Bài tập DAO ĐỘNG kỹ THUẬT

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA CƠ KHÍ


BÀI TẬP CHƯƠNG
MÔN : DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY : TS. PHẠM THỊ MINH HUỆ
SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN THÀNH CHIẾN
MÃ SỐ SINH VIÊN : 0741020019
KHÓA HỌC : KHÓA 7

Tháng 4/2014

Phần I : Lý thuyết
Câu 1: Hãy trình bày các ví dụ về cách thiết lập phương trình vi phân dao động tự do
không cản ?
-Phương trình vi phân dao động tự do không cản được thiết lập cơ bản dựa theo các
bước sau:
◦ Thiết lập các hàm động năng và thế năng của hệ
◦ Thay các hàm trên vào phương trình Lagrăng loại II
◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình
vi phân dao động của hệ.
-Ta xét các ví dụ cụ thể:
◦ Ví dụ 1: Thiết lập phương trình vi phân dao động của vật nặng m treo vào lò xo
( (hình 1)


Hàm động năng: T=

1
2
m
2
x
&

Hàm thế năng :
∏
=
1
2
c
2
x
Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

d T T
dt x x x
∏
∂ ∂ ∂
 
− = −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
&

0 xmx c
⇒ = − −

&&


ta nhận được phương trình vi phân dao động của hệ là :


x 0mx c
+ =
&&
◦ Ví dụ 2: Thiết lập phương trình vi phân dao động của con lắc toán học sau :
c
m
Hình 1.
x

Vị trí
cân bằng

Q y L

ϕ


x
P
Gọi tọa độ của chất điểm là x,y
Từ hình vẽ , ta được : x= lsin
ϕ
, y=lcos
ϕ

Hàm động năng : T=
2 2 2 2
1 1
( )
2 2
m x y ml
ϕ
+ =
&
& &
Hàm thế năng :
∏
= -mgy = -mgl cos
ϕ
Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai

d T T
dt x x x
∏
∂ ∂ ∂
 
− = −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
&

ta được

2

m mg sinl l
ϕ ϕ
+
&&
= 0
⇒

g
φ+ sin =0
l
ϕ
&&
khi
ϕ
≪ → sin
ϕ
≈
ϕ
Vậy phương trình vi phân dao động là :

0
g
l
ϕ ϕ
+ =
&&
Câu 2: Hãy nêu cách tính toán dao động tự do không cản ? Cho ví dụ minh họa
- Cách tính toán :
Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ một bậc tự do không cản có dạng sau :

mq+cq=0
&&
(1)
hay
0
q + ω q =0
&&
với
2
0
c
ω =
m
,
0
ω
là tần số dao động riêng
Điều kiện đầu
0
t 0
=
, q(
0
t
) =
0
q
,
0 0
q(t ) =q

& &
Hình2
m
Do không cản : Tần số dao động :
0
c
ω =
m
(
-1
s
)
Chu kì dao động :
0
2
T=
π
ω
(s)
Nghiệm của phương trình vi phân (1) có dạng :

1 0 2 0
q = C cos t + C sin t
ω ω
(2) (
1 2
C ,C
:const xác định từ điều kiện đầu)
Cho nghiệm (2) thỏa mãn điều kiện đầu ,ta được

1 0
c q
=
,
0
2
0
q
c
ω
=
&

0
0 0 0
0
q
q = q cos t + sin t
ω
ω ω
⇒
&
Biên độ dao động :
2 2
1 2
A= c c
+
Pha dao động :
0
t

ω α
+
Pha ban đầu
α
được xác định từ
0
1
0
2 0
q
c
tanα = =ω
c q
&
Tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta biến đổi các biểu thức trên sao cho phù hợp.
Ví dụ :
Trọng lượng vật treo là P , lò xo có độ dài tự nhiên l,độ cứng c, trọng lượng
0
P
.Tìm
chu kì dao động của vật
s
Biến dạng của lò xo tại vị trí s : l

( )
( )
x s x s
x s x
s l l
= → =

ta được:
( )
s
x s x
l
=
& &
,
2
2 2
2
( )
s
x s x
l
=
& &
Động năng của lò xo :

1
2
x
0
1
( )
2
l
T v s dm=
∫
,

0
s
P
dm d
gl
=

Động năng của hệ :

0
2
1
2
2 2
0
2
0
3
s
2 2 2
P
P
P x
P s
T x d x
g gl l g
+
= + =
∫
&

& &

m
c
Hình 3
P
x
Thế năng của lò xo đối với vị trí cân bằng tĩnh của vật :

2
2
c
x
∏=

Thế vào phương trình Lagrange loại hai :

d T T
dt x x x
∏
∂ ∂ ∂
 
− = −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
&

Phương trình vi phân dao động của hệ :

0
3
x 0
P
P
x c
g
+
+ =
&&
Chu kỳ dao động của vật :
0
3
T = 2
P
P
cg
π
+
(s)
Câu 3: Trình bày cách xác định các tham số độ cứng của hệ dao động ?Cho ví dụ
minh họa .
1. Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả
thiết bỏ qua khối lượng. Đại lượng đặc trưng cho phần tử đàn hồi có độ cứng là kí hiệu
là c. Phần tử đàn hồi có nhiều hình dạng và kết cấu tùy theo sử dụng và cách chịu lực
của chúng. Dưới đây là cách xác định tham số độ cứng dao động.
a. Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi
Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không trọng lượng ,ta có thể tính toán hệ số cứng quy
đổi tương đối đơn giản . Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén (hình 4)
ta có :

l
l∆

A
Fl
l
E
∆ =
Trong đó E là môđun đàn hồi ,A là diện tích mặt cắt
ngang. Từ đó suy ra :

AE
F l c l
l
= ∆ = ∆

Vậy độ cứng quy đổi được xác định bởi công thức :

