Bài giảng Toán cao cấp C1 Đoàn Hồng Chương

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C1
Đoàn Hồng Chương
1
1
Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật
Toán cao cấp C1
Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Giới hạn dãy số
1.1 Dãy số
Định nghĩa 1.1. Dãy số là một tập hợp các số x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . được viết theo
một thứ tự nhất định. Kí hiệu (x
n
).
• x
1
, x
2
, . . . : số hạng. • x
n
: số hạng tổng quát.
Cách cho một dãy số
• Cho công t hức số hạng tổng quát.
• Cho công t hức truy hồi.
• Mô tả.

Ví dụ 1.1. Cho các dãy số
• (x
n
) : x
n
= 2
n
+ n
2
, n = 1, 2, . . .
Trang 1
Toán cao cấp C1
• (x
n
) : x
1
= 1, x
n+1
= 2x
n
+ 3, n = 1, 2, . . .
• (x
n
) là dãy các số nguyên tố.
Định nghĩa 1.2. Cho dãy số (x
n
).
• (x
n
) được gọi là dãy số tăng nếu

x
n
< x
n+1
, ∀n ∈ N
• (x
n
) được gọi là dãy số giảm nếu
x
n
> x
n+1
, ∀n ∈ N
Ví dụ 1.2. Xét tính tăng giảm của các dãy số
1. x
n
=
n
n + 1
, n = 1, 2, . . .
2. x
n
=
n + 1
n
, n = 1, 2, . . .
Giải.
1. Ta có
x
n+1

− x
n
=
n + 1
n + 2
−
n
n + 1
=
(n + 1)
2
− n(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
=
1
(n + 1)(n + 2)
> 0, ∀n ∈ N,
Trang 2
Toán cao cấp C1
nên x
n+1
> x
n
, ∀n ∈ N. Vậy (x
n
) là dãy số tăng. 
2. Ta có
x
n+1
− x

n
=
n + 2
n + 1
−
n + 1
n
= −
(n + 1)
2
− n(n + 2)
n(n + 1)
= −
1
n(n + 1)
< 0, ∀n ∈ N,
nên x
n+1
< x
n
, ∀n ∈ N. Vậy (x
n
) là dãy số giảm. 
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (x
n
).
• (x
n
) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho
x

n
≤ M, ∀n ∈ N.
• (x
n
) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho
x
n
≥ m, ∀n ∈ N.
• (x
n
) được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại
các số thực m và M sao cho
m ≤ x
n
≤ M, ∀n ∈ N.
Ví dụ 1.3. Xét tính bị chặn của các dãy số
Trang 3
Toán cao cấp C1
1. x
n
=
2n
n + 1
, n = 1, 2, . . .
2. x
n
=
n
n
2

+ 1
, n = 1, 2, . . .
1.2 Giới hạn dãy số
Định nghĩa 1.4. Số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (x
n
) nếu:
∀ > 0, ∃n
0
∈ N sao cho |x
n
− a| < , ∀n > n
0
. (1.1)
Kí hiệu: lim
n→∞
x
n
= a.
• Nếu dãy số (x
n
) có giới hạn thì ta nói (x
n
) hội tụ.
• Nếu dãy số (x
n
) không có giới hạn thì ta nói (x
n
) phân kì.
Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn của các dãy số
1. x

n
=
n + 1
n
, n = 1, 2, . . . 2. x
n
=
1
2
n
, n = 1, 2, . . .
Giải.
1. Ta dự đoán lim
n→+∞
n + 1
n
= 1, do đó, từ định nghĩa suy ra với mỗi  > 0,
Trang 4
Toán cao cấp C1
ta cần tìm n
0
∈ N để bất đẳng thức




n + 1
n
− 1





< , đúng với mọi n > n
0
.
Từ




n + 1
n
− 1




=
1
n
<  suy ra n >
1

. Chọn n
0
=

1



+ 1 thì n
0
>
1

. Do đó




n + 1
n
− 1




< , ∀n > n
0
. Vậy
∀ > 0, ∃n
0
=

1


+ 1 sao cho





n + 1
n
− 1




< , ∀n > n
0
.
Điều này chứng tỏ lim
n→∞
n + 1
n
= 1. 
2. Ta dự đoán lim
n→+∞
1
2
n
= 0, do đó, từ định nghĩa suy ra với mỗi  > 0, ta
cần tìm n
0
∈ N để bất đẳng thức





