tóm tắt luận án tiến sĩ tính chẻ ra của môđun đối đồng điều địa phương và ứng dụng

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
oOo





Phạm Hùng Quý



TÍNH CHẺ RA CỦA MÔĐUN ĐI ĐNG ĐIU ĐỊA PHƯƠNG
VÀ ỨNG DỤNG



Chuyên ngành: Đại s và lý thuyt s
Mã s: 62. 46. 01. 04



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIN SĨ TOÁN HỌC

HÀNỘI-2013

Công trình được hoàn thành tại:
Viện Toán học, Viện khoa học và Công nghệ Việt Nam




Tập thể hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường




Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:




Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp tại: Viện Toán
học – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi …… giờ ngày …… tháng
…… năm 201….





Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia

- Thư viện Viện Toán học
R
a R
H
i
a
(•) a
i Γ
a
(•) Γ
a
(M) = 0 :
M
a
∞
=

n≥1
(0 :
M
a
n
)
M R
x ∈ a
M
0 → M
x
→ M → M/xM → 0.
H

i
a
(•)
··· → H
i
a
(M) → H
i
a
(M) → H
i
a
(M/xM) → H
i+1
a
(M) → ··· .
0 → H
i
a
(M) → H
i
a
(M/xM) → H
i+1
a
(M) → 0,
H
i
a
(M/xM)

∼
=
H
i
a
(M) ⊕ H
i+1
a
(M).
(R, m) M
d > 0
n x M m
n
H
i
m
(M/xM)
∼
=
H
i
m
(M) ⊕ H
i+1
m
(M) i < d − 1
a
H
i
a

(M) i
t x ∈ a a M
x /∈ p p ∈ AssM, a  p
a R M
R t H
i
a
(M)
i < t
n a x a
n
H
i
a
(M/xM)
∼
=
H
i
a
(M) ⊕ H
i+1
a
(M) i < t − 1
0 → A → B → C → 0
Ext
1
R
(C, A)
Ext

1
R
(C, A)
(R, m)
x ∈ b(M)
3
b(M) = ∩
d
x
;i=1
Ann(0 : x
i
)
M/(x
1
, ,x
i−1
)M
,
x
= x
1
, , x
d
M
R M
M dim M M
U
M
(0)

U
i
(M), 0 ≤ i ≤ d − 1, x
= x
1
, , x
d
M x
i
∈ b(M/(x
i+1
, , x
d
)M)
3
i ≤ d U
i
(M)
∼
=
U
M/(x
i+2
, ,x
d
)M
(0) 0 ≤ i ≤ d −1
M a
Ext
1

R
(•, •)
0 Ext
1
R
(•, •) R
Ext
1
R
(•, •)
Ext(C, A)
Ext(H
i+1
a
(M), H
i
a
(M))
M R
a R t U
M
M = M/U x
(♯) 0 :
M
x = U
0 →
M
x
→ M → M/xM → 0
0 → H

i
a
(M) → H
i
a
(M/xM) → H
i+1
a
(M) → 0
i < t − 1 x (♯)
E
i
x
Ext(H
i+1
a
(
M), H
i
a
(M))
H
t
a
(
M)
∼
=
H
t

a
(M)
0 → H
t−1
a
(M) → H
t−1
a
(M/xM) → 0 :
H
t
a
(
M)
x → 0.
b x ∈ b F
t−1
x
Ext(0 :
H
t
a
(
M)
b, 0 :
H
t−1
a
(M)
b)

0 → 0 :
H
t−1
a
(M)
b → 0 :
H
t−1
a
(M/xM)
b → 0 :
H
t
a
(
M)
b → 0.
(♯)
t U
M
M = M/U x y (♯)
0 :
M
(x + y) = U
x+y (♯) E
i
x+y
= E
i
x

+E
i
y
i < t−1
H
t
a
(
M)
∼
=
H
t
a
(M) F
t−1
x
, F
t−1
y
F
t−1
x+y
F
t−1
x+y
= F
t−1
x
+ F

t−1
y
t U
M
M = M/U x y R x
(♯) 0 :
M
xy = U
xy (♯) E
i
xy
= yE
i
x
i < t − 1
H
t
a
(
M)
∼
=
H
t
a
(M) F
t−1
x
F
t−1

xy
F
t−1
xy
= yF
t−1
x
H
t
a
(
M)
∼
=
H
t
a
(M) yH
i
a
(M) = 0 i < t
E
i
xy
= 0 i < t − 1 F
t−1
xy
F
t−1
xy

