Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET_6 pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.78 KB, 8 trang )
Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản
NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Bài 2.Tìm m để bpt > 2+1được thỏa mãn với mọi thuộc
(−1;1)
Bài 3.Tìm để bpt sau đây có nghiệm duy nhất
−2−1 ≥ 0
(
−1
)
−+3 ≤ 0
2.Bpt bậc nhất, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Xét bpt có dạng ++ > 0 hoặc + + ≥0 hoặc +
+ < 0 hoặc + + ≤0.Trong đó,
+
≠0.Đây là bpt
bậc nhất hai ẩn.
Hệ các bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Để giải bpt + + > 0 ta vẽ tren đồ thị đường thẳng + +
= 0. Đường thẳng này chia đồ thị thành hai miền
(
)
,().Lấy điểm
bất kì (
,
) thuộc một trong hai miền nghiệm rồi xét dấu của
+
+ . Nếu
+
+ > 0 thì miền chứa (
,
) là miền
nghiệm.
Khi giải hệ bpt bậc nhất thì ta giải từng bpt và lấy giao các miền nghiệm
Ví dụ.Giải bất phương trình sau
3+ 4+2 > 0
−2 > 0
Miền không bị gạch là miền nghiệm
Lưu ý: Một dạng bài tập có liên quan đến việc giải hệ bpt bậc nhất hai
ẩn là “Bài toán tối ưu”
Cho hệ Bpt
+
≤ 0
⋮
+
≥ 0
(1)
Tìm cặp (;) thỏa mãn hệ bpt trên đồng thời làm cho biểu thức
= (;) đạt già trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Giải bài toán gồm 3 bước
Bước 1. Xác định miền da giác
…
thỏa mãn hệ (1)
Bước 2. Tính các giá trị
,
…,
của hàm tại các đỉnh
,
…,
Bước 3. Ta có
+)
= max{
,
…,
}
+)
= min{
,
…,
}
III.Bất phương trình bậc hai
1.Bất phương trình bậc hai một ẩn
Các bất phương trình có dạng
+ +> 0 hoặc
+ + ≥
0 hoặc
+ +> 0 hoặc
+ + ≥0 với ≠0 được gọi
là Bất phương trình bậc hai một ẩn.
Mọi bất phương trình bậc hai một ẩn đều được đưa về dạng
+ +
> 0 hoặc
+ +≥0 với ≠0
Phương pháp giải được suy ra từ việc khảo sát dấu của tam thức bậc hai
Giải và biện luận bpt
+ + > 0 như sau
Tính biệt thức △
Nếu △>0,> 0 tập nghiệm là −∞;
√
△
⋃
√
△
;+∞
Nếu △>0,< 0 tập nghiệm là
√
△
;
√
△
Nếu △=0,< 0 bất phương trình vô nghiệm
Nếu △=0,> 0 tập nghiệm là ℝ\{−
}
Nếu △<0,< 0 tập nghiệm là ℝ
Nếu △<0,> 0 bất phương trình vô nghiệm.
