Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 120 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Bài toán Diriclet (DE) Bài toán Neumann (NE)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn
phơng trình Laplace phơng trình Laplace
2
2
x
u
+
2
2
y
u
= f(x, y)
2
2
x
u
+
2
2
y
u
= f(x, y)
và điều kiện biên và các điều kiện biên
u
D
= g(x, y) u
D
= g(x, y),
n
u
D
= h(x, y)
Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất
Bài toán CH1a
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
và hàm h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
với (x, t) H
0
(7.4.1)
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t
u
(x, 0) = h(x) (7.4.2)
Đổi biến = x + at, = x - at
Tính các đạo hàm riêng bằng công thức đạo hàm hàm hợp
+
=
uu
x
u
,
=
uu
a
t
u
2
22
2
2
2
2
uu
2
u
x
u
+
+
=
,
+
=
2
22
2
2
2
2
2
uu
2
u
a
t
u
Thế vào phơng trình (7.4.1), nhận đợc phơng trình
0
u
2
=
Tích phân hai lần
u(, ) = () + ()
Trở về biến cũ
u(x, t) = (x + at) + (x - at)
Thế vào điều kiện ban đầu (7.4.2)
u(x, 0) = (x) + (x) = g(x) và
t
u
(x, 0) = a[(x) - (x)] = h(x)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 121
Tích phân phơng trình thứ hai, đa về hệ phơng trình
(x) + (x) = 0, (x) - (x) =
x
0
d)(h
a
1
Giải hệ phơng trình trên tìm (x) và (x) và suy ra nghiệm của bài toán
u(x, t) =
+
atx
atx
d)(h
a2
1
(7.4.3)
Định lý Cho hàm h C
1
(D, 3). Bài toán CH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định
theo công thức (7.4.3)
Chứng minh
Do hàm h C
1
(D, 3) nên hàm u C
2
(H, 3). Kiểm tra trực tiếp
(x, t) H,
t
u
=
2
1
a[h(x + at) + h(x - at)]
2
2
t
u
=
2
1
a[h(x + at) + h(x - at)] = a
2
2
2
x
u
x D, u(x, 0) = 0,
t
u
(x, 0) = h(x)
Nếu u
i
là nghiệm của bài toán
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
, u(x, 0) = 0,
t
u
(x, 0) = h
i
thì u = u
1
- u
2
là nghiệm của bài toán
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
, u(x, 0) = 0,
t
u
(x, 0) = h
1
- h
2
= h
Với mỗi T > 0 cố định, kí hiệu B = [x - aT, x + aT] và H
T
= B ì [0, T]. Từ công thức
(7.4.3) chúng ta có ớc lợng sau đây
(x, t) H
T
, | u(x, t) | T sup
B
| h() |
Từ đó suy ra
h = h
1
- h
2
= 0
u = u
1
- u
2
= 0.
|| h || = || h
1
- h
2
|| <
|| u || = || u
1
- u
2
|| < = T
Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H
T
với mỗi T cố định. Do tính liên tục
của nghiệm suy ra bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H.
Bài toán CH1b
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
và hàm g C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
với (x, t) H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u
(x, 0) = 0
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 122 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Định lý Cho g C
2
(D, 3) và v(x, t) là nghiệm của bài toán CH1a với
t
v
(x, 0) = g(x)
Bài toán CH1b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây
u(x, t) =
t
v
(x, t) =
+
atx
atx
d)(g
ta2
1
(7.4.4)
Chứng minh
Do hàm g C
2
(D, 3) nên hàm v C
3
(H, 3) suy ra hàm u C
2
(H, 3).
Kiểm tra trực tiếp
(x, t) H,
2
2
t
u
=
t
v
t
2
2
= a
2
2
2
x
v
t
= a
2
t
v
x
2
2
x D, u(x, 0) =
t
v
(x, 0) = g(x),
t
u
(x, 0) = a
2
2
2
x
v
(x, 0)
Tính duy nhất và ổn định của nghiệm suy ra từ bài toán CH1a.
