LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG - CHƯƠNG 2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC - HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC doc

9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giảng viên: Huỳnh Thái Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP.HCM
Email:
Môn học
Môn học
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
MÔ HÌNH TOÁN HỌC
MÔ HÌNH TOÁN HỌC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC
Chương 2
Chương 2
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
ỉ Khái niệm về mô hình toán học
ỉ Hàm truyền
Ø Phép biến đổi Laplace
Ø Đònh nghóa hàm truyền
Ø Hàm truyền của một số phần tử
ỉ Hàm truyền của hệ thống tự động
Ø Đại số sơ đồ khối
Ø Sơ đồ dòng tín hiệu
ỉ Phương trình trạng thái (PTTT)
Ø Khái niệm về PTTT
Ø Cách thành lập PTTT từ phương trình vi phân
Ø Quan hệ giữa PTTT và hàm truyền
Nội dung chương 2

Nội dung chương 2
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 4
Khái niệm về mô hình toán học
Khái niệm về mô hình toán học
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
ỉ Hệ thống điều khiển thực tế rất đa dạng và có bản chất vật lý
khác nhau.
ỉ Cần có cơ sở chung để phân tích, thiết kế các hệ thống điều
khiển có bản chất vật lý khác nhau.
Cơ sở đó chính là toán học.
ỉ Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một
hệ thống tuyến
tính bất biến liên tục
có thể mô tả bằng phương trình vi phân
tuyến tính hệ số hằng:
Khái niệm về mô hình toán học
Khái niệm về mô hình toán học
=++++
−
−
−
)(
)()()(
1
1
1
10
tca
d
t

tdc
a
d
t
tcd
a
d
t
tcd
a
nn
n
n
n
n
L
)(
)()()(
1
1
1
10
trb
d
t
tdr
b
d
t
trd

b
d
t
trd
b
mm
m
m
m
m
++++
−
−
−
L
Hệ thống tuyến tính
bất biến liên tục
r(t)
c(t)
n
: bậc của hệ thống, hệ thống hợp thức nếu n≥m.
a
i
, b
i
: thông số của hệ thống
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
Thí dụ 2.1: Đặc tính động học tốc độ xe ô tô

)()(
)(
tftBv
dt
tdv
M =+
M
: khối lượng xe, B hệ số ma sát: thông số của hệ thống
f(t): lực kéo của động cơ: tín hiệu vào
v(t): tốc độ xe: tín hiệu ra
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
Thí dụ 2.2: Đặc tính động học hệ thống giảm chấn của xe
M: khối lượng tác động lên bánh xe,
B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo
f(t): lực do sốc: tín hiệu vào
y(t): dòch chuyển của thân xe: tín hiệu ra
)()(
)()(
2
2
tftKy
dt
tdy
B
d
t
tyd
M =++

9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
Thí dụ 2.3: Đặc tính động học thang máy
M
T
: khối lượng buồng thang, M
Đ
: khối lượng đối trọng
B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ
τ
(t): moment kéo của động cơ: tín hiệu vào
y(t): vò trí buồng thang: tín hiệu ra
gMtKgM
dt
tdy
B
dt
tyd
M
TT Đ
+=++ )(
)()(
2
2
τ
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
ỉ Phương trình vi phân bậc n (n>2) rất khó giải
Phân tích hệ thống dựa vào mô hình toán là phương trình vi
phân

gặp rất nhiều khó khăn (một thí dụ đơn giản là biết tín
hiệu vào, cần tính đáp ứng của hệ thống, nếu giải phương trình
vi phân thì không đơn giản chút nào!!!.)
Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân hầu như không
thể thực hiện được
trong trường hợp tổng quát.
⇒ Cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế hệ
thống tự động dể dàng hơn.
Ø Hàm truyền
Ø Phương trình trạng thái
Hạn chế của mô hình toán dưới dạng phương trình vi phân
Hạn chế của mô hình toán dưới dạng phương trình vi phân
=++++
−
−
−
)(
)()()(
1
1
1
10
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt

tcd
a
nn
n
n
n
n
L
)(
)()()(
1
1
1
10
trb
d
t
tdr
b
d
t
trd
b
d
t
trd
b
mm
m
m

m
m
++++
−
−
−
L
9 February 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 10
Haøm truyeàn
Haøm truyeàn
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
ỉ Đònh nghóa:
Cho f(t) là hàm xác đònh với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t)
là:
Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace
Trong đó:
− s : biến phức (biến Laplace)
−
L : toán tử biến đổi Laplace.
−
F(s) : biến đổi Laplace của hàm f(t).
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức đònh nghóa
trên hội tụ.
{}
∫
+∞
−
==
0

