CHƯƠNG 3 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN pdf

1
CHƯƠNG 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Trong thực tế, phần lớn các bài toán mà ta gặp thường liên quan đến các hàm có nhiều
hơn một biến. Thật vậy, xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Thể tích của một khối trụ tròn xoay phụ thuộc vào bán kính đáy R và chiều
cao h của nó bởi vì ta có công thức
2
. .
V R h


. Vì thế ta có thể nói V là một hàm theo
hai biến R và h và có thể viết:


2
, . .
V R h R h


.
Ví dụ 2: Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất ở một thời điểm cho trước nào đó
phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó. Vì thế ta có thể cho rằng T là một
hàm của hai biến x và y và có thể viết


,
T f x y


.
Ví dụ 3: Vào tháng 5/2006, một nhóm sinh viên khoa kinh tế, ĐHQG TPHCM, đã tiến
hành điều tra về tiền lương của viên chức làm tại các công sở trên địa bàn thành phố.
Họ đã đưa ra kết quả phân tích như sau:
3,475 4,096 3,283 1,536 0,775 *
WAGE MBA FL EXPER EF EXPER
     

Trong đó, WAGE là tiền lương; MBA là trình độ học vấn; FL là trình độ ngoại ngữ;
EXPER là chỉ số năm công tác. Như vậy, tiền lương WAGE là một hàm theo 3 biến:
MBA, FL và EXPER.
I. Giới hạn và liên tục
1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số
Cho
D
là một tập hợp trong
2

, người ta gọi ánh xạ
:f D


, tức là một quy tắc
cho tương ứng với mỗi cặp số thực


,
x y D

một số thực duy nhất

z
, ký hiệu là


,
f x y
là hàm số hai biến số,
x
và
y
là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu




: , ,
f x y z f x y


D
được gọi là miền xác định của hàm số
f
. Tập hợp









, , ,
f D z z f x y x y D
    
gọi là miền giá trị của hàm số
f
.
Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của
f
thuộc
2

, còn miền giá trị của
nó thuộc

.Hàm số n biến số


1 2
, , ,
n
f x x x
được định nghĩa tương tự.
Ví dụ 4: Hàm chi phí của hai sản phẩm.

2
Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản
phẩm như sau:
Sản phẩm A:



500 70
C x x
 
, x là số lượng sản phẩm A.
Sản phẩm B:


200 100
C y y
  , y là số lượng sản phẩm B.
Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là


,
C x y
:






, 700 70 100
C x y C x C y x y
    
Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B




10,5 700 70.10 100.5 1900
C    
.
2. Miền xác định
Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức


,
z f x y
 mà không nói gì về
miền xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp


,
x y
sao cho biểu thức


,
f x y
có nghĩa.
Ví dụ 5: Hàm số
2 3 5
z x y
  
xác định với mọi cặp


2
, x y 


, miền xác định của nó
là toàn bộ mặt phẳng.
Ví dụ 6: Hàm số
2 2
1
z x y
  
xác định khi
2 2
1 0
x y
  
hay
2 2
1
x y
 
, miền xác
định của nó là hình tròn đóng, tâm
O
, bán kính
I
( hình 1).
Ví dụ 7: Hàm số


ln 1
z x y
  

được xác định khi
1 0
x y
  
hay
1
x y
 
, miền xác
định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng
1
x y
 
(hình 2).
1
O
y
x
1
1O
y
x

( hình 1) (hình 2)
Ví dụ 8: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

3
a)
 
1

,
1
f x y
x y

 
b)
 
2
,
f x y x y
 

3. Giới hạn của hàm số hai biến số
Ví dụ 9: Cho hai hàm số
2 2
2 2
sin(x y )
f(x,y)
x y



. Khi cho x,y dần về 0 ( (x,y) dần về gốc
tọa độ thì ta có bảng giá trị của hàm số f(x,y) như sau:
y

x -1 -0.5 -0.2

0 0.2 0.5 1

-1 0.45

0.76

0.83

0.84

0.83

0.76

0.45

-0.5

0.76

0.96

0.99

0.99

0.99

0.96

0.76

-0.2

0.83

0.99

1.00

1.00

1.00

0.99

0.83

0 0.84

0.99

1.00

1.00

0.99

0.84

0.2 0.83

0.99

1.00

1.00

1.00

0.99

0.83

0.5 0.76

0.96

0.99

0.99

0.99

0.96

0.76

1 0.45

0.76

0.83

0.84

0.83

0.76

0.45

Bảng trên chỉ ra rằng khi (x,y) dần về gốc tọa độ thì f(x,y) dần về 1 từ bất kỳ một phía
nào. Vậy
2 2
2 2
(x,y) (0,0)
sin(x y )
lim 1
x y





3.1 Định nghĩa. Giới hạn của hàm số f(x,y) khi (x,y) dần về
0 0
(x ,y )
là L, ta viết
 
 



0 0
x,y x ,y
lim f x, y L



nếu với mọi
0
 
, tồn tại
0
 
sao cho
f(x, y) L , (x,y) D
    

2 2
0 0
va` 0< (x-x ) (y y )
   

Chú ý: Một cách ký hiệu khác của giới hạn là


0
0
x x
y y
lim f x, y L




, f(x,y)  L khi (x,y)
(x
0
, y
0
).
Ví dụ 10:: Tính
   


, 0,0
lim ,
x y
f x y

với
 
2 2
,
xy
f x y
x y



Hàm số



,
f x y
xác định trên


2
\ 0,0

.
Vì
   
2 2
1, , 0,0
x
x y
x y
  

, nên

4
     
2 2
, , , 0,0
x
f x y y y x y
x y
   


Do đó với mọi dãy




,
n n
x y
dần tới


0,0
, ta đều có
 
 
, 0,0
lim 0
n n
x y 

.
Vậy
   
, 0,0
lim 0
x y 


Ví dụ 11: Tính

   


