Giải hệ thống PT ĐSTT docx

Báo Cáo Chương
Lưu Hoàng em – DH7A2
Đại học An Giang

•
ĐẶT VẤN ĐỀ
•
PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP: PHƯƠNG PHÁP
GAOXƠ (HAY PHƯƠNG PHÁP KHỬ)
•
NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP

BÀI 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương này, ta xét giải hệ thống phương trình đại
số tuyến tính (pt đstt) n pt n ẩn.
11 1 12 2 13 3 1 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2 1
1 1 2 2 3 3 1


(3.1)


+
+
+
+ + + + =


+ + + + =





+ + + + =

n n n
n n n
n n n nn n nn
a x a x a x a x a
a x a x a x a x a
a x a x a x a x a
Muốn giải hệ thống pt này bằng pp Crame thì khối lượng tính rất lớn khi n lớn. Vì vậy, người
ta phải xây dựng những pp sao cho khối lượng tính có thể thực hiện được khi n lớn.


Những pp giải hệ thống pt (3.1) được chia làm 2 loại:
những pp trực tiếp và những pp lặp.
Việc chọn pp giải phụ thuộc vào đặc điểm cảu ma trận
hệ số A của hệ.
Việc chọn không phải là một nguyên tắc cứng nhắc,
không phải không có những trường hợp ngoại lệ.


BÀI 2. PHƯƠNG PHÁP GAOXƠ
2.1. Nội dung pp
2.2. Sơ đồ tính
2.3. Kiểm tra quá trình tính
2.4. Khối lượng tính
2.5. Sai số của pp Gaoxơ

2.6. PP Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất
2.7. Tính định thức bằng pp Gaoxơ
2.8. Tính ma trận nghịch đảo bằng pp Gaoxơ
2.9. Chuẩn của ma trận và chuẩn của pp vectơ
2.10. Sự không ổn định của hệ thống pt đstt

Nội dung cơ bản của PP Gaoxơ là khử dần các ẩn số
để đưa hệ (3.4) về hệ “tam giác” tương đương (ma trận
hệ số của hệ là ma trận tam giác trên):
(1) (1) (1) (1)
1 12 2 13 3 14 4 15
(1) (1) (1)
2 23 3 24 4 25
(1) (1)
3 34 4 35
(1)
4 45
(3.5)

+ + + =

+ + =


+ =


=

x a x a x a x a

x a x a x a
x a x a
x a
Sau đó giải hệ (3.5) từ dưới lên trên.
Quá trình đưa hệ (3.4) về hệ (3.5) gọi là quá trình thuận,
quá trình giải hệ (3.5) gọi là quá trình ngược.

a) Quá trình thuận
Khử . Giả sử gọi là trụ thứ nhất). Chia
phương trình đầu của hệ (3.4) cho , ta nhận được:
1
x
(0) (0)
11 11
0 (a a≠
(0)
11
a
(1) (1) (1) (1)
1 12 2 13 3 14 4 15
(1) (0)
ij ij
(3.6)
( , 2,3,4,5)
x a x a x a x a
a a j
+ + + =
= =
Dùng pt (3.6) khử trong ba pt còn lại của hệ (3.6). Muốn
thế, đem pt thứ hai của hệ (3.4) trừ pt (3.6) đã nhân với đem

phương trình thứ ba của hệ (3.4) trừ phương trình (3.6) đã nhân
với đem phương trìng thứ tư của hệ (3.4) trừ phương trình
(3.6) đã nhân với

1
x
(0)
21
a
(0)
31
a
(0)
41
a

Kết quả nhận được hệ ba phương trình
sau:
Khử . Giả sử gọi là trụ hạng thứ hai).
Chia pt đầu của hệ (3.7) cho , ta được:
(1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 24 4 25
(1) (1) (1) (1)
32 2 33 3 34 4 35
(1) (1) (1) (1)
42 2 43 3 44 4 45
(1) (0) (0) (1)
ij ij 11 ij
(3.7)
( , 2,3,4; 2,3,4,5)

a x a x a x a
a x a x a x a
a x a x a x a
a a a a i j

+ + =

+ + =


+ + =

= − = =
(1) (1)
22 22
0(a a≠
2
x
(1)
22
a
(2) (2) (2)
2 23 3 24 4 25
(2) (1) (1)
2 2 22
(3.8)
( / , 3,4,5).
j j
x a x a x a
a a a j

