Giáo trình cơ học đất part 5 pps

125

Hình. 10.2 Tách lại các lực trong Hình 10.1 thành các thành phần trên một phần tử nhỏ tại điểm
O. Các quy ƣớc dấu đƣợc thể hiện nhƣ hình nhỏ phía trên.

sin os sin 0
x
c
(10 – 2a)
os sin os 0
y
cc
(10 – 2b)
Giải phương trình 10 – 2a và 10 – 2b đồng thời theo và , ta được
22
sin os os2
22
x y x y
xy
cc
(10 – 3)
( )sin os sin 2
2
xy
xy
c
(10 – 4)
Nếu lấy bình phương hai vế sau đó cộng hai phương trình này , sẽ được phương trình của
một vòng tròn với bán kính
( )/ 2

xy
có tâm tại điểm
( )/ 2;0
xy
. Khi vẽ hình tròn này
lên hệ trục
~
, như trên Hình. 10.3b với phần tử trên Hình.10.3a, nó được gọi là vòng tròn
ứng suất Mohr (Mohr, 1887). Vòng tròn này đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại một điểm ở lúc
cân bằng, và được áp dụng cho nhiều loại vật liệu chứ không chỉ riêng với đất. Chú ý rằng khi vẽ
vòng tròn Mohr từ các công thức này thì tỷ lệ của và phải giống nhau.
Do trên các mặt thẳng đứng và nằm ngang trong Hình.10.2 và Hình.10.3a không có các
thành phần ứng suất cắt tác dụng nên gọi là các mặt phẳng chính. Do đó các ứng suất
x
và
y

là các ứng suất chính. Ta đã nghiên cứu trong Sức bền vật liệu, các thành phần ứng suất chính tác
dụng trên mặt phẳng ở đó có
0
. Ứng suất có cường độ lớn nhất được gọi là ứng suất chính
lớn nhất (the major principal stress), ký hiệu là
1
. Ứng suất chính với cường độ nhỏ nhất được

126
gọi là ứng suất chính nhỏ nhất
3
, và ứng suất theo phương thứ ba là ứng suất chính trung gian,
2

. Trong Hình 10.3b,
2
được bỏ qua do đây là bài hai hướng (ứng suất phẳng). Tuy nhiên, ta có
thể vẽ thêm hai vòng tròn Mohr ứng với
1
-
3
và
2
-
3
để hoàn thiện biểu đồ Mohr, như trên
Hình 10.3c.
Bây giờ ta có thể viết Pt. 10 – 3 và 10 – 4 theo các thành phần ứng suất chính:
13
12
os2
22
c
(10-5)
13
sin2
2
(10-6)
Ở đây ta đã tùy ý giả sử rằng
1x
và
3y
. Nên kiểm tra nếu hệ tọa độ (
,

)
trên Hình. 10.3b có thể được xác định bằng các Pt. 10-5 và 10-6. Từ các phương trình này, cũng
thấy rằng gốc của hệ trục tọa độ của vòng tròn Mohr là
12
/ 2;0
, với bán kính
13
/2
.
Bây giờ ta có thể tính toán ứng suất pháp và ứng suất cắt trên mặt phẳng nghiêng
góc bất kỳ khi đã xác định được các thành phần ứng suất chính. Thực tế, ta dễ dàng có thể suy
ra các phương trình cho trường hợp tổng quát, trong đó
x
và
y
không phải nằm trên các mặt
phẳng chính. Các phương trình này gọi là các phương trình góc kép (double angle equations),
thường gặp trong các giáo trình về Sức bền vật liệu. Sử dụng phương pháp giái tích đôi lúc khá
phức tạp trong thực tế vì góc kép; do đó phương pháp đồ giải được ưa dùng hơn, nó dựa trên một
điểm duy nhất trên vòng tròn Mohr gọi là cực hay gốc của các mặt phẳng. Điểm này có một đặc
tính rất hữu ích: bất kỳ đường thẳng nào vẽ qua điểm cực sẽ cắt vòng tròn Mohr tại một điểm mà
nó sẽ cho biết trạng thái của ứng suất trên mặt phẳng nghiêng với cùng phương trong không gian
như đường thẳng. Khái niệm này có nghĩa là nếu biết trạng thái ứng suất, và trên một số mặt
phẳng trong không gian, ta có thể vẽ một đường thẳng song song với mặt phẳng đó trong hệ trục
của và trên vòng tròn Mohr. Điểm cực ở đây chính là giao điểm của đường thẳng đó với
vòng tròn Mohr. Khi điểm cực đã được xác định, thì có thể tìm được các thành phần ứng suất trên
bất cứ mặt phẳng nào, đơn giản bằng cách vẽ một đường thẳng từ điểm cực song song với mặt
phẳng; các tọa độ của điểm giao với vòng Mohr chính là các thành phần ứng suất trên mặt phẳng
đó. Một số ví sau dụ sẽ minh họa cách thức tiến hành phương pháp cực.

127

Hình 10.3 Vòng tròn Mohr ứng suất: (a) phần tử lúc cân bằng; (b) Vòng tròn Mohr; (c) Vòng
tròn Mohr bao gồm cả
2

Ví dụ 10.1
Cho biết:

128
Các thành phần ứng suất trên một phân tố như trên Hình. Ví dụ . 10.1a
Yêu cầu:
Xác định ứng suất pháp và ứng suất cắt trên mặt phẳng nghiêng góc
0
35
so với
mặt phẳng quy chiếu nằm ngang.
Giải:
1. Vẽ vòng tròn Mohr theo tỷ lệ thích hợp (xem Hình. Ví dụ . 10.1b).
Tâm của vòng tròn =
12
52 12
32
22
kPa

