Bài tập xác xuất thống kê phần 2

Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Bài 61:
Đầu vào có phân phối đều trên khoảng [ -4d; 4d ] nên ta có:
f
X
( x)=
{
1
8d
n ế u x∈
[
−4d ;4d
]
0nế u khác
Biến cố Z = X – q(X) có hàm phân bố xác suất trên khoảng [ -4d; 4d ] là:
F
Z
(z)=P[
{
X −q( X )
}
≤ z∨X ∈
[
−4d ;4d
]
]
Trong đó q(X) có phân phối đều trên mọi khoảng thuộc
[
−4d ;4d
]
theo ví dụ 3.19

•Xét trong khoảng
[
−4d;−3d
)
: q(X) ánh xạ vào điểm
−7d
2
, do đó:
F
Z
(z)=P [
{
X −q(X )
}
≤ z∨ X ∈
[
−4d ;−3d
)
]
¿ P [
{
X +
7d
2
}
≤ z∨X ∈
[
−4d ;−3d
)
]

¿ P [
−d
2
≤ z<
d
2
]
¿
1
8
.
z+
d
2
d
=
1
8
.
2z+d
2d
• Tương tự với các khoảng còn lại
[
−3d ;−2d
)
,…,
[
2d ;3d
)
,

[
3d ;4d
]
:
F
Z
(z)=P[
{
X−q( X )
}
≤ z∨X ∈
[
−3d ;−2d
)
]
=…
¿ P [
{
X −q( X )
}
≤ z∨ X ∈
[
3d ; 4d
]
]
¿
1
8
.
2z +d

2d
Suy ra trên toàn khoảng
[
−4d ;4d
]
ta có:
F
Z
(z)=
2z+d
2d
Từ đó, hàm mật độ
f
Z
( z)
trên toàn khoảng
[
−4d ;4d
]
được xác định:
f
Z
( z)=
d F
Z
(z)
dz
=
1
d

=
1
d
2
−
(
−d
2
)
1
Trang
1
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Vậy biến cố Z = X – q(X) có phân phối đều trên khoảng
[
d
2
;−
d
2
]
.
Bài 63:
Đề sai?!?
Bài 65:
Do biến ngẫu nhiên rời rạc đều nên ta có : xác suất của các thành phần là
n
px
k
X

P
1
)( ==
Kỳ vọng của bnn rời rạc:
E(X)=
2
1
2
)1(
.)......321()(
1
+
=
+
==++++=
∑∑
n
p
nn
pipnxx
n
k
X
n
k
k
P
Phương sai của bnn rời rạc:
VAR(X)=
)((

22
)
XEXE
−
=
2
)1
2
2
1
2
(
.
+
∑
−
n
p
i
n
=
12
1
)
2
1
3
12
(
2

)1(
4
(
6
)12)(1(
2
2
)1
−
=
+
−
++
=−
++
+
n
n
nnnnn
Bài 66.
a. Tìm kỳ vọng và phương sai cảu biến ngẫu nhiên nhị thức
Gọi X là biến ngẫu nhiên nhị thức S
X
= {0,1,2,…,n}
( 1 )
k k n k
k n
p C p q q p
−
= = −

Giá trị kỳ vọng :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1 1
1
0 1
1 1
1
1
1 !
!
!( )!
1 1 !
1 !
1 1 !
n
k k n k
n
k
n n

n k
k n k k
k k
n
n k
k
k
E X kC p q
np n
kn
p q p q
k n k
n k
n
np p q
n k
−
=
− − −
− −
= =
− − −
−
−
= =
−
= =
−
− − −
−

=
− − −
∑
∑ ∑
∑
Đặt j = k -1 ta có
2
Trang
2
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
( )
( )
( )
1 1
1 1 1
1
0 0
1 !
( )
1 !
n n
j n j j j n j n
n
j j
n
E X np p q np C p q np p q
n j
− −
− − − − −
−

= =
−
= = = +
− −
∑ ∑
mặt khác ta có q = 1- p
Vậy E(X) = np.
b.Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên nhị thức
Ta có VAR(X)=
[ ]
( )
2 2
2 2
E X E X E X np
   
− = −
   
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
0 0
1 1
1
1
!
! !
1 !