1
2
n
− 0




< , đúng với mọi n > n
0
. Từ




1
2
n
− 0




=
1
2
n
<  suy ra n > log
2

1

. Chọn n
0
=

log
2
1


+ 1 thì n
0
> log
2
1

. Do
đó




1
2
n
− 0





< , ∀n > n
0
. Vậy
∀ > 0, ∃n
0
=

log
2
1


+ 1 sao cho




1
2
n
− 0




< , ∀n > n
0
.
Trang 5

Toán cao cấp C1
Điều này chứng tỏ lim
n→+∞
1
2
n
= 0. 
Dãy số dần đến vô cùng
Ví dụ 1.5. 1. lim

3
2

n
= +∞.
2. lim
n −2n
2
n + 1
= −∞.
1.3 Các tính chất
Định lý 1.1. Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất.
Định lý 1.2. Nếu dãy số (x
n
) có giới hạn thì nó bị chặn.
Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho 3 dãy số (x
n
), (y
n
), (z

n
). Nếu
y
n
≤ x
n
≤ z
n
, ∀n ∈ N và lim y
n
= lim z
n
= a,
thì lim x
n
= a.
Ví dụ 1.6. Tìm giới hạn lim
n→∞

1
√
n
2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2

+ . . . +
1
√
n
2
+ n

.
Giải.
Trang 6
Toán cao cấp C1
Từ
1
√
n
2
+ 1
≥
1
√
n
2
+ n
,
1
√
n
2
+ 2
≥

1
√
n
2
+ n
,

1
√
n
2
+ n
≥
1
√
n
2
+ n
,
suy ra
n
√
n
2
+ n
≤
1
√
n
2

+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n
2
+ n
.
Bằng cách tương tự, ta có
1
√
n
2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n

2
+ n
≤
n
√
n
2
+ 1
.
Thêm nữa lim
n→∞
n
√
n
2
+ 1
= lim
n→∞
n
√
n
2
+ n
= 1. Do đó
lim
n→∞

1
√
n

2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n
2
+ n

= 1.
Trang 7
Toán cao cấp C1
Định lý 1.4 (Định lý hội tụ bị chặn). Dãy tăng và bị chặn trên (hoặc dãy giảm
và bị chặn dưới) thì hội tụ.
Ví dụ 1.7. Tìm giới hạn của dãy số (x
n
) cho bởi công thức x
1
=
√
2, x
n+1
=
√

2 + x
n
, n = 1, 2, . .
Giải.
Trước tiên ta chứng minh dãy số (x
n
) bị chặn. Thật vậy, bằng qui nạp, ta có
x
1
=
√
2 < 2, x
2
=
√
2 + x
1
<
√
2 + 2 = 2.
Giả sử x
n
< 2. Khi đó x
n+1
=
√
2 + x
n
<
√

2 + 2 = 2. Vậy
x
n
< 2, ∀n ∈ N.
Tiếp theo ta chứng minh (x
n
) là dãy tăng. Ta có
x
2
n
− x
2
n+1
= x
2
n
− x
n
− 2 = (x
n
− 2).(x
n
+ 1)
Chú ý rằng x
n
> 0, ∀n ∈ N và x
n
< 2, ∀n ∈ N, do đó x
2
n

− x
2
n+1
< 0, ∀n ∈ N.
Kết hợp với x
n
> 0, ∀n ∈ N, suy ra x
n
< x
n+1
, ∀n ∈ N.
Trang 8
Toán cao cấp C1
Vậy (x
n
) là dãy tăng và bị chặn trên, do đó hội tụ. Đặt lim
n→∞
x
n
= a. Từ giả
t hiết x
n+1
=
√
2 + x
n
, cho n → ∞, ta có phương trình
a =
√
2 + a.

Phương trình có 2 nghiệm a = 2 và a = −1. Nghiệm a = −1 loại vì x
n
>
0, ∀n ∈ N. Vậy
lim
n→∞
x
n
= 2.
Bảng một số giới hạn cơ bản
1. lim
1
n
= 0.
2. lim q
n
= 0, với |q| < 1.
3. lim

1 +
1
n

n
= e.
4. lim
n
√
n = 1.
Trang 9

Toán cao cấp C1
BÀI TẬP
Bài tập 1.1. Tìm giới hạn của các dãy số sau
1. lim
3n
2
+ 4n + 2
n
2
− 2n + 3
.
2. lim(
√
n
2
+ n − n).
3. lim(
3
√
n −n
3
+ n).
4. lim
3 + 4
n
1 + 3.4
n
.
5. lim
2

n
+ 5.6
n
3
n
+ 6
n
.
6. lim

n + 2
n + 1

n
.
7. lim

2
n
+ 1
2
n
− 1

n
.
8. lim

n
2

+ 1
n
2
+ 2

3n
2
.
Bài tập 1.2. Tìm giới hạn của các dãy số sau
1. lim
2
n
n!
.
2. lim
2
n
(n + 2)!
.
3. x
1
=
1
2
, x
n+1
= x
n
(2 −x
n