).()()( dtetfsFtf
st
L
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
ỉ Tính chất:
Cho f(t) và g(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là
và
Ø Tính tuyến tính
Ø Đònh lý chậm trể
Ø Ảnh của đạo hàm
Ø Ảnh của tích phân
Ø Đònh lý giá trò cuối
Phép biến đổi Laplace (tt)
Phép biến đổi Laplace (tt)
{}
)()( sFtf =
L
{
}
)()( sGtg
=
L
{
}
)(.)(.)(.)(. sGbsFatgbtfa
+
=
+
L
{

}
)(.)( sFeTtf
Ts−
=−L
)0()(
)(
+
−=






fssF
dt
tdf
L
s
sF
df
t
)(
)(
0
=







∫
ττ
L
)(lim)(lim
0
ssFtf
st →∞→
=
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
Phép biến đổi Laplace (tt)
Phép biến đổi Laplace (tt)
ỉ Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản:
Ø Hàm nấc đơn vò (step): tín hiệu vào hệ thống điều khiển ổn
đònh hóa
Ø Hàm dirac: thường dùng để mô tả nhiễu
{}
s
tu
1
)( =L



<
≥
=
0 t 0
0 t 1

)(
nếu
nếu
tu
u(t)
t
0
1



=∞
≠
=
0 t
0 t 0
)(
nếu
nếu
t
δ
∫
+∞
∞−
=1)( dtt
δ
{
}
1)(
=

t
δ
L
δ
(t)
t
0
1
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
Phép biến đổi Laplace (tt)
Phép biến đổi Laplace (tt)
ỉ Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt):
Ø Hàm dốc đơn vò (Ramp): tín hiệu vào hệ thống điều khiển
theo dõi
Ø Hàm mũ



<
≥
==
0 t 0
0 t
)()(
nếu
nếut
ttutr
r(t)
t
0

1
1
{}
2
1
)(.
s
tut =L



<
≥
==
−
−
0 0
0
)(.)(
t nếu
t nếu
at
at
e
tuetf
f(t)
t
0
1
{

}
as
tue
at
+
=
−
1
)(.L
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Phép biến đổi Laplace (tt)
Phép biến đổi Laplace (tt)
ỉ Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt):
Ø Hàm sin:
ỉ Bảng biến đổi Laplace: SV cần học thuộc biến đổi Laplace của
các hàm cơ bản. Các hàm khác có thể tra BẢNG BIẾN ĐỔI
LAPLACE ở phụ lục sách Lý thuyết Điều khiển tự động.



<
≥
==
0 t 0
0 t sin
)().(sin)(
nếu
nếut
tuttf
ω

ω
r(t)
t
0
{}
22
)()(sin
ω
ω
ω
+
=
s
tutL
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
ỉ Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:
ỉ Biến đổi Laplace 2 vế phương trình trên, để ý tính chất ảnh của
đạo hàm, giả thiết điều kiện đầu bằng 0, ta được:
Đònh nghóa hàm truyền
Đònh nghóa hàm truyền
=++++
−
−
−
)(
)()()(
1
1
1
10

tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
nn
n
n
n
n
L
)(
)()()(
1
1
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt

trd
b
mm
m
m
m
m
++++
−
−
−
L
Hệ thống tuyến tính
bất biến liên tục
r(t)
c(t)
=++++
−
−
)()()()(
1
1
10
sCassCasCsasCsa
nn
nn
L
)()()()(
1
1

10
sRbssRbsRsbsRsb
mm
mm
++++
−
−
L
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
ỉ Hàm truyền của hệ thống:
ỉ Đònh nghóa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi
Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi
điều kiện đầu bằng 0.
ỉ Chú ý
: Mặc dù hàm truyền được đònh nghóa là tỉ số giữa biến
đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào
nhưng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu
vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống.
Do đó có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống.
Đònh nghóa hàm truyền (tt)
Đònh nghóa hàm truyền (tt)
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
sG

