tài liệu hàm biến phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.59 KB, 33 trang )
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
PHẦN I: HÀM BIẾN PHỨC
CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC. ĐẠO HÀM CỦA HÀM BIẾN PHỨC
Trong giải tích: số thực bao gồm số hữu tỷ và số vô tỷ. Bình phương của mọi số
thực đều không âm, có thể lấy căn bậc hai, nhưng đối với số âm không thể lấy căn bậc
hai và không giải mọi phương trình bậc hai với hệ số thực. Do vậy người ta đưa ra khái
niệm số phức cũng như xác định các phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu: sao cho
các số thực và các phép toán trên tập các số thực có xem số thực như là trường hợp riêng
của số phức và các phép toán trên tập các số phức.
1.1.Khái niệm về miền và biên của miền
1.1.1. Số phức
1.1.1.1. Định nghĩa số phức
Biểu thức của số phức:
z = x+iy
(1.1)
Trong đó: x, y là các số thực
i là đơn vị ảo
x là phần thực của z: x = Rez
y là phần ảo của z: x = Imz
Tập hợp các số phức là C=
{
z=x + iy; x, y
∈
R
}
Nếu: y = 0 thì z = x: số thực là trường hợp riêng của số phức
Nếu: x = 0 thì z = iy: số thuần túy ảo
Liên hợp phức của z, kí hiệu là:
iyxz −=
Số phức đối của z là: -z = -x-iy
Cho hai số phức:
+=
+=
222
111
iyxz
iyxz
hai chỉ số 1, 2 chỉ hai số phức
Nếu z
1
= z
2
thì
=
=
21
21
yy
xx
1.1.1.2. Các phép tính về số phức
a) Phép cộng
Cho hai số phức:
+=
+=
222
111
iyxz
iyxz
Gọi z = x+iy là tổng của z
1
và z
2
: z = z
1
+ z
2
Khoa khoa học cơ bản
1
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Nếu
+=
+=
21
21
yyy
xxx
Thì z = z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i (y
1
+ y
2
)
- Tính chất:
Giao hoán: z
1
+ z
2
= z
2
+ z
1
Kết hợp: z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (z
1
+ z
2
) + z
3
- Ví dụ: Cho
−=
+=
iz
iz
35
3
2
1
thì z = z
1
+ z
2
= (3+5) +i(1-3) = 8-2i
b) Phép trừ
Gọi x là hiệu của z
1
và z
2
nếu z + z
2
= z
1
Ta có: (x +iy) + (x
2
+ iy
2
) = x
1
+iy
1
(x + x
2
) +i(y + y
2
) = x
1
+iy
1
Suy ra:
−=
−=
⇒
=+
=+
21
21
12
12
yyy
xxx
yyy
xxx
Vậy trừ hai số phức ta trừ phần thực cho nhau và phần ảo cho nhau:
z=z
1
-z
2
=(x
1
-x
2
) +i(y
1
-y
2
)
c) Phép nhân
Gọi
z=(x
1
x
2
-y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
)
(1.2)
là tích của z
1
và z
2
. Khi đó: z = z
1
.z
2
- Tính chất:
Giao hoán: z
1
.z
2
= z
2
.z
1
Kết hợp: (z
1
.z
2
)z
3
= z
1
(z
2
.z
3
)
Phân bố đối với phép cộng: z
1
(z
2
+ z
3
) = z
1
z
2
+ z
1
z
3
- Chứng minh: i
2
= -1
Chọn
==
==
⇒
=
=
1,0
1,0
1
1
22
11
2
1
yx
yx
z
z
Khi đó: z
1
.z
2
= i.i = i
2
= -y
1
.y
2
= -1
Như vậy: i
2
= -1 được suy ra từ phép nhân hai số phức, không phải từ định nghĩa
số phức. và nhân giống như số thực nhưng chú ý i
2
= -1
- Ví dụ: cho
−=
+=
iz
iz
35
3
2
1
Thì z = z
1
.z
2
= (3+i)(5-3i) = (3.5 -1(-3)) + i(3(-3) + 5.1) = 18 - 4i
d) Phép chia
Nếu z
2
= x
2
+ iy
2
≠
0
Thì z = x + iy sao cho z.z
2
= z
1
Khoa khoa học cơ bản
2
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Ta có:
(x + iy)( x
2
+ iy
2
) = x
1
+iy
1
⇒
(xx
2
-yy
2
) + i(xy
2
+ x
2
y) = x
1
+iy
1
Suy ra:
=+
=−
122
122
yyxxy
xyyxx
đây là hệ phương trình bậc 1 hai ẩn số x, y
Khi đó, ta có các định thức của hệ:
2112
12
12
2121
21
21
2
2
2
2
22
22
yxyx
yy
xx
yyxx
xy
yx
yx
xy
yx
y
x
−==∆
+=
−
=∆
+=
−
=∆
⇒
+
−
=
∆
∆=
+
+
=
∆
∆
=
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
yx
yxyx
y
yx
yyxx
x
y
x
Vậy:
( ) ( )
iyx
yx
yxyxiyyxx
z
z
z +=
+
−++
==
2
2
2
2
21122121
2
1
(1.3)
1.1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác của số phức
a) Biểu diễn hình học
Cho số phức z = x + iy thuộc mặt phẳng phức
Nếu cho một số phức z thì ta xác định được tọa độ của M(x,y), M gọi là tọa vị của
số phức z
Trong mặt phẳng xOy, ta biểu diễn vị trí của M(x,y). Nếu cho trước M(x, y) thì ta
thiết lập được một số phức z = x + iy. Như vậy giữa tập hợp các số phức và tập hợp các
điểm của mặt phẳng xOy, ta thiết lập được song ánh.
Khi đó: gọi mặt phẳng xOy là mặt phẳng phức C
Đồng nhất số phức z với M là tọa vị của nó
Đồng nhất số phức z với mặt phẳng phức C
Các điểm thuộc trục Ox biểu diễn những số phức có y = 0 thì gọi là trục thực
Các điểm thuộc trục Oy biểu diễn những số phức thuần ảo có x = 0 thì gọi là trục
ảo
Đặt
→→
= VOM
, biểu diễn số phức z = x+iy bởi vectơ
( )
→
+ Viyx
Vậy: hai số phức có cùng tọa vị…
Hai số phức liên hợp có tọa vị đối xứng qua Ox
Hai số phức đối nhau có tọa vị đối xứng qua O.
b) Modun và argument của số phức.
Cho số phức z = x+iy có tọa vị M
Khoa khoa học cơ bản
3
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Gọi độ dài
`→
= OMr
là môdun của z ký hiệu là
z
Góc lượng giác giữa
→→
OMOx,
xác định sai khác 2k
π
(k là số nguyên) được gọi là
argument của z, kí hiệu là Arg
Nếu
ϕ
là một trị số xác định của góc
→→
OMOx,
, ta có: Argz =
ϕ
+ 2k
π
Đặc biệt, k = 0 thì trị số của Argz: -
π
≤
ϕ
≤
π
, được gọi là nhánh chính của Argz
và kí hiệu là argz
c) Liên hệ giữa phần thực, phần ảo, modun và argument của số phức
Chiếu
→
OM
lên các trục tọa độ, ta có:
=
+=
⇒
=
=
x
y
tg
yxr
ry
rx
ϕ
ϕ
ϕ
22
sin
cos
(1.4)
Giá trị của
ϕ
chọn sao cho cosϕ cùng dấu với x
- Ví dụ: z =1+i
⇒
tg
ϕ
= 1
⇒
ϕ
=
π
/4
z = -1-i
⇒
tg
ϕ
= -1
⇒
ϕ
= 3
π
/4
Tọa vị của z thuộc trục Ox(+) thì
ϕ
= 0
Tọa vị của z thuộc trục Ox(-) thì
ϕ
=
π
Tọa vị của z thuộc trục Oy(+) thì
ϕ
=
π
/2
Tọa vị của z thuộc trục Oy(-) thì
ϕ
= -
π
/2
z = 0 thì argz không xác định
c) Dạng lượng giác của số phức
Nếu biểu diễn phần thực và phần ảo của số phức theo r và
ϕ
thì ta được:
z = x+iy = r(cos
ϕ
+ i sin
ϕ
)
(1.5)
Công thức (1.4) được gọi là dạng lượng giác của số phức z = x + iy
Ví dụ: Hãy biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác
z = -2; ta có:
( )
ππ
πϕ
sincos2
2
iz
r
+=⇒
=
=
z= 1-i, ta có:
+=⇒
=
=
4
3
sin
4
3
cos2
4
3
2
ππ
π
ϕ
iz
r
- Định lý 1: Tích của hai số phức có modun bằng tích các modun của các thừa số và có
argumen bằng tổng các argumen của các thừa số.
