tích phân và ứng dụng của tích phân

Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Ch ơng 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1
)(
2
+
=
x
x
xg
2) Tính nguyên hàm của hàm số
32
)1(
1
)(
+
=
x
xf
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0#,)(
2
aaxxxg +=
2) Tính nguyên hàm của hàm số
0#,)(

2
aaxxf +=
3) Tính nguyên hàm của hàm số
0#,)2()(
2
aaxxxh ++=
Bài 3: CMR hàm số
)1ln()( xxxF +=
là một
nguyên hàm của hàm số
x
x
xf
+
=
1
)(
Bài 4: CMR hàm số
0 # a ,ln
22
)(
22
axx
a
ax
x
xF ++++=
là một
nguyên hàm của hàm số
axxf +=

2
)(
Bài 5: CMR hàm số





=
>

=
0 xkhi 0
0 xkhi
4
)1ln(
)(
2
xxx
xF
là một nguyên
hàm của hàm số



=
>
=
0 xkhi 0
0 xkhix.lnx

)(xf
Bài 6: Xác định a,b,c để hàm số
2
3
x voi32)()(
2
>++= xcbxaxxF
là một
nguyên hàm của hàm số
32
73020
)(
2

+
=
x
xx
xf
Bài 2 Xác định nguyên hàm bằng
công
thức
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)
dx
xx

3
11
;
dx
x
x










3
1
2)
dxxxxxx .))(2(
44

+
3)

.
12
1
; .
12
4
2
2
2
dx
xx
xx
dx
xx
x

+
++
+
+
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)
.
1
1
; .
43
4
2
2

dx
x
x
dx
x
dx

+


2)
.
sin
; .
sin1
dx
x
dx
dx
x
dx

+
3)
dx
xxx
dx
dx
x
dxx

.
)ln(ln.ln.
; .
2cos
.sin
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)
( )
32 ; 2 dxdxee
xxxx

+++

2)

ln.
;
cos
2.
2

+

xx
dx
dx
x
e
e
x
x
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
1
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
3)

49
3.2
; .)1(
3


+ dxdxe
xx
xx
x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
.cot ; cos.sin
2

dxgxdxxx
2)

+
+
5
cosx-sinx
cosx).dx(sinx
;
cos
;
cos1 x
dx
x
dx
Bài 3 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp phân tích
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
( )
12
164
f(x) ;23)(
2
2
3
+
++
==
x

xx
xxf
2)
6
2
)( ;
132
f(x)
23
24

=
+
=
xx
xf
x
xx
3)
94
194
)( ;
2
1
f(x)
2
3
2

=

=
x
xx
xf
xx
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
2f(x) ;)(
44
3
4
++==

xxxxxxf
2)
34
1
)( ;
122
1
)(
++
=
+
=
xx
xf
xx

xf
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
( )
xxxxx
xf
432
2
2
4.3.2f(x) ;23)( =+=
2)
x
xx
x
exf
10
52
f(x) ;)(
11
23
+


==
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)

)1(
; .)1.(
100

2
10


dx
x
x
dxxx
2)

31
.
; .52.
3


dx
x
dxx
dxxx
Bài 5: (ĐHQG HN Khối D 1995)
Cho hàm số
23
333
3
2
+
++
=
xx

xx
y
1) Xác định a,b,c để
)2()1(
)1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
xxxxf
444
cossinf(x) ; cos)( +==
2)
xgxxxf
266
cotf(x) ; sincos)( =+=
3)

x
xxxf
4
32
sin
1
f(x) ; sin.cos8)( ==
4)
xx
x
xx
xf
223
sin.cos
2cos
f(x) ;
sin.cos
1
)( ==
5)
23x
x
f(x) ;
2sin3
cossin
)(
24
++
=
+

+
=
x
x
xx
xf
6)
22
3
)1x(x
1
f(x) ;
1
)(
++
=
+
=
xx
xf
7)
)x.ex.(1
1x
f(x) ;
1
1
)(
x
+
+

=

=
x
e
xf
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
(Không có hàm ngợc )
1)
2
22
2
3
2
x
13
f(x) ;
2
3)(
x
exxx
x
xxf
+
=

=
2)
2
2
x-1
11
f(x) ;
3
)(
xx
x
x
xf
+
=

=
3)
;
1x
2
)( ;
x1
1
)(
2
+
=
++

=
x
x
xf
x
xf
Bài 4 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp đổi biến số
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)

+++
+
=

=
3232
).12(
B ;
)4(
23428
3
xxxx
dxx
x
dxx
A
2)
dx
xxx

x
dx
x
x
A

++

=
+

=
.
)23(
3
B ;
1
1
24
2
4
2
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
2
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
3)
dx
xx
x
dx

xx
A

+

=
+
=
.
)1(
1
B ;
)1(
1
4
4
26
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)
dxx
xx
xdx
A .1B ;
11.1
2
22

+=
+++
=

2)
(
)
dx
xx
dx
e
dx
A
x
.
1)1(.1
B ;
1
3
2
3
2

+++
=
+
=
3)