, 0,0
lim ,
x y
g x y

với
 
2 2
,
xy
g x y
x y


.
Hàm số


,
g x y
xác định trên


2
\ 0,0
 .
Ta thấy rằng

   


, 0,0
lim ,
x y
g x y

không tồn tại.
Thật vậy, ta có:
+ Với dãy (x,y) dần tới


0,0
, ta chọn y=0, do đó


,0 0, 0
g x x
  
thì
   


, 0,0
lim , 0
x y
g x y



+ Với dãy (x,y) dần tới


0,0
, ta chọn y=x, do đó
 
2
2
1
, , 0
2 2
x
g x x x
x
   
thì
   
 
, 0,0
1
lim ,
2
x y
g x y


.
Vì
1

0
2

nên không tồn tại
   


, 0,0
lim ,
x y
g x y

.
3.2 Định nghĩa. Nếu f(x,y) dần về L
1
khi (x,y) tiến về (x
0
,y
0
) dọc theo đường cong C
1

và f(x,y) dần về L
2
khi (x,y) tiến về (x
0
,y
0
) dọc theo đường cong C
2

mà
1 2
L L

thì
 
 


0 0
x,y x ,y
lim f x,y

không tồn tại
Ví dụ 12: Tìm giới hạn khi




, 0,0
x y  của các hàm số sau:
a)
 
2 2
5 3 1
,
2 1
xy x y
f x y
xy

 


b)
 
2 2
2 2
2 3
,
3 2
x y
f x y
x y



.
4. Tính liên tục của hàm số hai biến số
Cho hàm số


,
f x y
xác định trong miền
D
.


0 0 0
,

M x y
là điểm thuộc
D
. Ta nói rằng
hàm số


,
f x y
liên tục tại
0
M
nếu:
i) Tồn tại
 
 


0 0
, ,
lim ,
x y x y
f x y

,
ii)
 
 





0 0
0 0
, ,
lim , ,
x y x y
f x y f x y

 (1.1)

5
Hàm số


,
f x y
được gọi là liên tục trong miền
D
nếu nó liên tục tại mọi điểm của
miền
D
.
Ví dụ 13: Xét tính liên tục của hàm số
 
   
   
2 2
, , 0,0
,

0, , 0,0
xy
x y
x y
G x y
x y

 








Giải:


,
G x y
xác định trên toàn
2

. Nó liên tục tại mọi điểm




, 0,0

x y  vì nó là thương
của hai hàm sô liên tục với mẫu số khác 0. Chỉ còn phải xét tính liên tục của


,
G x y

tại


0,0
. Vì không tồn tại
   
2 2
, 0,0
lim
x y
xy
x y


(xem ví dụ 5) nên


,
G x y
không liên tục tại


0,0

. Tóm lại


,
G x y
liên tục tại mọi điểm




, 0,0
x y  .
Chú ý: Nếu đặt
0 0
,
x x x y y y
     
, ta có




0 0
, ,
f x y f x x y y
    

Lại đặt





0 0 0 0
, ,
f f x x y y f x y
       . Khi đó công thức (1.1) có thể được viết là
   
, 0,0
lim 0
x y
f
  
 
(1.2)
Nói cách khác, hàm số


,
f x y
liên tục tại


0 0 0
,
M x y
nếu hệ thức (1.2) được thỏa
mãn.
Ví dụ 14:
a) Xét tính liên tục của hàm số
4 3 2 4

f(x,y) x 5x y 6xy 7y 6
    

b) Xét tính liên tục của hàm số
 


   
   
3 3
2 2
sin
, , 0,0
,
0 , , 0,0
x y
x y
f x y
x y
x y











.
II. Đạo hàm riêng và vi phân tòan phần
1. Đạo hàm riêng
1.1 Định nghĩa:


,
z f x y

là một hàm số xác định trong miền
D
,


0 0
,
x y
là một
điểm thuộc
D
. Nếu cho
0 0
,
y y y
 là hằng số, mà hàm số một biến số


0
,
x f x y

 có
đạo hàm tại
0
x x

thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng đối với
x
của hàm số


,
f x y

tại


0 0
,
x y
và được ký hiệu là:


0 0
,
x
f x y
hay
 
0 0
,

f
x y
x


.
Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biến số, ta có:

6
 




0 0 0 0
0 0
0
, ,
, lim
x
x
f x x y f x y
f x y
x
 
  



Tương tự, đạo hàm riêng đối với

y
của hàm số


,
f x y
tại


0 0
,
x y
ký hiệu là
 




0 0 0 0
0 0
0
, ,
, lim
y
y
f x y y f x y
f x y
y
 
  




Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với
x
của
f
, chỉ việc xem
y
là hằng số và lấy
đạo hàm của
f
đối với
x
; khi tính đạo hàm riêng đối
y
của
f
chỉ việc xem
x
là hằng
số và lấy đạo của
f
đối với
y
.
Trong tính tóan người ta thường ký hiệu đạo hàm riêng theo các cách sau:
x x
f z
f (x, y) f f(x, y)

x x x
  
   
  
, tương tự cho y
Ví dụ 15: Tính các đạo hàm riêng của
4 3 2 4
5 2
z x x y y
  

3 2 2 3 3
4 15 ; 10 8
z z
x x y x y y
x y
 
    
 

Ví dụ 16: Tính đạo hàm riêng của


0
y
z x x
 
.
1
; ln

y y
z z
yx x x
x y

 
 
 

Ví dụ 17: Tính đạo hàm riêng của
cos , 0
x
z y
y
 
 
 
 

1
sin . .sin
z x x x
x y x y y y
 
 
   
 
 
 

2
sin . sin
z x x x x
y y y y y y
 
 
  
 
 
 

