Ổn định các hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

Mục lục
Ký hiệu toán học 3
Mở đầu 4
1 Cơ sở toán học 7
1.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . 10
1.2.1 Bài toán ổn định cho hệ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Bài toán ổn định cho hệ suy biến có trễ . . . . . . . . . . . 12
1.3 Các mệnh đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với
trễ hằng 15
2.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến với trễ
hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên
1
với nhiễu phi tuyến 24
3.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên
với nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
2
Ký hiệu toán học
R
n
Không gian Euclid n chiều với chuẩn .
x, y Tích vô hướng của hai vectơ x, y ∈ R
n

R
m×n
, C
m×n
Không gian các ma trận thực, phức cỡ (m × n)
0
n×r
Ma trận 0 có chiều n × r
A
T
Ma trận chuyển vị của ma trận A
A
T
=A Ma trận đối xứng
A
∗
Ma trận liên hợp chuyển vị của ma trận A
A ≥ 0, A > 0 Ma trận nửa xác định dương, xác định dương
||A|| Chuẩn Euclid cảm sinh của A ∈ C
m×n
||A|| = max
i
[λ
i
(A
∗
A)]
1/2
λ
min

(A) min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
λ
max
(A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}
µ(A) Độ lớn của ma trận A ∈ C
m×n
: µ(A) =
1
2
λ
max
(A
∗
+ A)
∗ Các phần tử đối xứng trong ma trận
C
1
([−h, 0], R
n
) Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0] nhận giá
trị trong R
n
với chuẩn ϕ = sup
−h≤t≤0
{ϕ(t),  ˙ϕ(t)}.
diag{a
1
, . . . , a
n
} Ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính

là a
1
, . . . , a
n
.
3
Mở đầu
Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật. Các công trình
nghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học
người Nga A. M. Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyển
động. Do lý thuyết ổn định được nghiên cứu xuất phát từ những đòi hỏi thực
tiễn và nhu cầu phát triển của một số ngành khoa học nên đã hơn một thế kỷ
trôi qua nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được quan tâm
và có nhiều kết quả được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học,
vật lý toán, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học .
Có hai phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình
vi phân, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (phương pháp phổ hay
phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi
là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Trong đó phương pháp hàm Lyapunov
là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu sự ổn định và ổn định hóa của hệ
phương trình vi phân. Hầu hết các quá trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tế
đều liên quan đến độ trễ thời gian. Không những thế, độ trễ thời gian còn là
nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệ
động lực. Do đó lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút được nhiều sự quan
tâm của các nhà toán học. Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế thường
được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân suy biến. Vì thế, giải quyết được
bài toán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ sẽ góp phần
4
giải quyết được hàng loạt các bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao. Vì các

hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là sự ghép thành của các hệ phương
trình với ma trận trễ với các hệ phương trình đại số nên việc nghiên cứu các
hệ như vậy phức tạp hơn việc nghiên cứu các hệ phương trình vi phân thông
thường. Đặc trưng chính của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là phương
trình đặc trưng của các hệ đó có vô hạn nghiệm nên việc kiểm tra tính ổn định
nghiệm của hệ suy biến có trễ rất khó khăn. Cũng giống như với hệ phương
trình vi phân thông thường, người ta cũng dùng hai phương pháp đã nêu ở trên
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ suy biến có trễ.
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng hai phương pháp đó để nghiên cứu
tính ổn định cho một số lớp hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Đó là hệ
phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ hằng và hệ phương trình suy
biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến. Luận văn gồm phần mở đầu, phần
kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và ba chương với nội dung như sau.
Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về bài toán ổn định, phương
pháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân thường và
hệ phương trình vi phân có trễ. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình
bày lại một số mệnh đề bổ trợ được sử dụng trong việc chứng minh các định lý
ở chương sau.
Chương hai trình bày về điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ phương trình
vi phân suy biến với trễ hằng. Trong đó, Định lý 2.2 sử dụng phương pháp phổ
để đánh giá tính ổn định cho hệ phương trình vi phân trong trường hợp trễ hằng
với tốc độ mũ α. Kết quả của chương này được chúng tôi tham khảo trong bài
báo [13] trong danh mục tài liệu tham khảo.
Chương ba nghiên cứu mở rộng kết quả trong bài báo [10] về tính α−ổn định
mũ của hệ phương trình vi phân suy biến với trễ biến thiên để đưa ra điều kiện
đủ về tính α−ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có
5
trễ với nhiễu phi tuyến. Điều kiện này được cho dưới dạng các bất đẳng thức
ma trận tuyến tính và các bất đẳng thức này được giải dễ dàng bằng phần mềm
Matlab.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS. TSKH. Vũ Ngọc
Phát. Thầy đã nghiêm khắc hướng dẫn, chỉ bảo, và truyền đạt cho tôi niềm đam
mê lý thuyết ổn định và điều khiển.
Tôi xin trân trọng cảm ơn tới Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học -
Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học
tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo
sau Đại học - Viện Toán học, Phòng Tối ưu và Điều khiển, cùng toàn thể các
thầy cô giáo của Viện Toán học, các anh các chị và các bạn lớp cao học K19 đã
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại đây.
Cuối cùng tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến bố mẹ, anh chị và cháu
gái tôi, những người luôn ở bên cạnh chia sẻ và giúp đỡ tôi trong lúc tôi gặp khó
khăn nhất để tôi có thể hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 8 năm 2013
Học viên
Nguyễn Thị Huyền Thư
6
Chương 1
Cơ sở toán học
Trong chương này, chúng tôi trình bày kiến thức cơ sở về tính ổn định của
lớp hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ và hệ
phương trinh vi phân suy biến có trễ. Ngoài việc trình bày lại phương pháp hàm
Lyapunov, chúng tôi cũng nhắc đến một số mệnh đề bổ trợ cho việc chứng minh
các định lý ổn định trong các chương tiếp theo.
1.1 Bài toán ổn định
1.1.1 Bài toán ổn định
Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x(t)), t ∈ R
+
,

