xác xuất thống kê thống kê mẫu

Phần II
THỐNG KÊ TOÁN
Chương I : LÝ THUYẾT MẪU
§ 1.MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỌN MẪU
1.1/ Đám đông và mẫu
Đám đông là tập hợp mà người ta quan tâm tới một số
dấu hiệu( về chất hay về lượng) chung nào đó, dấu hiệu
này thay đổi qua các phần tử tạo nên đại lượng ngẫu
nhiên. Người ta thường lấy ký hiệu của đại lượng ngẫu
nhiên để ký hiệu cho đám đông.

- Một số đặc điểm của đám đông mà người ta quan tâm khi khảo
sát :
+ Về lượng : E(X) và D(X )
+ Vế chất : Các đối tượng của X mang dấu hiệu của A hay
không, số lượng, tỷ lệ của chúng.
-Mẫu là tập hợp con của đám đông được chọn ra để quan sát .
2.Phương pháp mẫu là chọn ra n phần tử của đám đông
theo phương pháp thống kê để rút ra kết luận cho đám
đông
+ Ta chỉ xét các kết quả độc lập

3. Mẫu tổng quát và mẫu cụ thể
+ Mẫu tổng quát gồm n phần tử ( chọn ngẫu nhiên) quan
sát độc lập( X
1
, X
2
,…,X
n

)
+ Tiến hành quan sát ta có kết quả
Xj ( J= 1, n) thì khi đó ( x
1
, x
2
,…, x
n
) là mẫu cụ thể.
( hay kết quả một lần khảo sát trên một mẫu nào đó).

§ 2. Phương pháp trình bày số liệu
a. Trình bày một mẫu ít có giá trị khác nhau :
Giả sử mẫu có kích thước n, số liệu ban đầu là x
1
,x
2
,…,x
n
trong đó số giá trị khác nhau là k; x
1
,x
2
,…,x
k
.
Giả sử ta có x
1
<x
2

<…<x
k
Ta có bảng thống kê
x
i
x
1
x
2
… x
k
n
i
n
1
n
2
… n
k
f
i
f
1
f
2
… f
k
n
i
là số lần xẩy ra x

i
trong mẫu, n
i
là tần số của giá trị x
i
,
n
i
/n = f
i
gọi lầ tần suất của x
i
trong mẫu

Từ bảng thống kê , trong mặt phẳng tọa độ Đêcac ta nối
các điểm có ( x
1
, 0) với (x
1
, n
1
); (x
2
,0) với (x
2
,n
2
)…( x
k
,

0) với ( x
k
, n
k
) thành các đoạn thẳng xếp kế tiếp nhau
gọi là biểu đồ hình gậy ( hình 1)
(x
2
,n
2
)
(x
2,
0)
(x
k
,0)
(x
1
,0)
(x
k
,n
k
)
(x
1
,n
1
)

( x
3
,n
3
)
(x
3
,0)
Hình (1)
x
n

Từ bảng thống kê , trong mặt phẳng tọa độ Đêcac ta nối
các điểm ( x
1
, f
1
) với (x
2
, f
2
); (x
3
,f
3
) với (x
k
,f
k
) lập thành

đa giác, ta gọi biểu đồ tần suất ( hình 2)
(x
2
,f
2
)
x
2 x
k
x
1
(x
k
,f
k
)
(x
1
,f
1
)
( x
3
,f
3
)
x
3
Hình (2)
x

fn

Ví dụ 1: Lấy kích thước mẫu 16, ta có số liệu quan sát
2,1,3,1,4,1,2,3,4,1,1,3,2,4,5,5

xi 1 2 3 4 5
ni 5 3 3 3 2

fi 5/16 3/16 3/13 3/16 2/16

a) Lập bảng thống kê

b) Biếu đồ tần số
1
2 3 4 5
x
n
5
4
3
2
1

Biếu đồ tần suất
fn
1
2 3 4 5
x
0,312
0,193

0,131

b.Trình bày một mẫu có nhiều giá trị khác nhau :
Để bảng trình bày gọn hơn nhưng không làm mất tính
chính xác của số liệu khi thống kê và mô tả ta chia lớp
Thông thường xác định lớp như sau
Số lượng k 1+ log
2
n ≤ k ≤ 5lgn
6 ≤ k ≤ 20
*Xác định tần số n
i
của lớp ( x
i-1
, x
i
) :tính số lần các giá
trị của mẫu thuộc [x
i-1
, xi) ;
*Tấn suất fi = n
i
/n là tần suất của lớp ( x
i-1
, x
i
).
*Bế rộng của lớp b= (x
max
- x

min
) /k
* Giá trị trung bình của lớp(x
i-1
+ x
i
)/2 = x
i
*

Ví dụ 2: Lấy một mẫu kích thước n = 55
17 19 23 18 21 15 16 13 20 18 15
20 14 20 16 14 20 19 15 19 16 19
15 22 21 12 10 21 18 14 14 17 16
13 19 18 20 24 16 20 19 17 18 18
21 17 19 17 13 17 11 18 19 19 17
Lập bảng chia lớp vẽ biểu đồ hình chữ nhật. Đa
giác tần số