Chú ý 1: Đạo hàm riêng của hàm số


2
n

biến số được định nghĩa tương tự. Khi tính
đạo hàm riêng của
f
đối với một biến số nào đó, ta xem các biến số khác là hằng số
và tính đạo hàm của
f
đối với biến số ấy.
Ví dụ 18: Tính các đạo hàm riêng của hàm số
2
x y
z e

2. Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng
,
x y
f f
gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số


,
z f x y
 . Chúng là
những hàm số của


,
x y
. Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:


x
x
f
,


x
y
f
,



y
x
f
,


y
y
f
gọi là đạo hàm riêng cấp hai của


,
f x y
. Ta dùng các ký hiệu sau:

7
 
2 2
2 2
x xx
x
f f z
f f
x x x x
   
 
   
 
   

 

 
2 2
x xy
y
f f z
f f
y x x y x y
   
 
   
 
     
 

 
2 2
y yx
x
f f z
f f
x y x y x y
 
   
   
 
     
 

 
2 2
2 2
y yy
y
f f z
f f
y y y y
 
   
   
 
   
 

Ví dụ 19:


2 3 2 5
,
y
f x y x e x y y
  

2 2
2 3
y
x
f xe x y
  ,

2 3 4
2 5
y
y
f x e x y y
  
2
2 6
y
xx
f e xy
 

2
2 6
y
xy
f xe x y
 

2
2 6
y
fyx xe x y
 

2 3 3
2 20
y
yy

f x e x y
  

Ví dụ 20: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau
a)




2 2 3 3
,
f x y x y x y
  b)
 
2 2
,
x
f x y
x y



Các đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Chẳng hạn:
 
2 3
2
xyy xy
y
f f
f f

y y x y x
 
  
  
 
    
 
.
Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau:
Định lý Schwarz: Nếu hàm số


,
f x y
có các đạo hàm riêng
xy
f
và
yx
f
trong một
miền
D
và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm


0 0
,
x y D


thì




0 0 0 0
, ,
xy yx
f x y f x y


Ta đã thấy kết quả này ở ví dụ 19. Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng
xyy yxy yyx
f f f
  nếu chúng liên tục.
Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số


2
n

biến số được định nghĩa tương tự.
Ví dụ 21:
2
x yz
u z e



2

x yz
x
u z e



2
x yz
xx
u z e





2 3
.
x yz x yz
xxy
u z e z z e
 
   


2 3 2 3
3 3
x yz x yz x yz x yz
xxyz
u z e z e y z e yz e
   

      
Ví dụ 22: Tính
a)


3 2 4
, 5
f x y x y x y
 
, tính
xxx
f
b)


2
,
xy
f x y e
 , tính
xxy
f
.

8
3. Vi phân toàn phần
3.1 Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số


f x

xác định trong khoảng
I


và nếu tồn tại đạo hàm


0 0
' ,
f x x I

thì số gia






0 0 0
f x f x x f x
    
,
trong đó
0
x x I
  
, có thể được biểu diễn dưới dạng:





0 0
'
f x f x x x

    
,
trong đó
0


khi
0
x
 
. Biểu thức


0
'
f x x

( phần chính của


0
f x

khi
0

x
 
)
gọi là vi phân của


f x
tại
0
x
. Vậy nếu đạo hàm


0
'
f x
tồn tại thì


f x
khả vi tại
0
x
.
Bây giờ, xét hàm số hai biến số


,
f x y
xác định trong miền

2
D


.


0 0 0
,
M x y
và


0 0 0
,
M x x y y
   
là hai điểm thuộc
D
.Nếu số gia






0 0 0 0 0 0
, , ,
f x y f x x y y f x y
       có thể biểu diễn dưới dạng:



0 0
,
f x y A x B y x y
 
        
, (3.1)
trong đó
,
A B
là những số không phụ thuộc
,
x y
 
, còn
0


và
0


khi




, 0,0
x y   (tức là

0
M M
 ) thì ta nói rằng hà số


,
f x y
khả vi tại
0
M
, biểu
thức
A x B y
  
gọi là vi phân toàn phần của hàm số


,
f x y
tại


0 0
,
x y
ứng với các số
gia
,
x y
 

và được ký hiệu là


0 0
,
df x y
.
Nếu hàm số


,
f x y
khả vi tại


0 0
,
x y
thì nó liên tục tại đó, vì từ công thức (3.1) suy
ra


0 0
, 0
f x y
 
khi





, 0,0
x y  
.
Hàm số


,
f x y
gọi là khả vi trong miền
D
nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc
D
.
Chú ý 2: Nếu


,
f x y
khả vi tại


0 0
,
x y
thì nó tồn tại các đạo hàm riêng





0 0 0 0
, , ,
x y
f x y f x y
.
Chú ý 3: Khác với hàm số một biến số, nếu hàm số hai biến số


,
f x y
có các đạo hàm
riêng


0 0
,
x
f x y
và


0 0
,
y
f x y
thì chưa chắc nó đã khả vi tại


0 0
,

x y
. Chẳng hạn như,
xét hàm số sau:
 
   
   
2 2
, , 0,0
,
0, , 0,0
xy
x y
x y
G x y
x y










Theo định nghĩa của đạo hàm riêng ta có

9
 







0 0
,0 0,0 ,0
0,0 lim lim 0
x
h h
G h G G h
G
h h
 

  
vì


,0 0, 0
G h h
  

Tương tự ta có:


0,0 0
y
G


.
Vậy tồn tại các đạo hàm riêng




0,0 , 0,0
x y
G G , nhưng hàm số


,
G x y
không liên
tục tại


0,0
nên không khả vi tại


0,0
.
3.2 Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số
3.2 Định lý. Nếu hàm số


,
f x y
có đạo hàm riêng trên một miền

D
chứa điểm


0 0 0
,
M x y
và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại
0
M
thì hàm số