), n ∈ N.
4. x
1
= 1, x
n+1
=
x
n
2 + x
n
, n ∈ N.
Trang 10
Toán cao cấp C1
§2. Giới hạn hàm số
2.1 Giới hạn hàm số
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f : (a, b) → R và x
0
∈ (a, b). Số thực L được gọi là
giới hạn của hàm số f khi x dần tới x
0
nếu và chỉ nếu
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b)\{x
0
}, |x −x
0
| < δ ⇒ |f(x) −L| < . (2.1)
Kí hiệu: lim
x→x
0
f(x) = L.

Định nghĩa 2.2. Cho hàm số f : (a, b) → R và x
0
∈ (a, b).
• Số thực L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số f khi x dần tới x
0
nếu
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 < x − x
0
< δ ⇒ |f(x) −L| < . (2.2)
Kí hiệu: lim
x→x
+
0
f(x) = L.
• Số thực L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số f khi x dần tới x
0
nếu
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 < x
0
− x < δ ⇒ |f(x) −L| < . (2.3)
Kí hiệu: lim
x→x
−
0
f(x) = L.
Trang 11
Toán cao cấp C1
Ví dụ 2.1. Tìm các giới hạn
1. lim
x→π

1 + cos x
sin x
(dạng vô định
0
0
).
2. lim
x→0
±
√
x
3
+ x
2
x
(dạng vô định
0
0
).
Giải.
1. Ta có lim
x→π
1 + cos x
sin x
= lim
x→π
2 cos
2
x
2

2 sin
x
2
cos
x
2
= lim
x→π
cos
x
2
sin
x
2
= 0.
2. Ta có
√
x
3
+ x
2
x
=
|x|
√
1 + x
x
=

√

1 + x, khi x > 0
−
√
1 + x, khi x < 0
.
Do đó
lim
x→0
+
√
x
3
+ x
2
x
= 1 và lim
x→0
−
√
x
3
+ x
2
x
− 1.
Giới hạn dần đến vô cùng và giới hạn t ại vô cùng
Ví dụ 2.2. Tìm các giới hạn sau
1. lim
x→±∞
2

x
− 3
2
x
+ 3
.
2. lim
x→1
±
2
1
x−1
.
Trang 12
Toán cao cấp C1
Giải.
1. Ta có
lim
x→+∞
2
x
− 3
2
x
+ 3
= lim
x→+∞
1 −
3
2

x
1 +
3
2
x
= 1 (do lim
x→+∞
3
2
x
= 0).
lim
x→−∞
2
x
− 3
2
x
+ 3
= −1 (do lim
x→−∞
2
x
= 0).
2. Ta có
lim
x→1
+
2
1

x−1
= +∞ (do lim
x→1
+
1
x −1
= +∞).
lim
x→1
−
2
1
x−1
= 0 (do lim
x→1
−
1
x −1
= −∞).
2.2 Các tính chất
Định lý 2.1. Giới hạn của hàm số (nếu có) là duy nhất.
Định lý 2.2. Cho f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R và x
0
∈ (a, b). Nếu
lim
x→x
0
f(x) = M, lim
y→M
g(y) = N

Trang 13
Toán cao cấp C1
thì
lim
x→x
0
g ◦ f(x) = N.
Định lý 2.3. Cho f : (a, b) → R và x
0
∈ (a, b).
lim
x→x
0
f(x) = L ⇔

với mọi dãy (x
n
), nếu x
n
→ x
0
thì dãy f(x
n
) hội tụ đến L

.
Định lý 2.4 (Định lý kẹp). Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên (a, b)
và x
0
∈ (a, b).

Nếu
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ (a, b) và lim
x→x
0
g(x) = lim
x→x
0
h(x) = L,
thì
lim
x→x
0
f(x) = L.
Ví dụ 2.3. Tính giới hạn lim
x→0
sin x
x
.
Giải.
Xét đường tròn lượng giác tâm O, bán kính OA = 1 và x là góc lượng giác
của cung AC.
Trang 14
Toán cao cấp C1
Nếu 0 < x <
π
2
, thì S
∆AOC
=
1

2
sin x, S
hình quạt AOC
=
1
2
x, S
∆AOB
=
1
2
tan x.
Do đó
sin x < x < tan x.
Suy ra
cos x <
sin x
x
< 1, ∀x ∈