= 0
xy
(R, m) a b
p
1
, , p
n
ab  p
j
j ≤ n
x ab x /∈ p
j
j ≤ n
a
1
, , a
r
∈ a b
1
, , b
r
∈ b
x = a
1
b
1
+ ··· + a
r
b
r

a
i
b
i
/∈ p
j
a
1
b
1
+ ··· + a
i
b
i
/∈ p
j
i ≤ r, j ≤ n
M R
a R t n
0
a
n
0
H
i
a
(M) = 0 i < t a
x ∈ a
2n
0

M
H
i
a
(M/xM)
∼
=
H
i
a
(M) ⊕ H
i+1
a
(M),
i < t −1
0 :
H
t−1
a
(M/xM)
a
n
0
∼
=
H
t−1
a
(M) ⊕ 0 :
H

t
a
(M)
a
n
0
.
N M
N q M
q M qM
M N
R
(q, M) = dim
R/m
Soc(M/qM)
Soc(N)
∼
=
0 :
N
m
∼
=
Hom
R
(R/m, N) R N
M
N
R
(q, M) q

M d > 0
(R, m) n
0
m
n
0
H
i
m
(M) = 0 i < d q
M m
2n
0
k ≤ n
0
ℓ
R

(qM :
M
m
k
)/qM

q
ℓ
R

(qM :
M

m
k
)/qM

=
d

i=0

d
i

ℓ
R
(0 :
H
i
m
(M)
m
k
).
N
R
(q, M)
q
N
R
(q, M) =
d


i=0

d
i

dim
R/m
Soc(H
i
m
(M)).
(R, m)
M R d > 0
F : M
0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t
= M
M dim M
0
<
dim M
1
< ··· < dim M
t
F t
dim M

1
> 0
D : D
0
⊆ D
1
⊆ ··· ⊆ D
t
= M M
M
D
i−1
D
i
dim D
i−1
< dim D
i
i = t, t −1, , 1
D
0
= H
0
m
(M)
F : M
0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M

t
= M
d
i
= dim M
i
i ≤ t
x
= x
1
, , x
d
M M
F M
i
∩(x
d
i
+1
, , x
d
)M = 0 i = 0, 1, , t −1
M
M
F : M
0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t

= M
d
i
= dim M
i
i ≤ t x
= x
1
, , x
d
M F x
1
, , x
d
i
M
i
i ≤ t
I
F,M
(x
) = ℓ(M/(x)M) −
t

i=0
e(x
1
, , x
d
i

; M
i
),
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
) e(x
1
, , x
d
0
; M
0
) = ℓ(M
0
)
dim M
0
= 0
F : M
0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t
= M

M F
dim M
0
= 0 M
1
/M
0
, , M
t
/M
t−1
M
F M I
F
(M) =
sup
x
I
F,M
(x) x = x
1
, , x
d
M F
M
F I
F
(M) < ∞
M d > 0
F : M

0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t
= M
d
i
= dim M
i
i = 0, , t
M D : H
0
m
(M) = D
0
⊆ D
1
⊆ ··· ⊆ D
t
= M
I
F
(M) = sup
x
I
F,M
(x) x = x
1
, , x

d
M F
H
j
m
(M/M
i
) i ≤ t − 1
j ≤ d
i+1
− 1 n
0
m
n
0
H
j
m
(M/M
i
) = 0 i ≤ t −1 j ≤ d
i+1
− 1
c
i
= AnnM
i
i = 0, , t
M
d > 0 F : M

0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t
= M
d
i
= dim M
i
i = 0, , t n
0
m
n
0
H
j
m
(M/M
i
) = 0 i ≤ t − 1 j ≤ d
i+1
− 1
c
i
= AnnM
i
i = 0, , t
x
= x