+
=
+
=
65

B ;
12.2
2
xx
dx
xx
dx
A
4)
[ ]


=

=
2
3
3
1
B ;
)2).(1(
x
dxx
xx
dx
A
5)

+++
=

+++
=
11
B ;
22)1(
2
xx
dx
xxx
dx
A
6)


+
=
++
++
=
1
2
B ;
1).43(
)186(
2
2
22
3
x
dxx

xx
dxxx
A
7)


=+=
1
B ;.dx 1.
2
3 23
xx
dx
xxA
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
+
=
+
=
dx
x
xxx
xx
dx
A
sin2
cos.sincos

B;
1cossin2
2
2)

=

=
dx
xx
xx
dx
A
3
cos.sin
1
B ;
sin22sin
3)

+
==
dx
xx
x
xx
dx
A
1sincos
sin

B ;
cos.sin
2
4
53
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)


==
dx
x
x
dxxxA
2
B ;)51(
2
1023
2)

+
=

=
dx
x
dx
dx
x
dx

A
3232
)4(
B ;
)4(
3)
;
1
x
B ;
.1
2
56


=
+
=
x
dx
x
dxx
A
4)
;
2
x
2
2

=
x
dx
A
Bài 5: Tính các tích phân bất định sau
1)

+=
dxxaxA
2

+

=
dx
x
x
.
1
1
B
2)

=
+
=
dx
x
x

x
dxxx
A
6
2
2
3
cos
sin
B ;
cos1
.cos.sin
3)

+
==
dx
ee
dxxxA
xx 2/
5
1
B ;.sin.cos
4)



=+=
dx
ee

dxxxA
xx
x
4
1
B ;).ln1(
Bài 5 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp tích phân từng
phần
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
x
x
x
xxf 2sinxf(x) ;
ln
f(x) ; ln)(
2
2
=






==
2)
( )
;1f(x) ;x .cos)1()(

12x222 +
+=+= exxxf
3)
;3cos.f(x) ;.sinx )(
-2x2
xeexf
x
==
4)
; )1cot(cot)(
2 x
egxxgxf

++=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
2)

==
dxxxdxxeA
nx
.ln.B ;.cos.
22
3)

==
dxxxdxexA
x
).3sin(.B ;
232
4)

=
+
=
dxxx
x
dxex
A
x
).2cos(.B ;
)2(
.
2
2
2
5)

+
+
==
x
dxex
dx
x

x
A
x
cos1
.)sin1(
B ;.
sin
)ln(sin
2
6)

==
dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
7)
;.).724(
223

++=
dxexxxA
x
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dx
x
x
x

dx
A .
cos
B ;
sin
23
2)

=
+

=
dx
x
x
dx
x
x
xA .
sin
cos
B ;.
1
1
ln.
3
2
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
3
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân

3)

+==
dxxx
x
dxx
A ).1ln(B ;
sin
.
2
2
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
xx
x
xfa


=
3
4
2
)( )

xx
xfb

=

3
1
)( )
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
2
)1(
1
)(
+
=
xx
xf

Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số
23
333
3
2
+
++
=
xx
xx
y
1) Xác định các hằng số a,b,c để
)2(
)1()1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
10022
2001
)1(
)(
+
=
x
x
xf

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)

22
1

)( ;
123
1
)(
22
+
=

=
xx
xf
xx
xf
2)

)22(
1
)( ;
)123(
1
)(
3222
+
=

=
xx
xf
xx
xf

3)

)54(
137
)( ;
)54(
137
)(
322


=


=
xx
x
xf
xx
x
xf
4)
1
1
f(x) :
2
32
)(
32
2

+
=

+
=
x
x
x
xx
xf
5)

1)x(x
1
f(x) ;
12
)(
22
3
+
=
+
=
xx
x
xf
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
=

=
dx
xx
x
xx
dxx
A .
23
B ;
12
.
324
2)

+
=

=
dx
x
x
xx
dxx
A .
1
B ;
2

.
8
5
36
5
3)


=
+

=
dx
x
x
xx
dxx
A .
)10(
B ;
)1(
).1(
210
4
7
7
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
1)

=
+
+
=
dx
x
x
xxx
dxx
A .
)1(
B ;
65
).1(
100
3
23
3

+

=
++++

=
dx
xxx
xx
xxxx
dxx

A .
254
4
B ;
1
).1(
23
2
234
2
Bài 7 Nguyên hàm của các hàm số
Lợng giác
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) (ĐHVH 2000)
2
sin)(
2
x
xf =
2)
;cot)( ;)(
65
xgxfxt gxf ==
3)
;sin.cos)( ;8sin.cos)(
233
xxxfxxxf
==
4)
xxxxf

xxxxf
3cos.2cos.cos)(
;4sin.2cos.cos)(
=
=
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)

+
=
+
+
=
xx
dxxx
xx
dxx
A
cossin
.sin.cos
B ;
)cos1(sin
)sin1(
2)


=
++
=
xx

dxx
xx
dx
A
2cossin1013
.cos
B ;
1cossin
3)



=
+
=
xxxx
dx
xxx
dx
A
22
22
cos5cos.sin8sin3
B
;
cos2sinsin
4)

+
=

+
=
xx
dxx
x
dxx
A
442
cossin
.2cos
B ;
1sin
.2sin
5)

==
xx
dx
xx
dx
A
5342
cos.sin
B ;
cos.sin
6)

=
+

=
x
dx
xx
dxxx
A
3
cos
B ;
cos2sin
)cos(sin
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
4
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
7)


+
==
1cos2
).sin(sin
B ;
sin
.cos
2
3
3
4
x
dxxx

x
dxx
A
8)

+
=
+

=
12sin
B ;
2sin1
).sin(cos
x
dx
x
dxxx
A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Bài 8 Nguyên hàm của các hàm số
Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)


=+=
12
.
B ;.