Bán kính của vòng tròn =
13
52 12
20

22
kPa

2. Xác định gốc của các mặt phẳng hay điểm cực. Sẽ dễ dàng hơn nếu dùng mặt phẳng
nằm ngang mà
1
tác động trên nó. Trạng thái của ứng suất trên mặt phẳng này được chỉ ra
thông qua điểm A trên Hình. Ví dụ . 10.1b. Vẽ một đường thẳng song song với mặt phẳng trên đó
ứng suất (
1
, 0) tác động (mặt phẳng nằm ngang) qua điểm có tọa độ
1
và 0. Theo định nghĩa,
điểm cực P là điểm đường này cắt vòng tròn Mohr. [Trùng hợp ngẫu nhiên, nó cắt tại (
3
,0
)].
Đường thẳng A đi qua điểm cực nghiêng góc
0
35
so với mặt phẳng nằm ngang sẽ song song
với mặt phẳng trên phân tố trong Hình.Ví dụ .10.1a, đây cũng là mặt phẳng mà trên đó ta cần tính
ứng suất pháp và ứng suất cắt. Giao điểm là điểm C trên Hình.Ví dụ .10.1b, ta thấy rằng
39kPa
và = 18.6 kpa.
Có thể kiểm tra lại các kết quả này bằng cách sử dụng các Pt. 10-5 và 10-6. Chú ý rằng
là dương vì điểm C xuất hiện ở phần trên trục hoành. Do đó chiều của trên mặt phẳng
nghiêng góc 35
0
được xác định như trên Hình.Ví dụ .10.1.c và d, nó đại diện cho phần đỉnh và

đáy của phân tố đã cho. Với cả hai phần, phương hay chiều của ứng suất cắt là như nhau và
ngược nhau (như nó vẫn thế). Tuy nhiên, chúng đều là ứng suất cắt dương theo quy ước dấu
(Hình 10.2).


129

Hình Ví dụ .10.1

130
10.3 Quan hệ ứng suất – biến dạng và tiêu chuẩn phá hoại
Trước đây, trong phần giới thiệu ở Chương 8, ta đã đề cập ngắn gọn một số quan hệ ứng
suất – biến dạng. Phần này, ta sẽ đi sâu hơn cũng như minh họa một số vấn đề ở đã nêu. Trên
Hình.10.4a là đường cong ứng suất – biến dạng của thép non (thép ít cacbon). Từ vị trí ban đầu
đến giới hạn tỷ lệ (proportional limit) hay điểm chảy (yield point) là đàn hồi tuyến tính. Điều này
có nghĩa là khi ứng suất đặt vào vẫn còn nằm dưới điểm chảy, vật liệu sẽ trở lại đúng hình dạng
ban đầu khi ứng suất được giải phóng. Tuy nhiên, vẫn có vật liệu với đường cong ứng suất – biến
dạng là phi tuyến mà vẫn đàn hồi, như trên Hình.10.4b. Chú ý rằng cả hai trường hợp quan hệ
ứng suất – biến dạng này đều không phụ thuộc vào thời gian. Nếu yếu tố thời gian là một biến số
thì vật liệu được gọi là đàn - nhớt. Một số loại vật liệu ngoài thực tế như phần lớn đất và polim là
đàn – nhớt. Vậy tại sao ta không dùng lý thuyết đàn – nhớt để mô tả ứng xử của đất? vấn đề là đất
có ứng xử ứng suất – biến dạng - thời gian với tính phi tuyến cao, và không may là chỉ có lý
thuyết tuyến tính toán học đàn dẻo phát triển tốt là có khả năng giải quyết.

131

Hình.10.4 Các ví dụ về quan hệ ứng suât – biến dạng của các vật liệu lý tƣởng và thực: (a) thép
non, (b) đàn hồi phi tuyến, (c) đàn hồi lý tƣởng, (d) đàn dẻo, (e) giòn, và (f)tăng bền và giảm bền

Chú ý rằng cho đến nay ta vẫn chưa hề đề cập đến sự phá hoại hay chảy dẻo. Thậm trí các
vật liệu đàn hồi tuyến tính chảy dẻo, như minh họa trên Hình.10.4a, nếu ứng suất đặt vào đủ lớn.
Ở giới hạn tỷ lệ, vật liệu được cho là trở thành dẻo hay thành chảy dẻo. Ứng xử của các vật liệu
trong thực tế có thể được lý tưởng hóa bằng một vài quan hệ của ứng suất – biến dạng, như trên
Hình.10.4 c, d, và f. Các loại vật liệu dẻo lý tưởng (Hình.10.4c), trong nhiều trường hợp còn gọi
là vật liệu – dẻo cứng, có thể được xử lý tương đối dễ dàng bằng toán học, do đó chúng là các đối
tượng nghiên cứu phổ biến của các nhà cơ học và toán học. Quan hệ ứng suất - biến dạng có tính
thực tiễn cao hơn là đàn – dẻo (Hình.10.4d). Vật liệu là đàn hồi tuyến tính đến điểm chảy (yield

132
point)
y
; sau đó nó trở thành dẻo lý tưởng (perfectly plastic). Chú ý cả vật liệu dẻo lý tưởng và
đàn dẻo vẫn tiếp tục biến dạng ngay cả khi không tác dụng thêm tải trọng. Đường cong ứng suất -