1
, , x
d
M F
x
j
∈ m
3n
0
c
i
0 ≤ i ≤ t − 1 d
i
< j ≤ d
i+1
I
F,M
(x
) = I
F
(M)
I
F
(M) = ℓ(H
0
m
(M/M
0
))
+

t−1

i=0
d
i+1
−1

j=1

d
i+1
− 1
j

−

d
i
− 1
j

ℓ(H
j
m
(M/M
i
)).
I
F,M
(x

) = I
F
(M) x = x
1
, , x
d
M
F m
n
n ≫ 0
x
n
1
1
, , x
n
d
d
n
i
≫ 0
M
d > 0 F : M
0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t
= M
d

i
= dim M
i
i = 0, , t n
0
m
n
0
H
j
m
(M/M
i
) = 0 i ≤ t − 1 j ≤ d
i+1
− 1
c
i
= AnnM
i
i = 0, , t
x
= x
1
, , x
d
M F
x
j
∈ m

3n
0
+1
c
i
0 ≤ i ≤ t −1 d
i
< j ≤ d
i+1
(x
) M
x
N
R
((x), M) = dim
R/m
Soc(H
0
m
(M))
+
t−1

i=0
d
i+1

j=1

d

i+1
j

−

d
i
j

dim
R/m
Soc(H
j
m
(M/M
i
)).
n
(x
) ⊆ m
n
M F
x
(R, m)
M R d > 0
H
i
I
(M) I = m
(R, m) M

R d > 0
i < d a
i
(M) = AnnH
i
m
(M) a(M) = a
0
(M) a
d−1
(M)
b(M) =

d
x
;i=1
Ann(0 : x
i
)
M/(x
1
, ,x
i−1
)M
x
= x
1
, , x
d
M

M a(M)
a(M) ⊆ b(M) ⊆ a
0
(M) ∩ ···∩ a
d−1
(M).
R
dim R/a
i
(M) ≤ i i < d
dim R/a
i
(M) = i p ∈ AssM dim R/p = i
M d
M U
M
(0)
I R x, y ∈ b(M)
M
M = M/U
M
(0) t = d − dim R/I i < t − 1
0 → H
i
I
(M) → H
i
I
(M/xyM) → H
i+1

I
(
M) → 0.
H
t
I
(M)
∼
=
H
t
I
(
M)
0 → H
t−1
I
(M) → H
t−1
I
(M/xyM) → 0 :
H
t
I
(M)
xy → 0.
x ∈ b(M)
2
i < t − 1
E

i
x
Ext(H
i+1
I
(
M), H
i
I
(M))
0 → H
i
I
(M) → H
i
I
(M/xM) → H
i+1
I
(
M) → 0.
i = t − 1 H
t
I
(M)
∼
=
H
t
I

(
M)
Hom(R/b(M), •)
0 → H
t−1
I
(M) → H
t−1
I
(M/xM) → 0 :
H
t
I
(M)
x → 0
0 → H
t−1
I
(M) → 0 :
H
t−1
I
(M/xM)
b(M) → 0 :
H
t
I
(M)
b(M).
F

t−1
x
Ext(0 :
H
t
I
(M)
b(M), H
t−1
I
(M))
0 → H
t−1
I
(M) → 0 :
H
t−1
I
(M/xM)
b(M) → 0 :
H
t
I
(M)
b(M) → 0.
I R x
M
M = M/U
M
(0) t = d −dim R/I

x ∈ b(M)
2
E
i
x
i < t −1
x ∈ b( M)
3
E
i
x
= 0 i < t − 1
H
t
I
(M)
∼
=
H
t
I
(
M) F
t−1
x
= 0
M
x
i
, , x

d
2 ≤ i ≤ d U
M/(x
i
, ,x
d
)M
(0) = 0
x
= x
1
, , x
d
M
x
i
∈ b(M/(x
i+1
, , x
d
)M)
3
i ≤ d 1 ≤ i ≤ d
U
M/(x
i+1
, ,x
d
)M
(0) x