0,
π
2

.
Vì sin(−x) = −sin x và cos(−x) = cos x nên, khi x ∈

−
π
2

, 0

, theo bất đẳng
t hức trên ta có
cos x <
sin x
x
< 1.
Trang 15
Toán cao cấp C1
Vậy
cos x <
sin x
x
< 1, ∀x ∈

−
π
2
,
π
2

\{0}.
Áp dụng định lý kẹp, suy ra lim
x→0
sin x
x
= 1. 
Định lý 2.5. Cho hàm số f : (x, b) → R và x

0
∈ (a, b).
lim
x→x
0
f(x) = L ⇔

lim
x→x
−
0
f(x) = lim
x→x
+
0
f(x) = L

.
Bảng một số giới hạn cơ bản
1. lim
x→+∞
1
x
α
= 0, với α > 0.
2. lim
x→0
sin x
x
= 1.

3. lim
x→0
tan x
x
= 1.
4. lim
x→±∞

1 +
1
x

x
= e.
5. lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1.
6. lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a(0 < a = 1).
7. lim
x→0

ln(1 + x)
x
= 1.
8. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
(0 < a = 1).
Trang 16
Toán cao cấp C1
BÀI TẬP
Bài tập 2.1. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→3
x
2
− 9
x
2
− 7x + 12
.
2. lim
x→0
4x
√

9 + x −3
.
3. lim
x→2
2
x
− x
2
x −2
.
4. lim
x→0
sin 3x
tan 5x
.
5. lim
x→0
1 −cos x
x sin x
.
6. lim
x→±∞
(
√
x
2
+ x − x).
7. lim
x→0
3

√
x
3
+ 1 − 1
x
.
8. lim
x→
π
2

π
2
− x

tan x.
Bài tập 2.2. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
x. cot x.
2. lim
x→0
ln
√
x
2
+ 1
√
x
2

+ 1 − 1
.
3. lim
x→0
ln(cos x)
ln(x
2
+ 1)
.
4. lim
x→+∞

x + 2
x −3

3x+4
.
5. lim
x→0
(1 + tan x)
cot x
.
6. lim
x→e
ln x −1
x −e
.
Trang 17
Toán cao cấp C1
§3. Vô cùng bé - Vô cùng lớn

3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.1 (Vô cùng bé). Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b) và
x
0
∈ (a, b). Ta nói f(x) là đại lượng vô cùng bé, viết tắt là VCB, khi x → x
0
nếu
lim
x→x
0
f(x) = 0. (3.1)
Định nghĩa 3.2 (Vô cùng lớn). Cho hàm số f(x) các định trên khoảng (a, b) và
x
0
∈ (a, b). Ta nói f(x) là đại lượng vô cùng lớn, viết tắt là VCL, khi x → x
0
nếu
lim
x→x
0
|f(x)| = +∞. (3.2)
Ví dụ 3.1. Biểu thức nào sau đây là VCB, VCL?
1. f(x) =
5
√
1 −x −1 khi x dần đến 0.
2. f(x) =

3
2


tan x
khi x dần đến
π
2
−
.
3. f(x) = (cos x)
1
x
2
khi x dần đến 0.
Trang 18
Toán cao cấp C1
3.2 So sánh các VCB và các VCL
Định nghĩa 3.3 (So sánh các VCB). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x
0
.
• Ta nói f(x) là VCB cấp cao hơn g(x) nếu
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 0. (3.3)
• Ta nói f(x) là VCB cấp thấp hơn g(x) nếu
lim
x→x
0
f(x)

g(x)
= ∞. (3.4)
Định nghĩa 3.4 (VCB tương đương). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x
0
.
Ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x → x
0
, kí hiệu f(x) ∼ g(x), nếu
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 1. (3.5)
Ví dụ 3.2. Hãy so sánh cấp của các VCB sau
1. f(x) = ln(1 + x
2
), g(x) = x
2
khi x → 0.
Trang 19
Toán cao cấp C1
2. f(x) = ln(cos x), g(x) = −
x
2
2
khi x → 0.
3. f(x) = 1 −
√
1 −4x

2
, g(x) =
√
1 + 2x −1 khi x → 0.
Giải.
1. Áp dụng công t hức lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1, ta có lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
ln(1 + x
2
)
x
2
= 1.
Vậy ln(1 + x
2
) ∼ x
2
khi x → 0.
2. Bằng cách đổi biến t = −x, từ lim
x→0
ln(1 + x)
x