+ + =
= =

Đem phương trình thứ hai của hệ (3.7) trừ phương trình (3.8)
đã nhân với
Kết quả nhận được hệ hai phương trình sau:
(1)
42
.a
( )
(2) (2) (2)
33 3 34 4 35
(2) (2) (2)
43 3 44 4 45
(2) (1) (1) (2)
ij 2 2
3.9
( , 3,4; 3,4,5)
ij i j
a x a x a
a x a x a
a a a a i j

+ =

+ =

= − = =

Khử . Giả sử gọi là trụ thứ ba). Chia

pt đầu của hệ (3.9) cho và đem pt thứ hai của hệ
(3.9) trừ pt vừa nhận được đã nhân với ,ta được:
3
x
(2) (2)
33 33
0(a a≠
(2)
33
a
(2)
43
a
( )
( )
(3) (3)
3 34 4 35
(3) (3)
44 4 45
(3) (2) (2) (3) (2) (2) (3)
3 3 33 4 4 43 3
3.10
3.11
( / , , 4,5)
j j j j j
x a x a
a x a
a a a a a a a j
+ =
=

= = − =
Cuối cùng nếu gọi là trụ thứ tư), ta
chia pt (3.11) cho , pt (3.11) có dạng:
(3) (3)
44 44
0 (a a≠
(3)
44
a
( )
( )
45
(4)
4 45
(4) (3) (3)
45 44
3.12
/
x a
a a a
=
=

Rõ ràng là các phần tử trụ
khác không thì hệ thống phương trình (3.4) tương đương
với hệ thống phương trình “tam giác” sau:
(0) (1) (2) (3)
11 22 33 44
, ,a a a vaø a
( )

(1) (1) (1) (1)
1 12 2 13 3 14 5 15
(2) (2) (2)
2 23 3 24 4 25
(3) (3)
3 34 4 35
(4)
4 45
3.13
x a x a x a x a
x a x a x a
x a x a
x a

+ + + =

+ + =


+ =


=


b) Quá trình ngược:
Giải hệ thống (3.13) từ dưới lên, ta có:
( )
(4)
4 45

(3) (3)
3 35 34 4
(2) (2) (2)
2 25 3 23 3 24 4
(1) (1) (1) (1)
1 15 12 2 13 3 14 4
3.14
x a
x a a x
x a x a x a x
x a a x a x a x
=
= −
= − −
= − − −
Chú ý rằng điều kiện để áp dụng phương pháp Gaoxơ là
các phần tử trụ phải khác không.

2.2. Sơ đồ tính
Phân tích quá trình áp dụng phương pháp Gaoxơ ở
mục 2.1 ta thấy: để đưa hệ thống (3.4) về hệ thống “tam
giác” tương đương (3.13), chỉ cần tính các hệ số
(1) (1)
1 ij
(2) (2)
2 ij
(3) (3) (4)
3 4 45
( 2,5), ( 2,4; 2,5),
( 3,5), ( 3,4; 3,5),

, ( 4,5), .
j
j
j j
a j a i j
a j a i j
a a j a
= = =
= = =
=
Kết quả tính, trong trường hợp không dùng máy tính điện
tử, thường được ghi thành bảng, gọi là sơ đồ Gaoxơ, trong
đó cột dùng để kiểm tra quá trình tính.
∑

2.3. Kiểm tra quá trình tính
Khi không dùng máy tính điện tử, để có thể kiểm tra
từng bước quá trình tính toán của phương pháp Gaoxơ,
người ta dùng “tổng kiểm tra”
( )
5
(0) (0)
6
1
, 1;2;3;4 3.15
i ij
j
a a i
=
= =