Bài tập áp dụng
Bài 4.(gt-182)
Tìm m để 2 bpt sau có tập nghiệm như nhau
−2
(
+ 3
)
+4+ 8> 0 (1)
−
(
+ 6
)
+ 4+ 8 > 0 (2)
Giải
Giải pt
−2
(
+ 3
)
+4+ 8= 0(1
) ta có △
=
(
+ 3
)
−
(
4+ 8
)
=
(
+ 1
)
Suy ra pt có 2 nghiệm là 2+ 4 và 2
Giải pt
−
(
+ 6
)
+ 4+ 8 = 0(1
) ta có △
=
(
+ 6
)
−
4
(
4+ 8
)
=
(
−2
)
Suy ra pt có 2 nghiệm là + 2 và 4
Nhận thấy hệ số của
trong 2 bpt (1),(2) đều dương,Biện luận nghiệm
của hai bpt bằng bảng sau
m
−
∞
(
−
∞
;
2
+
4
)
∪
(
2
;
+
∞
)
(
−
∞
;
+
2
)
∪
(
4
;
+
∞
)
−
1
ℝ
\
{
2
}
(
−
∞
;
1
)
∪
(
4
;
+
∞
)
(
−
∞
;
2
)
∪
(
2
+
4
;
+
∞
)
(
−
∞
;
+
2
)
∪
(
4
;
+
∞
)
2
(
−
∞
;
2
)
∪
(
2
+
4
;
+
∞
)
ℝ
\
{
4
}
+
∞
(
−
∞
;
2
)
∪
(
2
+
4
;
+
∞
)
(
−
∞
;
4
)
∪
(
+
2
;
+
∞
)
Suy ra để
=
thì
2 = + 2
2+ 4 = 4
−1 < < 2
⇒= 0
Vậy với =0 thì hai bất phương trình có tập nghiệm như nhau
Bài 5.(gt-182)
Cho bất phương trình
(
1 +
)(
3 −
)
≥
−2+ 2+ 8
a) Giải bất phương trình với = −10
b) Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là
[
−1;3
]
Giải
a) với =−10 bất phương trình đã cho có dạng
(
1 +
)(
3 −
)
≥
−2−12
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
−2−12 ≤ 0
(
1 +
)
(3 −) > 0
−2−12 ≥ 0
(
+1
)
(3 −) ≥
(
−2−12
)
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 −
√
13 ≤ ≤ 1+
√
13
−1 < < 3
≥ 1 +
√
13
≤ 1 −
(
13
)
−
+ 2+3 ≥
(
−2−12
)
Giảiphươngtrình:
−
+ 2+ 3 ≥
(
−2−12
)
Đặt −
+ 2+3 = (> 0)
Ta có ≥
(
−−9
)
⟺
+ 17+81 <+0⟺+
+
≤0
Dễ thấy pt này vô nghiệm ∀> 0 ⟹ Pt trên vô nghiệm
Vậy nghiệm của Bpt là ∈(−1;3)
b)có 2 trường hợp xảy ra
Trườnghợp1.
−2+ 2+ 8 ≤ 0(1)
(
1 +
)
(3 −) > 0(2)
Dễ thấy (2) có nghiệm ∈(−1;3) suy ra (1) phải có nghiệm ∈
[
−1;3
]
Suy ra hệ sau phải có nghiệm
1 −
√
−2−7 = 1
1 +
√
−2−7 = 3
−2−7 > 0
hệ phương trình
vô nghiệm
Vậy không có giá trị nào của m
Trường hợp 2.
−2+ 2+ 8 ≥ 0
(3)
(
1 +
)
(3−) ≥
(
−2+ 2+ 8
)
(4)
Pt (3) có ∆= −2−7
Bài 1.(gt-182)
Giả sử
,
là các nghiệm của phương trình
+ 2+2006 = 0
Tìm tất cả các giá trị của a sao cho
+
≥2006
Giải
x
+
x
≥2006 ⇔
[(
+
)
−2
]
−2
≥2006
Áp dụng định lý viet ta có
+
= −2
= 2006
thế vào (1) ta được
(
4
−2.2006
)
−2.2006
2006
≥2006
⇔
(
4
−2.2006
)
−2008.2006
≥0
⇔16
−16.2006−2004.2006
≥0 với =
Suy ra
∈
2006 + 1003
√
502
2
;+∞
Suy ra
∈
−∞;−
2006 + 1003
√
502
2
∪
2006+1003
√
502
2
;+∞
Bài 2.(gt-182)
Tìm thuộc khoảng
(
−∞;−4
]
để nghiệm nhỏ của phương trình
+
(
−3
)
−2−2 = 0 nhận giá trị nhỏ nhất.
Giải
Ta có ∆=
(
−3
)
+ 4
(
2+ 2
)
=
(
+ 1
)
+ 16 ≥0∀
Suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt
=
3 −−
(
+ 1
)
+ 16
2
,
=
3 −+
(
+1
)
+ 16
2
Dễ thấy
là nghiệm nhỏ của phương trình.Bài toán đưa về tìm giá trị
nhỏ nhất của hàm số
=
3 −−
(
+ 1
)
+ 16
2