24
3
43
xx
dxx
dxxxA
2)

++++
+++
=
+++
=
11
)1(
B ;
1
2
2
2
xxx
dxxxx
xxx
dx
A
3)


=
++

+
=
322
)1(
B ;
16
).54(
x
dx
xx
dxx
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
=

=
22
23).1(
B ;
1)1( xxx
dx
xx
dx
A
2)

++
=
++
=
12)12(
B
;
3212
3
2
xx
dx
xx
dx
A
Bài 3(ĐHY HN 1999)
Biết rằng

+++=
+
Cxx
x
dx
)3ln(
3
2
2
Tìm
nguyên hàm

+= dxxxF .3)(
2

Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999). Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
10
1
)(
+
=
x
x
xF
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
1212
1
)(
++
+=
xx
tgxxF
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích phân


=
1
2
xx
dx

I
Bài 9 Nguyên hàm của các hàm số
Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)
x
exxxF ).23()(
2
++=
2)
x
exxF

+= )
4
cos(.2)(

3)
xxxx
xF 4.3.2F(x) ;)23()(
32x22
=+=
4)
xx
x
ee
exF

==
x
23
e
F(x) :)(
5)
x
x
x
x
e
e
xF
10
52
F(x) :
1
)(
11x52 +

=
+
=
6)
2
x
2
2
1).e-(x
F(x) :

1
).1(
)(
x
x
exx
xF
x
=
+
++
=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dxxedxbxeA
xax
.sin.B ;).sin(.
22
2)

==
dxexdxxxA
xn 32
.B ;.ln.
3)

+==
dxxxdxxA ).12ln(.B ;).sin(ln

2
4)
;.).4252(
223

++=
dxexxxA
x
5)

+
==
x
x
e
dxe
x
dxx
A
1
2
B ;
sin
)ln(sin
2
6)

=
+
+

=
x
dxx
x
dxex
A
x
2
cos
).ln(cos
B ;
cos1
).sin1(
7)
;.
1
1
ln.
1
1
2


+

=
dx
x
x
x

A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
++
=
+
=
1.
)1ln(.
B ;
1
2
2
x
dxxxx
e
dx
A
x
2)

++=
+
=

dxe
xx
dxx

A
x
.2eB ;
1ln.
.ln
x
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
5
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Ch ơng 2:
tích phân
Bài 1 Tính tích phân bằng phơng
pháp
phân tích
Bài 1: Tính các tích phân
1)


+
=+=
3
1
2
1-
2
3

2x
x.dx
B ;).1( dxxA

2)

++
=

=
2
1
5
2

22x
dx
B ;.
527
e
x
dx
x
xx
A
3)

+
+
=
2
1
2
;

ln
).1(
xxx
dxx
A

=
2
6
3
3
;
sin
.cos


x
dxx
B
4)



+

==
1
0
4
0

2
dx;B ;
cos
.
xx
xx
ee
ee
x
dxtgx
A

5)

+
=
+
=

2
1
2
1
0
;
84
B ;
.
xx
dx

ee
dxe
A
xx
x
6)

+
=
+
=

2
0
3ln
0
;
sin1
B ;
.

x
dx
ee
dx
A
xx
7)

=

+
=
2
4
4
1
2
1
2
;
sin
B ;
1


x
dx
xx
dx
A
8)

=

=
+
=
2
1
3
0
22
2
3
t ;
49
6
B ;
cos3sin
x
xx
x
dx
xx
dx
A

Bài 2: Tính các tích phân


==
2
4
2
0
2
)
4
(cos.sinB ;.3sin.5cos




dxxxdxxxA
Bài 3: Tính các tích phân


+==
3
3
4
1-
2
.23B ;.2 dxxxdxxA
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng
số A,B

BxAxF += )sin(.)(

thoả mãn F(1) = 2
và

=
1
0
4).( dxxF
Bài 5: Cho
xbxaxF 2cos.2sin.)( =
xác định
a,b biết

==






2b
a
,
1. va2
2
dxaF

Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
CMR

=


4
0
4
0
2
2
)
5
103
(log dxdx
x
xx
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2)(
2
++=
x
b
x
a
xF
thoả mãn

==
1
2

1
,
3.ln2-2F(x).dx va4)(xF
Bài 8: Cho
bxaxF += 2sin.)(
xác định a,b biết
( )