∑
(nó chính là tổng những phần tử thuộc hàng I cùa ma trận hệ
số A và số hạng vế phải tương ứng) như một vế phải mới của
hệ thống phương trình (3.4) và xét hệ thống phương trình:
( )
4
(0) (0)
6
1
, 1;2;3;4 3.16
ij j i
j
a x a i
=
= =
∑
Rõ ràng là:
( )
1, 1;2;3;4 3.17
j j
x x i= + =

Thật vậy, thay (3.17) vào (3.16) do (3.4), ta nhân được:
4 4
(0) (0)
1 1
4 4 4 5
(0) (0) (0) (0) (0) (0)
i5 6
1 1 1 1

( 1)
, 1;2;3;4
ij j ij j
j j
ij j ij ij ij i
j j j j
a x a x
a x a a a a a i
= =
= = = =
= +
= + = + = = =
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
Vì đối với mỗi phần tử của cột ta đều thực hiện những
phép tính giống như đối với những phần tử của những cột bên
trái cột và nằm trong cùng một hàng với phần tử của cột
nên nếu không có sai số tính toán thì những phần tử của cột
phải bằng tổng những phần tử tương ứng của những cột
bên trái cột . Hiện tượng này được dùng để kiểm tra quá
trình thuận. Quá trình ngược được kiểm tra bằng hệ thức
(3.17).
∑
4 4
(0) (0)
1 1
4 4 4 5
(0) (0) (0) (0) (0) (0)
i5 6
1 1 1 1

( 1)
, 1;2;3;4
ij j ij j
j j
ij j ij ij ij i
j j j j
a x a x
a x a a a a a i
= =
= = = =
= +
= + = + = = =
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑
Sơ đồ Gaoxơ

Nếu khi tính toán có sai số làm tròn thì bắt đầu từng
hàng thứ 5 trở đi (trong sơ đố Gaoxơ) phần từ ờ cột
và tổng những phần tử cùng hàng và ở bên trái và bên
trái được phép lệch nhau trong phạm vi giới hạn của sai
số làm tròn đã phạm phải. một sự chênh lệch lớn chứng
tỏ đã có sự nhầm lẫn trong quá trình tính toán
∑
Nhận
xét:
Sơ đồ Gaoxơ nêu trên hoàn toàn có thể mở rộng cho hệ thông n
phương trình n ẩn số.

Nếu ma trận hệ số A của hệ thống phương trình xuất phát đối
xứng, nghĩa là thì căn cứ vào các công thức (3.6), (3.8) và
(3.9) dễ thấy rằng
ij ji
a a=
(1) (1) (2) (2)
,
ij ij
ji ji
a a a a= =

Nghĩa là những ma trận trung gian:
(1) (1) (1)
22 23 24
(2) (1)
(1) (1) (1) (1) (2)
33 34
32 33 34
(1) (1)
(1) (1) (1)
43 44
42 43 44
,
a a a
a a
A a a a A
a a
a a a
 
 

 ÷
= =
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
Cũng đối xứng. Do đặc điểm này, trong sơ đồ Gaoxơ, ta chỉ
cần tính vì vậy khối lượng tính toán sẽ giảm đi
gân một nửa.
( )
(1) (2)
,
ij ij
a a j i≥

2.4. Khối lượng tính
Xét hệ thống n phương trình n ẩn số. Căn cứ vào những
công thức tính của pp Gaoxơ, ta đếm được số các phép
tính cộng, trừ, nhân và chia cần phải thực hiện gồm
(không kể các phép tính đối với các phần tử của cột kiểm
tra ):
n
S
∑
phép nhân
3 2
( 1)(2 5)
6
( 1)

2
( 1)(2 5)
6
4 9 7
6
n
n n n
n n
n n n
n n n
S
− +
+
− +
+ −
=
phép chia
phép cộng hoặc trừ
phép tính.

Nếu ma trận hệ số của hệ thống phương trình đối xứng
thì số các phép tính cộng, trừ, nhân và chia cần phải
thực hiện gồm :
n
S
phép nhân
3 2
( 1)( 1)
6
( 1)

2
( 1)( 1)
6
2 3
6
n
n n n
n n
n n n
n n n
S
− +
+
− +
+ +
=
phép chia
phép cộng hoặc trừ
phép tính.
giảm hơn một nửa so với trường hợp ma trận hệ số A không
đối xứng.