biến dạng với thép non có thể coi gần giống như đường cong ứng suất - biến dạng của vật liệu
đàn dẻo, lý thuyết này rất hữu ích ví dụ như trong gia công, cán và cắt gọt kim loại. Nhiều trường
hợp, các loại vật liệu như gang, bê tông và đá có tính giòn, do đó chúng thể hiện rất ít biến dạng
khi ứng suất tăng lên. Vì vậy, tại điểm nào đó, vật liệu sẽ bị phá hoại hay nghiền vụn một cách
đột ngột (Hình.10.4e). Phức tạp hơn nhưng cũng rất thường gặp đối với nhiều loại vật liệu là dạng
quan hệ ứng suất - biến dạng như trên Hình.10.4f. Các loại vật liệu tăng bền, như chính tên gọi
của nó đã chỉ ra, trở nên cứng hơn (độ cứng cao hơn) khi chúng bị biến dạng hay “ chịu tải
trọng”. Chỗ lồi nhỏ trên đường cong ứng suất - biến dạng của thép non sau điểm chảy
(Hình.10.4a) là một ví dụ của tăng bền. Rất nhiều các loại đất cũng là vật liệu tăng bền, ví dụ như
các loại sét chặt và cát xốp. Các vật liệu giảm bền (Hình10.4f) cho thấy sự giảm về ứng suất khi
bị biến dạng phía trên điểm có ứng suất lớn nhất. Các loại sét nhạy và cát chặt là những ví dụ của
vật liệu giảm bền.
Tại điểm nào trên đường cong ứng suất – biến dạng xuất hiện sự phá hoại? ta có thể gọi
điểm chảy là điểm „phá hoại‟ nếu muốn. Trong một số điều kiện, nếu vật liệu chịu ứng suất đến
điểm chảy, sự biến dạng hay độ uốn lớn đến nỗi mà nó bị phá hoại nếu tiếp tục được sử dụng.
Điều này có nghĩa là vật liệu sẽ không đảm bảo nếu chịu thêm tải. Ứng suất tại thời điểm phá
hoại thường rất khó đoán biết, đặc biệt là với các loại vật liệu phi tuyến. Tuy nhiên với các loại
vật liệu giòn, vấn đề khi nào vật liệu bị phá hoại lại không khó trả lời. Thậm trí với các vật liệu
giảm bền (Hình.10.4f), đỉnh của đường cong hay ứng suất lớn nhất thường được định nghĩa chính
là vị trí phá hoại. Trong trường hợp khác, với một số loại vật liệu dẻo thì điều này lại không rõ
ràng. Xác định vị trí phá hoại ở đâu nếu có đường cong ứng suất – biến dạng - tăng bền
(Hình.10.4f)? Với các loại vật liệu như vậy, ta thường định nghĩa điểm phá hoại tại một số phần
trăm biến dạng, ví dụ như, 15 hoặc 20%, hay tại một biến dạng hay chuyển vị tại đó chức năng
của kết cấu có thể bị suy yếu.
Bây giờ chúng ta cũng có thể định nghĩa độ bền của một vật liệu. Nó là ứng suất lớn nhất
hoặcứng suất chảy hay ứng suất ở biến dạng nào đó mà ta xác định là ‟phá hoại‟
Như đã đề xuất trong phần trên, có rất nhiều cách định nghĩa sự phá hoại với các vật liệu
thực; nói cách khác, có rất nhiều tiêu chuẩn phá hoại. Phần lớn các tiêu chuẩn không áp dụng
được cho đất, và thực tế tiêu chuẩn áp dụng mà ta nghiên cứu ở phần sau được sử dụng không
phải lúc nào cũng áp dụng được. Tuy vậy, tiêu chuẩn phá hoại được áp dụng phổ biến nhất cho

đất là tiêu chuẩn phá hoại Mohr – Coulomb.


10.4 Tiêu chuẩn phá hoại Mohr – Coulomb
Mohr hay Otto Mohr được biết đến với sự nổi tiếng của vòng tròn Mohr. Coulomb lại
được biết đến với khái niệm về hệ số ma sát Coulomb, lực hút và lực đẩy tĩnh điện, giữa những
khái niệm khác. Xung quanh diễn biến của thế kỷ này, Mohr (1900) đã đưa ra một tiêu chuẩn phá
hoại cho các vật liệu thực theo đó ông cho rằng vật liệu bị phá hoại khi ứng suất cắt trên mặt
phẳng phá hoại đạt đến một hàm duy nhất nào đó của ứng suất pháp trên mặt đó, hay
()
ff ff
f
(10.7)

133
Trong đó là ứng suất cắt và là ứng suất pháp. Chỉ số f đầu tiên liên quan đến mặt
phẳng mà trên đó ứng suất tác dụng lên (trong trường hợp này là mặt phá hoại) và chỉ số f thứ hai
nghĩa là “tại lúc phá hoại.”
ff
được gọi là cường độ chống cắt của vật liệu, và quan hệ này được biểu thị bằng Pt.10-
7 như trên Hình.10.5a. Hình 10.5b cho thấy một phần tử tại thời điểm phá hoại với các ứng suất
chính gây ra phá hoại và các ứng suất pháp và tiếp phát sinh trên mặt phẳng phá hoại.
Hiện tại, ta sẽ giả thiết rằng có tồn tại một mặt phá hoại, đây không phải là một giả thiết
tồi với các loại đất, đá và nhiều loại vật liệu khác. Ngoài ra, lúc này ta không cần quan tâm đến
làm thế nào các ứng suất chính tại thời điểm phá hoại được đặt vào phần tử (mẫu thí nghiệm hay
phần tử đại diện ngoài hiện trường) hay làm sao xác định được chúng.
Dù thế nào đi nữa, nếu ta biết các thành phần ứng suất tại thời điểm phá hoại, ta có thể
dựng được (vẽ, phác họa) một vòng tròn Mohr đặc trưng cho trạng thái ứng suất của phần tử này.
Tương tự, ta có thể tiến hành một số thí nghiệm đến phá hoại hay đo đạc các ứng suất phá hoại
của một số phần tử ở thời điểm phá hoại, và dựng các vòng tròn Mohr tương ứng với mỗi phần tử

hay thí nghiệm tại thời điểm phá hoại. Quy trình này được thể hiện trên Hình.10.6. Chú ý rằng chỉ
vẽ nửa phía trên của các vòng tròn Mohr, trong cơ học đất để thuận tiện. Do các vòng tròn Mohr
được xác định tại thời điểm phá hoại, ta hoàn toàn có thể tìm được giới hạn của đường bao phá
hoại của ứng suất cắt. Đường bao này được gọi là đường bao phá hoại Mohr, cho biết mối quan
hệ hàm số giữa ứng suất cắt
ff
và ứng suất pháp
ff
tại thời điểm phá hoại (Pt.10-7).










134

Hình.10.5 (a) Tiêu chuẩn phá hoại Mohr; (b) phần tử tại thời điểm phá hoại, cho biết các ứng
suất chính và các ứng suất trên mặt phá hoại.

Chú ý rằng bất cứ vòng tròn Mohn nào nằm phía dưới đường bao phá hoại Mohr (ví dụ
đường tròn A trên Hình.10.6) đặc trưng cho điều kiện ổn định. Hiện tượng phá hoại chỉ xuất hiện
khi tổ hợp của ứng suất cắt và ứng suất tiếp làm cho vòng tròn Mohr tiếp xúc với đường bao phá
hoại. Cũng chú ý rằng không tồn tại những đường tròn nằm phía trên đường bao phá hoại Mohr
(như đường tròn B trong Hình.10.6). Vật liệu sẽ bị phá hoại trước khi đạt đến trạng thái ứng suất
đó. Nếu với mỗi loại vật liệu xác định, đường bao phá hoại này là duy nhất thì điểm tiếp xúc của

đường bao phá hoại cho ta các điều kiện ứng suất trên mặt phá hoại tại thời điểm phá hoại. Do đó
nếu dùng phương pháp điểm cực ,ta có thể xác định góc của mặt phá hoại từ điểm tiếp xúc của
vòng tròn Mohr và đường bao phá hoại Mohr.

