tích phân và ứng dụng của tích phân trong kinh tế

BÀI THẢO LUẬN
ĐỀ TÀI: Tích phân và ứng dụng của
tích phân trong kinh tế.
Nhóm: 04
Lớp: 1115FMAT0211

DANH SÁCH NHÓM:
•
Lại Quang Huy
•
Lã Thanh Huyền
•
Lê Thị Hường
•
Nguyễn Thị Hường
•
Vũ Thị Lan
•
Vũ Thị Hữu
•
Nguyễn Thị Hương
•
Lã Thanh Huyền
•
Nguyễn Thị Lệ
•
Đỗ Thị Ngọc Lan

Các phương pháp tính tích phân bất định:

1. Phương pháp đổi biến
Xét
Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó và có
hàm ngược. Khi đó .Trong trường hợp đó ta có công
thức . Trong dạng này ta dễ dàng
tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn
Vậy trở lại biến cũ ta được
dttdx )(
ϕ
′
=
∫
dxxf )(
)(tx
ϕ
=
( )
∫ ∫
′
= dtttfdxxf
ϕϕ
)]([)(
Ctdtttf +Φ=
′
∫
)()()]([
ϕϕ
Cxdxxf +Φ=
∫
−

))(()(
1
ϕ
1. Phương pháp đổi biến
Xét
Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó và có
hàm ngược. Khi đó .Trong trường hợp đó ta có công
thức . Trong dạng này ta dễ dàng
tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn
Vậy trở lại biến cũ ta được

Ví dụ 1. Tính các tích phân:

C
x
x
C
t
t
t
dt
tt
tdt
I
tdtdxtxtxtx
+
++
−+
=+
+

−
=
−
=
−
=
=−=→=+→=+
∫∫
11
11
ln
1
1
ln
)1(
2
)1(
2
2;111
22
1
2
∫∫∫
+
=
−
=
+
= dx
xx

x
I
x
dx
I
xx
dx
I
44
3
32
21
cossin
2sin
)3
)1(
)2
1
)1
C
x
x
C
t
t
C
t
t
Ct
t

dt
t
tdt
I
ttxtdtdxxttx
+
−
=+
−
=+=+===
=−=−==→=
∫∫
22
2
2
3
2
2
222
1sin1
sin
cos
sin
tan
cos
)(cos
cos
cossin11;cos,arcsinsin
CxCt
t

td
tt
dt
tt
dt
I
xt
xx
xd
dx
xxx
xx
I
+−=+−=
+−
−
=
++−
=
+−
=
=
−−
=
−+
=
∫∫∫
∫∫
)1sin2arctan()
2

1
(2arctan
]
4
1
)
2
1
[(2
)
2
1
(
2
1
)
4
1
2
1
.2(2
221
sin
)sin1(sin21
)(sin
cossin2)cos(sin
cossin2
2
22
2

3
2
22
2
22222
3
Giải
1) Đặt
2)Đặt
3)
Đặt
Ta có
CxCt
t
td
tt
dt
tt
dt
I
xt
xx
xd
dx
xxx
xx
I
+−=+−=
+−
−

=
++−
=
+−
=
=
−−
=
−+
=
∫∫∫
∫∫
)1sin2arctan()
2
1
(2arctan
]
4
1
)
2
1
[(2
)
2
1
(
2
1
)

4
1
2
1
.2(2
221
sin
)sin1(sin21
)(sin
cossin2)cos(sin
cossin2
2
22
2
3
2
22
2
22222
3

2. Phương pháp tính tích phân theo từng phần
•
Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi, ta có
d(uv)= udv+ vdu
Lấy tích phân hai vế ta có công thức
Ví dụ 2. Tính các tích phân bất định
∫ ∫
−= vduuvudv
∫ ∫

−
xdxexdxx
x
cos)2sin)1
2
Giải
Cxx
e
J
Jxxexdxexexe
xdxexexdexdxeJ
Cxxxxdxxxxxdxdxx
x
xxxx
xxxx
+−=⇒
−−=−−
=+===
++−=+−=−=
−
−−−−
−−−−
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫
)cos2(sin
5
4)cos2(sincos4cos2sin
sin2sin)(sincos)2
sincoscoscos)cos(sin)1

2
2222
2222


)(

)(
)(
)(
)(
)(

)(

)(

)()(
)(

)()()(
)(
2
22
1
11
2
2
1
1

22
22
22
2
22
22
2
11
11
22
11
2
22
11
2
11
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
+
++

+
++
++
+
+
++
+
+
++
+
++
++
+
+
++
+
+
+
−
++
−
+
−
+
−
++
−
+
−
=

m
mm
m
mm
n
n
n
n
m
n
cxbx
QP
cbx
QxP
cxbx
QxP
cxbx
NM
cbx
NxM
cbx
NxM
xx
B
xx
B
xx
B
xx
A

xx
A
xx
A
xQ
xP
Trong đó là các hằng số được xác
định bằng phương pháp hệ số bất định.
, , ,,,, ,,,, ,,
121
212121 mnn
MMMBBBAAA