2.5. Sai số của pp Gaoxơ
Nếu các phép tính cộng, trừ, nhân và chia làm đúng
hoàn toàn và không phải làm tròn thì phương pháp
Gaoxơ cho ta nghiệm đúng của hệ thống phương trình
(3.1). Vì vậy phương pháp Gaoxơ là một phương pháp
đúng. Tuy nhiên, trong tính toán, không tránh khỏi sai
số làm tròn, cho nên trong thực tế, dùng phương pháp
Gaoxơ ta cũng chỉ nhận được nghiệm gần đúng.

Thí dụ: Dùng phương pháp Gaoxơ giải hệ thống pt sau :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2,0 1,0 0,1 1,0 2,7
0,4 0,5 4,0 8,5 21,9
(3.18)
0,3 1,0 1,0 5,2 3,9
1,0 0,2 2,5 1,0 9,9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =


+ + − =


− + + = −


+ + − =

Giải: Kết quả tính toán được ghi trong bảng (3.1). Từ bảng
(3.1), ta nhận được nghiệm của hệ thống (3.18) là:
Bảng 3.1

2.6. PP Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất
Quá trình Gaoxơ trình bày ở mục 2.1 sẽ không thực
hiện được nếu một trong các trụ bằng
không, dù hệ thống phương trình có nghiệm duy nhất.
Ngoài ra, nếu định thức của hệ thống phương trình khác
không. Nhưng nếu một và phần tử trụ về trị tuyệt đối
rất nhỏ so với những phần tử còn lại trong cùng hàng thì
khi chia các phần tử ấy cho phần tử trụ, sai số làm tròn
sẽ lớn , do đó có thể làm giảm nhiều độ chính xác của
nghiệm tìm được.
( 0) (1) ( 2) (3)
11 22 33 44
, , ,a a a a

Để khắc phục những hạn chế vừa nêu, người ta thường dùng
phương pháp Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất. Nội dung phương
pháp như sau:
Sau khi khử trong sơ đồ Gaoxơ, người ta chọn số lớn
nhất về trụ tuyệt đối trong các số làm trụ lớn
nhất và gọi là trụ lớn nhất thứ nhất. Sau đó ta hoán vị hàng
chứa trụ lớn nhất thứ nhất với hàng thứ nhất nằm đúng ở
hàng 1 cột 1 của sơ đồ Gaoxơ (nghĩa là ở hàng 1 cột 1 của
ma trận hệ số A), và quá trình khử được tiến hành như ở
mục 2.1a.
1
x
( 0) ( 0 ) (0 ) ( 0)
11 21 31 41
, , ,a a a a
1

x

Khi khử trong sơ đồ Gaoxơ, người ta chọn số lớn nhất về
trị tuyệt đối trong các số làm trụ thứ hai và gọi là trụ
lớn nhất thứ hai. Sau đó ta hoán vị hàng chưa trụ lớn nhất thứ
hai với hàng chứa phần tử để trụ lớn nhất thứ hai nằm
đúng ở hàng 6 cột 2 của sơ đồ Gaoxơ (nghĩa là ở hàng 1 cột 1
của ma trận trung gian ) và quá trình khử được tiến hành
như ở mục 2.1a.
2
x
(1) (1) (1)
22 32 42
, ,a a a
(1)
22
a
(1)
A
2
x
Tương tự cho
3
x
Chú ý: sơ đồ Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất nêu trên hoàn toàn có
thể áp dụng cho hệ thống n phương trình n ẩn.
Thí dụ 3.doc

2.7. Tính định thức bằng pp Gaoxơ
Để tính định thức:

=
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
det( )
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
của ma trận
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
Ta áp dụng quá trình thuận của sơ đồ Gaoxơ trong đó không
có cột số hạng tự do. Kết quả ta nhận được ma trận tam giác:
 

 ÷
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
 
(1) (1) (1)
12 13 14
( 2 ) (2 )
23 24
( 3 )
34
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
a a a
a a
B
a