(1.1)
ở đó x(t) ∈ R
n
là véctơ trạng thái, f : R
+
× R
n
→ R
n
là hàm cho trước. Giả thiết
rằng hàm f(·) thỏa mãn điều kiện sao cho với mọi (t
0
, x
0
) ∈ R
+
× R
n
thì hệ (1.1)
có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t
0
, x
0
) và nghiệm kéo dài được trên [t
0
, +∞).
Nghiệm này được ký hiệu là x(t; t
0
, x
0

). Giả sử f(t, 0) = 0, với mọi t ∈ R
+
nghĩa
là ta luôn giả thiết hệ có nghiệm cân bằng x = 0. Khi đó ta có các định nghĩa
về tính ổn định của nghiệm như sau.
7
Định nghĩa 1.1 (xem [1, 15]). Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là
(i) ổn định nếu với mọi  > 0, t
0
≥ 0 đều tồn tại δ = δ(t
0
, ) > 0 sao cho với
nghiệm x(t; t
0
, x
0
) bất kỳ của hệ (1.1) thỏa mãn x
0
 < δ thì
x(t; t
0
, x
0
) < , ∀t ≥ t
0
;
(ii) ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với mỗi t
0
≥ 0, tồn tại δ
0

= δ
0
(t
0
) >
0 sao cho với nghiệm x(t; t
0
, x
0
) bất kỳ của hệ (1.1), nếu x
0
 < δ
0
thì
lim
t→+∞
x(t; t
0
, x
0
) = 0;
(iii) ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0, N ≥ 1 sao cho với mọi x
0
∈
R
n
, t
0
∈ R
+

, nghiệm x(t; t
0
, x
0
) bất kỳ của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện
x(t; t
0
, x
0
) ≤ Nx
0
e
−α(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
,
số N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định.
Ngoài ra, α, N được gọi chung là các chỉ số ổn định Lyapunov.
Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm
cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).
Ngay từ những công trình đầu tiên, Lyapunov đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính ổn
định mũ của hệ tuyến tính dừng
˙x(t) = Ax(t), t ≥ 0, (1.2)
dựa vào tính chất tập các giá trị riêng của ma trận A. Cụ thể là hệ (1.2) là ổn
định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm. Tuy
nhiên trong thực tế, các hệ thống thường chứa các tham số không biết trước.
Chẳng hạn như ma trận A bị nhiễu thành ma trận A + ∆A(t). Vì sự phức tạp
của tập phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đã đưa ra một cách tiếp cận dựa trên dạng

hàm toàn phương V (x) = x
T
P x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định
8
dương. Hệ (1.2) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Q đối xứng,
xác định dương, phương trình Lyapunov : A
T
P + PA = −Q có nghiệm P là ma
trận đối xứng, xác định dương. Hai kết quả quan trọng này tiêu biểu cho hai
phương pháp cơ bản nghiên cứu tính ổn định của một hệ phương trình vi phân.
Đó là phương pháp phổ và phương pháp hàm Lyapunov. Trong luận văn này,
chúng tôi sẽ sử dụng cả hai phương pháp để nghiên cứu bài toán ổn định.
1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov
Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân (1.1). Cho
D là lân cận mở tùy ý của 0. Kí hiệu K là tập hợp các hàm liên tục tăng chặt
a(·) : R
+
→ R
+
, a(0) = 0.
Định nghĩa 1.2 (xem [1, tr. 134]). Hàm V : R
+
× D → R khả vi liên tục, thỏa
mãn điều kiện V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn.
(i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃ a ∈ K : V (t, x) ≥ a(x), ∀(t, x) ∈ R
+
× D.
(ii)