Khoa khoa học cơ bản
4
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Nếu:
( )
( )
+=
+=
ψψ
ϕϕ
sincos
sincos
22
11
irz
irz
Thì
( ) ( )
[ ]
ψϕψϕ
+++== sincos
2121
irrzzz
(1.6)
Thật vậy:
[ ]
)sin()cos(
)sincoscos.(sin)sinsincos.(cos
)sincos)(sincos(.
21
2121
221121
ψϕψϕ
ψϕψϕψϕψϕ
ϕϕϕϕ
+++=
++−=
++=
irr
rirrr
irrirrzz
- Định lý 2: Thương của hai số phức có modun bằng thương các modun và có argumen
bằng hiệu argumen của số bị chia và số chia.
[ ]
)sin()cos(
2
1
2
1
ψϕψϕ
−+−= i
r
r
z
z
(1.7)
Đặc biệt: nếu z
1
= 1 (
ϕ
= 0) thì:
)sin(cos
11
22
ψψ
i
rz
−=
1.1.1.4. Công thức Moivre
Áp dụng định lý 1 cho tích của n thừa số bằng z: Lũy thừa bậc n của
z=r(cos
ϕ
+isin
ϕ
) có modun bằng r
n
và có argumen bằng n
ϕ
, tức là:
[ ]
)sin(cos)sin(cos
ϕϕϕϕ
ninrir
n
n
+=+
Đặc biệt khi r = 1, ta được:
ϕϕϕϕ
nini
n
sincos)sin(cos +=+
(1.8)
Công thức (1.7) được gọi là công thức Moivre
Thay
ϕ
bằng -
ϕ
, ta được:
ϕϕϕϕ
nini
n
sincos)sin(cos −=−
1.1.1.5. Căn bậc n của số phức z dưới dạng lượng giác
Cho số phức z = r(cos
ϕ
+isin
ϕ
). Hãy tìm căn bậc n của số phức z, tức là tìm
ξ
sao
cho:
ξ
n
=z, trong đó n là một số nguyên dương cho trước.
Đặt
ξ
=
ρ
(cos
ψ
+ isin
ψ
), khi đó tìm ρ và ψ sao cho:
ρ
n
(cosn
ψ
+ isinn
ψ
) = r(cos
ϕ
+isin
ϕ
)
Do liên hệ giữa giữa modun và argumen của hai số phức bằng nhau, ta có:
+
=
=
⇒
+=
=
)(
2
2
nguyênk
n
k
r
kn
r
n
n
πϕ
ψ
ρ
πϕψ
ρ
Khoa khoa học cơ bản
5
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Vậy:
+
+
+
=
n
k
i
n
k
r
n
πϕπϕ
ξ
2
sin
2
cos
(1.9)
Nhưng chú ý rằng, nếu ta cho k lấy hai trị số hơn kém nhau n thì ta cũng được một
số phức bởi vì:
( ) ( )
)
2
sin()
2
cos(
)2
2
sin()2
2
cos(
2
sin
2
cos
n
k
i
n
k
n
k
i
n
k
n
nk
i
n
nk
πϕπϕ
π
πϕ
π
πϕπϕπϕ
+
+
+
=
+
+
++
+
=
++
+
++
Cho nên, trong (1.8) lấy k=0, 1, 2, …, n-1
Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm căn bậc ba của z=1+i
Ta có:
=
=
⇒
+=+
4
2
4
sin
4
cos21
π
ϕ
ππ
r
ii
Khi đó:
+
+
+
=
3
2
4
sin
3
2
4
cos2
6
π
π
π
π
ξ
k
i
k
Với k=0 thì:
)
12
sin
12
(cos2
6
0
ππ
ξ
i+=
Với k=1 thì:
+++= )
3
2
12
sin()
3
2
12
cos(2
6
1
ππππ
ξ
i
Với k=2 thì:
+++= )
3
4
12
sin()
3
4
12
cos(2
6
2
ππππ
ξ
i
Ví dụ 2: Giải phương trình: x
2
+ x + 1 = 0
Ta có:
∆
=1
2
– 4 = -3 = 3i
2
3i±=∆⇒
. Nên:
2
31 i
x
±−
=
Ví dụ 3: Giải phương trình: x
4
+ 1 = 0
Ta có: x
4
= -1, mà -1 = cos
π
+ isin
π
Khi đó, ta có:
+
+
+
=
4
2
sin
4
2
cos1
ππππ
ξ
k
i
k
Với k = 0 thì
( )
ii +=+= 1
2
2
4
sin
4
cos
0
ππ
ξ
Với k = 1 thì
( )
iii +−=+=
+
+
+
= 1
2
2
4
3
sin
4
3
cos
4
2
sin
4
2
cos
1
ππππππ
ξ
Khoa khoa học cơ bản
6
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Với k = 2 thì
( )
iii +−=+=
+
+
+
= 1
2
2
4
5
sin
4
5
cos
4
4
sin
4
4
cos
2
ππππππ
ξ
Với k = 3 thì
( )
iii −=+=
+
+
+
= 1
2
2
4
7
sin
4
7
cos
4
6
sin
4
6
cos
3
ππππππ
ξ
1.1.2. Khái niệm về miền và biên của miền
1.1.2.1. Điểm trong của một tập hợp
Giả sử E là một tập điểm trong mặt phẳng phức z và z
0
là một điểm thuộc E. Nếu
tồn tại một
ε
-lân cận của z
0
nằm hoàn toàn trong E, thì z
0
được gọi là điểm trong của tập
E.
1.1.2.2. Biên của một tập
Điểm
ξ
thuộc E hoặc không thuộc E được gọi là điểm biên của tập E và tồn tại
một hình tròn tâm
η
không chứa một điểm nào của E và những điểm không thuộc E .
Tập hợp các điểm biên của tập E, được gọi là biên của tập E. Nếu điểm
ξ
không
thuộc E và tồn tại một hình tròn tâm
η
không chứa một điểm nào của E, thì
η
được gọi là
điểm ngoài của tập E.
Ví dụ 1: Xét tập E là hình tròn
1<z
. Mọi điểm của E đều là điểm trong . Biên của E là
đường tròn
1=z
. Mọi điểm
η
mà
1<
η
là điểm ngoài của E.
1.1.2.3. Miền
Miền trên mặt phẳng phức là một tập hợp G trên mặt phẳng ấy có hai tính chất
sau:
* G là một tập mở, nghĩa là một tập chỉ gồm những điểm bên trong
* G là một tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tùy ý thuộc G, bao giờ cũng có thể nối
chúng với nhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong G
Tập G, hợp thêm những điểm biên của nó, được gọi là một miền kín và ký hiệu:
G
Miền G được gọi là miền bị chặn nếu tồn tại một hình tròn bán kính R, chứa G ở
bên trong.