135


Hình.10.6 Vòng tròn Mohr tại thời điểm phá hoại xác định đƣờng bao phá hoại Mohr

Giả thiết mà điểm tiếp xúc xác định góc của mặt phẳng phá hoại của phân tố hay mẫu thí
nghiệm, là giả thiết phá hoại Mohr. Ta nên phân biệt giả thiết này với lý thuyết phá hoại Mohr.
Giả thiết phá hoại Mohr được minh họa trên Hình.10.7a cho phần tử tại thời điểm phá hoại như
trên Hình.10.7b. Nói cách khác: Giả thiết phá hoại Mohr cho rằng điểm tiếp xúc của đường bao
phá hoại với vòng tròn Mohr tại thời điểm phá hoại sẽ cho ta góc nghiêng của mặt phá hoại.
Một vấn đề nữa cần lưu ý từ Hình.10.7a là mặc dù trong cơ học đất ta thường chỉ vẽ nửa
phía trên của vòng tròn Mohr, tuy nhiên vẫn còn nửa đường tròn bên dưới và tất nhiên cũng có
đường bao phá hoại phía dưới. Điều này cũng có nghĩa là nếu giả thiết phá hoại Mohr là hợp lệ,
thì mặt phá hoại cũng sẽ tạo thành một góc
f
, như trên Hình.10.7a.
Thực tế, do điều kiện ứng suất ở đỉnh và đáy của mẫu thí nghiệm là không đồng nhất và
bản thân mẫu thí nghiệm cũng không phải là đồng nhất hoàn toàn mà ta cho là nguyên nhân gây
ra một mặt phá hoại đơn thường hình thành trong mẫu thí nghiệm. Ta đã từng tự hỏi tại sao một
hình nón lại hình thành trên đỉnh và đáy khi khối bê tông hình trụ bị phá hoại do nén ? Các ứng
suất cắt giữa máy thí nghiệm và các mũ trên mẫu thí nghiệm gây ra các ứng suất không đồng nhất
trong bản thân mẫu. Nếu coi tất cả là đồng nhất và ứng suất phân bố đều trên mẫu thí nghiệm, thì
sẽ hình thành nhiều mặt phá hoại với các góc liên hợp là
f
, như trên Hình.10.7c.
Bây giờ ta sẽ đưa T.s Coulomb vào câu chuyện của chúng ta. Chưa kể đến các thí nghiệm

nổi tiếng của ông với lông mèo và báng gỗ mun, Coulomb (1776) cũng quan tâm đến các công
trình về quân sự quốc phòng ví dụ như các tường chắn bảo vệ và các pháo đài. Vào thời điểm đó,
những loại công trình này được xây dựng theo quy tắc ngón tay cái, và không may là rất nhiều
các công trình của lực lượng quốc phòng Pháp bị hư hỏng. Coulomb bắt đầu quan tâm đến vấn đề
về áp lực ngang tác dụng lên tương chắn, ông đã nghĩ ra một hệ thống để phân tích áp lực đất
ngang lên các kết cấu chắn đất mà đến ngày nay nó vẫn còn được sử dụng.

136

Hình 10.7 (a) Giả thiết phá hoại Mohr để xác định góc của mặt phẳng phá hoại trong (b) phân
tố; (c) các mặt phẳng phá hoại liên hợp

Một trong những yếu tố ông cần cho thiết kế là cường độ chống cắt của đất. Cũng quan
tâm đến các đặc tính của ma sát trượt với nhiều loại vật liệu khác nhau, ông lắp đặt một dụng cụ
giúp xác định sức kháng cắt của đất. Ông quan sát thấy rằng có một thành phần ứng suất- độc lập
trong cường độ chống cắt và một thành phần ứng suất – không độc lập. Thành phần ứng suất –
không độc lập thì tương tự như ma sát trượt trong các chất rắn, vì vậy ông gọi thành phần này là
góc ma sát trong, ký hiệu bằng ký tự . Thành phần kia dường như có liên hệ với lực dính kết
bản thân của vật liệu và nó thường được ký hiệu bằng ký tự c. Từ đó, ông lập được phương trình
Coulomb như sau:

137
tan
f
c
(10 - 8)
Trong đó
f
là cường độ chống cắt của đất, là ứng suất pháp tác dụng, và c được gọi
là các thông số độ bền của đất như đã định nghĩa ở trên. Quan hệ này cho ta một đường thẳng, vì

vậy dễ dàng hơn khi tiếp cận. Ta sẽ giải thích trong chương sau, cả và c đều không phải là các
đặc tính cố hữu của vật liệu; ngược lại chúng phụ thuộc vào các điều kiện khi tiến hành thí
nghiệm. Từ phương trình trên, ta sẽ vẽ được kết quả của thí nghiệm cắt với mẫu đất và tính ra
được các thông số độ bền và c (Hình.10.8).
Chú ý rằng các thông số độ bền cũng có thể bằng không dưới bất kỳ điều kiện ứng suất cụ
thể nào; đó là,
c
khi
0
, hoặc
tan
khi c = 0. Khi nghiên cứu trong Chương 11, các
quan hệ này là đúng trong một số điều kiện thí nghiệm cụ thể với một số loại đất.
Dù vẫn chưa biết ai là người đầu tiên thực hiện việc này, nhưng có vẻ hợp lý khi kết hợp
phương trình Coulomb, Pt.10 – 8, với tiêu chuẩn phá hoại Mohr, Pt. 10 – 7. Thường thì các kỹ sư
thích làm việc với đường thẳng hơn vì bất cứ phương trình liên hệ nào có bậc cao hơn phương
trình bậc nhất ( đường thẳng) thì rất phức tạp! Vì vậy đơn giản là cứ nắn thẳng đường bao phá
hoại Mohr, hay ít nhất là lấy xấp xỉ đường cong này bằng một đường thẳng đi qua một số giá trị
ứng suất cho trước; sau đó có thể lập được phương trình của đường thẳng đó theo các thông số độ
bền Coulomb. Từ đó tiêu chuẩn phá hoại Mohr – Coulomb ra đời, và cho đến nay, khi áp dụng
với đất thì đây vẫn là tiêu chuẩn độ bền được dùng phổ biến nhất. Tiêu chuẩn phá hoại Mohr –
Coulomb có thể được viết như sau:
tan
ff ff
c
(10 – 9)
Các thông số trong công thức đã giải thích ở trên. Đây là tiêu chuẩn đơn giản, dễ áp dụng,
nó có rất nhiều ưu điểm riêng biệt khi so sánh với các tiêu chuẩn phá hoại khác. Đây là tiêu chuẩn
phá hoại duy nhất, dự đoán được các ứng suất trên mặt phá hoại tại thời điểm phá hoại, và do các
khối đất đã được quan sát đến khi phá hoại trên các mặt rất khác biệt, chúng ta có thể dự đoán

được trạng thái ứng suất trên các mặt trượt tiềm năng.