Đ5. Bài toán Cauchy không thuần nhất
Bài toán CH1c
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
và hàm f C(H, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
+ f(x, t) với (x, t) H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t
u
(x, 0) = 0
Đinh lý
Cho hàm f C(H, 3) và v(x, , t) là nghiệm của bài toán CH1a trên H ì 3
+
với
v(x, , 0) = 0 và
t
v
(x, , 0) = f(x, )
Bài toán CH1c có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây.
u(x, t) =
t
0
d)t,,x(v (7.5.1)
Chứng minh
Do hàm f C(H, 3) nên hàm v C
1
(H ì 3
+
, 3) suy ra hàm u C
2
(H, 3)
Kiểm tra trực tiếp
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 123
(x, t) H,
t
u
= v(x, t, 0) +
t
0
d)t,,x(
t
v
=
t
0
d)t,,x(
t
v
2
2
t
u
=
t
v
(x, t, 0) +
t
0
2
2
d)t,,x(
t
v
= a
2
t
0
2
2
d)t,,x(
x
v
+ f(x, t)
x D, u(x, 0) = 0,
t
u
(x, 0) = 0
Tính duy nhất và ổn định của nghiệm suy ra từ bài toán CH1a.
Bài toán CH1
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
, các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
+ f(x, t) với (x, t) H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u
(x, 0) = h(x)
Tìm nghiệm của bài toán CH1 dới dạng
u(x, t) = u
a
(x, t) + u
b
(x, t) + u
c
(x, t)
với u
(x, t) là nghiệm của bài toán CH1.
Kết hợp các công thức (7.4.3), (7.4.4) và (7.5.1) suy ra công thức sau đây.
u(x, t) =
++
+
+
+
t
0
ax
ax
atx
atx
atx
atx
d)t,(fdd)(hd)(g
ta2
1
(7.5.2)
Định lý
Cho các hàm f C(H, 3), g C
2
(D, 3) và h C
1
(D, 3). Bài toán CH1 có
nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.5.2).
Ví dụ Giải bài toán
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
+ 2xe
-t
với (x, t) 3 ì 3
+
u(x, 0) = cosx,
t
u
(x, 0) = 2x
Theo công thức (7.5.2) chúng ta có
u(x, t) =
++
+
+
+
t
0
ax
ax
t
atx
atx
atx
atx
dde2d2dcos
ta2
1
= cosxcosat + 2xt(2t - 1 + e
-t
)
Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục các hàm liên tục từng khúc, công thức (7.5.2) vẫn
sử dụng đợc trong trờng hợp các hàm f, g và h có đạo hàm liên tục từng khúc.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 124 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ6. Bài toán giả Cauchy
Bài toán SH1a
Cho các miền D = 3
+
, H = D ì 3
+
, các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng
2
2
t
u
= a
2
2
2
x
u
+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u
(x, 0) = h(x)
và điều kiện biên
u(0, t) = 0
T tởng chung để giải bài toán SH là tìm cách chuyển về bài toán CH tơng đơng.
Gọi f
1
, g
1
và h
1
tơng ứng là kéo dài của các hàm f, g và h lên toàn 3, còn v(x, t) là
nghiệm của bài toán Cauchy sau đây.
2
2
t
v
= a
2
2
2
x
v
+ f(x, t), v(x, 0) = g
1
(x),
t
v
(x, 0) = h
1
(x) với (x, t) 3 ì 3
+
Theo công thức (7.5.2) chúng ta có
v(x, t) =
2
1
[g
1
(x + at) + g
1
(x - at)] +
+
atx
atx
1
d)(h
a2
1
+
+
t
0
ax
ax
1
d)t,(fd
a2
1
Thế vào điều kiện biên
v(0, t) =
2
1
[g
1
(at) + g
1
(-at)] +
at
at
1
d)(h
a2
1
+
t
0
a
a
1
d)t,(fd
a2
1
= 0
Suy ra các hàm f
1
, g
1
và h
1
phải là các hàm lẻ.
Tức là
f
1
(x, t) =
<
0 x t) f(-x,-
0 x t) f(x,
, g
1
(x) =
<
0 x )x-(g-
0 x )x(g
và h
1
(x) =
<
0 x h(-x)-
0 x h(x)
Định lý Cho hàm f C(H, 3), hàm g C
2
(D, 3) và hàm h C
1
(D, 3) thoả mn
f(0, t) = 0, g(0) = 0 và h(0) = 0
Bài toán SH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, t) =
++
+
+
+
t
0
ax
ax
1
atx
atx
1
atx
atx
1
d)t,(fdd)(hd)(g
ta2
1
(7.6.1)
với f
1
, g
1
và h
1
tơng ứng là kéo dài lẻ của các hàm f, g và h lên toàn 3.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m