==

2
0
,
3).( va40 dxxFF
Bài 2 Tính tích phân bằng phơng
pháp
đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) (ĐHNN1 HN 1999)

=
1
0
19
;.)1( dxxxA
2) (ĐHSP Quy Nhơn)

+++=
1
0

102
;.)321)(31( dxxxxI
3) (ĐHTM 1995)

+
=
1
0
2
5
;.
1
dx
x
x
I
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
6
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
4)

+
=
a
xa
dx
I
0
222
;

)(
5) (ĐHKT HN 1997)

=
1
0
635
;.)1( dxxxI
6) (ĐH TCKTHN 2000)

++
=
1
0
24

1
.
xx
dxx
I
Bài 2: : Tính các tích phân sau
1)
;.
4
B ;.
1
1
0
2

2
1
0


=

= dx
x
x
dx
x
x
A
2)

1
B ;.
1
0
1
2
1
2
2
2
2


++

=

=
xx
dx
dx
x
x
A
3)
1995) -(DHTM ;.1.
1
0

= dxxxA
4)
1998) (DHYHN ;.1
1
2
1
2


= dxxA
5)
2000) HP (DHY ;.)1(
1
0
32

= dxxA
6)
1998) (HVQY ;.
1.
3
2
2

+
= dx
xx
dx
A
7) (ĐHGTVT HN 1996)

+=
3
0
25
;.1 dxxxA
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)

==
3
0
4
0
2cos
.

B ;.sin
2
x
dxxtg
dxxA

2)


=
++
=
3
6
2
2
0
cos.sincos
.
B;
1cossin



xxx
dxtgx
xx
dx
A
3) (ĐHQGTPHCM 1998)

+
=
2
0
4
sin1
.2sin

x
dxx
I
4) (CĐHQ TPHCM 1999)


=
2
0
2
cossin711
.cos

xx
dxx
I
5) (HVKTQS 1996)


=
2

3
3
3
.cot.
sin
.sinsin


dxgx
x
xx
I
6) (ĐH Y Dợc TPHCM 1995)

+
=

0
2
cos49
.sin.
x
dxxx
I
7) (HVBCVT HN 1998)

+
=
2
0

2
3
cos1
.cos.sin

x
dxxx
I
8) (CĐSP TPHCM 1997)

+
=
6
0
2
sinsin56
.cos

xx
dxx
I
9) (HVNH HN 1998)

=

0
2
.cos.sin. dxxxxI
Bài 4: Tính các tích phân sau
1)

+

=
+
=
1
0
2
1
.
2
2
ln.
4
1
;
2
.ln2
dx
x
x
x
B
x
dxx
A
e
2) (ĐH CĐoàn 1999)

+
=
2ln
0
1
x
e
dx
I
3) (ĐH Y HN 1999)

+
=
1
0
2 xx
ee
dx
I
4)

++
+
==
2ln
0
2x
2x
1

0
.
33e
3e
B ;. dx
e
e
dxeA
x
x
x
Bài 5: Tính các tích phân sau (Tham khảo)
**Đổi biến dạng luỹ thừa cơ bản***
1)
;.1B ;.
1
1
0
3
3
0

=
+
= dxxdx
x
x
A
2)
;

1
B ;1
1
1
2
1
0
3


++
== dx
xx
x
dxxxA
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
7
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
3)
;
1
B ;2
1
0
6
2
2
1
246

+
=+= dx
x
x
dxxxA
4)
;B ;
4
1
4
1
2

=
+
= dx
x
e
xx
dx
A
x
**Đổi biến hàm lợng giác cơ bản***
5)

+
==
2
0
4

6
.
cos31
sin
B ;.cot


dx
x
x
dxgxA
6)







+=+=
2
0
cos
6
0
2
cos.B ;.cossin41


dxxedxxA

x
7)

=
+

=
2
0
3
4
0
sinsinB ;
cossin
cossin

dxxxdx
xx
xx
A
8)

==
4
0
3
3
4
3
6

2
cos
sin
B ;
cos
sin


dx
x
x
dx
x
x
A
9)

=

+
=
3
6
4
3
6
0
2
2
sin

cos
B ;
1
1



dx
x
x
dx
xtg
xtg
A
10)

+
=
+

=
2
0
2
4
0
cos1
2sin
B ;
2sin2

cossin

dx
x
x
dx
x
xx
A
**Đổi biến hàm mũ logarit cơ bản***
11)


=
+
=
ee
xx
dx
dx
x
x
A
1
2
1
ln1
B ;
ln1
12)

+
=
+
=

ee
e
x
dxxx
xx
dx
A
1
3
2
2
ln1)(ln
B ;
)ln1(cos
4
1
13)


=
+
=
2ln2
2ln

1
0
1
B ;
1
xx
e
dx
e
dx
A
14)



+
=
+
=
1
0
3ln
0
B ;
xx
x
xx
ee
dxe
ee

dx
A
**Bài tập tổng hợp ** * *
15)

+
=
+
+
=
13ln
5ln1
1)3(
B ;
)1(
)1(
xx
x
e
x
ee
dxe
xex
dxx
A
16)
;
1
1
ln

1
1
2
1
0
2








+

=
dx
x
x
x
A
17)