Ví dụ 2: Phần của mặt phẳng phức giới hạn bởi một đường cong kín liên tục L (hình 1.2)
là một miền. Biên của miền là đường cong L. Sau này, ta chỉ nói tới những miền G mà
biên của nó gồm một số hữu hạn các đường cong kín. Số các đường cong này được gọi là
cấp liên thông của miền G.
Ví dụ 3: Miền G trong hình 1.2 là miền đơn liên, hình 1.2a và 1.2b cho ta những ví dụ về
miền nhị liên. Hình 1.2c cho ta ví dụ về miền tam liên.
Khoa khoa học cơ bản
7
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Quy ước: hướng dương trên biên L của miền là hướng mà khi một người đi trên L theo
hướng đó, thì phần của miền G kề người đó luôn luôn nằm ở bên trái. Trong hình 1.2c,
hướng dương trên biên ngoài L
0
là hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ, hướng
dương trên các biên tron L
1
và L
2
là hướng thuận chiều kim đồng hồ.
Ví dụ 4: Vẽ miền Rez > -1
Mọi điểm nằm bên phải đường thẳng x = -1 đều thỏa mãn Rez > -1. Ngược lại mọi
điểm z có phần thực lớn hơn -1 đều nằm bên phải đường thẳng x = -1.
Vậy miền Rez > -1 là nửa mặt phẳng phức gạch chéo trên (hình 1.3).
1.2. Định nghĩa hàm biến phức.
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức. Nếu có một quy luật cho ứng
với mỗi số phức z
∈
E một số phức xác định
ω
, thì ta nói rằng
ω
là một hàm số đơn trị
của biến số phức z xác định trên E, ký hiệu là:
ω
= f(z), z
∈
E
(1.20)
Nói một cách khác một hàm đơn trị của biến phức xác định trên tập E
⊂
C là một
ánh xạ từ E vào C. Tập E được gọi là miền xác định của hàm số.
Giá trị của hàm số ứng với z = z
0
, ký hiệu là f(z
0
). Nếu ứng với mỗi số phức z
∈
E,
ta có nhiều giá trị của
ω
, thì ta gọi
ω
là một hàm đa trị. Sau này, khi nói tới hàm số mà
không nói gì thêm thì ta hiểu đó là hàm đơn trị.
Ví dụ:
- Hàm
z
1
=
ω
xác định trong toàn mặt phẳng, trừ điểm z = 0
- Hàm
1
2
+
=
z
z
ω
xác định trong toàn mặt phẳng, trừ hai điểm z =
±
i vì z
2
+1 = 0
khi z =
±
i
1.2.2. Phần thực và phần ảo của một hàm phức
Cho hàm
ω
= f(z) có nghĩa sao cho phần thực u và phần ảo v của
ω
. Nói khác đi u
và v cũng là các hàm phụ thuộc z.
Nếu z = x + iy, thì có thể thấy u và v là những hàm số thực của hai biến số thực
độc lập x và y.
Tóm lại, cho hàm phức
ω
= f(z), tương đương với cho hai hàm biến thực u=u(x,y),
và v = v(x,y) và hàm
ω
= f(z) viết dưới dạng:
ω
= u(x,y) + iv(x,y)
(1.20a)
Khoa khoa học cơ bản
8
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Ta có thể chuyển dạng (1.20a) hàm phức cho dưới dạng (1.20). Phép chuyển như
vậy được gọi là tách phần thực và phần ảo của hàm phức. Ngược lại, cho hàm số dưới
dạng (1.20a) cũng có thể chuyển về dạng (1.20).
- Ví dụ: Tách phần thực và phần ảo của các hàm sau:
z
1
=
ω
,
ω
= z
3
.
Ta có:
( )( )
+
−
=
+
=
⇒
+
−
+
+
=
+
−
=
−+
−
=
+
=
22
22
222222
1
yx
y
v
yx
x
u
yx
y
i
yx
x
yx
iyx
iyxiyx
iyx
iyx
ω
Ta có:
( )
( ) ( )
−=
−=
⇒−+−=+++=+=
32
23
322333223
3
3
3
3333
yyxv
xyxu
yyxixyxyixiyiyxxiyx
ω
- Ví dụ: Hãy biểu diễn các hàm sau đây theo z và
z
:
ω
= x
2
-y+i(x+y
2
);
ω
= x
2
-y
2
+2ixy
Ta có:
−
=
−
=
+
=
⇒
−=
+=
22
2
zz
i
i
zz
y
zz
x
iyxz
iyxz
Nên
( )
( )
(
)
( )
izzzizzi
zzzz
izz
izz
++++−=
−
−
+
+−−
+
= 1
2
1
1
4
1
2222
2
2
22
ω
Ta có:
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
2
22
z
zzzzzzzz
i
zz
i
zz
=
−
+
+
=
−
+
+
+
+
+
=
ω
1.3. Phép biến hình thực hiện bởi một hàm biến phức
Để biểu diễn hình học của một hàm số thực biến số thực, thì ta vẽ đồ thị của hàm
số đó. Để mô tả hình học của một hàm biến phức, không thể dùng phương pháp đồ thị
được nữa mà phải làm như sau:
Giả sử cho hàm biến phức
ω
= f(z), z
∈
E. Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt
phẳng z) và mặt phẳng phức uO
1
v (mặt phẳng
ω
). Ứng với mỗi điểm z
0
∈
E, hàm
ω
=f(z)
xác điểm
ω
0
=f(z
0
) trong mặt phẳng
ω
. Cho nên về mặt hình học, hàm
ω
=f(z) xác định
một phép biến hình từ mặt phẳng z vào mặt phẳng
ω
.
Điểm
ω
0
được gọi là ảnh của điểm z
0
, điểm z
0
gọi là nghịch ảnh của điểm
ω
0
- Ví dụ: Cho hàm
ω
= z
2
. Hãy tìm ảnh của:
* Điểm z
0
= 1+2i
Ta có:
ω
0
=(1+2i)
2
= 1+2i
2
4i = -3+4i
* Đường tròn
2=z
Nếu
2=z
thì
4
2
== z
ω
. Vậy ảnh của đường tròn
2=z
là đường tròn
4=
ω
Khoa khoa học cơ bản
9
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
- Ví dụ: Tìm nghịch ảnh của đường tròn:
2
1
2
1
2
1
22
=
++
− vu
qua phép biến hình
z
1
=
ω
Ta có:
( )( )
+
−
=
+
=
⇒
+
−
+
+
=
+
−
=
−+
−
=
+
=
22
22
222222
1
yx
y
v
yx
x
u
yx
y
i
yx
x
yx
iyx
iyxiyx
iyx
iyx
ω
Khi đó: x+y-1=0, đây là nghịch ảnh cần tìm.
1.4. Hàm ngược
Cho hàm
ω
=f(z) xác định và đơn trị trong miền E. Gọi
∆
là ảnh của miền E qua
phép biến hình
ω
=f(z). Như vậy mỗi điểm z
∈
E có ảnh duy nhất
ω∈
∆
. Nhưng ngược
lại, cho trước điểm
ω∈
∆
, có thể có một hoặc nhiều điểm thuộc E là nghịch ảnh của
ω
.
Nếu phép biến hình
ω
=f(z) là tương ứng một một, thì hàm số
ω
=f(z) được gọi là
đơn diệp trên E.
1.4.1. Định nghĩa
Cho hàm
ω
=f(z) xác định trên tập E. Nếu ánh xạ f là đơn ánh, nghĩa là nếu giá trị
của hàm số tại hai điểm khác nhau của tập E là khác nhau, thì hàm số được gọi là đơn
diệp trên tập E.
