Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET_4 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (232.21 KB, 8 trang )
Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản
NGUYÊN LÝ DIRICHLET
max= 2
khi =
.
=
√
−
√
−
với a dương và n nguyên dương
Điều kiện 0 ≤≤
Ta có =
√
−
√
−
=
−
(
−
)
=
1
2
+
1
2
(
−
)
> 0
⟹ hàm số đã cho luôn đồng biến.
⟹
(
0
)
≤
(
)
≤
(
)
,∀∈
[
0,
]
Vậy min=
(
0
)
= −
√
max=
(
)
=
√
=
|
|
.
|
|
với p và q lớn hơn 1
Đặt =
|
cos
|
,∈
[
0,1
]
⟹
|
sin
|
= 1−
⟹=
(
)
=
.
(
1 −
)
⟹
(
)
=
2
.
.
(
1 −
)
−
.
2
.
(
1 −
)
=
.
(
1 −
)
.
2
(
1 −
)
−
2
=
.
(
1 −
)
.
2
−.
+
2
(
)
= 0⟺
= 0
1 −= 0
2
−.
+
2
= 0
⟺
= 0
= 1
=
+
(
0
)
=
(
1
)
= 0
+
=
+
+
> 0
Vậy min=
(
0
)
=
(
1
)
= 0
max=
+
=
+
+
Bài 2/91:Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3
+ 17
≥18
với
mọi a và b không âm;
>
∑
!
với mọi > 0 và hãy mở rộng kết
quả này.
LG:
3
+ 17
≥18
với mọi a và b không âm.
Nếu = 0 ⟹3
≥0 luôn đúng do ≥0.
Nếu ≠0 chia cả hai vế của bất phương trình cho
ta được:
3
+ 17 ≥
18
⟺3
−18
+ 17 ≥0
(
1
)
Đặt=
,≥0
⟹
(
1
)
⟺3
−18+ 17≥0
Xét
(
)
= 3
−18+ 17
(
)
= 9
−18
(
)
= 0⟺
= −
√
2 <0(ạ)
=
√
2
Bảng biến thiên
√
2
= 6
√
2 −18
√
2 + 17 =−12
√
2 + 17> 0
⟹
(
)
≥0∀∈
[
0,+∞
)
⟹3
+ 17
≥18
(
đ
)
a.
>
∑
!
với mọi > 0
Ta có:
>
!
⟺
−
!
> 0
Đặt
(
)
=
−
!
⟹′
(
)
=
−
(
−1
)
!
′′
(
)
=
−
(
−2
)
!
………………
()
(
)
=
> 0∀
⟹
()
(
)
đồng biến trên
[
0,+∞
)
⟹
()
(
)
>
()
(
0
)
>
0∀
⟹
()
(
)
đồng biến trên
[
0,+∞
)
⟹
()
(
)
>
()
(
0
)
>
0∀
……………………
Tương tự như vậy ta có
(
)
> 0∀∈
[
0,+∞
)
⟹() đồng
biến trên
[
0,+∞
)
⟹
(
)
=
−
!
>
(
0
)
> 0∀∈
[
0,+∞
)
Bài 3/91: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4
+
+ 4
LG:
Đặt=
4
+
+ 4
Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho
ta được:
=
4
+
+ 4
Đặ=
,> 0⇒=
(
)
=
4
+
√
+ 4
Khi đó A đạt giá trị lớn nhất khi
(
)
đạt giá trị lớn nhất.
Ta có
(
)
=
4
+
√
+ 4
−4.3
+
√
+ 4
.1 +
√
+ 4
+
√
+ 4
=
4
√
+ 4 −12
+
√
+ 4
.
√
+ 4
(
)
= 0⟺4
+ 4 −12= 0⟺
+ 4 = 3
⟺
+ 4 = 9
⟺8
= 4⟺
⎣
⎢
⎢
⎡
= −
1
√
2
< 0
(
ạ
)
=
1
√
2
Bảng biến thiên
Vậymax=
1
8
Bài 1/94:
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
=
|
|
−
|
|
với > 0;
=
√
−
±
√
−
với > ;
= 3
|
|
−4
|
|
với > 0;
=
với n nguyên dương.
LG:
=
|
|
−
|
|
với > 0
Ta có −1 ≤−
|
|
≤
|
|
−
|
|
≤
|
|
≤1
nên −1 ≤≤1
= −1 ⟺=
2
+
= 1⟺=
Vậy min=−1 và max= 1.
=
√
−
±
√
−
với >
=
√
−
+
√
−
Điều kiện ≤≤
Ta có =
√
−
+
√
−
=
(
−
)
+
(
−
)
=
1
2
(
−
)
−
1
2
(
−
)
= 0⟺
1
2
(
−
)
=
1
2
(
−
)
⟺=
+
2
(
)
=
(
)
= √−
+
2
=2
+
2
> √−
Vậy min=
√
−
khi = hoặc = .
max= 2
khi =
.
=
√
−
− √−
Ta có
−
√
−
≤−
√
−
≤
√
−
−
√
−
≤
√
−
≤
√
−
⟹−√−
≤≤ √−
= −√−
⟺=
= √−
⟺=
Vậy min=−
√
−
max=
√
−
= 3
|
|
−4
|
|
với > 0
Ta có −4 ≤−4
|
|
≤3
|
|
−4
|
|
≤3
|
|
≤3
⟹−4 ≤≤3
= −4 ⟺
|
|
= 1
|
|
= 0
⟺x=
2
+
= 3⟺
|
|
= 1
|
|
= 0
⟺=
Vậy min=−4
max= 3
=
với n nguyên dương
Ta có
0 ≤sin
≤1
0 ≤cos
≤1
⟹
0 ≤sin
≤sin
≤1
0 ≤cos
≤cos
≤1
⇒sin
+ cos
≤sin
+ cos
⇒ đạt giá trị lớn nhất ⟺sin
+ cos
= sin
+ cos
⟺
cos= 0
sin= ±1
cos= ±1
sin= 0
⟺=
2