==
4
0
22
3

6
2
sincos4cos
B ;
cos.sin



xxx
dx
dx
xx
dx
A
Bài 3 Tính tích phân bằng phơng
pháp
tích phân từng phần
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)

==
2
0
2
3
0
.cos.B ;.cos.


dxxxdxxxA

2)


==
2
0
3
4
2
.3cos.B ;
sin
.



dxxe
x
dxx
A
x
3)

==


e
x
dxxdxxeA
00
22

).cos(lnB ;.sin
4)

==

e
x
dxxdxexA
1
3
2ln
0
.lnB ;
5)

+==
1
0
2
0
2
).1ln(.B ;.ln. dxxxdxxxA
e
6)

==
2
1
2
1

2
.
ln
B ;.)ln1( dx
x
x
dxxA
e
7)
;.
ln
1
ln
1
2
2







=
e
e
dx
x
x
A

8)

==
e
x
dxxdxeA
1
2
4
4
1
)ln1(B ;
9)

=+=
2
01
2
cos.sin.B ;.ln)1(

xdxxxdxxxxA
e
10)

=++=
2
2
4
2
3

0
2
)(cosB ;)1ln(


dxxdxxxA
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
8
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
11)

+
+
==
2
3
4
0
cos1
sin
B ;sin
2



dx
x
xx
dxxA
12)

==
ee
e
dx
x
x
dx
x
x
A
1
2
ln
B ;
)ln(ln
2
Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau:
1) (ĐHBKTPHCM 1995)

=
2
0
2

.cos.

dxxxI
2) (ĐHQG TPHCM 2000)

=
1
0
2
).(sin dxxeI
x

3) (CĐKS 2000)

+=
e
dxxxI
1
.ln).22(
4) (ĐHSPHN2 1997)

=
4
0
.2sin.5

dxxeI
x
5) (ĐHTL 1996)

=
2
0
2
.cos.

dxxeI
x
6) (ĐH AN 1996)

=

0
2
.sin. dxxxI
Bài 4 Một số dạng tích phân đặc
biệt
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)


==
1
1
35
.B ;.2cos
2
dxexdxxxA
x

2)


+
=






+

=
2
2
3
2
1
2
1
2
.
cos1
sin
B ;.
1
1
ln.

dx
x
x
dx
x
x
xA
Bài 2: Tính các tích phân sau
1)

+
=
+
=
2
0
20042004
2004
2
0
4
.
sincos
cos
B ;.
sin1
2sin

dx
xx
x
dx
x
x
A
2)

+
=
+
=

0
2
0
2
.
cos1
sin.
B ;.
cos3
sin.
dx
x
xx
dx
x
xx

A
3)
;
13
.sin
2


+
=


x
dxx
A
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)

=

3
0
;.5cos.3sin.2sin.sin dxxxxxA
2)

+==

2
00
3

).sin(sinB ;.sin.A dxnxxdxxx
3)


++
==
4
4
4
357
2
1
2
1
92
cos
)1(
;.sin.A


x
dxxxxx
Bdxxx
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính


+

=

1
1
2
.
21
1
dx
x
I
x
2) (ĐHGT 2000 )Tính



+
=
2
2
2
.
sin4
cos


dx
x
xx
I
3) (ĐHQG HN 1994) Tính

=

0
3
.sin. dxxxI
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính


+
=


dx
x
I
x
.
13
sin
2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính


+
=
1
1
4
.
21

dx
x
I
x
6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số







=

=

2
neu x )0(
2
x0neu )(
)(


f
tgxf
xg
a) CMR g(x) liên tục trên

2
;0

Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
9
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
b) CMR :

=
4
0
2
4
).().(


dxxgdxxg
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
1)
;
23
B ;
)1(
.
0
1

2
3
2
9
2


+
=

=
xx
dx
x
dxx
A
2)
;
)1(
B ;
1
.22(
4
2
10
3
2
1
3
2

=
+
+
=
x
dxx
x
dxxx
A
3)
;
)1()3(
B
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23


++
=
+

+
=

xx
dx
xx
dxxxx
A
4)
;
23
)47(
B ;
65
).63(
0
1
3
1
1
23
23


+

=
+
++
=

xx
dxx
xxx
dxxxx
A
5)
;
34
B ;
2
2
1
24
2
1
23

++
=
++
=
xx
dx
xxx
dx
A
6)
;
)4(
.