1 ! 1 1
n n
k k n k k n k
n
k k
n
n k
k
k
n
E X k C p q k p q
k n k
n
np k p q
k n k
− −
= =
− − −
−
−
 
= =
 
−
−
=
− − − −
∑ ∑
∑
Đặt j = k – 1 suy ra k = j + 1

( )
( )
( )
1 1 1
2 1 1 1
1 1
0 0 0
1 !
1
! 1 !
n n n
j n j j j n j j j n j
n n
j j j
n
E X np j p q np jC p q C p q
j n j
− − −
− − − − − −
− −
= = =
 
−
 
= + = +
 
 
− −
 
∑ ∑ ∑

Như vậy ta có giá trị tổng thứ nhất chính là giá trị kỳ vọng của biến X
( )
1,n p
β
−:
và tổng thứ
hai thì bằng 1.Như vậy ta có
( )
2
1 1E X np n p
 
 
= − +
 
 
Vậy thay vào ta có giá trị phương sai là
VAR(X)=
[ ]
( )
2 2
2 2
E X E X E X np
   
− = −
   
Vậy suy ra VAR(X)=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1 (1 )np n p np np np np np np np np p npq

 
− + − = − + − = − = − =
 
b, Nếu X là số lần suất hiện mặt ngửa trong n lần tung đồng xu. Ta có nếu ta đặt
j
I
là hàm chỉ
tiêu của biến cố A(xuất hiện mặt ngửa) trong phép thử thứ j, thì khi đó ta có:
1 2
...
n
X I I I
= + + +
Nghĩa là X là tổng của các biến ngẫu nhiên Bernoulli tương ứng với mỗi phép thử trong n phép
thử độc lập. Vậy suy ra
E(X) = E(I
1
) + E(I
2
)+…+E(I
n
) = p + p + … + p = np.
Vậy giá trị E(X) chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhị thức. X là số lần xuất hiện thành công
trong n phép thử Bernoulli và là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối.
Bài 67.
3
Trang
3
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
a, Biến ngẫu nhiên poisson: P

x
=
!
.
x
e
x
α
α
=
S
x
= (0,1,2,3…)
Biến ngẫu nhiên rời rạc kỳ vọng là:
E(x) =
∑
∞
=
−
0
!
.
.
x
x
x
e
x
α
α

Mà
∑
∞
=1x
P
k
=1=
∑
∞
=
−
0
!
.
x
x
x
e
α
α
(1)
Vậy E(x) =
∑
∞
=
−
−
1
)!1(
.

x
x
x
e
α
α
=
∑
∞
=
−−
−
1
1
1
)!1(
.
x
x
x
e
α
α
α
=
1
α
.
∑
∞

=
−−
−
1
1
)!1(
.
x
x
x
e
α
α
=
1
α
E(x
2
) =
∑
∞
=
−
0
2
!
.
x
x
x

e
x
α
α
=
∑
∞
=
−
−−
0
)!2).(1(
.
x
x
xx
e
x
α
α
=
∑
∞
=
−
−−
+−
0
)!2).(1(
.).11(

x
x
xx
ex
α
α
=
∑
∞
=
−
−−
+
0
)!2.(
.
).
1
1
1(
x
x
x
e
x
α
α
=
∑
∞

=
−
−
0
)!2(
.
x
x
x
e
α
α
+
∑
∞
=
−
−
0
)!1(
.
x
x
x
e
α
α
=
αα
+

2
Vậy theo tính chất V(x) = E(x
2
) – [E(x)]
2
=
αααα
=−+
22
b, Khi
t.
λα
=
=> P
k
=
!
.)(
.
x
et
tx
α
λ
−
=> E(x) =
∑
∞
=
−

0
.
!
.)(
x
tx
x
et
x
α
λ

=> E(x) =
t.
λ
Bài 71
Chứng minh rằng E[X] của biến ngẫu nhiên với hàm phân phối
x
x
F
x
1
1)( −=
với x>1 là
không tồn tại
LG
Ta có E[X] =
∫
+∞
∞−

dttt
f
x
)(
Mà
x
F
f
F
f
xxtt
x
x
x
x
2
1
)(
'
)()(
'
)( ==⇒=
4
Trang
4
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
⇒
E[X] =
∫ ∫ ∫
+∞

∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
−+∞=−∞−+∞=
∞−
∞+
=== )1ln()ln()ln()ln()ln(
11
)(
2
xdx
x
dxxdxxx
x
f
x
Vì x>1 hay x
∈
( 1 , +
∞
)
Ta có ln(+
∞
) không tồn tại vì vậy mà E[X] không tồn tại

Bài 69 .
Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Gauss bắng cách tích phân trực tiếp các hệ
thức (3.57) và (3.65)

Ta có X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất Gauss có TB m và độ lệch tiêu chuẩn
σ
F
x
(x) =
1
2
πσ
.
2
2
2.
( )x m
e
σ
− −