Giải:
Xác định số lớp k: 1+log2 55≤ k≤5 lg55
6 ≤ k≤20
Vậy chọn k = 7. Bề rộng của lớp b = (x
max
– x
min
)/k =
(24-10)/2 = 2

BẢNG CHIA LỚP

Lớp n
i
fi
10-12 11 2 2/55
12-14 13 4 4/55
14-16 15 8 8/55
16-18 17 12 12/55
18-20 19 16 16/55
20-22 21 10 10/55
22-24 23 3 3/55
2
2
*
xix
x
i
i
+
=
−

a) Biểu đồ hình chữ nhật biểu thị tần số
x
ni
242214 20181612
10
16
8
12
4

3
2
10

3
10
12
2
8
4
n
i
x
16
23211917151311
b) Đa giác tần số

c.Các tham số đặc trưng
Số trung bình mẫu, phương sai:
1.Trung bình mẫu: Giả sử kích thước mẫu n xố liệu ban
đầu là x
1
, x
2
,…, x
n
khi đó trung bình mẫu :
n
x
n

xxx
x
n
i
i
n
∑
=
=
+++
=
121

2. Phương sai mẫu
2
1
22
1
2
1
)(
1
)( xx
n
xx
n
XDS
n
i
n

i
−=−==
∑∑
3. S = độ lệch chuẩn
2
s
4. S’
2
= ; S’= độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh
2
.
1
S
n
n
−
2
1
s
n
n
−

Ví dụ 3: Lấy mẫu n =8 ta có các số liệu
1,3,3,1,4,4,1,1.Tìm trung bình mẫu và phương sai mẫu
Giải :
8
)25,24(2)25,23(2)25,21(4
25,2
8

11441331
222
2
−+−+−
=
=
+++++++
=
S
x

•
Trong trường hợp mẫu ở dạng bảng thống kê
1) Trung bình mẫu
n
xn
n
xnxnxn
x
n
i
ii
nn
∑
=
=
+++
=
12211

2. )Phương sai mẫu
S
2
=
2
1
22
22
2
11
)(
1)( )()(
xxn
nn
xxnxxnxxn
n
i
ii
nn
−=
−++−+−
∑
=

•
Trong trường hợp mẫu chia lớp
1) Trung bình mẫu
n
xn
n

xnxnxn
x
n
i
i
i
n
n
∑
=
=
+++
=
1
*
*
2
*
2
1
*
1

2. )Phương sai mẫu
S
2
=
2
1
*

2*2*
22
2*
11
)(
1)( )()(
xxn
nn
xxnxxnxxn
n
i
ii
kk
−=
−++−+−
∑
=

Chú ý : Thực hiện  x
0
 R và  b  0
1) Trung bình mẫu
0
1
0
)( x
b
xx
n
n

b
x
n
i
i
i
+
−
=
∑
=
2)Phương sai mẫu

S
2
=
)()(
0
2
1
0
2
xx
b
xx
n
n
b
n
i

i
i
−−
−
∑
=

Lập bảng tính ( trong vận dụng thực hành tính )
xi n
i
n
i
n
i
x
1
n
1
n
1
n
1
… …
x
k
n
k
n
k
n

k
b
xx
i 0
−
b
xx
i 0
−
2
0
)(
b
xx
i
−
2
0
)(
b
xx
i
−
b
xx
k 0
−
2
0
)(

b
xx
k
−
2
0
)(
b
xx
k
−
b
xx
k 0
−
∑
k
i
n
1
b
xx
n
i
k
i
0
1
−
∑

2
0
)(
b
xx
n
i
k
i
i
−
∑
2
01
)(
b
xx −
b
xx
01
−
b
xx
01
−
2
01
)(
b
xx −

Ví dụ 4: Điều tra 100 hộ kinh doanh ta có số liệu
Doanh số /
triệu
Số hộ
11,0 15
11,25 20
11,5 30
11,75 25
12,0 5
12,25 5
1)Tìm doanh số trung
bình
2)Độ lệch chuẩn mẫu điều
chỉnh.
Giải : Lập bảng tính x
0
= 11,5;
B= 0,25

xi ni
n
i
n
i
11 15 -2 4 -30 60
11,25 20 -1 1 -20 20
11,5 30 0 0 0 0
11,75 25 1 1 25 25
12 5 2 4 10 20

12,25 5 3 9 15 45
100 0 170
25,0
5,11−
i
x
2
)
25,0
5,11
(
−
i
x
25,0
5,11−
i
x
2
)
25,0
5,11
(
−
i
x
∑


1) Doanh số trung bình

5,115,11)
5,11
(
100
25,0
)(
1
0
1
0
=+
−
=
+
−
=
∑
∑
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
b
x

n
x
b
xx
n
n
b
x
2)Phương sai mẫu : S
2
=

160
170
0170
100
25,0
)()(
2
0
2
1
0
2
=−=
−−
−
∑
=
xx

b
xx
n
n
b
n
i
i
i


3) Độ lệch chuẩn điều chỉnh
S’=
100
99
160
17
.
1
2
=
−
s
n
n