˙
V (t, x(t)) :=
∂V
∂t
+
∂V
∂x
f(t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).
Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện:
(iii) Tồn tại b(·) ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(x), ∀(t, x) ∈ R
+
× D.
(iv) Tồn tại c(·) ∈ K sao cho
˙
V (t, x) ≤ −c(x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ
(1.1) thì V (t, x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.1).
Sau đây là hai định lý về tính ổn định của hệ (1.1).
Định lý 1.3 (xem [1, tr. 135]). Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov ổn định. Hơn
nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều.
9
Định lý 1.4 ([15]). Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa các điều kiện sau:
(i) ∃ λ
1
, λ
2
> 0 : λ
1
x
2
≤ V (t, x) ≤ λ

2
x
2
, ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
,
(ii) ∃ λ
3
> 0 :
˙
V (t, x(t)) ≤ −2λ
3
V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).
Khi đó hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov là λ
3
và N =

λ
2
λ
1
.
1.2 Bài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân
có trễ
1.2.1 Bài toán ổn định cho hệ có trễ
Như chúng ta đã biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan
hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của
trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trình

xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính
di truyền. Vì vậy lớp hệ phương trình vi thường không miêu tả được hết các
quá trình này. Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình này, người ta
thường miêu tả chúng bằng các phương trình vi phân có trễ.
Giả sử h là một số thực không âm. Ký hiệu C = C([−h, 0], R
n
) là không gian
Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], nhận giá trị trong không gian R
n
và
chuẩn của một phần tử ϕ ∈ C được cho bởi ϕ = sup
−h≤θ≤0
ϕ(θ). Với t
0
∈ R, σ ≥ 0
và x ∈ C([t
0
− h, t
0
+ σ], R
n
), hàm x
t
∈ C với t ∈ [t
0
, t
0
+ σ] được xác định bởi
x
t

(s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, x
t
là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t] của
hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi x
t
 := sup
s∈[−h,0]
x(t + s). Cho
D ⊂ R
n
× C là một tập mở và hàm f : D → R
n
. Một phương trình vi phân có trễ
trên D là phương trình dạng [8]
˙x(t) = f (t, x
t
). (1.3)
10
Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có trễ (1.3) trên
[t
0
− h, t
0
+ σ) nếu tồn tại t
0
∈ R, σ > 0 sao cho x ∈ C([t
0
− h, t
0
+ σ), R

n
) với
(t, x
t
) ∈ D và x(t) thỏa mãn phương trình (1.3) sao cho mọi t ∈ [t
0
, t
0
+ σ). Cho
trước t
0
∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t
0
, ϕ, f) là một nghiệm của phương trình (1.3) với
hàm điều kiện ban đầu ϕ tại t
0
hoặc đơn giản là một nghiệm đi qua điểm (t
0
, ϕ)
nếu tồn tại một số σ > 0 sao cho x(t
0
, ϕ, f) là nghiệm của hệ (1.3) trên [t
0
−h, t
0
+σ)
và x
t
0
(t

0
, ϕ, f) = ϕ. Khi t
0
và f đã rõ, ta viết x(t, ϕ) thay cho x(t
0
, ϕ)(t). Sự tồn
tại duy nhất nghiệm toàn cục, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện
ban đầu của hệ (1.3) có thể xem trong [8]. Ở đây, chúng tôi giả thiết rằng hàm
f(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (t
0
, ϕ) ∈ R
+
×C, hệ (1.3) có nghiệm
duy nhất đi qua điểm (t
0
, ϕ) và nghiệm xác định trên [t
0
, +∞). Chú ý rằng khi
h = 0, thì hệ (1.3) chính là hệ phương trình vi phân thường (1.1) đã xét trong
mục trước. Ta cũng giả thiết f(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.3) luôn có nghiệm không.
Khi đó, ta cũng có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận tương tự hệ phương
trình vi phân thường. Tương tự, ta cũng có phương pháp hàm Lyapunov để
nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3). Ta có một tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.3)
như sau.
Định lý 1.5 ([8, 12]). Giả sử f : R
+
× C → R
n
. Nếu tồn tại hàm V : R
+

× C → R
sao cho
(i) ∃ λ
1
, λ
2
> 0 : λ
1
x(t)
2
≤ V (t, x
t
) ≤ λ
2
x
t

2
,
(ii)
˙
V (t, x
t
) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3),
thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm của nó là bị chặn, tức là
∃N > 0 : x(t
0
, ϕ)(t) ≤ Nϕ.
Nếu điều kiện (ii) được thay bằng điều kiện
(iii) ∃ λ

3
> 0 :
˙
V (t, x
t
) ≤ −2λ
3
V (t, x
t
), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3), thì hệ
11
(1.3) là ổn định mũ và nghiệm x(t
0
, ϕ)(t) của hệ thỏa mãn đánh giá
x(t
0
, ϕ)(t) ≤

λ
2
λ
1
ϕe
−λ
3
(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0

, N > 0.
1.2.2 Bài toán ổn định cho hệ suy biến có trễ
Xét một hệ suy biến có trễ sau:







E ˙x(t) = Ax(t) + A
d
x(t − h(t)), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0],
(1.4)
trong đó E ∈ R
m×n
là ma trận suy biến, rank E < n, A, A
d
là các ma trận hệ số
với các chiều cho trước. Khi đó, ta có các định nghĩa về sự ổn định của hệ (1.4)
như sau.
Định nghĩa 1.6 ([9, 14]). Hệ suy biến (1.4) được gọi là chính quy nếu đa thức
đặc trưng det(sE − A) là không đồng nhất bằng không.
Định nghĩa 1.7 ([9, 14]). Hệ suy biến (1.4) được gọi là impulse-free nếu
deg det(sE − A) = rank(E).
Định nghĩa 1.8 ([14]). Hệ suy biến (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu với
bất kỳ  > 0, tồn tại một số δ() > 0 sao cho với bất kỳ hàm điều kiện ban đầu
thỏa mãn ϕ ≤ δ(), nghiệm x(t) của (1.4) thỏa mãn x(t) ≤  với t ≤ 0. Hơn
nữa lim

t→∞
x(t) = 0.
Định nghĩa 1.9 ([9]). Hệ (1.4) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số α > 0
và γ > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm x(t, ϕ) của hệ suy biến có trễ thỏa mãn điều
kiện sau
x(t, ϕ) ≤ γϕe
−αt
, ∀t ≤ 0.
12
Chúng ta có một số mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.10 ([9, 14]). Nếu hệ phương trình (1.4) là chính quy và impulse-
free thì tồn tại duy nhất một nghiệm liên tục trên [0, +∞].
Mệnh đề 1.11 ([14]). Hệ suy biến
E ˙x(t) = Ax(t)
là chính quy, impulse - free và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận
P sao cho
EP
T
= P E
T
≥ 0
và
AP
T
+ P A
T
< 0.
1.3 Các mệnh đề bổ trợ
Chúng tôi đưa ra một số mệnh đề sẽ được sử dụng để chứng minh các kết
quả chính trong các chương tiếp theo.

Mệnh đề 1.12 (Schur complement lemma, [2, tr. 7]). Cho các ma trận đối xứng
hằng X, Y, Z với số chiều tương thích thỏa mãn X = X
T
, Y = Y
T
> 0. Khi đó,



X Z
T
Z −Y



< 0
khi và chỉ khi X < 0 và X + Z
T
Y
−1
Z < 0.
Mệnh đề 1.13 ([7]). Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M, số γ > 0
và hàm vectơ ω : [0, γ] → R
n
khả tích, khi đó bất đẳng thức sau thỏa mãn


γ
0
ω(s) ds


T
M


γ
0
ω(s) ds

≤ γ


γ
0
ω
T
(s)Mω(s) ds

.
13
Mệnh đề 1.14 ([11]). Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M, ma trận
N bất kì có chiều thích hợp và x, y ∈ R
n
, ta có bất đẳng thức sau là đúng
2x
T
Ny ≤ x
T
Mx + y
T

N
T
M
−1
Ny.
Mệnh đề 1.15 (Nguyên lý Rayleigh, [3, tr. 146]). Cho một ma trận Hermit A
và một véc tơ x, đặt
R(x) :=
Ax, x
x, x
Nếu các giá trị riêng của ma trận Hermit A được sắp thứ tự sao cho λ
1
≤ λ
2
≤
· · · ≤ λ
n
thì
λ
1
≤ R(X) ≤ λ
n
.
R(x) nhận giá trị cực đại khi x là một véc tơ riêng tương ứng với λ
n
và R(x)
nhận giá trị cực tiểu khi x là một véc tơ riêng tương ứng với λ
1
.
Mệnh đề 1.16 (xem [10]). Cho h

2
, λ, δ
1
, δ
2
là các số nguyên dương sao cho
δ
1
e
λh
2
< 1, và f (t) là một hàm liên tục thỏa mãn
0 ≤ f(t) ≤ δ
1
sup
−h
2
≤s≤0
f(t + s) + δ
2
e
−λt
, ∀t ≥ 0.
Khi đó bất đẳng thức sau là đúng
f(t) ≤

δ
1
e
λh

2
sup
−h
2
≤s≤0
f(s) +
δ
2
1 − δ
1
e
λh
2

e
−λt
, ∀t ≥ 0.
14
Chương 2
Ổn định mũ hệ phương trình vi
phân tuyến tính suy biến với trễ
hằng
Nội dung của chương này là trình bày và chứng minh chi tiết điều kiện đủ
cho tính ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân suy biến với trễ hằng đã được
đưa ra trong [13]. Đồng thời, chúng tôi đưa ra ví dụ số cụ thể bằng việc tự tính
toán và dựa trên sự hỗ trợ của phần mềm Matlab.
2.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính
suy biến với trễ hằng
Xét hệ phương trình vi phân
E ˙x(t) =