= 1, ta suy ra
lim
x→0
ln(1 −x)
x
= −1.
Thêm nữa, cos x = 1 − 2 sin
2
x
2
và lim
x→0
sin x
x
= 1, nên
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
ln(cos x)
−
x
2
2
= lim
x→0
ln(1 −2 sin
2

x
2
)
2 sin
2
x
2
.
2 sin
2
x
2
−
x
2
2
= 1.
Vậy ln(cos x) ∼ −
x
2
2
khi x → 0.
Trang 20
Toán cao cấp C1
3. Ta có
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim

x→0
1 −
√
1 −4x
2
√
1 + 2x −1
= lim
x→0
4x
2
2x
.
√
1 + 2x + 1
1 +
√
1 −4x
2
= 0.
Vậy 1 −
√
1 −4x
2
là VCB cấp cao hơn
√
1 + 2x + 1 khi x → 0.
Định nghĩa 3.5 (So sánh các VCL). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x
0
.

• Ta nói f(x) là VCL cấp cao hơn g(x) nếu
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= ∞. (3.6)
• Ta nói f(x) là VCL cấp thấp hơn g(x) nếu
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 0. (3.7)
Định nghĩa 3.6 (VCL tương đương). Cho f(x) và g(x) là các VCL khi x → x
0
.
Ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi x → x
0
, kí hiệu f(x) ∼ g(x), nếu
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 1. (3.8)
Trang 21
Toán cao cấp C1
Ví dụ 3.3. Hãy so sánh các cấp của các VCL sau
1. f(x) =

1
x
, g(x) =
1
tan x
khi x → 0.
2. f(x) =
√
x + x
2
− x, g(x) =
√
x
2
+ 1 + x
2
khi x → −∞.
Giải.
1. Ta có lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
tan x
x
= 1, nên f(x) ∼ g(x) khi x → 0.
2. Ta có
f(x)
g(x)

=
√
x + x
2
− x
√
x
2
+ 1 + x
2
=
|x|

1 +
1
x
− x
|x|

1 +
1
x
2
+ x
2
= −

1 +
1
x

+ 1
x −

1 +
1
x
2
(vì x < 0).
Do đó
lim
x→−∞
√
x + x
2
− x
√
x
2
+ 1 + x
2
= lim
x→−∞
−

1 +
1
x
+ 1
x −


1 +
1
x
2
= 0.
Vậy f(x) là VCL cấp thấp hơn g(x) khi x → −∞.
Trang 22
Toán cao cấp C1
3.3 Ứng dụng VCB và VCL để tìm giớn hạn hàm số
Định lý 3.1 (Dạng vô định
0
0
). Cho f, g là các VCB khi x → x
0
.
Nếu f(x) ∼ f
1
(x) và g(x) ∼ g
1
(x), thì lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
1
(x)

g
1
(x)
.
Định lý 3.2 (Qui tắc ngắt VCB). Cho f, g là các VCB khi x → x
0
. Nếu f(x) là
VCB cấp thấp hơn g(x) khi → x
0
thì f(x) + g(x) ∼ f(x).
Ví dụ 3.4. Tìm các giới hạn
1. lim
x→0
1 −cos x
x
2
. 2. lim
x→0
1 −cos 4x
x. tan 2x
.
3. lim
x→0
sin
2

x
√
x
x

2
+ x
3
2
.
Giải.
1. Từ 1 −cos x ∼
x
2
2
khi x → 0, ta có
lim
x→0
1 −cos x
x
2
= lim
x→0
x
2
2
x
2
=
1
2
.
Trang 23
Toán cao cấp C1
2. Ta có 1 −cos 4x ∼

(4x)
2
2
và tan 2x ∼ 2x khi x → 0. Do đó
lim
x→0
1 −cos 4x
x. tan 2x
= lim
x→0
(4x)
2
2
x.2x
= 4.
3. Áp dụng công thức sin x ∼ x khi x → 0 ta có sin
2

x
√
x ∼ (

x
√
x)
2
khi
x → 0.
Ta lại có x
2

là VCB cấp cao hơn x
3
2
nên x
2
+ x
3
2
∼ x
3
2
. Vậy
lim
x→0
sin
2

x
√
x
x
2
+ x
3
2
= lim
x→0
(

x

√
x)
2
x
3
2
= 1.
Định lý 3.3 (Dạng vô định
∞
∞
). Cho f, g là các VCL khi x → x
0
.
Nếu f(x) ∼ f
1
(x) và g(x) ∼ g
1
(x), thì lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
1
(x)
g
1

(x)
.
Định lý 3.4 (Qui tắc ngắt VCL). Cho f, g là các VCL khi x → x
0
. Nếu f(x) là
VCL cấp cao hơn g(x) khi → x
0
thì f(x) + g(x) ∼ f(x).
Ví dụ 3.5. Tìm các giới hạn sau
Trang 24