,
f x y
khả vi tại
0
M
, vi phân toàn phần của


,
f x y
tại
0
M
được tính bằng công thức:







0 0 0 0 0 0
, , . ,
x y
df x y f x y x f x y y
   
(3.2)
Chú ý 4: Cũng như đối với hàm số một biến số, vì
,
x y
là biến số độc lập nên ta có
,
x dx y dy
   
, do đó công thức (3.2) còn được viết là:






0 0 0 0 0 0
, , . , .
x y
df x y f x y dx f x y dy
 

Ví dụ 23: Tính vi phân toàn phần của hàm số

2 2
z x y
  .
Hàm số xác định trên toàn
2

.
Vì các đạo hàm riêng
2 2 2 2
,
z x z y
x y
x y x y
 
 
 
 
là liên tục tại mọi




, 0,0
x y 

nên
z
khả vi trên



2
\ 0,0
 và
2 2
xdx ydy
dz
x y



.
Chú ý 5: Đối với hàm số


2
n

biến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vi
của hàm số, công thức của vi phân toàn phần cũng tương tự như hàm số của hai biến
số.
Ví dụ 24: Tính vi phần toàn phần của hàm số
yz
u xe

.
Hàm số xác định trên toàn
3

. Các đạo hàm riêng:
; ,

yz yz yz
u u u
e xze xye
x y z
  
  
  

liên tục trên toàn
3

nên hàm số
u
khả vi trên toàn
3

và


xz yz xz yz
du e dx xze dy xye dz e dx xzdy xydz
     
.
Ví dụ 25: Tính vi phân toàn phần của các hàm số

10
a)


3 3

, 3
f x y x y xy
   b)
 
2 2
,
x
f x y
x y


.
3.3 Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng
Từ định lý 3.2 ta có công thức:






0 0 0 0 0 0
, , ,
x y
f x y f x y x f x y y x y
 
        

Ta thấy rằng





0 0 0 0
, ,
x y
f x y x f x y y
  
là vô cùng bé bậc nhất đối với
2 2
x y

   

khi
0


, còn
x y
 
  
là vô cùng bé cấp cao đối với

. Vì vậy, khi
,
x y
 
khá
nhỏ, ta có thể xem





0 0 0 0
, ,
f x y df x y
  , tức là:






0 0 0 0 0 0
, , . ,
x y
f x y f x y x f x y y
    

Hay








0 0 0 0 0 0 0 0
, , , ,

x y
f x x y y f x y f x y x f x y y
        
(2.3)
Ví dụ 26: Cho hàm số


2 2
, 2
f x y x xy y
  
. Tính


,
f x y

và


,
df x y
, nếu
0 0
2, 3, 0.03, 0.02
x y x y      
.







, 2 2 . 2 2
df x y x y x x y y
     









2,3 2.2 2.3 0.03 2.2 2.3 . 0.02 0.34
df      
         
2 2
2 2
2,3 2.03; 2.98 2,3 2.03 2.2,03.2,98 2.98 2 2.2.
3 3 0.3434
f f f
 
 
         
 
 
Ta thấy





2,3 2,3
df f  nhưng tính


2,3
df dễ hơn.
Ví dụ 27: Tính gần đúng
1.02
0.95
arctg
Ta cần tính


0 0
,
z x x y y
   
, trong đó
0 0
, 1, 1, 0.05, 0.02
y
z acrtg x y x y
x
       
Ta có
2
2 2 2

1
1
z y y
x x x y
y
x

 
   
 
 
 
 

 
 
,
2
2 2
1 1
.
1
z x
y x x y
y
x

 
 
 


 
 

Theo công thức (3)








1 0.05;1 0.02 1,1 1,1 1,1
x y
z z z x z y
      

hay
1.02 1.0,05 1.0,02
1 0.35 0.785 0.035 0.82
0.95 2 4
arctg arctg


       radian.
Ví dụ 28: Tính gần đúng các số sau
a)
   
2 2

9. 1,95 8,1

b)
   
3 3
ln 0,09 0,99
 

 
.
3.4 Điều kiện để biểu thức




, ,
P x y dx Q x y dy
 là một vi phân toàn phần

11
Ta biết rằng vi phân toàn phần của hàm số khả vi


,
f x y
là
. .
f f
df dx dy
x y

 
 
 

Bây giờ, cho hai hàm số


,
P x y
,


,
Q x y
. Định lý sau cho ta biết khi nào biểu thức




, ,
P x y dx Q x y dy
 là một vi phần toàn phần của một hàm số


,
f x y
nào đó
3.4 Định lý. Giả sử các hàm số



,
P x y
,


,
Q x y
có các đạo hàm riêng liên tục trong
một miền
D
nào đó. Biểu thức




, ,
P x y dx Q x y dy

là một vi phân toàn phần khi và
chỉ khi:
, ,
P Q
x y D
y x
 
  
 
(4)
Chú ý 6: Nếu điều kiện (4) được thỏa mãn, ta có thể tìm được hàm số



,
f x y
sao cho




, ,
df P x y dx Q x y dy
  . Việc tìm hàm số


,
f x y
được trình bày trong ví dụ sau
Ví dụ 29: Chứng minh rằng biểu thức sau đây là vi phân toàn phần
a)




2 2
1
2 5 6 10
x y dx y xy dy

    ,
b)
 

3
2
2
3 1 ln 2
x
x y dx y dy
y

 
   
 
 
, với
0
y

.
Tìm các hàm số


,
i
f x y
sao cho
, 1,2
i i
df i

 
.