˜
A
0
x(t) +
˜
A
1
x(t − τ
1
), ∀t ≥ 0 (2.1-a)
x(t) = ϕ(t), ∀t ∈ [−τ
1
, 0] (2.1-b)
với x(t) ∈ R
n
là véc tơ trạng thái của hệ,
˜
A
0
∈ R
n×n
,
˜
A
1
∈ R
n×n
, đối số trễ
rời rạc τ
1

là hằng số không âm cho trước, E là ma trận vuông suy biến với
15
n > r := rank(E) > 0 và ϕ(t) là hàm giá trị ban đầu.
Ta chọn hai ma trận không suy biến Q
1
∈ R
n×n
và Q
2
∈ R
n×n
sao cho
Q
1
EQ
2
=



I
r
0
r×(n−r)
0
(n−r)×r
0
(n−r)×(n−r)




.
Đặt
z(t) = Q
−1
2
x(t) =



z
1
(t)
z
2
(t)



, ∀t ∈ [−τ
1
, 0].
Khi đó Q
2
z(t) = x(t) hay Q
2
˙z(t) = ˙x(t). Thay vào (2.1 − a) ta có
EQ
2
˙z(t) = E ˙x(t) =

˜
A
0
x(t) +
˜
A
1
x(t − τ
1
).
Nhân cả hai vế của phương trình trên với Q
1
ta có
Q
1
EQ
2
˙z(t) = Q
1
E ˙x(t) = Q
1
˜
A
0
x(t) + Q
1
˜
A
1
x(t − τ

1
)
= Q
1
˜
A
0
Q
2
z(t) + Q
1
˜
A
1
Q
2
z(t − τ
1
).
Không mất tính tổng quát, đặt
Q
1
˜
A
0
Q
2
= A
0
:=




A
0,11
A
0,12
A
0,21
A
0,22



, Q
1
˜
A
1
Q
2
= A
1
:=



A
1,11
A

1,12
A
1,21
A
1,22



,
Ta có hệ (2.1 − a) tương đương với



I
r
0
r×(n−r)
0
(n−r)×r
0
(n−r)×(n−r)






˙z
1
(t)

˙z
2
(t)



= A
0



z
1
(t)
z
2
(t)



+ A
1



z
1
(t − τ
1
)

z
2
(t − τ
1
)



=



A
0,11
A
0,12
A
0,21
A
0,22






z
1
(t)
z

2
(t)



+



A
1,11
A
1,12
A
1,21
A
1,22






z
1
(t − τ
1
)
z
2

(t − τ
1
)



. (2.2)
Suy ra hệ này tương đương với hệ







˙z
1
(t) = A
0,11
z
1
(t) + A
0,12
z
2
(t) + A
1,11
z
1
(t − τ

1
) + A
1,12
z
2
(t − τ
1
),
0 = A
0,21
z
1
(t) + A
0,22
z
2
(t) + A
1,21
z
1
(t − τ
1
) + A
1,22
z
2
(t − τ
1
),
16

và z(t) = Q
−1
2
ϕ(t) :=



z
1
(t)
z
2
(t)



với mọi t ∈ [−τ
1
, 0].
Chú ý 2.1. Để đảm bảo cho tính chính quy, tính impulse-free, sự tồn tại nghiệm
tương thích với điều kiện ban đầu trong hệ (2.1), ta giả sử det(sE −
˜
A) không
đồng nhất bằng 0, deg det(sE − A
0
) = rank(E) và
A
0,21
z
1

(0) + A
0,22
z
2
(0) + A
1,21
z
1
(−τ
1
) + A
1,22
z
2
(−τ
1
) = 0.
Bây giờ ta xét tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ suy biến (2.1).
Định lý 2.2 ([13]). Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) µ(A
0,11
) + A
0,12
 + A
1,11
 + A
1,12
 < 0.
(ii)

1
2
min
i


λ
i

A
0,22
+ A
∗
0,22



> A
0,21
 + A
1,21
 + A
1,22
.
Chứng minh. Đặt
f
1
(x) := µ(A
0,11
) + x + A

0,12
 + e
τ
1
x
(A
1,11
 + A
1,12
),
f
2
(x) :=
1
2
min
i


λ
i

A
0,22
+ A
∗
0,22




− A
0,21
 − e
τ
1
x
(A
1,21
 + A
1,22
).
Từ điều kiện (i) và (ii) ta thấy f
1
(0) < 0 và f
2
(0) > 0. Mặt khác ta có
f

1
(x) = 1 + τ
1
e
τ
1
x
(A
1,11
 + A
1,12
) > 0,

và f
1
(0) < 0, f
1
(∞) = ∞. Suy ra f
1
(·) là hàm tăng ngặt và do đó phương trình
f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm dương, kí hiệu nghiệm đó là α
1
.
Thêm nữa, nếu A
1,21

