tóm tắt luận án tiến sĩ về đối đồng điều địa phương với giá cực đại và tính catenary của vành noether địa phương

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
oOo





Trần Nguyên An



VÒ ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng víi gi¸ cùc ®¹i
Vμ tÝnh catenary cña vμnh NOETHER ®Þa ph−¬ng



Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀNỘI-2011

Công trình được hoàn thành tại:
Viện Toán học, Viện khoa học và Công nghệ Việt Nam




Tập thể hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường
PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn



Phản biện 1: ………………………………………………………
Phản biện 2: ………………………………………………………
Phản biện 3: ………………………………………………………




Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp viện họp tại: ……
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
vào hồi …. ngày …. tháng …. năm ….




Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia

- Thư viện Viện Toán học
(R, m)
M R dim M = d
∗
∗
¨o
A
∗
Ann
R
(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R
A.
∗
H
d
m
(M) ∗ R/ Ann
R
H
d
m
(M)
R
q ⊂ p R q p
∗
i
∗

∗
∗
03 02
(R, m)
M R dim M = d
A R
∗
∗
R/ Ann
R
M R/p
p ∈ Supp(M).
H
i
m
(M) ∗
i M
R/ Ann
R
M
H
i
m
(M) ∗ i  d
M R
H
i
m
(M)
∗ i?

(R, m)
p ∈ Spec(R) R/p
R/p p ∈ Supp M dim R/p ≥ d − 1.
∗
H
d
m
(M)
∗
∗
H
i
m
(M)
H
i
m
(M)
H
i
m
(M) ∗ i
∗
H
i
m
(M)
Att
R
p

(H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
)) = {qR
p
| q ∈ Att
R
(H
i
m
(M)), q ⊆ p},
p ∈ Spec(R). R
H
i
m
(M)
H
i
m
(M)
d
d
∗
H
i
m
(M)

M
∗
∗
∗
∗
A
R A ∗
Ann
R
(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R
A (∗).
A ∗
A R/ Ann
R
A
∗
A
Ann
R
(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R
A. (∗)
∗ m R
∗
∗

H
d
m
(M) ∗
R/ Ann
R
H
d
m
(M)
d
∗
∗
H
i
m
(M) ∗ i
i
∗
H
i
m
(M) i = 0, 1, . . . , d − 1.
R/ Ann
R
M
R/p p ∈ Supp
R
M
i ≥ 0 i

M Psupp
i
R
M,
Psupp
i
R
(M) = {p ∈ Spec R : H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
) = 0}.
i M psd
i
R
(M),
psd
i
R
(M) = sup{dim R/p : p ∈ Psupp
i
R
(M)}.
Psupp
i
R
M M Spec R
Psupp

i
R
M psd
i
R
(M)
i M R
m
H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
)
∼
=
D
R
p
((D
R
(H
i
m
(M)))
p
).
Psupp
i

R
(M) = Var

Ann
R
(H
i
m
(M)).
H
i
m
(M) ∗
i ≥ 0
H
i
m
(M) ∗
Psupp
i
R
M = Var

Ann
R
(H
i
m
(M))


psd
i
R
M = psd
i

R

M = N-dim
R
(H
i
m
(M)) = dim R/ Ann
R
H
i
m
(M),
{p ∈ Psupp
i
R
M : dim(R/p) = psd
i
R
M}
= {

p ∩ R :


p ∈ Psupp
i

R

M, dim(

R/

p) = psd
i

R

M}.
∗
R/ Ann
R
M
H
i
m
(M) ∗ i  d
∗
H
d
m
(M) R/ Ann
R
H

d
m
(M)
d M
q m R.
Psupp
d
R
M
R/ Ann
R
(H
d
m
(M))
H
d
m
(M) ∗
Var

Ann(H
d
m
(M))

= Psupp
d
R
M.