Ta có:




2 2
, 2 5 , , 6 10
P x y x y Q x y y xy
   
, do đó 10
P Q
y
y x
 
  
 
.
Vậy
1

là một vi phân toàn phần. ta phải tìm hàm số


1
,
f x y
sao cho
1 1
df



, do dó:
2
1
2 5
f
x y
x

 

(*)
2
1
6 10
f
y xy
y

 

(**)
Lấy nguyên hàm theo
x
hai vế của (*) ta được




2 2

1
, 5
f x y x y x y

   (***)
Trong đó


y

là một hàm số khả vi bất kì của biến số
y
,


y

được xem là hằng số
tùy ý đối với
x
, vì
x
và
y
là hai biến số độc lập. Lấy đạo hàm đối với
y
của hai vế
của (***) ta được:

12

 
1
10 '
f
xy y
y


  

(****)
So sánh (**) và (****) ta được


2
' 6
y y


. Do đó


3
2
y y C

 
,
C
là một hằng số

tùy ý. Thay


y

vào (***) ta được:


2 2 3
1
, 5 2
f x y x xy y C
   

Lưu ý rằng ta cũng có thể bắt đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo
y
hai vế của
(**) như trong phần b) dưới đây
b) Ta có
     
3
2
, 3 1 ln , , 2
x
P x y x y Q x y y
y
   
. Do đó
2
3

P x Q
y y x
 
 
 

Vậy
2

là một vi phân toàn phần.
Ta sẽ tìm hàm số


2
,
f x y
sao cho
2 2
df


, do đó\
 
2
2
3 1 ln
f
x y
x


 

(i)
3
2
2
f x
y
y y

 

(ii)
Lấy nguyên hàm theo
y
hai vế của (ii) ta được




3 2
2
, .ln
f x y x y y x

  
, (iii)
trong đó,



x

là một hàm số khả vi bất kì. Lấy đạo hàm theo
x
hai vế của (iii) ta
được:
 
2
2
3 ln '
f
x y x
x


 

(iv)
So sánh (iv) với (i), ta được


2
' 3
x x


. Do đó


3

x x C

 
,
C
là một hằng số tùy ý.
Thay


x

vào (iii) ta được:




3 2
2
, 1 ln
f x y x y y C
   
.
4. Đạo hàm của hàm số hợp, hàm ẩn
4.1 Đạo hàm của hàm số hợp
* Trường hợp 1: Cho hàm số


,
z f u v


trong đó




,
u u x v v x
 
là những hàm
số của
x
. Ta nói rằng






,
z f u x v x
 là hàm số hợp của
x
qua các biến số trung

13
gian
,
u v
. Định lý sau đây cho ta quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp







,
z f u x v x

.
4.1 Định lý. Nếu


,
z f u v
 là hàm số khả vi của
,
u v
và nếu




,
u u x v v x
  là
những hàm số khả vi của
x
thì
z
là hàm số khả vi của

x
và ta có
dz f du f dv
dx u dx v dx
 
 
 

Ví dụ 30: Tính
dz
dx
nếu
2 2
2 , , sin
x
z u uv v u e v x

    
.
Theo công thức trên ta có:
 
 
  
   
2 4 cos 2 sin 4sin cos
x x x x
dz z du z dv
u v e u v x e x e x e x
dx u dx v dx
   

 
            
 

Chú ý 1: Nếu


,
z f x y
 là hàm số khả vi của
,
x y
và nếu


y y x
 là hàm số khả vi
của
x
thì




,
z f x y x

là hàm số hợp của
x
, khả vi đối với

x
và ta có:
dz z z dy
dx x y dx
 
 
 
(4.1)
Đạo hàm
dz
dx
ở vế trái gọi là đạo hàm toàn phần của
z
đối với
x
, còn đạo hàm
z
x


ở
vế phải là đạo hàm riêng của


,
z f x y

đối với
x
.

Ví dụ 31: Tính
dz
dx
nếu


2 2 2
ln , sin
z x y y x
   .
Theo công thức trong chú ý 1 ta có
3
2 2 2 2 2 4
2 2 2 4sin cos
.2sin cos
sin
dz z z dy x y x x x
x x
dx x y dx x y x y x x
  
    
    
.
Ví dụ 32: Tính
dz
dx
nếu


2

ln
z u v
 
, trong đó
1 , 1
u x v x
   
.
Trường hợp 2: Bây giờ xét hàm số


,
z f u v

trong đó


,
u u x y

,


,
v v x y

là
những hàm số của hai biến độc lập
,
x y

. Khi đó






, , ,
z f u x y v x y

là hàm số hợp
của
,
x y
thông qua các biến số trung gian
,
u v
.
Để tính đạo hàm riêng của
x
đối với hàm số
z
ta xem
y
không đổi, khi đó







, , ,
z f u x y v x y

là hàm số hợp của một biến số độc lập
x
thông qua hai biến số
trung gian
,
u v
. Do định lý 1, ta có

14
. .
z f u f v
x u x v x
    
 
    
.
Cũng lập luận tương tự như vậy khi tính
z
y


, ta được định lý sau:
4.2 Định lý. Nếu hàm số


,

z f v u

là hàm số khả vi của
,
u v
và các hàm số




, , ,
u u x y v v x y
 
có các đạo hàm riêng như
, , ,
x y x y
u u v v
thì tồn tại các đạo hàm
riêng
,
z z
x y
 
 
và ta có
. .
z f u f v
x u x v x
    
 

    

. .
z f u f v
y u y v y
    
 
    

Ví dụ 33: Tính
,
z z
x y
 
 
, nếu cos , ,
u
x
z e v u xy v
y
  
.
Ta có:
2
1
cos , sin , , , ,
u u
z z u u v v x
e v e v y x
u v x y x y y y

     
       
     

Do đó:
1 1
cos . .sin . cos sin
xy xy xy
z x x x x
e y e e y
x y y y y y y
 
       

   
 
       

       
 

2 2
cos . .sin . cos sin
xy xy xy
z x x x x x x
e x e e x
y y y y y y y
 
         


    
 
         

         
 