0 ≤ i ≤ d − 1 U
i
(M)
x
= x
1
, , x
d
M
x
i
∈ b(M/(x
i+1
, , x
d
)M)
3
i ≤ d U
i
(M)
∼
=
U
M/(x
i+2
, ,x
d
)M
(0)
0 ≤ i ≤ d − 1 U

d−1
(M)
∼
=
U
M
(0)
M
U
i
(M) I m
deg(I, M)
deg(I, M)
M
deg(I, M) =

p∈AsshM
ℓ
R
p
(M
p
)deg(I, R/p). (⋆)
p M M
p
M
p
= H
0
pR

p
(M
p
) (⋆)
deg(I, M) =

p∈AsshM
ℓ
R
p
(H
0
pR
p
(M
p
))deg( I, R/p). (⋆⋆)
D : D
0
⊆ D
1
⊆ ··· ⊆ D
t
= M
M d
i
= dim D
i
i ≤ t deg(I, M)
p p ∈ AssM/D

t−1
M I adeg(I, M)
adeg(I, M) =

t
i=0
deg(I, D
i
) p ∈ AssD
i
dim R/p = d
i
p /∈ AssM/D
i
0 → D
i
→ M → M/D
i
→ 0
H
0
pR
p
((D
i
)
p
)
∼
=

H
0
pR
p
(M
p
)
adeg(I, M) =

p∈AssM
ℓ
R
p
(H
0
pR
p
(M
p
))deg( I, R/p). (⋆ ⋆ ⋆)
deg(M), adeg(M) M
M
M
M(R) R
M(R) I
Deg(I, •) : M(R) → R
Deg(I, M) = Deg(I,
M) + ℓ(H
0
m

(M)) M = M/H
0
m
(M)
Deg(I, M) ≥ Deg(I, M/xM) x ∈ I \ mI
M
M Deg(I, M) = deg(I, M)
(R, m)
(S, n) n M R d
hdeg(I, M) M I
hdeg(I, M) = deg(M) +
n

i=n−d+1

d −1
i −n + d − 1

hdeg(I, Ext
i
S
(M, S)).
U
M
(0) M

deg(I, U
M
(0)) =


deg(I, U
M
(0)) dim U
M
(0) = dim M −1
0 dim U
M
(0) < dim M −1.
M R d
M I udeg(I, M)
udeg(I, M) = deg(I, M) +
d−1

i=0

deg(I, U
i
(M)),
U
i
(M) U
M/(x
i+2
, ,x
d
)M
(0) x
1
, , x
d

M x
i
∈ b(M/(x
i+1
, , x
d
)M)
3
i ≤ d
0 ≤ i ≤ d−1 udeg
i
(I, M) =

deg(I, U
i
(M))
udeg(I, •)
M(R)
M R d
deg(I, M) ≤ adeg(I, M) ≤ u d eg(I, M).
deg(I, M) = udeg(I, M) M
adeg(I, M) = udeg(I, M) M
N M
udeg(I, M) = udeg(I, M/N) + ℓ(N).
M R d x
M U
i
(M) 1 ≤ i ≤ d − 1
I
udeg(I, M/xM) ≤ udeg(I, M).

udeg(m, M) < udeg(m, M)
deg(M), adeg(M), hdeg(M) udeg(M) deg (m, M), adeg(m, M)
hdeg(m, M) udeg(m, M)
R = k[[X
1
, , X
7
]]/(X
1
, X
2
, X
3
) ∩(X
4
, X
5
, X
6
) k
X
i
, 1 ≤ i ≤ 7,
deg(R) = adeg ( R) = 2 < udeg(R) = 4 < hdeg(R) = 5.
a R M
R
AssH
i
a
(M) M

i ≥ 0
M R t
AssH
t
a
(M)
H
i
a
(M) i < t
supp(H
i
a
(M)) i < t
R M
N M supp(M/N)
a R M R
t H
i
a
(M) i < t
Hom
R
(R/a, H
t
a
(M))
Ass
R
(H

t
a
(M))
a R M R
t H
i
a
(M)
supp(H
i
a
(M)) i < t Ass
R
(H
t
a
(M))
a R M R
M a
M a
f
a
(M) = inf{i ∈ N
0
|H
i
a
(M) },
∞
a R M R

t = f
a
(M) a
1
, , a
t
a
√
a =

(a
1
, , a
t
)

n
1
, ,n
t
∈N
Ass M/(a
n
1
1
, , a
n
t
t
)M

H
i
a
(M)
R i t
M a
−
−
−