(
x−∞ < < +∞
)
Mà giá trị kỳ vọng E[X] =
( )
x
x dx
F
+∞
−∞
∫
→
E[x] =

2
2
2
( )
1
. .
2
x m
x
e
σ
πσ
+∞
−∞
− −
∫
dx =

2
2
2
( )
1
.
2
x m
x dx
e
σ
πσ

+∞
−∞
− −
∫
Đặt
x m
z
σ
−
=
→
x z m
σ
= +
;
dx dz
σ
=
→
2
2
1
( ) ( )
2
z
E x z m dz
e
σ
π
+∞

−∞
−
= +
∫
=
2 2
2 2
1
2 2
z z
m
z dz dz
e e
σ
π π
+∞ +∞
−
−∞ −∞
−
+
∫ ∫
2
2
z
dz
e
+∞
−
−∞
∫

=
2
π
(Tích phân Poison)
5
Trang
5
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
→
[ ]=0+ 2
2
m
E x
π
π
= m
→
[ ]=mE x
+ Phương sai
2
2
2
2
( )
1
[x]= .
2
( )
x m
V dx

x m
e
σ
σ π
+∞
−∞
− −
−
∫
Đặt
2
x m
z
−
=

→
x – m = z.
σ

→
dx =
σ
.dz
2
2
2
2
[x]=
2

z
V dz
e
z
π
σ
+∞
−
−∞
→
∫
Đặt
2
2
' .
u z
z
v z
e
−
=




=


→

2
2
' 1u
z
v
e
−
=




= −

2 2
2 2
2 2
[x]= .
2
2
z z
V z dz
e e
π
σ σ
+∞
−
−∞
−
∞

→ +
−∞
∫
=
2
2
2
0
2
π
π
σ
σ
+ =
→
σ
x
=
[x]=V
σ
Bài 71
Bài 73
Chứng minh các hệ thức (3.68),(3.69)và (3.70)
+ hệ thức (3.68)
VAR[c] = 0
Ta có E[c] = 0
E[cX] = cE[X]
Mà VAR[X] = E[X
2
] – E[X]

2
= E[X.X] – E[X].E[X] =
=X.E[X] - E[X].E[X]
Thay X = c
6
Trang
6
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Ta được VAR[X] = c*c - c*c = 0 (dpcm)
+ hệ thức (3.69)
VAR[X + c] = VAR[X]
Xét Y = ax + b
⇒
bxbaxa
Y
222
2
2 ++=
E[Y] = aE[X] + b
⇒
E[X + b] = 1*E[X] + b
⇒
VAR[Y] = E[Y
2
] – E[Y]
2
= E[
bxba
X
a

2
2
2
2 ++
] - (aE[X] + b)
2
=
)][2][(][2][
2
2
22
2
2
bbaabba
X
a
XEXEXEE ++−++
= E[X
2
] – E[X]
2
= VAR[X]
Thay Y = X + c vào ta được
VAR[X + c] = VAR[X] (dpcm)
+ hệ thức (3.70)
VAR[cX] =
c
2
VAR[X]
Đặt Y = cX

⇒
VAR[Y] = E[
Y
2
] – E[Y]
2

= E[
X
c
2
2
] – [cE[X]]
2
=
2
2
2
2
])[(][ XEE
c
X
c
−
=
=
][
2
XVAR
c

(dpcm)
Bài 74:
Cho
Y Acosωt c
, ở đây A có kỳ vọng m và phương sai
σ
2
, và
ω
và c là các hằng
số. Tìm kỳ vọng và phương sai của Y.
E
(
Y
)
=¿
¿ E
(
Acosωt c
)
7
Trang
)][][(
22
2
XEXE
c
−
7
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324

¿ E
(
Acosωt
)
+E
(
c
)
¿cosωt ∙ E
(
A
)
+c
¿m∙cos ωt+c
VAR
(
Y
)
=¿
¿VAR
(
Acos ωt c
)
¿VAR
(
Acos ωt
)
+VAR
(
c

)
¿
(
cosωt
)
2
VAR
(
A
)
¿σ
2
(
cos ωt
)
2
Bài 75
Chi phí cho n lần tung là : nd $
Chi phí cho X lần ngửa là
bXaX +
2

Chi phí cho n-X lần xấp là nd – (
bXaX +
2
)
 Kì vọng cho tổng chi phí :
E(X) =
∫∫
−