++++
++++
==
−
−
−
−
1
1
10
1
1
10
)(
)(
)(
L
L
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Hàm truyền của các phần tử
Hàm truyền của các phần tử
Cách tìm hàm truyền
ỉ Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra
của phần tử bằng cách:
Ø Áp dụng các đònh luật Kirchoff, quan hệ dòng–áp trên điện
trở, tụ điện, cuộn cảm,… đối với các phần tử điện.
Ø Áp dụng các đònh luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát và
vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo,… đối với
các phần tử cơ khí.
Ø Áp dụng các đònh luật truyền nhiệt, đònh luật bảo toàn năng

lượng,… đối với các phần tử nhiệt.
Ø …
ỉ Bước 2: Biến đổi Laplace hai vế phương trình vi phân vừa
thành lập ở bước 1, ta được hàm truyền cần tìm.
ỉ Chú ý: đối với các mạch điện có thể tìm hàm truyền theo
phương pháp tổng trở phức.
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
ỉ Mạch tích phân bậc 1:
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh thụ động
R
C
1
1
)(
+
=
RCs
sG
R
C
ỉ Mạch vi phân bậc 1:
1
)(
+
=
R
Cs
RCs

sG
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh thụ động (tt)
1=
C
K
CRRT )(
21
+
=
ỉ Mạch trể pha:
C
R
1
R
2
1
1
)(
+
+
=
Ts
Ts
KsG
C
α
1

21
2
<
+
=
RR
R
α
ỉ Mạch sớm pha:
C
R
1
R
2
1
1
)(
+
+
=
Ts
Ts
KsG
C
α
21
2
RR
R
K

C
+
=
21
12
RR
CRR
T
+
=
1
2
21
>
+
=
R
RR
α
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh tích cực
P
KsG
=
)(
ỉ Khâu tỉ lệ P: (Proportional)
1
2

R
R
K
P
−=
ỉ Khâu tích phân tỉ lệ PI: (Proportional Integral)
s
K
KsG
I
P
+=)(
1
2
R
R
K
P
−=
CR
K
I
1
1
−=
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh tích cực (tt)
ỉ Khâu vi phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative)

ỉ Khâu vi tích phân tỉ lệ PID: (Proportional Integral Derivative)
sKKsG
DP
+
=
)(
1
2
R
R
K
P
−=
CRK
D 2
−
=
21
2211
CR
CRCR
K
P
+
−=
sK
s
K
KsG
D

I
P
++=)(
21
1
CR
K
I
−=
12
CRK
D
−
=
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp
Hàm truyền động cơ DC
− L
ư
: điện cảm phần ứng −
ω
: tốc độ động cơ
−
R
ư
: điện trở phần ứng − M
t
: moment tải
−

U
ư
: điện áp phần ứng − B : hệ số ma sát
−
E
ư
: sức phản điện động − J : moment quán tính
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền động cơ DC (tt)
ỉ Áp dụng đònh luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng:
)(
)(
).()( tE
d
t
tdi
LRtitU
ư
ư
ưưưư
++=
)()( tKtE
ω
Φ
=
ư
trong đó:
K : hệ số

Φ : từ thông kích từ
ỉ Áp dụng đònh luật Newton cho chuyển động quay của trục đ.cơ:
dt
td
JtBtMtM
t
)(
)()()(
ω
ω
++=
trong đó:
)()( tiKtM
ư
Φ
=
(1)
(2)
(3)
(4)
9 February 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền động cơ DC (tt)
ỉ Biến đổi Laplace (1), (2), (3), (4) ta được:
(5)
(6)
(7)
(8)
)()().()( sEssILRsIsU

ưưưưưư
+
+
=
)()( sKsE
ω
Φ
=
ư
)()()()( sJssBsMsM
t
ω
ω
+
+
=
)()( siKsM
ư
Φ
=
ỉ Đặt:
ư
ư
ư
R
L
T =
B
J
T

c
=
hằng số thời gian điện từ của động cơ
hằng số thời gian điện cơ của động cơ