Phép biến hình tạo nên bởi một hàm đơn diệp, được gọi là phép biến hình đơn
diệp. Phép biến hình
ω
=f(z) chỉ đơn diệp trên tập E nếu tập này không chứa một cặp
điểm z
1
, z
2
nào mà f(z
1
)=f(z
2
).
Nếu phép biến hình
ω
=f(z) từ E lên
∆
là đơn diệp, thì với mỗi điểm
ω∈
∆
, có thể
cho tương ứng một và chỉ một điểm z
∈
E sao cho f(z)=
ω
. Vậy trên tập E, xác định hàm
số z=
ϕ
(
ω
), gọi là hàm ngược của hàm
ω
=f(z). Hàm ngược này cũng là một hàm đơn trị.
Nếu phép biến hình
ω
=f(z) không đơn diệp trên tập E, thì mỗi điểm
ω∈
∆
có thể
cho tương ứng một hoặc nhiều giá trị z
∈
E sao cho f(z)=
ω
. Trong trường hợp này, trên
tập
∆
xác định một hàm ngược đa trị.
- Ví dụ: Hàm
ω
=z
n
biến mặt phẳng phức z lên cả mặt phẳng phức
ω
. NHưng phép biến
hình này không đơn diệp vì ứng với mỗi
ω
có n căn bậc n là z
1
, z
2
,…, z
n
khác nhau sao
cho:
(z
k
)
n
=
ω
với
nk ,1=
Miền E: 0<argz<2
π
/n là một miền đơn diệp của hàm
ω
=z
n
. Ảnh
∆
của nó qua
phép biến hình là cả mặt phẳng phức
ω
, trừ đi phần dương của trục thực. Ta còn nói:
∆
là
mặt phẳng phức bỏ đi lát cắt dọc theo nửa trục thực dương (quay ước bờ trên của lát cắt
Khoa khoa học cơ bản
10
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
ứng với tia argz = 0, bờ dưới của lát cắt là ảnh của tia argz=2
π
/n). Miền
n
z
n
ππ
4
arg
2
<<
cũng là một miền đơn diệp khác của hàm
ω
=z
n
.
1.5. Giới hạn của hàm biến phức
Định nghĩa giới hạn và liên tục của hàm biến phức cũng tương tự như hàm biến
thực.
1.5.1. Định nghĩa 1
Giả sử f(z) là một hàm số xác định trong một lân cận của điểm z
0
(có thể trừ tại
điểm z
0
). Ta nói số phức A là giới hạn của f(z) khi z dần tới z
0
, nếu khi
0
0
→− zz
thì
0)( →− Azf
. Nói khác đi, với mọi
ε
>0 cho trước, luôn luôn tồn tại
δ
>0, để khi
δ
<−
0
zz
thì
ε
<− Azf )(
.
Ký hiệu:
Azf
zz
=
→
)(lim
0
Nếu f(z) = u(x,y) +iv(x,y), z
0
=x
0
+iy
0
, A=
α
+ i
β
thì
Azf
zz
=
→
)(lim
0
⇒
α
=
→
→
),(lim
0
0
yxu
yy
xx
,
β
=
→
→
),(lim
0
0
yxv
yy
xx
1.5.2. Định nghĩa 2
Số phức A là giới hạn của hàm
ω
=f(z) khi z dần tới ra vô cùng, nếu khi
+∞→z
thì
0)( →− Azf
, nói khác đi với mọi
ε
>0 cho trước, luôn luôn tồn tại một số R>0 để khi
Rz >
thì
ε
<− Azf )(
.
Ta kí hiệu là:
Azf
z
=
∞→
)(lim
1.5.3. Định nghĩa 3
Hàm
ω
=f(z) dần ra vô cùng khi z dần tới z
0
, nếu khi
0
0
→− zz
thì
∞→)(zf
, nói
khác đi với mọi số M>0 cho trước lớn tùy ý, luôn luôn tồn tại một số
δ
để khi
δ
<−
0
zz
thì
Mzf >)(
.
Ta kí hiệu là:
∞=
∞→
)(lim zf
z
1.5.4. Định nghĩa 4
Hàm
ω
=f(z) dần ra vô cùng khi z dần tới
∞
, nếu khi
+∞→z
thì
+∞→)(zf
, nói
khác đi với mọi số M>0 cho trước lớn tùy ý, luôn luôn tồn tại một số R>0 để khi
Rz >
thì
Mzf >)(
.
Ta kí hiệu là:
∞=
∞→
)(lim zf
z
1.6. Hàm liên tục
Khoa khoa học cơ bản
11
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử
ω
=f(z) là một hàm số xác định trong một miền chứa điểm z
0
.
Hàm số
ω
=f(z) được gọi là liên tục tại z
0
, nếu:
)()(lim
0
0
zfzf
zz
=
→
Dễ dàng thấy rằng nếu f(z) = u(x, y) + iv(x,y) liên tục tại z
0
= x
0
+iy
0
thì u(x, y) và
v(x,y) là những hàm thực hai biến, liên tục tại điểm (x
0
, y
0
) và ngược lại.
Hàm
ω
=f(z) liên tục tại mọi điểm của miền G, thì được gọi là liên tục trong miền
G.
Ví dụ: Hàm
ω
=z
2
liên tục trong toàn mặt phẳng phức vì phần thực u=x
2
-y
2
và phần ảo
v=2xy luôn luôn liên tục.
Nhận xét: Vì định nghĩa giới hạn và liên tục ở đây hoàn toàn tương tự như trong
giải tích thực, nên về các tính chất của giới hạn, các phép tính của giới hạn, ta cũng có
những kết quả tương tự.
1.7. Định nghĩa đạo hàm
1.7.1. Định nghĩa
Cho hàm
ω
=f(z) xác định trong một miền chứa điểm z= x +iy.
Cho z một số gia ∆z= ∆x +i∆y
Gọi ∆
ω
là số gia tương ứng của hàm: ∆
ω
= f(z+∆z) – f(z).
Xét tỷ số
z∆
∆
ω
nếu khí ∆z→0, tỷ số đó dần tới một giới hạn xác định, thì giới hạn
ấy được gọi là đạo hàm của hàm số
ω
tại điểm z và được ký hiệu là f’(z) hoặc
ω
’(z) hay
dz
d
ω
Ta có:
z
zfzzf
z
zf
zz
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)('
00
ω
(1.21)
Về mặt hình thức, định nghĩa này giống định nghĩa đạo hàm của hàm một biến
thực. Song điều khác cơ bản ở đây là là người ta đòi hỏi chặt chẽ hơn: tỷ số
z∆
∆
ω
phải có
cùng một giới hạn xác định khi ∆z→0 theo mọi cách.
Từ định nghĩa trên, tương tự như giải tích thực, dễ dàng suy ra rằng nếu hàm
ω
=f(z) có đạo hàm tại điểm z, thì nó liên tục tại đó.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm
ω
=z
2
tại điểm z.
Khoa khoa học cơ bản
12
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Ta có:
∆ω
=(z+
∆
z)
2
-z
2
=2z
∆
z+
∆
z
2
;
zz
z
∆+=
∆
∆
2
ω
Khi ∆z→0 thì vế phải của (*) có giới hạn là 2z. Vậy:
z
dz
d
2=
ω
Ví dụ 2: Cho hàm
iyxz −==
ω
. Xét xem hàm số có đạo hàm tại điểm z=x+iy không?
Cho z một số gia ∆z= ∆x +i∆y. Số gia tương ứng của
ω
là:
yixzzzzzzz ∆−∆=∆=−∆+=−∆+=∆
ω
Nếu ∆y =0 thì ∆z= ∆x, khi đó:
1=
∆
∆
=
∆
∆
xz
ωω
Vậy:
1lim
0
0
=
∆
∆
→∆
=∆
z
x
y
ω
Nếu ∆x = 0 thì ∆z= i∆y, khi đó:
Vậy:
1lim
0
0
−=
∆
∆
→∆
=∆
z
y
x
ω
Như vậy, ta thấy khi cho ∆z→0 theo hai cách khác nhau, tỷ số
z∆
∆
ω
có những giới
hạn khác nhau. Vậy hàm số đã cho không có đạo hàm tại mọi điểm z.
