chuyên đề toán đại số 12: đạo hàm ppsx

I. ĐẠO HÀM

1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1
x
|
x
|

tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x)  0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
x
2

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.

2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y =
10x
24
1

.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) =y = f(x) =
x
2
2x3 đi qua M
1
(5;3).
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x
3
–3x+1 kẻ từ
M(3;-1).
6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x2+
1
x
4

đi
qua A(0;3).
7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=

1
x
1
x


đi qua
H(1;1).
8) Tìm đạo hàm các hàm số
a) y = ( x
3
– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 )
b) y =
1
x
x
x2x
2
3




c) y =
qpx
c

bx
ax
2



9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5

b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x
d) y = e
sinx
e) y = e
4x + 5
f) y =
1x2
2
x
a


(0< a  1)
10) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y= ln ( x +
2
x1 
) b) y = log
3
( x
2
– sin x )
c) y = e
x
– ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3)
e) y = tg
2
x . sinx f) y =
2
x
tg
g) y = cotg ( 5x
2
+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =






0x nếu x
0x nếu x
2
3

tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x
d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 +
x
5
( x  0), ta có xy’ + y = 3
b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
c) Với y = ( x +1 ) e
x
ta có : y’ – y = e
x

d) Với y= e
sin x
ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0

e) Với y = ln
x
1
1

ta có xy’ + 1 = e
y

14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:
a) Cho hàm số y =
x
cos
.
x
sin
1
xcosxsin
33


. Chứng minh rằng: y’' = y
b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg
2
x
= 0
c) Cho y = e
4x
+2e
x
. Chứng minh rằng : y’’’13y’12y = 0

d) Cho y =
4
x
3
x


. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3

. Chứng minh rằng: y’ =
cotg
4
x
15) Cho f(x) =
x
sin
1
xcos
2
2

. Chứng minh rằng :
3)

4
('f3)
4
(f 




16) Cho f(x) =
2
2
x
e.x

. Chứng minh rằng :
)
2
1
(f3)
2
1
(f2
'


17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x
2
+2x3)e

x

c)

f(x) = sinx.e
x

d) f(x) =
xxcosxsin3 

18) Giải bất phương trình f

(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
x
2
+  .
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos
4
1

Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), xR

20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x
0
=
4

. b) f(x) = x. cosx tại x
0
=
3


21) Tìm vi phân của mỗi hàm số:
a) f(x) =
1x
2

b) f(x) = x.lnx. c) f(x) =
x
x
sin
.
22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782.
23) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m
2
1 (1) luôn tiếp xúc

với một đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó.
24) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=
m
x
mmx)1m3(
2


(1), m  0 luôn tiếp
xúc với hai đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình hai đường
thẳng đó.
25) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3
3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với
một đường thẳng cố đònh tại một điểm cố đònh.