B ;
).14(
1
0
28
3
2
1
34
23


=
+

=
x
dxx
xx
dxxxx
A
7)
;
)1.(
).1(
B ;
)1(
3
1
4

4
2
1
26

+

=
+
=
xx
dxx
xx
dx
A
8)

+
++
=

=
1
0
22
2
4
3
36
5

;
)1)(2(
1322
B ;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxx
A
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (CĐSP HN 2000):

+
+
=
3
0
2
2
.
1
23
dx
x
x
I

2) (ĐHNL TPHCM 1995)

++
=
1
0
2
65xx
dx
I
3) (ĐHKT TPHCM 1994)

+
=
1
0
3
.
)21(
dx
x
x
I
4) (ĐHNT HN 2000)

++
+++
=
1
0

2
23
92
).1102(
xx
dxxxx
I

5) (ĐHSP TPHCM 2000)

++
+
=
1
0
2
65
).114(
xx
dxx
I
6) (ĐHXD HN 2000)

+
=
1
0
3
1
.3

x
dx
I
7) (ĐH MĐC 1995 )

++
=
1
0
24
34xx
dx
I
8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số
A,B,C để
21
)1(23
333
23
2
+
+

+

=
+
++
x
C

x
B
x
A
xx
xx

Tính
dx
xx
xx
I .
23
333
3
2

+
++
=
9) (ĐHTM 1995)

+
=
1
0
2
5
1
.

x
dxx
I
10)(ĐH Thái Nguyên 1997)
x
x
dxx
I +=
+

=

x
1
t: HD
1
).1(
2
1
4
2
11)Xác định các hằng số A,B để
1
)1()1(
2
22
+
+
+
=

+
+
x
B
x
A
x
x
Tính
dx
x
x
I .
)1(
)2(
3
2
2

+
+
=
12)Cho hàm số
32
)1()1(
)(
+
=
xx
x

xf
a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho

+
+

=
+
++
=
11
)2)(1(
)(
2
2
x
dx
E
x
dx
D
xx
CBxAx
dxxf
b) Tính

3
2
)( dxxf
Bài 6 Tích phân các hàm số lợng

giác
Bài 1: Tính các tích phân sau
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
10
HÖ thèng bµi tËp tÝch ph©n- øng dông cña tÝch ph©n
1)
∫∫
−
=
++
=
3
6
2
2
0
cos.sincos
.
B ;
cossin1
π
π
π
xxx
dxtgx
xx
dx
A
2)
∫∫

−==
3
6
3
0
4
).sincos(B ;
2cos
.
π
π
dxxx
x
dxxtg
A
3)
dxxx
x
dxxx
A .2cos.sinB ;
cos1
)sin(
2
2
0
2
4
0
∫∫
=

+
+
=
ππ
4)
;
sin1
.cos.
2
0
2
∫
+
=
π
x
dxxx
A
Bµi 2: (Mét sè ®Ò thi)
1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh :

∫∫
+
=
+
=
2
0
4
2

0
4
1cos
.2sin
J va;
sin1
.2sin
ππ
x
dxx
x
dxx
I
2) (§HSP TPHCM 1995)
Cho
xx
x
xf
cossin
sin
)(
+
=
a) T×m A,B sao cho







+
−
+=
xx
xx
BAxf
sincos
sincos
)(
b) TÝnh
∫
=
3
0
).(
π
dxxfI
3) (§HGTVT TPHCM 1999)
a) CMR
∫∫
+
=
+
2
0
44
4
2
0
44

4
sincos
.sin
sincos
.cos
ππ
xx
dxx
xx
dxx
b) TÝnh
∫
+
=
2
0
44
4
sincos
.cos
π
xx
dxx
I
4) (§H C«ng §oµn 1999): TÝnh
∫
+
=
2
0

2sin1
π
x
dx
I
5) (HVKTQS 1996):TÝnh
∫
−
=
2
3
3
3
.cot.
sin
sinsin
π
π
dxgx
x
xx
I
6) (§HTS 1999) TÝnh :
∫
+=
2
0
2
.)cos1.(cos.sin
π

dxxxxI

7) (§HTM HN 1995) TÝnh
∫
=
4
0
4
cos
π
x
dx
I

8) (HVKTQS 1999):TÝnh
∫
+
=
4
0
4
3
cos1
.sin.4
π
x
dxx
I
9) (§HNN1 HN Khèi B 1998)
∫

+
=
2
0
cos1
.2cos
π
x
dxx
I
10) (§HQGHN Khèi A 1997)
∫
+
=
2
0
2
3
cos1
.sin
π
x
dxx
I
11) (§HQG TPHCM Khèi A 2000) TÝnh :
∫
=
4
0
4

.sin
π
dxxI
12) (§HTL 1997) TÝnh:
dxxI .2cos1
0
∫
+=
π

13)(§HGT TPHCM 2000) TÝnh
∫
=
3
6
6
2
cos
.sin
π
π
x
dxx
I
14)(§HNN1 HN 1998) TÝnh
∫
+
++
=
2

6
.
cossin
.2cos2sin1
π
π
dx
xx
xx
I
Tæ to¸n : Trêng THPT B×nh Giang
11
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
15) (ĐHT HN 1999) Tính

=
3
4
2
sin


x
dx
I
16) (ĐHNT HN 1994b) Tính

+=

2

0
.sin1 dxxI
17) (ĐHQG TPHCM 1998)

=
2
0
23
.sin.cos

dxxxI
18) (HVNH TPHCM 2000)

+
=
4
0
2
cos1
.4sin

x
dxx
I
19) (ĐHLN 2000)

+
+
=
2

0
22
cos4sin3
)cos4sin3(

xx
dxxx
I
20) (ĐHMĐC 2000)