Qua ví dụ này, một vấn đề đặt ra là: cho hàm
ω
= f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Hỏi
những điều kiện nào thì hàm
ω
= f(z) có đạo hàm tại điểm z=x+iy? Để trả lời câu hỏi
này, ta có:
1.7.2. Định lý
1.7.2.1. Phát biểu
Nếu hàm
ω
= f(z) = u(x, y) + iv(x, y) có đạo hàm tại điểm z=x+iy, thì phần thực
u(x, y) và phần ảo v(x, y) của nó có đạo hàm riêng tại điểm (x, y) và các đạo hàm riêng đó
thỏa mãn những hệ thức sau:
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
:
(1.22)
(1.11) được gọi là các điều kiện Cauchy-Riemann.
Ngược lại, nếu các hàm số u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng liên tụa tại điểm
(x, y), thỏa mãn điều kiện C-R, thì hàm
ω
= f(z) có đạo hàm f’(z) tại điểm z = x+iy và
được tính theo công thức:
f’(z) = u’
x
+iv’
x
1.7.2.2. Chứng minh
Giả thiết f’(z) tồn tại, nghĩa là giới hạn của tỷ số:
Khoa khoa học cơ bản
13
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
[ ] [ ]
yix
viu
yix
yxvyyxxviyxuyyxxu
yix
yxvyxuyyxxivyyxxu
z
∆+∆
∆+∆
=
∆+∆
−∆+∆++−∆+∆+
=
∆+∆
−−∆+∆++∆+∆+
=
∆
∆
),(),(),(),(
),(),(),(),(
ω
Bằng f’(z) khi ∆z→0 theo mọi cách. Đặc biệt, khi ∆z=∆x, thì
x
viu
z
xx
∆
∆+∆
=
∆
∆
ω
(trong đó ∆
x
u là số gia riêng của u đối với x).
x
v
i
x
u
z
xx
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
ω
Cho ∆x→0, theo giả thiết thì vế trái dần tới f’(z). Vậy vế phải cũng phải có giới
hạn là f’(z).
Suy ra:
x
u
x
∆
∆
có giới hạn là
x
u
∂
∂
;
x
v
x
∆
∆
có giới hạn là
x
v
∂
∂
và
x
v
i
x
u
zf
∂
∂
+
∂
∂
=)('
(1.23)
Tương tự khi ∆z=i∆y (∆x=0) thì
y
u
i
yi
v
yi
viu
z
yyyy
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆+∆
=
∆
∆
ω
Cho ∆z→0, ta được:
y
u
i
y
v
zf
∂
∂
−
∂
∂
=)('
(1.24)
So sánh (1.12) và (1.13) ta có:
y
u
i
y
v
x
v
i
x
u
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
, so sánh phần thực với phần
thực, phần ảo với phần ảo của hai số phức này, ta có:
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
u
x
v
y
v
x
u
- Điều kiện Cauchy Riemann
- Chứng minh điều kiện đủ:
Giả thiết u(x, y) và v(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm (x, y) và các đạo
hàm riêng đó thỏa mãn điều kiện C-R. Ta sẽ chứng minh
z∆
∆
ω
có giới hạn duy nhất khi
∆z→0 theo mọi cách.
Ta có:
yix
viu
z ∆+∆
∆+∆
=
∆
∆
ω
(1.25)
Khoa khoa học cơ bản
14
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Từ giả thiết ta suy ra u(x, y) và v(x,y) khả vi nghĩa là:
∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
yxy
y
v
x
x
v
v
yxy
y
u
x
x
u
u
21
21
ββ
αα
Trong đó
α
1
,
α
2
,
β
1
,
β
2
→0 khi ∆x→0, ∆y→0 (tức là ∆z→0) thay vào (1.20) các
kết quả này, ta có:
( ) ( )
yix
yixi
yix
y
y
v
ix
x
v
iy
y
u
x
x
u
yix
yxy
y
v
x
x
v
iyxy
y
u
x
x
u
z
∆+∆
∆++∆+
+
∆+∆
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
∆+∆
∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
∆
∆
2211
2121
βαβα
ββαα
ω
Do điều kiện C-R, ta có thể lấy ∆x +i ∆y làm thừa số chung trong tử số của số
hạng thứ nhất bên vế phải:
( ) ( )
( )
∂
∂
−
∂
∂
∆+∆=
∂
∂
−∆+∆+
∂
∂
∆+∆=
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
−∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
y
u
i
x
u
yix
y
u
yix
x
u
yix
y
x
u
ix
y
u
iy
y
u
x
x
u
y
y
v
ix
x
v
iy
y
u
x
x
u
Vậy:
( ) ( )
yix
yixi
y
u
i
x
u
z ∆+∆
∆++∆+
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∆
∆
2211
βαβα
ω
(1.26)
Chú ý rằng khi ∆x→0, ∆y→0 thì số hạng thứ hai bên vế phải dần tới 0
Thật vậy:
( )
1111
22
;1
βαβα
i
yix
x
i
yx
x
yix
x
yix
x
+≤
∆+∆
∆
+≤
∆+∆
∆
=
∆+∆
∆
=
∆+∆
∆
Khi ∆x→0, ∆y→0, thì
α
1
→0,
β
1
→0. Vậy:
( )
0
11
→
∆+∆
∆
+
yix
x
i
βα
Tương tự, ta chứng minh được rằng:
( )
0
22
→
∆+∆
∆
+
yix
y
i
βα
Khoa khoa học cơ bản
15
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Cho nên nếu cho ∆z→0 (theo mọi cách), thì vế phải của (1.26) sẽ có giới hạn là
y
u
i
x
u
∂
∂
−
∂
∂
. Vế trái cũng dần tới giới hạn đó, nghĩa là ta đã chứng minh rằng tồn tại
y
u
i
x
u
zf
∂
∂
−
∂
∂
=)('
Do điều kiện C-R có thể tính đạo hàm bằng nhiều biểu thức khác
nhau:f’(z)=u’
x
+iv’
x
=v’
y
-iu’
y
=u’
x
-u’
y
=v’
y
+iv’
x
.
- Ví dụ:
* Hàm số
ω
=e
x
cosy + ie
x
siny có đạo hàm tại mọi điểm vì điều kiện C-R luôn luôn được
thỏa mãn.
Thật vậy: u = e
x
cosy, v = e
x
siny
Ta có: u’
x
= e
x
cosy = v’
y
u’
y
=-e
x
siny = -v’
x
ω
ω
=+= yieye
dz
d
xx
sincos
* Hàm số
ω
=x + 2y + i(2x + y) không có đạo hàm tại mọi điểm vì:
Ta có: u= x + 2y, v = 2x + y
Suy ra: u’
x
= 1 = v’
y
nhưng u’
y
=2
≠
-v’
x
=-2
1.8. Các quy tắc tính đạo hàm
Vì định nghĩa đạo hàm của hàm biến phức giống như định nghĩa đạo hàm của hàm
biến thực, nên các phép tính đạo hàm của tổng, tích, thương, hàm hợp hoàn toàn tương tự
như đối với hàm thực.