Ví dụ 34:: Dùng quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp tính
,
z z
x y
 
 

a)
2
sin
z u v
 , trong đó
2 2
, 2
u x y v xy
  
b)
sin .cos
z u v

, trong đó



2
2 2
,
u x y v x y
   
.
Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp
hàm số
f
phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ
thuộc nhiều biến số độc lập hơn.
4.3 Đạo hàm của hàm số ẩn
4.3.1 Định nghĩa hàm ẩn.
Xét phương trình F(x,y) = 0 (4.3) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y)
là một hàm số xác định. Nếu
x E
 
thì (4.3) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được
gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

15
Nhận xét:
1. Từ định nghĩa ta có:
F(x,f(x)) 0, x E
  

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (4.3) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x)
thì ta nói phương trình (4.3) xác định 1 hàm ẩn đa trị.
Ví dụ 35: Phương trình
2 2 2

0
x y a
  
xác định hai hàm số ẩn
2 2
y a x
 
và
2 2
y a x
  
trong khoảng
a x a
  
, vì khi thế chúng vào phương trình
2 2 2
0
x y a
  
ta được đồng nhất thức.




2 2 2 2
0, ,
x a x a x a a
      
Chý ý rằng không phải mọi hàm số ẩn đều có thể biểu diễn được dưới dạng



y f x
 .
Chẳng hạn, hàm số ẩn xác định bởi phương trình:
0
x y
xy e e
  

không thể biểu diễn dưới dạng


y f x
 .
Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số


,
F x y
khả vi trừ một số điểm, hàm số


y f x

khả vi. Lấy đạo hàm hai vế phương trình


, 0
F x y


theo
x
, công thức (4.1)
cho ta:




, , . ' 0
x y
F x y F x y y
 

Do đó


, 0
y
F x y

ta có


 
,
'
,
x
y
F x y

y
F x y
  (4.4)
Ví dụ 36: Tính
'
y
nếu
3 3
3 0
x y axy
  
.
Vì


3 3
, 3
F x y x y axy
  
khả vi trên toàn
2

nên theo công thức (4.4) ta có


 
2 2
2 2
,
3 3

'
, 3 3
x
y
F x y
x ay x ay
y
F x y y ax y ax
 
     
 
nếu
2
0
y ax
 

Ví dụ 37: Tính
'
y
nếu
0
x y
xy e e
  

Vì


,

x y
F x y xy e e
  
khả vi trên toàn
2

nên


 
,
'
,
x
x
y
y
F x y
y e
y
F x y x e

   

nếu
0
y
x e
 
.

Ví dụ 38: Tính đạo hàm của các hàm số ẩn
a)
5 2 2 4
3 5 9
y x y x
  
, tính
'
y
? b)


3 2 4
1 0
y x y x
   
, tính
'
y
?

16
Ta nói rằng hàm số hai biến số


,
z f x y
 là hàm số ẩn xác định bởi phương trình:



, , 0
F x y z

(4.5)
nếu




, , , 0
F x y f x y


Với mọi
,
x y
thuộc miền xác định của
f
. Cũng như trong trường hợp trước, nếu


, ,
F x y z
khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt hàm số


,
f x y
khả vi. Lấy đạo hàm
hai vế phương trình (3.4) đối với

x
và đối với
y
ta được lần lượt
   
, , , , . 0
F F z
x y z x y z
x z x
  
 
  

   
, , , , . 0
F F z
x y z x y z
y z y
  
 
  

Do đó, nếu
 
, , 0
F
x y z
z




ta có


 
, ,
, ,
x
z
F x y z
z
x F x y z

 




 
, ,
, ,
y
z
F x y z
z
y F x y z

 


Ví dụ 39: Tính
,
z z
x y
 
 
, nếu


cos
xyz x y z
  
.
Vì




, , cos
F x y z xyz x y z
   
khả vi trên
3

nên công thức trên cho ta


 



 
, , sin
, , sin
x
z
F x y z yz x y z
z
x F x y z xy x y z
  

  
   



 


 
, ,
sin
, , sin
y
z
F x y z
xz x y z
z
y F x y z xy x y z
  


  
   

Ví dụ 40: Cho


ln 1 0
y z z x
    
, tính
,
x y
z z
?
5. Cực trị của hàm số hai biến số
5.1 Định nghĩa Ta nói rằng hàm số


,
z f x y

đạt cực trị tại điểm


0 0 0
,
M x y
nếu với
mọi điểm



,
M x y
khá gần với
0
M
nhưng khác
0
M
một hiệu




0
f M f M
 có dấu
không đổi, nếu




0
0
f M f M
 
thì


0

f M
là cực tiểu, nếu




0
0
f M f M
 
thì


0
f M
là cực đại. Cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị và điểm
0
M
được gọi
là điểm cực trị.

17
Ví dụ 41: Hàm số
2 2
z x y
 
đạt cực tiểu tại


0,0

vì
2 2
0
x y
 
,




, 0,0
x y  .
5.2 Điều kiện cần của cực trị
Định lý. Nếu hàm số


,
f x y
đạt cực trị tại điểm


0 0 0
,
M x y
và tại đó các đạo hàm
riêng tồn tại thì:





0 0 0 0
, 0; , 0
x y
f x y f x y
 
(5.1)
Điều kiện (5.1) là điều kiện cần của cực trị, nó không là điều kiện đủ vì tại những điểm
mà các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 chưa chắc hàm số đạt cực trị. Tuy nhiên định lý
sau đây cho phép ta chỉ tìm cực trị tại những điểm mà ở đó các đạo hàm riêng cấp 1
đều bằng 0, gọi là điểm dừng.
5.3 Điều kiện đủ của cực trị
Định lý. Giả sử rằng