+
=
3
6
6
sin.sin



xx
dx
I
21) (ĐHBK HN 1999)
Cho hàm số

2
)sin2(
2sin
)(
x
x
xh
+
=
a) Tìm A,B để
x
xB
x
xA
xh
sin2
cos.
)sin2(
cos.
)(
2
+
+
+
=
b) Tính


=
0

2
).(

dxxhI
22) (ĐHBK HN 1998)

+=
2
0
44
).sin.(cos2cos

dxxxxI
23) (ĐHTM HN 2000)

+
=
2
0
3
)cos(sin
.sin.4

xx
dxx
I
24) (HVKTMM 1999)

=
3

6
4
cos.sin


xx
dx
I
25) (ĐHTCKT HN 1996)

++
++
=
2
0
.
5cos3sin4
6cos7sin

dx
xx
xx
I
26) (ĐHBKHN 1996)

=
2
0
2
.cos.

dxxxI
27) (ĐHCĐ 1999)

=
2
0
2
.cos).12(

dxxxI
28) (HVNH TPHCM 2000)

+
=
3
0
2
cos
).sin(

x
dxxx
I
Bài 7 Tích phân các hàm số vô tỉ
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản) Tính các tích
phân sau :
1)

>=+=

a
adxxaxdxxxA
2
0
2
1
0
815
)0(.2.B ;.31.
2)

>
+
==
4
10
222
)0(
)1(
B ; a
xx
dx
dxxaxA
a
3)

++
=
++
=

2
1
0
1
2
)2)(1(
B ;
1
xx
dx
xx
dx
A
4)


++
=

=
0
1
1
2
1
2
2
24
B ;

.1
xx
dx
x
dxx
A
5)

+=
+
=
22
0
2
2
1
2
.1B ;
1.
dxxx
xx
dx
A
6)

+
=
+
=
2

7
0
3
1
0
4
3
12
B ;
1
x
dx
x
dxx
A
7)

++++
+
=

=


3
0
2
3
8
112

)21(
(*)B ;
1 xxx
dxx
xx
dx
A
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
12
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
8)
;
11
1
(*)
0
1
3


+
+
=
x
dx
x
x
A
***đổi biến lợng giác ****
9)

++==
0
1
2
1
0
2
.22B ;4 dxxxdxxA
10)


=

=
1
2
1
2
2
2
1
2
.
1
B ;
1
dx
x

x
dx
x
x
A
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVNH THCM 2000)

++
=
1
0
2
3
1
.
xx
dxx
I
2) (ĐH BKHN 1995)


=
2
3
2
2
1. xx
dx
I

3) (HVKTQS 1998)


+++
=
1
1
2
11 xx
dx
I
4) (ĐHAN 1999)

+
=
4
7
2
9. xx
dx
I
5) (ĐHQG HN 1998)

+=
1
0
23
.1. dxxxI
6) (ĐHSP2 HN 2000)

+
=
2
1
3
1. xx
dx
I
7) (ĐHXD HN 1996)

+

=
1
0
2
1
).1(
x
dxx
I
8) (ĐHTM 1997)

+
=
7
0
3 2
3
1

.
x
dxx
I
9) (ĐHQG TPHCM 1998)

+
=
1
0
12
.
x
dxx
I
Bài 8 Tích phân các hàm số siêu
việt
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1) (ĐHCĐ 2000)

+
=
1
0
2
3
x
e
dx
I

2) (ĐHY HN 1998)

+
=
1
0
2 xx
ee
dx
I
3) (HVQY 1997)

+
=
3ln
0
1
x
e
dx
I
4) (ĐHAN 1997)

=
2
0
2
dxexI
x
5) (ĐHKT HN 1999 )

=
2
0
3sin
.cos.sin.
2

dxxxeI
x
6) (ĐHQG TPHCM 1996)

+
=


1
0
1
x
x
e
dxe
I
7) (ĐHBK HN 2000)

+
=
2ln
0

2
1
.
x
x
e
dxe
I
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVQY 1997)


=
2
0
2
dxexI
x
2) (ĐHQG HN 1998 )

+
=
1
0
1
x
e
dx
I
3) (PVBC&TT 1999)

+
=
e
dx
x
xx
I
0
3 2
.
ln2.ln
4) (ĐHNN1 HN 1998)

+
+
=
e
x
x
e
dxe
I
0
2
2
1
.)1(
5) (ĐHTM 1997)

+

=
2ln
0
1
)1(
x
x
e
dxe
I
6) (ĐHTM 1998)

+
=
2ln
0
5
.5
x
e
dx
I
Bài 9 Tích phân các hàm số chứa
giá
trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản)
1)

+==
2
0
2
2
0
.32B ;.1 dxxxdxxA
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
13
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
2)
( )
;.12
1
1
2


= dxxxI
3)

+

=
5
5
.3
14
3
I dxx
x
4)
( )

++=
5
0
22
.434I dxxxxx

+=+=

3
0
23
2
2
1
2
2
;.44B ;.2

1
A dxxxxdx
x
x

Bài 2: Tính tích phân sau :
1)