Giả sử các hàm f(z) và g(z) có đạo hàm tại điểm z. Khi đó:
[f(z) + g(z)]’=f’(z) + g’(z)
[f(z).g(z)]’=f’(z). g(z) + f(z). g’(z)
)(
)(').()().('
'
)(
)(
2
zg
zgzfzgzf
zg
zf −
=
Nếu
ω
=f(z), z=
ϕ
(
ζ
) đều là những hàm có đạo hàm, thì đạo hàm của hàm hợp
ω
=f[
ϕ
(
ζ
)] là:
ξ
ω
ξ
ω
d
dz
dz
d
d
d
.=
Nếu f(z) là hàm đơn diệp có hàm ngược là h(
ω
), thì:
0)(';
)('
1
)(' ≠= zh
zh
zf
1.9. Ý nghĩa hình học của
Khoa khoa học cơ bản
16
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Giả thiết hàm
ω
=f(z) có đạo hàm tại mọi điểm trong một lân cận điểm z
0
và f’(z
0
).
1.9.1. Ý nghĩa hình học của Argf’(z
0
)
Cho phép biến hình
ω
=f(z) biến điểm z
0
thành điểm
ω
0
=f(z
0
). Gọi M
0
là tọa vị của
z
0
và P
0
là tọa vị của
ω
0
.
Cho L là một đường cong bất kỳ đi qua M
0
và có phương trình là z(t) = x(t) +
iy(t).
Giả sử: z’(t
0
) = x’(t
0
) + iy(t
0
)
≠
0, nghĩa là hai số x’(t
0
) và y’(t
0
) không đồng thời
triệt tiêu khi t=t
0
, vậy đường cong L có tiếp tuyến tại M
0
mà ta gọi là M
0
T.
Gọi
Γ
là ảnh của L qua phép biến hình. Hiển nhiên là
Γ
đi qua P
0
và nó có phương
trình là:
ω
=
ω
(t) = f[z(t)].
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, thì:
ω
’(t
0
) = f’(z
0
)z’(t
0
).
Nhưng theo giả thiết thì f’(z
0
)
≠
0, z’(t
0
)
≠
0 vậy
ω
’(t
0
)
≠
0. Vậy tại P
0
, đường cong
Γ
có tiếp tuyến P
0
τ
.
Lấy z là một điểm khác thuộc L, nó có ảnh là
ω∈Γ
. Theo định nghĩa đạo hàm:
)('lim
0
0
0
0
zf
zz
zz
=
−
−
→
ωω
(1.27)
Vậy:
[ ]
)()(limlim)('
00
0
0
0
00
zzArgArg
zz
ArgzArgf
zzzz
−−−=
−
−
=
→→
ωω
ωω
Gọi M, P lần lượt là tọa vị của z,
ω
thì đẳng thức trên được viết là:
−
=
→→
∈
→
→→
Γ∈
→
MMOxPPuOzArgf
LM
MM
P
PP
0010
,lim,lim)('
00
Vì khí P→P
0
, cát tuyến P
0
P dần tới tiếp tuyến P
0
τ
với
Γ
: khi M→M
0
, cát tuyến
M
0
M dần tới tiếp tuyến M
0
T với L nên:
−
=
→→→→
TMOxPuOzArgf
0010
,,)('
τ
(1.28)
Hay:
)(',,
0001
zArgfTMOxPuO +
=
→→→→
τ
Từ đó suy ra: Argf’(z
0
) là góc mà ta cần quay tiếp tuyến
TM
0
với đường cong L
tại điểm M
0
để được hướng của tiếp tuyến
τ
0
P
với đường cong
Γ
tại P
0
.
1.9.2. Xét hai đường cong bất kỳ L và L’ đi qua M
0
lần lượt có tiếp tuyến
TM
0
và
'
0
TM
tại M
0
là
Gọi
Γ
và
Γ
’ là ảnh của chúng qua phép biến hình
ω
=f(z).
Khoa khoa học cơ bản
17
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Γ
và
Γ
’ lần lượt có tiếp tuyến tại P
0
là:
τ
0
P
và
'
0
τ
P
Theo kết quả trên
−
=
→→→→
TMOxPuOzArgf
0010
,,)('
τ
Nhưng vì công thức (1.13) được thiết lập với L và
Γ
bất kỳ, nên
−
=
→→→→
',',)('
0010
TMOxPuOzArgf
τ
Từ đó suy ra:
−
=
−
→→→→→→→→
ττ
010100
,',,', PuOPuOTMOxTMOx
(1.29)
Vậy góc giữa hai đường cong L và L’ bằng góc giữa hai ảnh
Γ
và
Γ
’ của chúng cả
về độ lớn và về hướng. Ta nói phép biến hình
ω
=f(z) bảo toàn góc giữa hai đường cong
hay phép biến hình
ω
=f(z) là bảo giác.
1.9.3. Ý nghĩa của
)('
0
zf
Từ (1.18), ta suy ra:
MM
PP
zzzz
zf
MM
PP
zzzz
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
lim
lim
limlim)('
→
→
→→
=
−
−
=
−
−
=
ωω
ωω
Với ∆z=z-z
0
khá nhỏ, thì
∆ω
cũng khấ nhỏ, ta có:
( )
MK
PP
zf
0
0
' ≈
Hay
( )
MMzfPP
00
.'≈
(1.30)
1.10. Hàm giải tích
1.10.1. Định nghĩa 1
Giả sử G là một miền mở. Nếu
ω
=f(z) có đạo hàm f’(z) tại mọi điểm thuộc G, thì
nó được gọi là giải tích (chỉnh hình) trong miền G.
Hàm
ω
=f(z) được gọi là giải tích tại điểm z nếu nó giải tích trong một lận cận nào
đó của z.
1.10.2. Định nghĩa 2
Những điểm tại đó hàm
ω
=f(z) không giải tích, được gọi là các điểm bất thường
của những hàm số đó
Khoa khoa học cơ bản
18
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Ví dụ:
- Hàm
ω
=z
2
giải tích trong toàn C
- Hàm
ω
=e
x
cosy+ie
x
siny giải tích trong toàn C
1.10.3. Tính chất của hàm giải tích
Tổng, tích của hai hàm giải tích là một hàm giải tích, thương của hai hàm giải tích
là một hàm giải tích trừ tại những điểm làm mẫu số triệt tiêu; hợp của hai hàm giải tích là
một hàm giải tích; hàm ngược của một hàm giải tích là một hàm giải tích; hàm ngược của
một hàm giải tích đơn diệp có đạo hàm khác không là một hàm giải tích đơn diệp.
1.11. Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa
Cho hàm
ω
= f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trong một miền đơn liên G
Phần thực u(x,y) và phần ảo v(x,y) của nó là những hàm điều hòa trong G, nghĩa là
chúng thỏa mãn phương trình Laplace;
( )
Gyx
y
v
x
v
v
y
u
x
u
u ∈
∂
∂
+
∂
∂
=∆
∂
∂
+
∂
∂
=∆ ,;;
2
2
2
2
2
2
2
2
Thật vậy, theo giả thiết, điều kiện C-R được thỏa mãn, tức là
u
’
x
= v’
y
, u’
y
= -v’
x
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức thứ nhất đối với x, ta được u”
xx
=v”
yx
. Lấy đạo
hàm hai vế của đẳng thức thứ hai đối với y, ta được u”
yy
=-v”
xy
. Cộng hai đẳng thức vừa
thu được ta có
∆
u=v”
yx
– v”
xy
=0.
Tương tự, ta chứng minh được
∆
v =0.
Ngược lại, cho trước hai hàm điều hòa bất kỳ u(x,y) và v(x,y) thì nói chung , hàm
w=u(x,y) + iv(x,y) không giải tích. Muốn w=u+iv là hàm giải tích thì u và v phải là hai
hàm điều hòa liên hợp, nghĩa là thỏa mãn điều kiện C-R.
Vì cho trước hàm điều hòa, ta có thể tìm được hàm điều hòa liên hợp với nó (xác
định sai khác một hằng số cộng), nên cho trước phần thực hoặc phần ảo của hàm giải
tích, thì ta có thể tìm được hàm giải tích đó (sai khác hằng số cộng).