∗
H
i
m
(M) i < d
H
i
m
(M) ∗ i < d
R/p p ∈ Ass M R/ Ann
R
M
d
d
H
i
m
(M) ∗ i < d
H
d
m
(M) ∗
(R, m)
p ∈ Spec(R) R/p
R/p p ∈ Supp M dim R/p ≥ d − 1
M H
i
m
(M)
i < d. R/p p ∈ Supp M

dim(R/p) ≥ d − 1.
∗
H
d
m
(M)
R/ Ann
R
H
d
m
(M). H
d
m
(M) ∗
R/ Ann
R
H
d
m
(M) H
d
m
(M)
∼
=
H
d
m


R
(

M)

R
Att

R
H
d
m
(M) = {

p ∈ Ass

R

M | dim(

R/

p) = d}.
A A ∗
R/ Ann
R
A dim(R/ Ann
R
A) = dim(


R/ Ann

R
A)
2
A dim(R/p) =
dim(R/ Ann
R
A) p ∈ min Att
R
A
A

R A
dim(

R/

p) = dim(

R/ Ann

R
A)

p ∈ min Att

R
A. dim(


R/

p) =
dim(

R/ Ann

R
A)

p ∈ Att

R
A A
A A
H
d
m
(M) I
R H
d
I
(M) R
Att

R
H
d
I
(M) ⊆ {


p ∈ Ass

R

M | dim(

R/

p) = d}.
H
d
I
(M)
M
(x
1
, . . . , x
r
) M M/(x
1
, . . . , x
r
)M
A 0 :
A
(x
1
, . . . , x
r

)R
(x
1
, . . . , x
r
) A
M M
A dim(R/ Ann
R
A) = N-dim A
I R A
dim(R/ Ann
R
(0 :
A
I)) = N-dim(0 :
A
I).
A R/ Ann
R
A A
A A
R/ Ann
R
A
dim(R/ Ann
R
A) = N-dim
R
A.

A
k 0 R =

k[x,y,u,v]
(f)

m
,
k[x, y, u, v] x, y, u, v f = xy − ux
2
− vy
2
m = (x, y, u, v). p = (y, u, v)R. R
3 p ht(p) = 2 0 = H
3
p
(R)
dim R/ Ann
R
H
3
p
(R) = dim

R/ Ann

R
H
3
p

(R) = 3
H
3
p
(R) ∗
H
i
m
(M)
H
i
m
(M) ∗
R/ Ann
R
(H
i
m
(M))
dim

R/ Ann
R
(H
i
m
(M))

= dim



R/ Ann

R
H
i
m
(M))

.
H
d
m
(M)
dim(

R/ Ann

R
H
d
m
(M)) = dim(R/ Ann
R
H
d
m
(M)) = d.
dim


R/ Ann
R
(H
i
m
(M))

= dim


R/ Ann

R
H
i
m
(M))

H
i
m
(M)
∗
∗
∗
H
i
m
(M) i
∗

H
d
m
(M)
H
i
m
(M)
M
∗
e(q, M) =

p∈Supp M,dim R/p=d

R
p
(M
p
)e(q, R/p).
H
i
m
(M),
R
i M
R
Psupp
i
R
(M)

e(q, H
i
m
(M)) H
i
m
(M)
m q R M i
e(q, H
i
m
(M)) =

p∈Psupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
R
(M)

R
p

H
i−dim(R/p)
pR
p
(M

p
)

e(q, R/p).
H
i
m
(M) ∗
i ≥ 0 N-dim
R
(H
i
m
(M)) = s.
p ∈ Psupp
i
R
M
T (p) = {

p ∈ Psupp
i

R
(

M) : dim(

R/


p) = dim(R/p),

p ∩ R = p}.
H
i
m
(M) ∗
Psupp
i
R
M
p ∈ Psupp
i
R
M dim(R/p) = s T (p) = ∅

R
p

H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
)



R


p

H
i−dim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
)

= 
R
p

H
i−dim(R/p)
pR
p

(M
p
)