2
+ A
1,22

2
= 0 thì ta có f

2
(x) < 0. Mặt khác f
2
(0) > 0 và
f
2
(∞) = −∞ nên f
2
(x) là hàm giảm ngặt và f
2

(x) = 0 có duy nhất một nghiệm
17
dương, kí hiệu là α
3
. Đặt
α
2
:=







α
3
nếu f
2
(0) > 0 và (||A
1,21
||
2
+ ||A
1,22
||
2
) = 0.
∞, trường hợp còn lại .
và α = β − , trong đó β := min{α

1
, α
2
} > 0 và  là một số dương đủ nhỏ sao cho
 < β.
Vì f
1
(0) < 0, f
2
(0) > 0 và f
1
(x) là một hàm tăng ngặt với f
1
(∞) = ∞ nên
f
1
(β) = µ(A
0,11
) + β + A
0,12
 + e
τ
1
β
(A
1,11
 + A
1,12
) ≤ 0. (2.3)
Hơn nữa do f

2
(x) là hàm giảm nên
f
2
(β) =
1
2
min


λ
1

A
0,22
+ A
∗
0,22



− A
0,21
 − e
τ
1
β
(A
1,21
 + A

1,22
) ≥ 0. (2.4)
Theo (2.2), đa thức đặc trưng của hệ (2.1) là
det





λ



I
r
0
r×(n−r)
0
(n−r)×r
0
(n−r)×(n−r)



−



A
0,11

A
0,12
A
0,21
A
0,22



− e
−τ
1
λ



A
1,11
A
1,12
A
1,21
A
1,22









.
Giả sử λ là một nghiệm đặc trưng của hệ, khi đó tồn tại một véc tơ khác không



v
a
v
b



∈ C
n
với v
a
∈ C
r
và v
b
∈ C
n−r
sao cho






λ



I
r
0
r×(n−r)
0
(n−r)×r
0
(n−r)×(n−r)



−



A
0,11
A
0,12
A
0,21
A
0,22




− e
−τ
1
λ



A
1,11
A
1,12
A
1,21
A
1,22











v
a
v
b




= 0.
Từ đó suy ra
λI
r
v
a
− A
0,11
v
a
− A
0,12
v
b
− e
−τ
1
λ
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
) = 0, (2.5)

A
0,21
v
a
+ A
0,22
v
b
+ e
−τ
1
λ
1
(A
1,21
v
a
+ A
1,22
v
b
) = 0. (2.6)
Ta chia ra 2 trường hợp để xét tính ổn định của hệ (2.1) như sau.
18
1. Trường hợp thứ nhất là v
a
 ≥ v
b
. Giả sử rằng tồn tại một nghiệm đặc
trưng là λ

1
thỏa mãn Re(λ
1
) > −β. Đặt
z
1
:= (λ
1
v
∗
a
v
a
) + (λ
1
v
∗
a
v
a
)
∗
= (λ
1
+ λ
∗
1
)v
∗
a

v
a
= 2Re(λ
1
)v
∗
a
v
a
. (2.7)
Do Re(λ
1
) > −β nên ta có
z
1
 > −2βv
a

2
. (2.8)
Từ (2.5) và (2.7) ta có
z
1
= v
∗
a
A
0,11
v
a

+ v
∗
a
A
0,12
v
b
+ e
−τ
1
λ
1
v
∗
a
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
) + v
∗
a
A
∗
0,11
v

a
+v
∗
b
A
∗
0,12
v
a
+ e
−τ
1
λ
∗
1
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
)
∗
v
a
,
trong đó
v

∗
a
A
0,12
v
b
+ v
∗
b
A
∗
0,12
v
a
≤ |v
∗
a
A
0,12
v
b
+ v
∗
b
A
∗
0,12
v
a
|

≤ v
a
A
0,12
v
b
 + v
∗
b
A
∗
0,12
v
a

≤ v
a

2
A
0,12
 + v
a

2
A
0,12

= 2v
a


2
A
0,12
, (2.9)
và
e
−τ
1
λ
1
v
∗
a
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
) + e
−τ
1
λ
∗
1
(A
1,11

v
a
+ A
1,12
v
b
)
∗
v
a
≤ e
−τ
1
λ
1
v
a
A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
 + e
−τ
1
λ
∗

1
A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
v
a

≤ (e
−τ
1
λ
1
+ e
−τ
1
λ
∗
1
)v
a

2
(A
1,11
 + A

1,12
),
hơn nữa, do Re(λ
1
) > −β nên
e
−τ
1
λ
1
+ e
−τ
1
λ
∗
1
= e
−τ
1
(Reλ
1
+iImλ
1
)
+ e
−τ
1
(Reλ
1
−iImλ

1
)
= e
−τ
1
Reλ
1
e
−τ
1
iImλ
1
+ e
−τ
1
Reλ
1
e
−τ
1
iImλ
1
= e
−τ
1
Reλ
1
2 cos(τ
1
Imλ