Phương pháp tìm hàm v(x,y) điều hòa liên hợp với hàm điều hòa u(x,y) cho trước
trong một miền đơn liên G.
Do điều kiện C-R, ta có đạo hàm riêng của v(x,y) là: v’
x
=-u’
y
; v’
y
=u’
x
với (x,y)
∈
G. Vậy tìm hàm v(x,y) biết rằng trong miền đơn liên G, nó có vi phân là:
dv = v’
x
dx + v’
y
dy=-u’
y
dx + u’
x
dy
Thật vậy, nếu đặt P=-u’
y
, Q=u’
x
, thì điều kiện:
0
''''
=+=
∂
∂
−
∂
∂
yyxx
uu
y
P
x
Q
thoả mãn
Theo kết quả của giải tích:
Khoa khoa học cơ bản
19
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
( ) ( ) ( )
Cdyyxudxyxuyxv
y
y
x
x
x
y
++−=
∫∫
00
,,,
''
(1.31)
- Ví dụ: Cho u = x
2
-y
2
+2x, là hàm điều hoà trong toàn mặt phẳng vì
∆
u=0
∀
(x,y).
Theo (1.16), chọn x
0
=y
0
=0, ta có :
( ) ( )
CyxyCdydxyyxv
y
x
++=++−−=
∫∫
2222,
00
Vậy: f(z) = u+iv= x
2
-y
2
+2x+i(2xy+2y+C)=(x
2
+2xyi-y
2
)+(2x+2yi)+iC
= (x+iy)
2
+2(x+iy)+iC=z
2
+2z+iC
f(z) là một hàm giải tích trong toàn C
1.12. Hàm luỹ thừa
Cho hàm
ω
=z
n
Nếu z=r(cos
ϕ
+isin
ϕ
) thì
ω
=z
n
=r
n
(cos
ϕ
+isin
ϕ
)
n
=r
n
(cosn
ϕ
+isinn
ϕ
)
Vậy ảnh của tia Argz=
α
là tiaArgz=n
α
thu được bằng phép quay tia Argz=
α
quanh gốc toạ độ một góc bằng (n-1)
α
.
Ảnh của đường tròn
Rz
=
là đường tròn
n
R
=
ω
. Ảnh của mặt phẳng z là mặt
phẳng
ω
, nhưng phép biến hình từ mặt phẳng z lên mặt phẳng
ω
không đơn diệp, vì nếu
z
1
và z
2
là hai số phức có cùng modun và có argument sai khác nhau một số nguyên lần
n
π
2
thì
nn
zz
21
=
.
Muốn cho hàm
ω
=z
n
đơn diệp trong miền G nào đó, thì miền G phải không chứa
bất kỳ một cặp điểm nào có cùng modun và argument hơn kém nhau
n
π
2
.
Chẳng hạn miền quạt
n
z
n
ππ
3
arg <<
cũng là một miền đơn diệp khác của hàm
ω
=z
n
. Ảnh của miền quạt này qua phép biến hình là mặt phẳng
ω
, bỏ đi một lát cắt dọc
theo nửa trục thực âm.
Hàm
ω
=z
n
giải tích trong toàn mặt phẳng, vì ta có:
Cznz
dz
d
n
∈∀=
−
,
1
ω
Phép biến hình
ω
=z
n
bảo giác tại mọi điểm z
≠
0.
Hàm
n
z=
ω
là hàm ngược của hàm z=
ω
n
. Nó là một hàm đa trị vì mỗi số phức
z=r(cos
ϕ
+isin
ϕ
)
≠
0 có n căn bậc n được cho bởi:
1, ,1,0;
2
sin
2
cos −=
+
+
+
= nk
n
k
i
n
k
r
n
πϕπϕ
ω
Toạ vị của n số phức này là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh tâm O.
Khoa khoa học cơ bản
20
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Giả sử rằng điểm z vạch thành một đường cong kín L không bao quanh gốc O,
xuất phát từ điểm z
0
. Khi đó điểm
n
z=
ω
trong đó
n
z
là một giá trị nào đó của căn thức
mà ta chọn trước sẽ vạch nên một đường cong kín
Γ
0
, xuất phát từ điểm
n
z
00
=
ω
, vì khi
xuất phát từ z
0
chạy một vòng trên C thì Argz biến thiên từ giá trị ban đầu Argz
0
rồi lại
quay về đúng giá trị ấy. Còn những giá trị của căn thức khác với giá trị đã chọn trên sẽ
vạch nên những đường cong kín
Γ
k
, đươc suy từ
Γ
0
bằng phép quay các góc
1, ,2,1,
2
−= nk
n
k
π
quanh gốc toạ độ.
Giả sử rằng điểm z vạch thành một đường cong kín C theo hướng dương bao một
vòng quanh gốc O, xuất phát từ điểm z
0
. Trong trường hợp này, sau khi z chạy một vòng
thì argument của z tăng thêm 2
π
, vậy argument của
ω
tăng thêm
n
π
2
, nên điểm
ω
sẽ vạch
nên một đường cong liên tục đi từ
ω
0
tới
+=
n
i
n
ππ
ωω
2
sin
2
cos
01
, nghĩa là
ω
đi từ giá
trị
ω
0
của căn thức tới một giá trị khác của căn thức. Do đó điểm
n
z
=
ω
chỉ trở về vị trí
xuất phát sau khi z chạy n vòng trên C.
Điều đó chứng tỏ rằng muốn tách được một hàm đơn trị liên tục từ hàm đa trị
n
z
=
ω
thì miền xác định E của hàm đơn trị này không được chứa một đường cong kín
nào bao quanh gốc O. Muốn vậy, ta có thể lấy E là mặt phẳng phức z cắt đi mọt lát cắt
γ
đi từ gốc toạ độ O ra
∞
.
1.13. Hàm mũ
1.13.1. Định nghĩa
Gọi hàm phức có phần thực u(x,y) = e
x
cosy và phần ảo v(x,y) = e
x
siny là hàm mũ
biến phức và kí hiệu là e
z
:
ω
=e
z
= e
x+iy
= e
x
(cosy +isiny)
(1.32)
Cho y=0, ta có:
ω
=e
x
, nghĩa là khi z=x thực thì ta được hàm biến thực e
x
đã biết.
Khi đó hàm mũ phức
ω
=e
z
là thác triển của hàm mũ e
x
từ trục thực ra toàn bộ mặt phẳng
phức.
Theo định nghĩa trên, ta có:
nguyenkkyArgze
x
,2,
πω
+==
(1.33)
1.31.2. Các phép tính về hàm mũ
Khoa khoa học cơ bản
21
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
( )
nguyenneee
e
e
eee
zn
n
z
zz
z
z
zzzz
,;;.
21
2
1
2121
===
−+
(1.34)
Chứng minh :
Giả sử z
1
=x
1
+iy
1
, z
2
=x
2
+iy
2
. Theo định nghĩa ta có :
( ) ( )
2211
sincos;sincos
2211
yiyeeyiyee
xzxz
+=+=
Vậy
( )( )
2211
sincossincos
2121
yiyyiyeeee
xxzz
++=
Vì khi nhân hai số phức thì modun nhân với nhau, còn argument cộng với nhau
nên :
( ) ( )
[ ]
2121
sincos
2121
yyiyyeee
xxzz
+++=
+
Theo định nghĩa hàm mũ phức, ta có :
21212121
))(( zzyyxxzz
eeee
+++
==
, điều phải chứng minh
1.31.3. Chu kỳ của hàm mũ
Theo định nghĩa ta có :
)(12sin2cos
2
nguyenkkike
ik
=+=
ππ
π
Theo (1.) ta có:
zikzzik
eeee =+=
+
ππ
22
(1.35)
Như vậy, hàm
ω
=e
z
là hàm tuần hoàn với chu kỳ là một số ảo 2
π
i. Vậy hai điểm
nằm trên một đường song song với trục ảo và cách nhau một khoảng bằng bội nguyên
của 2
π
i thì có cùng ảnh.