R

p
(

R

p
/p

R

p
)

p ∈ T (p).
q m R H
i
m
(M) = 0
e(q, H
i
m
(M)) H

i
m
(M) q
e(q, H
i
m
(M)) =

p∈Psupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
M
p

Ass
R
p
(M
p
) = {qR
p
| q ∈ Ass
R
M, q ⊆ p}
p ∈ Spec(R).
Att
R
p
(H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
)) = {qR
p
| q ∈ Att
R
(H
i
m
(M)), q ⊆ p},
p ∈ Spec(R), i
Att

R
p
(H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
)) ⊆ {qR
p
| q ∈ Att
R
(H
i
m
(M)), q ⊆ p},
p ∈ Spec(R), i
R
H
i
m
(M)
i ≥ 0
Att
R
p
(H
i−dim R/p
pR
p

(M
p
)) = {qR
p
| q ∈ Att
R
(H
i
m
(M)), q ⊆ p},
p ∈ Spec(R).
H
i
m
(M)
∗
i ≥ 0 R/ Ann
R
H
i
m
(M)
Psupp
i−dim R/p
R
p
(M
p
) ⊇ {qR
p

| q ∈ Psupp
i
R
(M), q ⊆ p},
p ∈ Spec(R) R/ Ann
R
M
∗
M
M

M
i ≥ 0 R/ Ann
R
H
i
m
(M)
H
i
m
(M) ∗
H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
) ∗ p ∈ Supp(M)
Psupp

i
R
(M) = {

p ∩ R |

p ∈ Psupp
i

R
(

M)}
H
d
m
(M)
R/ Ann
R
H
d
m
(M)
H
d
m
(M) ∗
H
d−dim R/p
pR

p
(M
p
)
p ∈ Supp(M);
H
d−dim R/p
pR
p
(M
p
) ∗ p ∈ Supp(M).
d
i ≥ 0 R/ Ann
R
M
min Att
R
p
(H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
)) = {qR
p
| q ∈ min Att
R
(H

i
m
(M)), q ⊆
p}, p ∈ Spec(R)
H
i
m
(M) ∗
H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
) ∗ p ∈ Supp(M)
X Spec(R) min X
X X X
◦
X X \ {m}.
R
min{p ∈
◦
Supp(M) : depth M
p
+ dim R/p = i}
= (min
◦
Att
R
(H

i
m
(M))) \
i−1

j=0
Att
R
(H
j
m
(M)).
H
i
m
(M) ∗ Psupp
i
R
(M) =
Var(Ann
R
H
i
m
(M)). Psupp
i
R
(M) = Att
R
(H

i
m
(M))
M
i ≥ 0
{p ∈ Supp(M) | depth M
p
+ dim R/p = i}
= Psupp
i
R
(M) \

i−1
j=0
Psupp
j
R
(M)
H
i
m
(M) ∗
{p ∈ Att
R
(H
i
m
(M)) | depth M
p

+ dim R/p = i}
= Att
R
(H
i
m
(M)) \
i−1

j=0
Psupp
j
R
(M).
H
j
m
(M) ∗ j  i
min{p ∈ Supp(M)| depth M
p
+ dim R/p = i }
= (min Att
R
(H
i
m
(M))) \
i−1

j=0

Var(Ann
R
H
j
m
(M)).
H
i
m
(M) ∗ i b
R f
b
m
(M) = λ
b
m
(M)
f
b
m
(M) := inf{i ∈ N : b 

(Ann
R
H
i
m
(M))}
λ
b

m
(M) = inf{depth M
p
+ dim R/p : p ∈ Spec(R) \ Var(b)}.
∗
H
i
m
(M) Psupp
i
(M)
∗ H
i
m
(M)
R/ Ann
R
M R/p p ∈ Ass(M).
∗ H
i
m
(M)
H
i
m
(M)
∗ H
i
m
(M)

(R, m)
H
i
m
(R) ∗ i
(R, m) Supp
i
R
(M) R
M i