=
8
3
8
;.cotI


dxtgxgx
2)

+=

0
33
;.cos.3sinsin.3cosI dxxxxx
3)

+=


4
33

;.sin.3sincos.3cosI dxxxxx
Bài 3: (Một số đề thi)
1) (ĐHL 1995)

+=

2
0
;.sin1I dxx
2) (ĐHTL 2000)

+=
3
0
23
;.2I dxxxx
Bài 10 Tính tích phân bằng tích
phân phụ trợ
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1)


=
+
=
6
0
4
0
cossin

cos
B
cossin
sin


xx
xdx
xx
xdx
A
2)
dxxx
ee
dxe
A
xx
x
.2cos.cosB
.
4
0
2
1
0

=
+
=

3)

=
6
0
2
2sin
cos
A

x
xdx
Ch ơng 3:
Một số ứng dụng của
tích phân
Bài 1 Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va0y ;cos.sin
32

==== xxy
2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ; ===
xx
eey
3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va

12
1y ;
2
3
sin21
2


==+==
xx
y
4) (HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
xxxy 3y ;2
2
=+=
5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
22
x; yxy ==
6) (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn bởi
xxxy =+= 3y ;34
2
7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
x
8
y va
8
y ;
2
2
===

x
xy
8) (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
5y ;1
2
+== xxy
9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
hình phía dới (P) : y=ax
2
(a>0) và trên
y=ax+2a
10)Tính diện tích giới hạn bởi
34:)(
2
+= xxyP
và 2 tiếp tuyến tại các
điểm A(0;-3) và B(3;0)
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
14
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
11)(ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ;)1(
5
==+=
x
exxy
12)Tính diện tích giới hạn bởi
4
0 Oy voi trucx vacosy ;sin
33

== xxy
13)(HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
342:(C) ;0
23
+== xxxyy
và tiếp
tuyến với đờng cong (C) tại điểm có hoành độ
x=2
14)(ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
1
4
4
+
=
x
x
y
(C ) và Ox, hai đờng thẳng có ph-
ơng trình x=1; x=-1
*****Một số bài tham khảo************
1) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
:)( xyC =
trục Ox và đờng thẳng có phơng
trình x=2
2) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2.
2
1

:)(
2
= xyC
trục Ox và 2 đờng thẳng có
phơng trình x=1 và x=3
3) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
:)( xyC =
trục Ox và đờng thẳng có phơng
trình x=2, y=x
4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
xyP 2:)(
2
=
và đờng thẳng có phơng trình
y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
2
2
1
31:)(P va2:)( yxyxP ==

Bài 2 Thể tích của các vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn
bởi

===== 0;
3
;0; yxxtgxyD

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D
quay quanh Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi
trục Ox và (P) y=x
2
-ax (a>0)
3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn
xoaydo hình phẳng
{ }
exxyxxyS ===== ;1;0;ln.
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh
ra bởi
1:)(
2
2
2
2
=+
b
y
a

x
E
khi nó quay quanh Ox
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G
giới hạn bởi y= 4-x
2
; y=x
2
+2 .Quay hình
phẳng (G) quanh Ox ta đợc một vật thể. Tính
thể tích vật thể này
6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi
{ }
xyxyD === ;
2
Tính thể tích vật thể tròn
xoay khi D quay quanh trục Ox
7) (HVKTQS 1995) Tính thể tích do D quay
quanh Ox






==++===


xxxxyyD ;
2

;sincos1;0
44
8) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới
hạn bởi các đờng
y=x.e
x
, x=1 , y=0 (0 x 1 )
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
15
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi
hình
1
164
)4(
:)(
22
+
yx
E
quay quanh trục
Oy
10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn
bởi

=
+
==
2
;
1
1
2
2
x
y
x
yD
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
quanh Ox
11)(ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn bởi
{ }
xyxyD 4;)4(
232
===
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
quanh Ox
12)(ĐHPCCC 2000): Cho hàm số
2
)1.(:)( = xxyC
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0)

đến (C)
c) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh
Ox
13) Cho miền (H) giới hạn bởi đờng cong y=sinx
và đoạn 0 x của trục Ox . Tính thể tích
khối tròn xoay khi (H) quay quanh
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Ch ơng 4:
Giới thiệu đề thi ĐH-CĐ
(từ năm 2002 trở lại )
Năm 2002
1) Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đờng
3y va34
2
+=+= xxxy
2) Khối B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đờng
24
y va
4
4
22
xx
y ==
Năm 2003
1) Khối A: Tính tích phân

+

=
32
5
2
4xx
dx
I
2) Khối B: Tính tích phân

+

=
4
0
2
2sin1
)sin21(

x
dxx
I
3) Khối D: Tính tích phân

=
2
0
2
.dxxxI
Năm 2004
1) Khối A: Tính tích phân

+
=
2
1
11
.
x
dxx
I
2) Khối B: Tính tích phân

+
=
e
x
xdxx
I
1
ln.ln31
3) Khối D: Tính tích phân

=
3
2
2
).ln( dxxxI
********** Hết ***************
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang
16