1.13.4. Công thức Euler
Trong (1.) cho x=0, ta có :
yiye
iy
sincos +=
(1.36)
Thay y bởi –y, ta có :
yiye
iy
sincos −=
−
(1.36a)
Như vậy, nhờ công thức Euler mà số phức z còn được viết dưới dạng mũ : z=re
i
ϕ
.
- Ví dụ:
( )
3sin3cos
232
iee
i
+=
+
4
2
4
sin
4
cos21
π
ππ
i
eii =
+=+
1.14. Hàm Loga
1.14.1. Định nghĩa
Khoa khoa học cơ bản
22
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Hàm ngược của z=e
x
được gọi là hàm loga và được ký hiệu là:
ω
= Lnz
1.14.2. Phần thực và phần ảo của hàm
ω
= Lnz
Đặt
ω
= Lnz = u+iv, thì theo định nghĩa ta có: e
u+iv
= z
Vậy
zuhayze
u
ln==
và v=Argz
Tóm lại:
iArgzzLnz +== ln
ω
(1.37)
Hay
)2(argln
πω
kzizLnz ++==
(1.38)
Như vậy hàm
ω
= Lnz là một hàm đa trị. Ứng với mỗi z có vô số giá trị của
ω
,
những giá trị này của
ω
có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau một bội số
nguyên của 2
π
. Ảnh của điểm z là những điểm
ω
nămg trên cùng một đường thẳng song
song với trục ảo và cách nhau một khoảng có độ dài bằng một bội số nguyên của 2
π
.
1.14.3. Tách nhánh đơn trị
Trong công thức (1.27), giả sử k=k
1
là một số nguyên cố định. Khi đó ta sẽ được
một nhánh đơn trị của hàm loga và kí hiệu (
ω
)
1
. Nhánh này biến miền -
π
<argz<
π
của
mặt phẳng z (tức là mặt phẳng z với lát cắt dọc theo trục x âm) lên bằng (2k
1
-
1)
π
<Im
ω
<
π
(2k
1
+1) của mặt phẳng
ω
.
Nếu không vẽ một lát cắt đi từ điểm z=0 ra
∞
, thì khi điểm z vạch một đường cong
kín quanh gốc O theo hướng dương, argumen của z sẽ tăng thêm 2
π
, và như vậy ta sẽ đi
từ nhánh đơn trị này sang nhánh đơn trị khác. Vậy điểm O cũng là một điểm rẽ nhánh của
hàm đa trị
ω
= Lnz, được ký hiệu là lnz :
zizz arglnln +=
(1.39)
Nếu z là một số thực dương : z=x>0 thì argz=0,
xz =
, vậy lnz=lnx, nghĩa là giá
trị chính của hàm loga trùng với hàm loga biến thực, nói khác đi lnz là thác triển của hàm
thực lnx, từ trục thực x>0 ra mặt phẳng phức z.
- Ví dụ : Hãy tính
( ) ( )( ) ( )
ππππ
ikikiLn =+=+−+−=− 221arg1ln1
( )
4
2ln
2
1
4
2ln1ln
ππ
iii +=+=+
1.14.4. Tính chất giải tích
Khoa khoa học cơ bản
23
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
Nhánh đơn trị
ω
= lnz là một hàm giải tích trong mặt phẳng phức z bỏ đi lát cắt
dọc theo nửa trục x<0.
Theo công thức tính đạo hàm của hàm ngược ta có:
( )
( )
z
ee
z
11
'
1
'ln ===
ωω
1.14.5. Các phép tính
Hàm
ω
= Lnz có các tính chất sau :
( )
2121
. LnzLnzzzLn +=
( )
duongnguyenniknLnzzLnLnzLnz
z
z
Ln
n
,2;
21
2
1
π
+=−=
(1.40)
Chứng minh:
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
212211
2121212121
lnln
)(lnln ln.
LnzLnziArgzziArgzz
ArgzArgzizzzziArgzzzzLn
+=+++=
+++=+=
1.15. Hàm lượng giác
Từ công thức Euler:
−
=
+
=
⇒
−=
+=
−
−
−
i
ee
y
ee
y
yiye
yiye
iyioy
iyioy
iy
ioy
2
sin
2
cos
sincos
sincos
Như vậy ta đã biểu diễn cosy và siny theo e
-iy
và e
iy
với y thực. Sau đó ta sẽ thác
triển công thức đó từ trục thực ra mặt phẳng phức.
1.15.1. Định nghĩa
Các hàm lượng giác biến phức được định nghĩa theo các công thức sau đây :
z
z
gz
z
z
tgz
i
ee
y
ee
y
iyioy
iyioy
sin
cos
cot;
cos
sin
;
2
sin
2
cos
==
−
=
+
=
−
−
(1.41)
Vì e
iz
và e
-iz
là những hàm đơn trị, nên các hàm lượng giác biến phức cũng là
những hàm đơn trị.
1.5.2. Đạo hàm của hàm lượng giác
Vì e
-iz
và e
iz
là những hàm giải tích trong toàn C nên
ω
=sinz và
ω
=cosz cũng là
những hàm giải tích trong toàn C. Ta có :
Khoa khoa học cơ bản
24
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace
( )
( ) ( )
[ ] [ ]
( )
zeeieie
i
ee
i
z
iziziziziziz
cos
2
1
2
1
''
2
1
'sin =+=+=−=
−−−
Tương tự (cosz)’=-sinz
Hàm
z
z
tgz
cos
sin
==
ω
giải tích tại mọi điểm mà cosz
≠
0
Xét phương trình cosz =0, ta có :
e
iz
=-e
-iz
hay e
2iz
=e
i
π
⇒
2iz=i
π
+2ki
π
, phương trình này có nghiệm là:
π
π
kz +=
2
Như vậy, tgz giải tích tại mọi điểm
π
π
kz +≠
2
. Khi đó:
( )
z
tgz
2
cos
1
'=
.
1.15.3. Tính chất
Các hàm lượng giác phức cũng có tính chất chẵn lẻ và tuần hoàn như hàm lượng
giác thực.
cos(-z) = cosz ; sin(-z) =-sinz ; tg(-z) = -tgz
cos(z+2
π
)=cosz ; sin(z+2
π
)=sinz ; tg(z+2
π
)=tgz
Thật vậy:
( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
zeeeez
izzizizi
cos
2
1
2
1
cos =+=+=−
−−−−
:
( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
zeeeez
izzizizi
cos
2
1
2
1
2cos
22
=+=+=+
−+−+
ππ
π
Vì e
2
π
i
= e
-2
π
i
= 1
Tương tự, ta chứng minh được các tính chất khác.
1.15.4. Các phép tính
Ta có:
sin
2
z + cos
2
z = 1
sin(z
1
+z
2
) = sinz
1
cosz
2
+ sinz
2
cosz
1
(1.42)
cos2z = cos
2
z – sin
2
z ;
2
cos
2
sin2sinsin
2121
21
zzzz
zz
++
=+
sin
2
z + cos
2
z = cos
2
z –i
2
sin
2
z = (cosz + isinz)(cosz - isinz) = e
iz
.e
-iz
= 1
- Ví dụ:
Tính cosi = ?
Theo định nghĩa:
543,1
1
2
1
2
cos
11
≈
+=
+
=
−
e
e
ee
i
. Như vậy cosi là một số thực và
543,1cos =i
1.16. Hàm Hypebol
1.16.1. Định nghĩa
Khoa khoa học cơ bản
25