1
) ≤ 2e
τ
1
β
, (2.10)
19
suy ra
e
−τ
1
λ
1
v
∗
a
(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
) + e
−τ
1
λ
∗
1

(A
1,11
v
a
+ A
1,12
v
b
)
∗
v
a
≤ 2e
τ
1
β
v
a

2
(A
1,11
 + A
1,12
). (2.11)
Kết hợp các bất đẳng thức (2.9), (2.10) và (2.11) ta có
z
1
≤ v
∗

a

A
0,11
+ A
∗
0,11

v
a
+ 2A
0,12
v
a

2
+ 2e
τ
1
β
v
a

2
(A
1,11
 + A
1,12
)
=


A
0,11
+ A
∗
0,11

v
a
, v
a

+ 2A
0,12
v
a

2
+ 2e
τ
1
β
v
a

2
(A
1,11
 + A
1,12

).
Áp dụng Mệnh đề 1.15 (Nguyên lý Rayleigh, [3]) ta có
z
1
≤ λ
max

A
0,11
+ A
∗
0,11

v
a

2
+ 2A
0,12
v
a

2
+ 2e
τ
1
β
v
a


2
(A
1,11
 + A
1,12
)
≤ 2µ(A
0,11
)v
a

2
+ 2A
0,12
v
a

2
+ 2e
τ
1
β
v
a

2
(A
1,11
 + A
1,12

) + 2βv
a

2
≤ −2βv
a

2
.
Điều này mâu thuẫn với (2.8). Vậy các giá trị riêng của hệ (2.1) đều thỏa
mãn điều kiện Re(λ) ≤ −β nên hệ (2.1) là ổn định mũ với hệ số hội tụ α.
2. Trường hợp thứ hai v
a
 < v
b
. Giả sử tồn tại một nghiệm đặc trưng là
λ
1
thỏa mãn Re(λ
1
) > −β. Đặt
z
2
:= v
∗
b
A
0,22
v
b

+ (v
∗
b
A
0,22
v
b
)
∗
= v
∗
b

A
0,22
+ A
∗
0,22

v
b
. (2.12)
Áp dụng Mệnh đề 1.15 với công thức (2.12) ta có
|z
2
| ≥ v
b

2



λ
min

A
0,22
+ A
∗
0,22



. (2.13)
Mặt khác từ công thức (2.6) ta có
A
0,22
v
b
= −A
0,21
v
a
− e
−τ
1
λ
1
(A
1,21
v

a
+ A
1,22
v
b
).
20
Thay A
0,22
v
b
vào đánh giá (2.4), (2.12) và tương tự như trường hợp thứ
nhất ta có
|z
2
| = |v
∗
b
A
0,22
v
b
+ v
∗
b
A
∗
0,22
v
b

| ≤ v
∗
b
A
0,22
v
b
 + (A
0,22
v
b
)
∗
v
b

≤  − v
∗
b
A
0,21
v
a
− e
−τ
1
λ
1
v
∗

b
A
1,21
v
a
− e
−τ
1
λ
1
v
∗
b
A
1,22
v
b

+  − v
∗
a
A
∗
0,21
v
b
− e
−τ
1
λ

1
A
∗
1,21
v
∗
a
v
b
− e
−τ
1
λ
1
A
∗
1,22
v
∗
b
v
b

≤ 2A
0,21
v
b

2
+ 2e

τ
1
β
v
b

2
(A
1,21
 + A
1,22
)
≤ v
b

2


λ
min

A
0,22
+ A
∗
0,22



.

Điều này mâu thuẫn với (2.13). Vậy tất cả các giá trị riêng của hệ (2.1)
thỏa mãn điều kiện Re(λ) ≤ −β, do đó ta suy ra hệ (2.1) là ổn định mũ với
hệ số α.
2.2 Ví dụ số minh họa
Sau đây chúng tôi đưa ra ví dụ số minh họa cho Định lý 2.2.
Ví dụ 2.3.
E ˙x(t) =
˜
A
0
x(t) +
˜
A
1
x(t − 1),
trong đó
E =






0 0 −0.5
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5







,
˜
A
0
=






−1.25 2.25 3
−4.25 0.25 −2
−0.75 −4.25 −2






,
˜
A
1
=







−0.125 0.375 0.5
0.125 0.625 0.5
0.125 −0.375 −0.5






.
21
Ta có n = 3 và r := rank(E) = 2. Chọn hai ma trận không suy biến
Q
1
=






1 0 1
−1 1 0
0 1 −1







, Q
2
=






1 0 −1
1 0 1
−1 1 0






sao cho
Q
1
EQ
2
=







1 0 0
0 1 0
0 0 0






.
Khi đó hệ phương trình (2.3) tương đương với hệ sau






1 0 0
0 1 0
0 0 0






˙z(t) =







−5 1 0
0 − 5 1
1 0 8






z(t) +






0 0 0
0.5 0 0
0 1 1







z(t − 1)
=



A
0,11
A
0,12
A
0,21
A
0,22



z(t) +



A
1,11
A
1,12
A
1,21
A
1,22




z(t − 1).
Ta có
µ(A
0,11
) + A
0,12
 + A
1,11
 + A
1,12
 = −3.5 < 0
và
1
2


λ
min

A
0,22
+ A
∗
0,22



= 8 > 3 = A

0,21
 + A
1,21
 + A
1,22

nên hệ phương trình trên thỏa mãn điều kiện của định lý (2.2). Mặt khác, ta có
f
1
(x) = x − 4 + 0.5 e
x
= 0.
Suy ra nghiệm của phương trình trên là x = α
1
= 1.5778. Bên cạnh đó, từ







