Tài liệu Chuyên đề 11: Ứng dụng của đạo hàm - Tính đơn điệu của hàm số pptx

Chuyên đề 11:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
Đònh nghóa
y f )(x
: Cho hàm số
=
[]
xác đònh trên khoảng (a;b)
[ ]
)
2
()
1
(
21
:);(
2
,
1

f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔
đn
b)(a; trên (tăng) biếnđồng

•
•
[]

[ ]
)
2
()
1
(
21
:);(
2
,
1
f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔
đn
b)(a; trên (giảm) biếnnghòch


69


x
y
x
y
1
x
2
x
)(
1
xf

)(
2
xf
a
bO
)(f
(f
2
x
)
1
x
a
b
1
x
2
x
)(:)( xfyC
=







1. Điều kiện cần của tính đơn điệu:
Đònh lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
•

[]

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≥⇒ b)(a;x
'
f b)(a; khoảngtrên (tăng) biếnđồng f 0)(x
•
[]

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≤⇒ b)(a;x 0)(
'
f xb)(a; khoảngtrên (giảm) biếnnghòch f
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Đònh lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
[ ]
b)(a; trên (tăng) biếnđồngb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀>
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
•
[ ]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòchb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

•
[ ]
b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x)
'
f f ⇒∈∀=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

x a
b
)(' xf
)(xf
+
x a
b
)(' xf
)(xf
−








Đònh lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

[]
b)(a; trên (tăng) biếnđồng
b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)
'
f
f ⇒

∈∀≥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

[]
b)(a; trên (giảm) biếnnghòch
b)(a; của điểm hạnhữu
sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng
b)(a;x 0(x)
'
f
f ⇒
∈∀≤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Minh họa đònh lý:







Đònh lý 4

70
: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)
•
[]
f

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (tăng) biếnđồng
•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên (giảm) biếnnghòch f

•
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)
'
fb)(a; trên đổi không f

x a
b

)(' xf
)(xf
+
0
x
0
+
x a
b
)('
xf
)(
xf
−
0
x
0
−

3. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số:
y f
)
(x=
ta có thể thực hiện như sau:
Muốn xét chiều biến thiên của hàm số
Bước 1: Tìm miền xác đònh của hàm số : D=?
Bước 2: Tính và xét dấu
)(
'
xf

)
(
'
xf
Bước 3: Dựa vào đònh lý điều kiện đủ để kết luận.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1)
xxy −= 4
2)
1
2
3
+
+
=
x
x
y
3)
1
2
2
−
=
x
x
y

4) 5)
xx
ey
+−
=
2
x
x
e
y = 6)
xxy ln
2
2
1
−=

7)
x
x
y
ln
=
8)
xxy −+−= 42
9)
2
2 xxy −+=
Bài 2: Cho hàm số
23)12(
2

2
3
3
1
)( +−+++−== axaxxxfy
(1). Tìm a để hàm số nghòch biến trên R
Bài 3: Tìm m để hàm số
4)3(
2
)1(
3
3
1
−++−+−= xmxmxy
đồng biến trên khoảng (0;3)
Bài 4: Cho hàm số
3
2
)32(
2
)1(
3
3
1
)( −−+−+== xmxmxxfy
(1)
a) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R
b) Với giá trò nào của m, hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞)
Bài 5: Cho hàm số
1

2)(
−
++==
x
m
xxfy
(1)
Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó
Bài 6: Cho hàm số
1
13)2(
2
2
)(
−
+−++−
==
x
mxmx
xfy
(1)
Tìm a để hàm số (1) nghòch biến trên mỗi khoảng xác đònh của nó
Bài 7: Cho hàm số :
mx
mxmx
y
−
++−+−
=
1)1(2

2
. Đònh m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;
+∞
)
Bài 8: Chứng minh rằng: với mọi
xtgxx
3sin2 >+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 9: Chứng minh rằng:
3
3
x
xtgx +>
với mọi
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 10: Chứng minh rằng:
xtgx
π
4
≤
với mọi
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
4
;0
π
x
Bài 11: Cho hàm số
32
1
(2 1) 2
3
yxax axa

=−+−−+

Tìm a để hàm số nghòch biến trong khoảng (-2;0)
Bài 12: Cho hàm số (1) 1
23
++−= xmxxy
Tìm các giá trò của m để hàm số (1) nghòch biến trong khoảng (1;2)
Bài 13: Cho hàm số
2
1
1
x mx
y
x
+−
=
−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-
∞
;1) và (1;+
∞
).
Bài 14: Cho hàm số
2
2
2
x xm
y
x

−+
=
−

Xác đònh m để hàm số nghòch biến trên [-1;0].
Bài 15: Cho hàm số
22
56
3
xxm
y
x
++ +
=
+

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+
∞
).
Bài 16: Cho hàm số
2
(2 3) 1
(1)
xmxm
y
xm
+−+−
=
−−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+
∞
)


71
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
********
Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào
chiều biến thiên của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình , bất phương trình, hệ phương trình .
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
----------
I. Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong khoảng (a,b).
a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b) ⇔
∀
x
1
, x
2

∈
(a,b) : x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x

2
)
b) f giảm ( hay nghòch biến ) trên khoảng (a,b) ⇔
∀
x
1
, x
2

∈
(a,b) : x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
II. Các tính chất :
1) Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) = f(v) u = v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

72

2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) u < v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v) u > v (với u, v ⇔
∈
(a,b) )

4) Tính chất 4:

Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm
trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b)

*Dựa vào tính chất trên ta suy ra :

Nếu có x
0

∈
(a,b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên (a,b)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

1)
11x41x4
2
=−+−

2)
xxx
2)32()32( =++−

3)
xlog)x1(log
7
3
2
=+

Bài 2 : Giải các phương trình sau:
1)
2xx1x
)1x(22
2
−=−
−−
2) 2x3x)
5x4x2
3xx
(log
2
2
2

3
++=
++
++

Bài 3 : Giải các hệ :
1) với x, y
⎩
⎨
⎧
π=+
−=−
2y8x5
yxgycotgxcot
∈
(0,
π
)
2)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
+−=−
2yx
)2xy).(xy(22
22
yx

Bài 4: Giải các bất phương trình sau.
1) 5
x
+ 12
x
> 13
x
2) x (x
8
+ x
2
+16 ) > 6 ( 4 - x
2
)
Bài 5 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1) e
x
> 1+x với x > 0
2) ln (1 + x ) < x với x > 0
3) sinx < x với x > 0
4) 1 -
2
1
x
2
< cosx với x 0
≠

------Hết-------

73