+−++
Xn
X
dtbtatndtdtbtatt
0
2
0
2
)](.[).(
=
XnX
btatndtbtat
−
−−++
0
342
0
34
|)
342
(|)
34
(
=
3
)(
4
)(
2
)(

34
342
34
XnbXnaXnnd
bXaX
−
−
−
−
−
++
=
3
])([
4
])([
2
)(
33442
XnXbXnXaXnnd −−
+
−−
+
−
8
Trang
8
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Nếu chi phí cho việc nhận đc X lần ngửa là
X

a
với a>0 , giá trị kì vọng của chi phí là :
E(X) =
∫
X
t
dtat
0
.
Đặt u = t => du = dt
a
a
vdvdta
t
t
ln
=⇒=
dt
a
a
a
a
tdtat
X
t
X
X
t
t
∫∫

−=⇒
0
0
0
ln
|
ln
..
=
X
tt
a
a
a
a
t
0
2
|)
ln
ln
.(
−
=
)
ln
1
(
ln a
X

a
a
X
−
Bài 76
Ta có Y = abX với X là biến ngẫu nhiên Poisson
E(Y) =
∑
0
∝
ab
ω
i
i !

e
−ω
=
ωab
∑
1
∝
ω
i−1
(i−1)!

e
−ω

đặt i-1 = k ta có

E(Y) =
ωab
∑
0
∝
ω
k
k !

e
−ω
=
ωab
Bài 77:
Giới hạn tử Y = g(X) được xác định :
Y = g(X) =
{
−a nế u X <−a
X nế u−a ≤ X ≤
a n ế u X >a
a
Hàm mật độ của Y theo hàm mật độ của X :
f
Y
(y)=
{
f
X
(−a)n ế u X <−a
f

X
( y)nế u−a ≤ X ≤ a
1− f
X
(a)n ế u X >a
Kỳ vọng của giới hạn tử được xác định:
E [Y ]=−a.f
X
(−a)+
∫
−a
a
x . f
X
(x)dx +a.
[
1− f
X
(a)
]
Phương sai:
9
Trang
9
Xỏc sut thng kờ Chng 3 Cao Thnh Lc - MAT1101 3 - 09020324
V [Y ]=


a
[

xE [Y ]
]
2
. f
X
(a) dx+

a
a
[
xE[Y ]
]
2
. f
X
( x) dx+

a
+
[
xE [Y ]
]
2
.
[
1 f
X
(a)
]
dx

Bài 78:
Hàm của C biến ngẫu nhiên
( )




+
==
aX
-aX
nếu
nếu
aX
aX
xh

+ X - a
Biến cố
{ }
y

xảy ra khi
{ }
+
ax
hay
{ }
ayX

với y 0
+ X a
Biến cố
{ }
y

xảy ra khi
{ }
yaX

hay
{ }
ayX
+
với y 0
Vậy
( )
( )



>

=
0y nếu
-a x với0ynếu
0
ayF
yF
X

( )
( )



+
<
=
0y nếuF-1
a n với0y nếu
X

0
ay
yF

Lấy đạo hàm theo y ta đợc.
( ) ( )
( ) ( )





+=
=
a x nếu
-ax nếu
0y ,

0y ,
ayfyf
ayfyf
x
x


Khi đó giá trị kỳ vọng của hàm thống nhất đợc xác định.
[ ]
( ) ( )


+=
0
dyayfayE
X

với X - a
[ ]
( ) ( )
dyayfayE
x

+
+=
0

với x a
Phơng sai:
[ ]

[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )


++==
0 0
2
222
2
dyayfaydyayfnyEEVAR
xx

10
Trang
10
Xỏc sut thng kờ Chng 3 Cao Thnh Lc - MAT1101 3 - 09020324
[ ]
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )

+ +
+==
0 0
2
222
2
dyayfaydyayfayEEVAR
xx

Bi 79:
Ly kt qu bi 65:
[ ]
1
2
n
E X
+
=
[ ]
2
1
12
n
U X

=
Ta cú:
[ ] [ ]
1
. .( )
2
n
E Y K L E X K L

= + = +
[ ] [ ]
2
2 2

1
. .
12
n
U Y L U X L

= =
B i 80:
Tìm momen cấp n của X nếu X phân phối đều trên khoảng [0,1] va lặp lại với điểm bất
kỳ trên [a,b]
Công thức tính momen cấp n là :
E[
X
n
] =