f
2
(x) = 7 − 2 e
x
= 0
f
2
(0) = 7 > 0 và A

1,21

2
+ A
1,22

2
= 0
22
nên nghiệm của phương trình trên là α
2
= ln(
7
2
) = 1.2527.
Khi đó β = min{α
1
, α
2
} = 1.2527. Ta chọn α = β −  = 1.25 với  là số dương đủ
nhỏ.
Vậy hệ phương trình trên là ổn định mũ với hệ số α như trên.
23
Chương 3
Ổn định mũ hệ phương trình vi
phân suy biến có trễ biến thiên với
nhiễu phi tuyến
Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra điều kiện đủ về tính α−ổn định mũ hệ phương
trình vi phân suy biến có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến. Điều kiện này được
xây dựng dựa trên việc mở rộng bài báo [10] khi thêm nhiễu phi tuyến.

3.1 Ổn định mũ hệ phương trình vi phân suy biến
có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến
Xét hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến.







E ˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + G
1
f(t, x(t)) + G
2
g(t, x(t − h(t))), t > 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h
2
, 0],
(3.1)
trong đó x(t) là véc tơ trạng thái, E, A, D ∈ R
n×n
là các ma trận thực, rank E =
r ≤ n, G
1
, G
2
∈ R
n×n
là các ma trận hệ số của các nhiễu phi tuyến và h(t) là hàm
thời gian trễ liên tục thỏa mãn điều kiện 0 ≤ h

1
≤ h(t) ≤ h
2
và
˙
h(t) ≤ µ.
24
Các nhiễu phi tuyến f, g liên tục, nhận giá trị trong R
n
, thỏa mãn f (t, 0) = 0 và
g(t, 0) = 0 sao cho tồn tại U
1
, U
2
∈ R
n×n
thỏa mãn điều kiện Lipschitz







f
T
(t, x(t))f(t, x(t)) ≤ x
T
(t)U
T

1
U
1
x(t),
g
T
(t, x(t − h(t)))g(t, x(t − h(t))) ≤ x
T
(t − h(t))U
T
2
U
2
x(t − h(t)).
Định nghĩa 3.1. Cho số α > 0. Hệ ˙x(t) = f(t, x
t
) được gọi là α−ổn định mũ
nếu tồn tại hằng số N ≥ 1 sao cho mọi nghiệm x(t, ϕ) của hệ thỏa mãn điều kiện
x(t, ϕ) ≤ Nϕe
−α(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
.
Cho α > 0 ta ký hiệu
Ξ
11
= A
T

P
T
+ P A + Q + Q
1
+ Q
2
+ 2αP E + X
1
E + E
T
X
1
+ 
1
U
T
1
U
1
,
Ξ
12
= P D − X
1
E + E
T
X
T
2
+ Y

1
E − Z
1
E,
Ξ
110
= A
T
[h
2
W
1
+ (h
2
− h
1
)W
2
],
Ξ
22
= −(1 − µ)e
−2αh
2
Q + Y
2
E + E
T
Y
T

2
− X
2
E − E
T
X
T
2
− Z
2
E − E
T
Z
T
2
+ 
2
U
T
2
U
2
,
Ξ
210
= D
T
[h
2
W

1
+ (h
2
− h
1
)W
2
],
Ξ
33
= −e
−2αh
1
Q
1
, Ξ
44
= −e
−2αh
2
Q
2
,
Ξ
88
= −γ
22
(W
1
+ W

2
),
Ξ
1010
= −[h
2
W
1
+ (h
2
− h
1
)W
2
],
γ
21
=
e
2αh
2
− 1
2α
, γ
22
=
e
2αh
2
− e

2αh
1
2α
.
Định lý sau đây đưa ra một điều kiện đủ mới cho tính α−ổn định mũ của hệ
phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên và có nhiễu phi tuyến (3.1).
Định lý 3.2. Cho α > 0, hệ (3.1) là α−ổn định mũ nếu tồn tại các ma trận
đối xứng xác định dương Q, Q
i
, W
i
, i = 1, 2, 
1
, 
2
là các số nguyên dương đủ nhỏ
và các ma trận P, X
i
, Y
i
, Z
i
, U
i
, i = 1, 2, với chiều phù hợp thỏa mãn các bất đẳng
25