Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản - NGUYÊN LÝ DIRICHLET_3 ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (249.79 KB, 8 trang )
Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản
NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng:
=
1 +
√
5
2
+
1 −
√
5
2
Với ∀≥0
Mà theo giả thiết ta lại có:
= 0;
= 1
⇒
+= 0
1 +
√
5
2
+
1 −
√
5
2
= 1
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
√
5
5
= −
√
5
5
Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là:
=
√
√
−
√
với∀≥0
Ví dụ 2:Tìm số hạng tổng quát của dãy số
{
}
xác định như sau:
=
= 0,
= 6
−9
(∀≥0)
Giải:
Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là:
−6+ 9 =0
Nghiệm của phương trình đặc trưng là:
=
= 3
Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy đã cho là:
= 3
+
3
(∀≥0)
Theo giả thiết :
=
= 1 ⇒
= 1
= −2
Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là:
= 3
−23
(∀≥1)
Ví dụ 3:Tìm số hạng tổng quát của dãy
{
}
xác định như
sau:
= 0;
= 1
=
−
Giải: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là
−+ 1 =0 có
nghiệm là:
=
√
;
=
√
Ta có:
|
|
=
|
|
= 1,
=
=
Do đó số hạng tổng quát của dãy đã cho là:
= 1
+
sin
Với ∀≥1
Theo giả thiết ta có:
= 0,
= 1
nên = 0;=
√
Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là:
=
√
sin
∀≥0.
BÀI TẬP:
Bài 2: Tính số hạng tổng quát của dãy
{
}
xác định bởi u
0
= 0;u
1
= 1
và 2
= 2
−
với n0
Giải:
Phương trình đặc trưng: 2
−2+ 1 = 0 có nghiệm :
=
1 +
2
;
=
1 −
2
Ta có:
|
|
=
|
|
=
1
2
;
=
=
4
Do đó số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng là:
=
1
√
2
4
+
4
∀≥0
Theo giả thiết ta có:
= 0;
= 1 nên p = 0
Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là:
= 2sin
4
1
√
2
∀≥0
Bài 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy:
(
)
biết rằng
= >
0,
= > 0 và
=
∀≥0
Giải: Ta có:
=
(1) Dễ thấy:
≠0∀≥1. Lấy ln
hai vế của (1):
ln
=
ln
.
⇔3
= 2ln
+ ln
Đặt ln
=
. Vậy ta có: 3
= 2
+
(2) với
= ln;
= Phương
trình đặc trưng của (2) là3
−2−1 = 0có nghiệm là:
= 1;
=
−
từ đó suy ra số hạng tổng quát có dạng:
= .1 + −
1
3
;∀≥0
Mà ta có:
= ln
= ln
⇒
+ =
−
1
3
= ln
⇒
=
=
3
4
ln
Vậy số hạng tổng quát của dãy là:
=
=
.1
+
3
4
ln
).( −
1
3
;∀≥0
Bài 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy
(
)
biết rằng
=
> 0,
= > 0 và
=
(3) ∀≥0
Giải: Dễ thấy:
≠0;∀≥1. Do đó, đặt
=
. Khi đó ta có:
1
=
2.1
1
1
+
1
⇒
1
=
2
+
⇒
+
= 2
Với
=
1
;
=
1
∀≥0
Phương trình đặc trưng của (4) là2
−−1 = 0 có nghiệm là: t=1;
= −
từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng
= .1
+
−
;∀≥0
Ta lại có:
=
1
;
=
1
⇒
+ =
1
−
1
2
=
1
⇒
=
+2
3
=
2
3
−
Vậy số hạng tổng quát của (3) là:
=
=
.1
+
.−
;∀≥0
CHƯƠNG 3
Bài 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1/91:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây:
=
|
|
+
|
|
với là một hằng số dương;
= 3−5+ + 1;
=
√
+
√
−
với a dương và n nguyên dương;
=
√
−
√
−
với a dương và n nguyên dương;
=
|
|
.
|
|
với p và q lớn hơn 1.
LG:
=
|
cos
|
+
|
sin
|
với là một hằng số dương.
Đặt =
|
cos
|
,∈
[
0,1
]
⟹
|
sin
|
= 1 −
⟹=
+
(
1 −
)
=
2
.
−
2
.
(
1 −
)
= 0 ⟺
2
.
−
2
.
(
1 −
)
= 0 ⟺=
1
2
(
0
)
=
(
1
)
= 1
1
2
=
1
2
=
1
2
Nếu = 2 ⟹= 1, ∀∈ℝ
Nếu< 2⟹
1
2
> 1⟹max=
1
2
=
1
2
min= 1
Nếu> 2⟹
1
2
<1⟹min=
1
2
=
1
2
max= 1
= cos3−cos5+ cos+ 1
= 4cos
−3cos−5
(
2cos
−1
)
+ cos+ 1
= 4cos
−10cos
−2cos+6
Đặt = cos, ∈
[
−1,1
]
⟹=
(
)
= 4
−10
−2+ 6
(
)
= 12
−20−2
(
)
= 0 ⟺6
−10−1 = 0
∆
= 25+ 6 = 31
=
5 +
√
31
6
> 1
(
ạ
)
=
5 −
√
31
6
Bảng biến thiên
Vậy min= −10
max=
5 −
√
31
6
=
√
+
√
−
với a dương và n nguyên dương
Điều kiện 0 ≤≤
Ta có
=
√
+
√
−
=
+
(
−
)
=
1
2
−
1
2
(
−
)
= 0 ⟺
1
2
=
1
2
(
−
)
⟺=
2
(
0
)
=
(
)
=
√
2
= 2
2
>
√
Vậy min=
√
khi = 0 hoặc = .