0 0 0
,
M x y
là một điểm dừng của hàm số


,
f x y
và hàm số


,
f x y
có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm
0
M

. Đặt:






xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
A f x , y , B f x , y , C f x ,y
  

Khi đó:
*
2
B AC 0
A 0

 



: hàm số đạt CT tại
0 0 0
M (x ,y )

*
2
B AC 0
A 0


 



: hàm số đạt CĐ tại
0 0 0
M (x ,y )

*
2
B AC 0
 
: hàm số không đạt cực trị tại
0 0 0
M (x ,y )

*
2
B AC 0
 
: không kết luận về cực trị tại
0 0 0
M (x ,y )
. Khi đó dùng định nghĩa để xét
cực trị tại
0 0 0
M (x ,y )
.
Ví dụ 42: Tìm cực trị của hàm số
2 2

4 2 8
z x y x y
    

Ta có:
2 4; 2 2
x y
z x z y
   

Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ
2 4 0
2 2 0
x
y
 


 


Vậy điểm dừng duy nhất là điểm


2, 1

.

18
Vì

2; 0; 2
xx xy yy
z z z
  
nên
2
B AC 4 0
   
, còn
2 0
C
 
, vậy ham số đạt cực
tiểu tại điểm


2, 1
 và


2 2
min
2 1 4. 2 2.1 8 3
z
      
.
Nếu viết lại
   
2 2
2 1 3

z x y
    
, ta thấy
3
z

tại mọi


2
,x y 

, đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
2, 1
x y
   
ta đã thấy kết quả trên.
Ví dụ 43: Tìm cực trị của hàm số
3 3
3
z x y xy
  

Ta có:
2 2
3 3 ; 3 3
x y
z x y z y x
   

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ:
2
2
0
0
x y
y x

 


 



Đó là một hệ phương trình đối xứng. Thế
2
y x

từ phương trình đầu vào phương trình
sau ta được






4 3 2
0 1 1 1

x x x x x x x x
       

Phương trình này có hai nghiệm
0; 1
x x
 
.
Vậy ta có hai điểm dừng


0
0,0
M và


1
1, 1
M .
Vì
6 , 3, 6
xx xy yy
z x z z y
    nên:
Tại


0
0,0
M

ta có
2
9 0
B AC
  
, điểm
0
M
không là điểm cực trị.
Tại


1
1,1
M
ta có
2
9 36 27 0
B AC
     
,
6 0
C
 
,
1
M
là điểm cực tiểu,
min
1 1 3 1

z
    
.
Ví dụ 44: Tìm cực trị của hàm số
3 3
z x y
 
.
Ta có:
2 2
3 , 3
x y
z x z y
 
Vậy chỉ có một điểm dừng là


0
0,0
M
.
Vì
6 , 0, 6
xx xy yy
z x z z y
  
, nên tại
0
M
ta có

2
0
B AC
 
. Vậy chưa kết luận ngay
được. Chú ý rằng








3 3
0
0,0 0, , 0,0
z M z z x y z x y
    
. Hiệu ấy là dương nếu
điểm


,
M x y
nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu


,
M x y

nằm trong góc phần
tư thứ ba. Do đó dấu của hiệu




0
z M z M
 thay đổi ở lân cận điểm
0
M
nên
0
M

không là điểm cực trị.

19
Ví dụ 45: Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm


1, 2, 0
 đến mặt phẳng
3 2 1
x y z
  
.
Khoảng cách từ điểm



1, 2, 0
 đến điểm


, ,
x y z
bằng:
   
2 2
2
1 2
d x y z
    

Vì điểm cực trị của
d
trùng với điểm cực trị của
2
d
, ta tìm cực trị của:
     
2 2
2 2
1 2 : , ,
d x y z f x y z
      (*)
Vì điểm


, ,

x y z
nằm trên mặt phẳng
3 2 1
x y z
  
nên các biến số
, ,
x y z
trong (*)
thỏa mãn điều kiện
3 2 1
x y z
  
(**)
Thế
1 3 2
z x y
  
trong (**) vào (*) ta được:
       
2 2 2
2
1 2 1 3 2 : ,
d x y x y F x y
       
Bài toán trở thành tìm cực tiểu của hàm số hai biến số


,
F x y

. Ta có:






2 1 6 1 3 2 4 5 3 2
x
F x x y x y
       







2 2 4 1 3 2 2 6 5 4
y
F y x y x y
        

Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình
5 3 2 0
6 5 4 0
x y
x y
  



   


Giải hệ trên, ta được một điểm dừng duy nhất là
2 8
,
7 7
 
 
 
 
.
Vì
20, 12, 10
xx xy yy
F F F
   
, nên
2
144 200 56 0
B AC
     
,
20 0
C
 
nên
0
M

là
điểm cực tiểu. Hơn nữa ta biết rằng trên mặt phẳng
3 2 1
x y z
  
có một điểm mà
khoảng cách tới điểm


1, 2, 0
A  bé nhất, đó là chân của đường vuông góc hạ từ
A

xuống mặt phẳng đó. Khoảng cách đó là:
     
2 2 2
2 2 2
9 6 3 6
1 2 1 3 2
7 7 7
14
d x y x y
 
     
          
     
     

Chú ý: Cực trị của hàm số 3 biến số (*) trong đó các biến số
, ,

x y z
thỏa mãn điều
kiện (**) gọi là cực trị có điều kiện (hay cực trị tương đối). Trong ví dụ 45, ta đã thấy
bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm số 3 biến số


, ,
f x y z
vào điều kiện

20


,
z x y

 được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số hai biến số






, , , : ,
f x y x y F x y

 .
Cũng vậy, bài toán tìm cực trị tương đối của hàm số hai biến số



,
f x y
với điều kiện


y x


được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số một biến số






, :
f x x F x


.
Ví dụ 46: Cho hàm lợi nhuận


2 2
, 2 2 10 4 107
P x y x xy y x y      
. Tìm mức sản
lượng



,
x y
sao cho lợi nhuận lớn nhất?
6. Cực trị hàm 3 biến
Điều kiện cần:
Nếu hàm số u=f(x,y,z) đạt cực trị tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )
và hàm số có các đạo hàm riêng cấp
1 tại
0
M
thì