+
x
n
f ( x)dx
Vậy hàm X phân phối đều trên [0,1] nên ta có :
E[
X
n
] =

0
1
x

n
dx =
x
n+1
n+1


0
1
=
1
n+1
Với khoảng bất kỳ [a,b] ta có
E[
X
n
] =

0
1
x
n
dx =
x
n+1
n+1


a
b

=
b
n+ 1
a
n+1
n+1
Bi 81:
{|X-m|
c
}=
{ } { }
mcXmcX
++
P({|X-m|
c
})=p
{ }
mcX
+
+P
{ }
mcX
+
=1+ p
{ }
mcX
+
- P
{ }
mcX

+
=1+
F
X
(
mc +
)-
) ( mc
F
X
+
a : X l bin ngu nhiờn trờn khong (-b,b)
Ta cú hm mt xỏc sut l
11
Trang
11
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324





=
−−
=
0
2
1
)(
1

)(
bbb
x
f
X

khác
bxb ≤≤−
Hàm phân phối





+
=
1
2
0
)(
b
bx
x
F
X

bx
bxb
bx
>

≤≤−
−<
Xác suất chính xác của biến ngẫu nhiên đều trên khoảng (-b,b)
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
=1+
b
bmc
b
bmc
22
++
−
++−
=1-
b
c
Cận chebyshev
VAR{X]=
dx

bb
x
bb
b
b
2
)
2
(
)(
1
∫
−
+−
−
−−
=
312
4
22
bb
=
Cận chebyshev
P[X-m
c≥
]
2
2
3c
b

≤
b: X là biến ngẫu nhiên laplace với tham số a
Nghiệm chính xác
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
Ta có:
x
tt
x
tt
x x
t
X
X
eeeee
f
F
dtdtdtdxxx
0
.

0
.
0
0
..
_
||.
|
)(2
|
2
1
222
)()(
ααααα
α
αααα
−
∞−
∞−
−
∞ ∞−
−
−
+=+===
∫ ∫∫ ∫
=
2
1
2

1
2
1
.
+−
−
e
x
α
=1-
e
x.
2
1
α
−
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
12
Trang

12
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
=1+(1-
( )
e
mc+−−
α
2
1
)-(1-
e
mc )(
2
1
+−
α
)
=1+
ee
mcmc )()(
2
1
2
1
+−−+−
−
αα
Với m=0:
P({|X-m|
c≥

})=1+
ee
cα.c .
2
1
2
1
α
−
−
c, X là biến ngẫu nhiên gauss với m=0
Nghiệm chính xác
P({|X-m|
c≥
}) =1+
F
X
(
mc +−
)-
) ( mc
F
X
+
=1+
)()( cc
FF
XX
−−
Ta có:

P[
xX
≤
]=
dx
x
x
e
∫
∞−
−
σ
πσ
2
2
.2
2
1
Dựa vào công thức tích phân
Q(x)=
∫
∞
−
0
2
2
2
1
dt
t

e
π
=[
baxa
x
++−
2
)1(
1
]
e
x
2
2
2
1
−
π
Với a=1-
π
b=
π
2
1)( =Φ x
-Q(x)
Với
∫
∞−
=Φ
x

dt
t
x
e
2
2
)(
Vậy
P[
xX
≤
]=
dx
x
x
e
∫
∞−
−
σ
πσ
2
2
.2
2
1
=1-
e
x
x

x
σ
π
πσπ
πσ
σ
2
2
2
2
2
2
1
)
1
1(
1
2
1
−

















++−
13
Trang
13
Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
P({|X-m|
c≥
}) =1+
)()( cc
FF
XX
−−
=1+
[
1-
e
c
c
c
σ
π
πσπ
πσ
σ

2
2
2
2
2
2
1
)
1
1(
1
2
1
)(
−



















++
−
−
−
]

-
[
1-
e
c
c
c
σ
π
πσπ
πσ
σ
2
2
2
2
2
2
1
)
1

1(
1
2
1
)(
−


















++−
]
=1-

















++
−
−
−
++
−
−
−
π
πσ
ππ
πσπ
σ
πσ
σσ
2
1

)1(
1
2
1
)
1
1(
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
cc
e
cc
c
=1-















−+
−
−
−
σ
π
σπ
π
σ
π
σ
πσ
2
2
2
2
2
2
)1(
)2(
1
)1(2
2
2

1
2
2
cc
e
c
c
Cận chebyshev
E[X]=m=0
VAR[X]=
σ
2
P[|X-m|
c≥
]=
c
2
2
σ
Bài 82.
Cho X là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p. Như vậy X
là biến ngẫu nhiên nhị thức.
Mặt khác ta có E(X) = np , Var(X) = np(1-p)
Y = X/n Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev
14
Trang
14