième année, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette
Supérieure, 1999
[3] Lơng Duyên Bình (chủ biên), Vật lý đại cơng, Tập I : Cơ- Nhiệt, Nxb. Giáo dục Hà Nội
1998


50