Hình 10.8 Biểu diễn phƣơng trình độ bề Coulomb biểu thị theo đồ thị

Vì vậy tiêu chuẩn phá hoại Mohr – Coulomb rất hữu ích trong phân tích ổn định mái dốc
và nền móng.
Trước khi thảo luận về các loại thí nghiệm được sử dụng để xác định các thông số độ bền
Mohr – Coulomb, ta phải nghiên cứu cẩn thận hơn với một số vòng tròn Mohr trước và tại thời
điểm phá hoại. Chúng có một vài đặc điểm thú vị mà có thể có ích sau này.

138
Đầu tiên, nếu biết góc nghiêng của đường bao phá hoại hay đã xác định được thông số
này từ các thí nghiệm trong phòng, ta sẽ có thể viết góc của mặt phá hoại
f
với góc dốc của
đường bao phá hoại Mohr. Để thực hiện điều này, ta phải dùng các giả thiết phá hoại Mohr. Sau
đó xác định góc của mặt phá hoại so với mặt ứng suất chính lớn nhất:
0
45
2
f
(10 – 10)
Quy trình chứng minh phương trình này được đề cập trong một bài tập ở cuối chương
này.
Thứ hai, hãy quan sát phần tử đất được xác định các ứng suất chính, ta thấy các ứng suất
này nhỏ hơn các ứng suất gây ra phá hoại. Trạng thái ứng suất như thế có thể được biểu thị bằng
vòng tròn Mohr như trên Hình.10.9a. Trong trường hợp này
f
là sức kháng cắt được huy động
trên mặt phá hoại tiềm năng, và

ff
là cường độ chống cắt vốn có (ứng suất cắt trên mặt phá hoại
tại thời điểm phá hoại). Vì vẫn chưa đạt tới mức phá hoại, vẫn còn lại độ bền dự trữ , nên có thể
định nghĩa về hệ số an toàn của vật liệu. như sau:
Hệ số an toàn (F.S)(Factor of Safety) =
ff
f
(Vô'n có)
(tác dung)
(10 – 11)
Bây giờ, nếu tăng các ứng suất cho đến khi xuất hiện phá hoại, thì vòng tròn Mohr sẽ tiến
tới tiếp xúc với đường bao phá hoại Mohr. Theo các giả thiết phá hoại Mohr, sự phá hoại xuất
hiện trên mặt phẳng nghiêng góc
f
, với ứng suất cắt trên mặt đó là
ff
. Chú ý rằng đây không
phải là ứng suất cắt cực đại hay lớn nhất xuất hiện trong phần tử! Ứng suất cắt lớn nhất xuất hiện
trên mặt phẳng nghiêng góc 45
0
và có giá trị
1f 3f
max ff
2
(10 – 12)
Vậy tại sao sự phá hoại không xảy ra trên mặt phẳng 45
0
? Điều này không thể lý giải là
do trên mặt phẳng đó cường độ chống cắt vốn có lớn hơn
max

. Sự phá hoại không thể xảy ra.
Điều kiện này được đặc trưng bởi khoảng cách từ điểm cao nhất trên vòng tròn Mohr lên đến
đường bao phá hoại trên Hình.10.9b. Đó chính là cường độ chống cắt vốn có khi ứng suất pháp
n
trên mặt 45
0
là
1f 3f
( ) / 2
.

139

Hình 10.9 (a)Các điều kiện ứng suất trƣớc khi phá hoại; (b)Các điều kiện ứng suất tại thời điểm
phá hoại; (c) Đƣờng bao phá hoại Mohr của loại vật liệu thuần dính (theo Hirschfeld, 1963)
Ngoại lệ duy nhất trong các thảo luận ở trên là khi cường độ chống cắt không phụ thuộc
vào ứng suất pháp; lúc đó đường bao phá hoại Mohr nằm ngang và
0
. Trường hợp này như
minh họa trên Hình.10.9c, và nó là đúng trong một số điều kiện đặc biệt sẽ được nghiên cứu trong

140
Chương 11. Những loại vật liệu này được gọi thuần dính. Vì các lý do hiển nhiên. Với trường
hợp như trên Hình.10.9c, sự phá hoại về mặt lý thuyết xảy ra trên mặt 45
0
(nó không thực sự, như
được giải thích trong Chương 11). Độ bền kháng cắt là
f
, và ứng suât pháp trên mặt phẳng phá
hoại lý thuyết tại thời điểm phá hoại là

1f 3f
( ) / 2
.
Một việc cần thiết khác chúng ta nên làm trước khi tiến hành viết tiêu chuẩn phá hoại
Mohr – Coulomb theo các ứng suất chính tại thời điểm phá hoại, chứ không phải như Pt. 10 -9
theo
ff
và
ff
. Quan sát Hình 10.10, chú ý rằng
sin R / D
, hay
1f 3f
1f 3f
2
sin
ccos
2

Hay
1f 3f
( )/ 2
=
1f 3f
( )sin 2ccos
. Nếu c = 0, thì
1f 3f
()
=
1f 3f

( )sin
, điều này có thể được viết lại như sau:
1f 3f
1f 3f
sin
(10 – 13)
Sắp xếp lại, ta có
1
3
1 sin
1 sin
(10 – 14)


Hình 10.10 Đƣờng bao giới hạn bền Mohr – Coulomb với một vòng tròn Mohr lúc phá hoại
Hay lấy nghịch đảo lại là:
3
1
1 sin
1 sin
(10 – 15)
Tiến hành biến đổi lượng giác ta có thể viết lại Pt. 10 – 14 và 10 – 15 như sau:

141
20
1
3
tan 45
2
(10 – 16)