' ' '
x 0 y 0 z 0
u M u M u M 0
  
. Khi đó ta nói
0 0 0 0
M (x ,y ,z )
là điểm dừng
của hàm số u=f(x,y,z).
Điều kiện đủ:
Cho

0 0 0 0
M (x ,y ,z )
là điểm dừng của hàm số u=f(x,y,z). Giả sử hàm số có các đạo hàm
riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của M
0
. Đặt
'' '' ''
xx 0 xy 0 xz 0
'' '' ''
yx 0 yy 0 yz 0 3
'' '' ''
zx 0 zy 0 zz 0
u (M ) u (M ) u (M )
H u (M ) u (M ) u (M ) M
u (M ) u (M ) u (M )
 
 
 
 
 
 

Thì H đgl ma trận Hessain và
''
1 xx 0
'' ''
xx 0 xy 0
2
'' ''
yx 0 yy 0

3
H u (M )
u (M ) u (M )
H
u (M ) u (M )
H H




Khi đó
*
1
2
3
H 0
H 0
H 0








: hàm số đạt cực tiểu tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )

*
1
2
3
H 0
H 0
H 0








: hàm số đạt cực đại tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )

*
3
2
1 2
H
H
và
H H
trái dấu: hàm số không đạt cực trị tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )

.

21
* Các trường hợp khác : không kết luận được về cực trị tại
0 0 0 0
M (x ,y ,z )
.
Ví dụ 47: Tìm cực trị của hàm số
y z 1
u x
x y z
   

7. Cực trị có điều kiện
a. Các định nghĩa
* Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với x,y là hai biến độc lập đgl bài toán cực
trị không điều kiện
* Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện
(x, y) 0
 
đgl bài toán cực trị
có điều kiện.
Ví dụ 48: Tìm cực trị của hàm
2 2
z f(x, y) 2x y xy 1
    
với điều kiện
2
x 2xy y 3
  

* Xét bài toán cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện
(x, y) 0
 
. Hàm số đgl đạt
cực tiểu có điều kiện tại
0 0 0
M (x ,y )
nếu
0 0 0
f(x, y) f(x ,y ), (x,y) B(M , )
   
và
(x, y) 0
 
.
Tương tự cho cực đại có điều kiện
b. Cách tìm cực trị có điều kiện
1/ Phương pháp khử
Ví dụ 49: Tìm cực trị của hàm số
2 2
z f(x,y) 3x 2xy y 5
    
với điều kiện 2x+y =3
2/ Phương pháp nhân tử Lagrange
Điều kiện cần: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện
(x, y) 0
 
. Giả
sử hàm số z đạt cực trị có điều kiện tại M

0
(x
0
,y
0
) và các hàm số f(x,y) và
(x, y)

có các
đạo hàm riêng cấp 1 tại
0 0 0
M (x ,y )
. Khi đó tồn tại
 

sao cho
' '
x 0 0 x 0 0
' '
y 0 0 y 0 0
0 0
f (x , y ) (x , y ) 0
(1) f (x ,y ) (x ,y ) 0
(x ,y ) 0

  

  



 


 

đgl nhân tử Lagrange. M
0
(x
0
,y
0
) đgl điểm dừng ứng với
 

.
Đặt
L(x, y, ) f(x, y) (x,y)
   
thì L đgl hàm Lagrange và hệ (1) tương đương với
'
x 0 0
'
y 0 0
'
0 0
L (x ,y , ) 0
(1) L (x ,y , ) 0
L (x ,y , ) 0



 

  


 



22
Điều kiện đủ: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện
(x, y) 0
 
.Giả
sử M
0
(x
0
,y
0
) là điểm dừng ứng với
 

( tức là
0 0
(x ,y , )

thỏa hệ (1)) và các hàm số
f(x,y) và
(x, y)


có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục
Đặt
' '
x 0 0 y 0 0
' '' ''
x 0 0 xx 0 0 xy 0 0
' '' ''
y 0 0 yx 0 0 yy 0 0
0 (x ,y ) (x ,y )
H (x ,y ) L (x ,y ) L (x ,y )
(x ,y ) L (x ,y ) L (x ,y )
 
 


Thì H đgl ma trận Hesse
* Nếu |H| < 0 thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại M
0
(x
0
,y
0
)
* Nếu |H| > 0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M
0
(x
0
,y
0

)
* Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M
0
(x
0
,y
0
).
8. Ứng dụng
Ví dụ 50: Một xí nghiệp có hàm sản lượng cho một loại mặt hàng là
2/5 3/5
Q 50K L

. Xí
nghiệp có kế hoạch đầu tư 15000$ để sản xuất mặt hàng trên. Cần phân bổ thế nào để
đạt sản lượng cao nhất biết rằng đơn vị tính của K, L là 1000$.
Ví dụ 51: Xí nghiệp sản xuất 2 lọai sản phẩm với giá bán trên thị trường là p
1
= 6, p
2
=4.
Hàm tổng chi phí là TC(q
1
,q
2
)=2q
1
2
+ 2q
1

q
2
+q
2
2
. Tìm mức sản lượng q
1
, q
2
để xí
nghiệp có lợi nhuận tối đa
Ví dụ 52: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 lọai sản phẩm. Biết hàm cầu của hai sản
phầm này và hàm tổng chi phí là:
1 2 1 2
D1 D2
1230 5P P 1350 P 3P
Q ;Q
14 14
   
  , TC=Q
1
2
+Q
1
Q
2
+ Q
2
2
.

Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.