20
3
1
tan 45
2
(10 – 17)
Các phương trình tử 10 – 14 đến 10 – 17 được gọi là các quan hệ nghiêng vì độ nghiêng
lớn nhất, hay độ nghiêng của đường bao phá hoại Mohr xuất hiện ở nơi c là bằng không. Tất
nhiên bốn phương trình này chỉ thỏa mãn với c = 0. Kiểm tra những công thức này và Hình.10.10
cho thấy các tọa độ của điểm tiếp xúc của đường bao phá hoại và vòng tròn Mohr (
ff ff
,
) là các
ứng suất trên mặt phẳng với độ nghiêng lớn nhất trong phân tố đất. Nói cách khác, tỷ số
ff ff
/

là lớn nhất trên mặt phẳng này. Như đã chỉ ra ở trên, mặt phẳng này không phải là mặt phẳng với
ứng suất cắt lớn nhất. Trên mặt đó (
0
45
), góc nghiêng sẽ nhỏ hơn giá trị lớn nhất do tỷ số
max
trên
13
/2
nhỏ hơn
ff ff
/
. Các quan hệ nghiêng rất hữu ích khi đánh giá các dữ

liệu trong thí nghiệm ba trục và trong các lý thuyết về áp lực hông của đất.
Yếu tố cuối cùng ta nên quan tâm là ảnh hưởng của ứng suất chính trung gian
2
đến các
điều kiện tại thời điểm phá hoại. Theo định nghĩa giá trị của
2
nằm đâu đó giữa ứng suất chính
lớn nhất và nhỏ nhất, các vòng tròn Mohr cho cả ba ứng suất chính như trên Hình.10.3c hay cả
Hình.10.11. Rõ ràng dù có giá trị nào đi nữa,
2
không có ảnh hưởng gì đến các điều kiện tại thời
điểm phá hoại theo tiêu chuẩn phá hoại Mohr. Ứng suất chính trung gian
2
có thể cũng có ảnh
hưởng trong các loại đất thực, nhưng lý thuyết phá hoại Mohr – Coulomb không xét đến.

Hình 10.11 Các vòng tròn Mohr ứng với trạng thái ứng suất ba chiều.
10.5 Các thí nghiệm về cƣờng độ kháng cắt của đất
Trong mục này chúng ta sẽ mô tả ngắn gọn một số thí nghiệm thường gặp nhất để xác
định cường độ kháng cắt của đất. Có một số trong chúng khá phức tạp, vì vậy để đi sâu hơn có
thể tham khảo thêm trong các sổ tay hoặc giáo trình về thí nghiệm trong phòng, đặc biệt là các
cuốn của ASTM (1980), các tập đoàn kỹ thuật quốc phòng Mỹ (1970), cục khai hoang Hoa Kỳ
(1974), và của Bishop và Henkel (1962).

Thí nghiệm cắt trực tiếp

142
Đây có thể là thí nghiệm về cường độ lâu đời nhất vì Coulomb đã dùng một thí nghiệm
loại hộp cắt hơn 200 năm trước đây để xác định các thông số cần thiết cho các phương trình
cường độ kháng cắt của ông. Nguyên lý của thí nghiệm khá đơn giản. Về cơ bản, cần một hộp

đựng mẫu thí nghiệm hay “hộp cắt”, được chia làm hai nửa theo phương ngang. Một nửa được
giữ cố định, theo nửa đó, nửa còn lại có thể bị đẩy hoặc kéo theo phương ngang. Tải trọng thẳng
đứng được đặt vào mẫu đất trong hộp nén thông qua một tấm cứng chịu lực. Lực cắt, chuyển vị
ngang và chuyển vị đứng được đo đạc trong suốt quá trình thí nghiệm. Chia lực đẩy ngang và tải
trọng đứng cho diện tích danh nghĩa của mẫu, ta được ứng suất cắt cũng như ứng suất pháp trên
mặt phá hoại. Chú ý rằng mặt phá hoại bắt buộc là mặt ngang tiếp xúc giữa hai nửa của hộp nén.
Sơ đồ mặt cắt ngang về các đặc trưng cơ bản của thiết bị như minh họa trên Hình 10.12a,
trong khi Hình 10.12b cho thấy các kết quả của một vài thí nghiệm điển hình. Biểu đồ Mohr –
Coulomb ứng với các điều kiện tại thời điểm phá hoại như trên Hình.10.12c. Có thể ví dụ, nếu ta
thí nghiệm ba mẫu cát với cùng độ chặt tương đối ngay trước thời điểm bị cắt, khi ứng suất pháp
n
tăng lên, theo kiến thức về ma sát trượt, có một sự tăng đồng thời trong ứng suất cắt trên mặt
phá hoại tại thời điểm mẫu bị phá hoại (cường độ kháng cắt của đất). Điều kiện này được thấy
trên đường cong ứng suất cắt – chuyển vị điển hình cho cát chặt trên Hình.10.12b với
n1 n2 n3
. Khi vẽ các kết quả này trên biểu đồ Mohr, Hình.10.12c, ta có thể xác định được
góc ma sát trong .









143

Hình.10.12 (a) Sơ đồ mặt cắt ngang thiết bị thí nghiệm cắt trực tiếp; (b) Các kết quả thí nghiệm
điển hình (cát chặt); và (c) Biểu đồ Mohr cho các mẫu có độ chặt tƣơng đối nhƣ nhau

Tất nhiên, phương pháp thí nghiệm cắt trực tiếp có rất nhiều ưu điểm cũng như hạn chế.
Đầu tiên, thí nghiệm ít tốn kém, cho kết quả nhanh với thao tác đơn giản, đặc biệt khi thí nghiệm

144
với các loại đất rời. Chúng ta phải quan sát các mặt trượt và các vùng phá hoại mỏng trong tự
nhiên trước, sau đó tiến hành các thí nghiệm cắt thực với mẫu đất dọc theo một số mặt để quan
sát các thành phần ứng suất trên mặt đó. Một số hạn chế của phương pháp bao gồm vấn đề kiểm
soát nước thấm ra – đây là việc rất khó cũng có khi là không thể, đặc biệt khi thí nghiệm với các
loại đất hạt mịn. Bởi vậy, phương pháp thí nghiệm này chỉ phù hợp khi coi nước trong mẫu được
thoát ra hoàn toàn. Khi chúng ta ép cho mặt phá hoại phải xuất hiện, làm sao ta có thể chắc chắn
đó là hướng yếu nhất hay thậm trí với cùng mặt khuyến cáo như xuất hiện ở hiện trường ? rõ ràng
ta không biết. Một nhược điểm nữa của thí nghiệm cắt trực tiếp đó là có xuất hiện sự tập trung
ứng suất lớn ở các vùng biên của mẫu, điều này làm cho các điều kiện ứng suất trong bản thân
mẫu thí nghiệm mất đi tính đồng nhất. Và cuối cùng, như trong Ví dụ . 10.6, một góc xoay tự
nhiên không kiểm xoát được của các mặt chính và ứng suất chính xuất hiện giữa thời điểm bắt
đầu của thí nghiệm và khi mẫu bị phá hoại. Để mô hình một cách chính xác các điều kiện chất tải
ban đầu, độ lớn của góc xoay này nên được biết và quan tâm đến, nhưng lại không như vậy. Các
vòng tròn Mohr của thí nghiệm cắt trực tiếp sẽ được minh họa sâu hơn trong Ví dụ 10.7.
Ví dụ 10.7
Cho biết:
Tiến hành thí nghiệm cắt trực tiếp với một mẫu cát bụi có độ chặt trung bình, với ứng suất
pháp
n
= 65 kPa. K
o
= 0.5. Tại thời điểm phá hoại, ứng suất pháp vẫn là 65 kPa và ứng suất cắt
là 41 kPa.
Yêu cầu:
Vẽ các vòng tròn Mohr cho các điều kiện ban đầu và tại thời điểm phá hoại và xác định:

a. Các ứng suất chính tại thời điểm phá hoại.
b. Phương của mặt phá hoại.
c. Phương của mặt ứng suất chính lớn nhất tại thời điểm phá hoại.
d. Phương của mặt ứng suất cắt lớn nhất tại thời điểm phá hoại.
Giải:
a. Các điều kiện ban đầu như trên Hình.Ví dụ .10.7 bằng vòng tròn thứ i. Do K
0
= 0.5,
ứng suất theo phương ngang ban đầu là 32.5 kPa. Ứng suất pháp tác dụng lên mẫu được giữ ở giá
trị không đổi trong suốt thời gian thí nghiệm là 65 kPa, vì vậy
1i
cũng là
ff
. Do ứng suất cắt
tại thời điểm phá hoại là 41 kPa, điểm phá hoại (như trên Hình.10.12c) trên hình là điểm F. Góc
được xác định là 32
0
. Chưa biết mối liên hệ giữa vòng tròn Mohr ban đầu i và tại thời điểm phá
hoại f . Việc dựng đường tròn f được trình bày trong Ví dụ 10.6. Tâm của vòng tròn f được xác
định tại điểm (91 kPa, 0). Do đó
1f
= 39 kPa và
3f
= 43 kPa.
b. Trạng thái ứng suất tại điểm phá hoại F là (65, 41) kPa, và mặt phá hoại được giả thiết
là nằm ngang, đây là giả thiết hợp lý trong thí nghiệm cắt trực tiếp.
c. Kẻ một đường thẳng có phương nằm ngang từ điểm đã biết trạng thái ứng suất tại điểm
F cắt vòng tròn Mohr tại P – điểm cực. Đường thẳng
1f
P

cho biết phương của mặt ứng suất
chính. Nó tạo một góc khoảng 60.5
0
so với phương nằm ngang.

145
d. Đường thẳng
PM
là phương của mặt ứng suất cắt lớn nhất; tạo góc khoảng 16
0
so với
phương ngang.
Chú ý rằng trong ví dụ này, nếu ta không giả thiết đường bao phá hoại Mohr đi qua điểm
gốc của biểu đồ Mohr, nên tiến hành ít nhất là hai thí nghiệm với các giá trị
1i
khác nhau để xác
định đường bao Mohr.








Hình.Ví dụ .10.7

Thí nghiệm ba trục
Trong lịch sử phát triển của Cơ học đất, thí nghiệm cắt trực tiếp là thí nghiệm cắt phổ
biến nhất. Sau đó, khoảng năm 1930, trong khi làm việc ở M.I.T. A. Casagrande đã bắt đầu

nghiên cứu sự phát triển của các thí nghiệm nén mẫu hình trụ để khắc phục một số nhược điểm cơ
bản của thí nghiệm cắt trực tiếp. Ngày nay, người ta thường gọi thí nghiệm này là thí nghiệm ba
trục, cho đến nay so với thí nghiệm cắt trực tiếp, nó được dùng phổ biến hơn. Thí nghiệm ba trục
phức tạp hơn nhiều so với thí nghiệm cắt trực tiếp, nhưng tất nhiên nó cũng đa năng hơn. Ta có
thể kiểm soát sự thoát nước khá tốt,
1
và
3
không bị xoay. Sự tập trung ưng suất vẫn tồn tại
nhưng nhỏ hơn nhiều so với trong thí nghiệm cắt trực tiếp. Và quan trọng hơn, mặt phẳng phá

146
hoại có thể xuất hiện tại bất cứ vị trí nào. Thêm một ưu việt nữa là ta có thể kiểm soát các đường
ứng suất đến phá hoại khá hợp lý, điều này có nghĩa là các đường ứng suất phức tạp ngoài hiện
trường có thể được mô hình trong phòng thí nghiệm với thí nghiệm ba trục. Chúng ta sẽ nghiên
cữu kỹ hơn về đường ứng suất trong mục tiếp theo.
Nguyên lý của thí nghiệm ba trục như minh họa trên Hình.10.13a. Mẫu đất thí nghiệm
thường được bọc lại trong một màng cao su để không cho chất lỏng gây áp lực (thường là nước)
xâm nhập vào trong các lỗ rỗng của đất. Tải dọc trục được đặt vào thông qua một piston, và sự
thay đổi thể tích của mẫu thí nghiệm trong thí nghiệm thoát nước hoặc sự biến đổi áp lực nước lỗ
rỗng trong thí nghiệm không thoát nước sẽ được đo. Như đã đề cập ở trên, ta có thể kiểm soát
nước ngấm vào và thoát ra khỏi mẫu, và với một số giả thiết có thể điều chỉnh các đường ứng
suất tác dụng lên mẫu thí nghiệm. Về cơ bản, ta giả thiết các ứng suất trên mặt biên của mẫu là
các ứng suất chính (Hình.10.13b). Điều này không đúng vì có một số ứng suất cắt với giá trị nhỏ
tác động ở các đầu trên và dưới của mẫu. Tương tự, cũng như đã đề cập, mặt phá hoại không phải
là mặt bị ép – mẫu thí nghiệm bị phá hoại tự do tại bất cứ mặt yếu nào, hay đôi khi xảy ra dạng
cong đơn giản.


147

Hình 10.13 (a) Sơ đồ thiết bị thí nghiệm ba trục; (b) Các điều kiện ứng suất giả thiết trên mẫu
thí nghiệm ba trục.
Ta cũng nên chú ý rằng
trục
trên Hình.10.13b chính là sự chênh lệch giữa các ứng suất
chính lớn nhất và ứng suất chính nhỏ nhất; nó được gọi là chênh lệch ứng suất chính (hay nhiều
khi, bị gọi sai là ứng suất lệch). Từ các điều kiện trên hình, ta cũng nên chú ý rằng:
23
buồng
. Có lúc người ta sẽ giả thiết
buồng
=
12
khi thí nghiệm với các loại đường
ứng suất đặc biệt. Các đường ứng suất ba trục thông thường sẽ được nghiên cứu trong phần sau.
Thí nghiệm ba trục phức tạp hơn nhiều so với thí nghiệm cắt trực tiếp; có những cuốn
sách riêng chỉ để mô tả chỉ tiết thí nghiệm và giải thích các kết quả (ví dụ như của Bishop và

148
Henkel, 1962). Phần lớn các số liệu và kết quả thí nghiệm được trình bày trong Chương 11 được
lấy từ các thí nghiệm ba trục.
Các điều kiện thoát nước hay các đường dẫn trong thí nghiệm ba trục được mô hình theo
các trường hợp thiết kế giới hạn riêng phân tích ổn định trong thực tế xây dựng. Chúng thường
được ký hiệu bằng hai chữ cái. Chữ đầu tiên cho biết điều gì xảy ra trước khi cắt – mẫu có được
cố kết hay không. Chữ thứ hai biểu thị các điều kiện thoát nước trong suốt quá trình cắt. Có ba
hướng thoát nước cho phép trong thí nghiệm ba trục như sau:
Hướng thoát nước
Trước khi cắt
-

Trong khi cắt
Ký hiệu
Không cố kết (Unconsolidated)
-
Không thoát nước (Undrained)
UU
Cố kết (Consolidated)
-
Không thoát nước (Undrained)
CU
Cố kết (Consolidated)
-
Thoát nước (Drained)
CD
Theo các nguyên nhân lý giải trong Chương 11, thí nghiệm không cố kết – thoát nước
khó giải thích không có ý nghĩa. Các kết quả thí nghiệm ba trục với ba hướng thoát nước khác
nhau được mô tả chi tiết trong Chương 11.

Ví dụ 10.8
Cho biết:
Một thí nghiệm ba trục quy ước loại cố kết - thoát nước (CD) được tiến hành với mẫu là
một loại cát. Áp lực buồng là 100 kPa, và ứng suất trục tác dụng lúc phá hoại là 200 kPa.
Yêu cầu:
a. Vẽ các vòng tròn Mohr cho cả hai trường hợp với điều kiện ứng suất ban đầu và khi
mẫu bị phá hoại.
b. Xác định (giả thiết là c = 0).
c. Xác định ứng suất cắt trên mặt phá hoại tại thời điểm phá hoại
ff
, và xác định góc
nghiêng lý thuyết của mặt phá hoại trong mẫu thí nghiệm. Xác định thêm phương của mặt với

góc nghiêng lớn nhất.
d. Xác định ứng suất cắt lớn nhất tại thời điểm phá hoại
max
và góc nghiêng của mặt
phẳng mà nó tác động lên; tính toán cường độ chống cắt đạt được trên mặt phẳng này và hệ số an
toàn của mặt phẳng này.
Giải:
a. Tham khảo Hình 10.13b và Hình.Ví dụ .10.8. Các điều kiện ban đầu như ở phần bên
trên của Hình.Ví dụ .10.8 với thí nghiệm ba trục quy ước (conventional triaxial test). Ứng suất
ban đầu bằng áp lực buồng
buồng
, và nó là như nhau theo tất cả các hướng (thủy tĩnh). Vì vậy
vòng tròn Mohr cho các điều kiện ứng suất ban đầu là điểm tại 100 kPa, như trên biểu đồ Mohr
trong Hình.Ví dụ .10.8. Tại thời điểm phá hoại,
trục
=
1 3 f
()
= 200 kPa. Do đó

149
1f 1 3 f 3f
( ) 200 100 300
kPa
Bây giờ ta có thể vẽ được vòng tròn phá hoại Mohr tại thời điểm phá hoại;
1f
300
và
3f
= 100. Tâm của vòng tròn tại

13
/ 2 200
, với bán kính là
13
/2
= 100. Vòng
tròn Mohr tại thời điểm phá hoại như trên Hình Ví dụ .10.8.
b. Bằng phương pháp đồ giải, ta xác định được = 30
0
. Cũng có thể dùng Pt.10 – 13 nếu
thích dùng lời giải giải tích. Cụ thể
0
1f 3f
1f 3f
200
arcsin arcsin 30
400

c. Từ các giả thuyết phá hoại Mohr, các tọa độ của điểm tiếp xúc giữa đường bao phá
hoại Mohr và vòng tròn Mohr tại thời điểm phá hoại là
ff ff
,
. Từ pt.10-9, ta thấy rằng
ff ff
tan
, nhưng không giống thí nghiệm cắt trực tiếp, ta không xác định được
ff
từ thí
nghiệm ba trục. Xem xét kỹ lưỡng Hình.10.10. Góc nhỏ gần đỉnh của vòng tròn Mohr là ( theo
một định lý hình học ở phổ thông). Từ đó, do c = 0, D -

ff
= Rsin . Giải tìm
ff
, ta được
1f 3f 1f 3f
ff
sin
22

= 200 – 100sin30
0
= 150 kPa

0
ff ff
tan 150tan30 86.6kPa

Góc nghiêng lý thuyết của mặt phẳng phá hoại có thể được xác định bằng đồ giải theo
phương pháp điểm cực hoặc bằng giải tích.