AE
c
l
=
Hình 4
Trong trường hợp thanh đàn hồi lò xo chịu xoắn (hình 5)

x
p
M l

GI
ϕ
∆ =



Vậy độ cứng quy đổi trong trường hợp thanh xoắn có dạng

p
GI
c
l
=
Trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) bị uốn , hệ số cứng quy đổi c còn phụ thuộc vào
các điều kiện biên . Điển hình là dầm chịu uốn như hình 6

Vậy độ cứng quy đổi c được tính bởi công thức

3
E
3
I
c
l
=
b. Tính toán lò xo thay thế tương đương của các hệ lò xo mắc song song và mắc nối
tiếp
Đối với hệ có hai lò xo mắc song song như hình 7 , ta có thể thay thế tương
đương bằng hệ có một lò xo. Từ biểu thức lực đàn hồi của lò xo ,ta suy ra công thức
tính hệ số độ cứng lò xo tương đương

*
1 2
F c x c x c x
= + =

*
1 2
c c c
→ = +
l
Hình 5

Trong đó G là môđun trượt ,
p
I
là momen
quán tính của mặt cắt ngang
Từ công thức trên ta suy ra

p
x
GI
M c
l
ϕ ϕ
= ∆ = ∆
l
F

f

3
1
3
Fl
f
EI
=
Trong đó EI là độ cứng chống uốn . Ta
được

3
3EI
F f cf
l
= =
Hình 6
x
M

Nếu hệ có n lò xo mắc song song , tính toán tương tự ta có

*
1
n
j
j
c c
=

=
∑
Đối với hệ có hai lò xo mắc nối tiếp như hình 8 , nếu ở hệ thay thế lò xo dãn ra một
đoạn
x
bằng tổng hai độ dãn
1
x
và
2
x
của hệ ban đầu thì ta có :

1 1 2 2
F c x c x
= =
,
1 2
x x x
+ =
,
*F c x
=
Từ đó suy ra

*
1 2
F F F
x
c c c

= + =

*
1 2
1 1 1
c c c
→ = +
Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp thì thì công thức tính hệ số cứng lò xo thay thế có dạng

*
1
1 1
n
i
j
c c
=
=
∑
Ngoài ra ta có thể sử dụng các công thức xác định các hệ số cứng tương đương trong
các trường hợp đặc biệt theo bảng sau :
2
c
1
c
2
c
*
c
1

c
*
c
m
m
m
m
Hình 7 Hình 8
Số thứ tự Sơđồ Hệ số c
1

D

4
3
d
8 D
G
n
d- Đường kính thiết diện
D- Đường kính lò xo
G- Mô đun trượt
n- Số vòng lò xo
2

1 2
c c
+
3

1 2
1 2
c c
c c
+
4
l

1
c
2
c
2
c
1
c
1
c
2
c
5
a b

6
a b
7
a b
8
l b

9
l b
10
Y
l
x
N

2
EI
lch sh l
α
α α α
−

x
N
EI
α
=
11
Y
l
x
N

2
( )
EIch l

I lch sh l
α α
α α α
−

x
N
EI
α
=
2. Ví dụ minh họa

Độ cứng tương đương của lò xo
1
c
,
2
c
mắc song song

12 1 2
c c c
= +

Độ cứng tương đương của lò xo
3
c
,
4
c

mắc song song

34 3 4
c c c= +

Độ cứng tương đương của hệ :

*
12 34 1 2 3 4
c c c c c c c
= + = + + +

Tần số dao động riêng của hệ :

*
1 2 3 4
0
c c c c
c
m m
ω
+ + +
= =

Ví dụ 2: Xác định độ cứng tương đương và tần số dao động riêng của hệ sau


1
c
3

c
4
c
2
c
m
2
c
4
c
5
c
m
Ví dụ 1: Cho hệ dao động gồm khối lượng và
các lò xo mắc như hình 9. Hãy tính tần số riêng
của hệ .
Hình 9
1
c
Hình10
Độ cứng tương đương của lò xo
1
c
,
2
c
mắc song song

12 1 2
c c c

= +

2
( / , / )kg s N m
Độ cứng tương đương của lò xo
3
c
,
4
c
mắc nối tiếp

3 4
34
3 4
c c
c
c c
=
+

2
( / , / )kg s N m
Độ cứng tương đương của hệ :

*
3 4
12 34 1 2
3 4
c c

c c c c c
c c
= + = + +
+

2
( / , / )kg s N m
Tần số dao động riêng của hệ :

3 4
1 2
*
3 4
0
c c
c c
c c
c
m m
ω
+ +
+
= =
(rad/s)
Ví dụ 3 : Xác định tần số dao động riêng của hệ sau :

1 4
0,2 /c c c kN m= = =
,
3 2

2c c c= =
,
200m N
=

3
c
4
c
m
2
c
1
c
Độ cứng tương đương của lò xo
1
c
,
2
c
mắc song song

12 1 2
c c c= +
= 200+400= 600
Độ cứng tương đương của hệ lò xo 1,2,3

12 3
13
12 3

600.400
240
1000
c c
c
c c
= = =
+

Độ cứng tương đương của hệ :

*
4 13
200 240 440c c c
= + = + =

Tần số dao động riêng của hệ :

*
0
. 440.9,81
4,64
20.10
c g
m
ω
= = =

Hình 11
II. Phần hai : Bài tập

Câu 1. Hãy thiết lập phương trình dao động của hệ dao động cưỡng bức chịu kích
động bởi lực kích động động học như hình 12.

Gọi y là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng tĩnh
Các biểu thức :
◦ Hàm động năng :
2
1
2
T my
=
&
◦ Hàm thế năng :
2
1
( )
2
c y u
=
−
∏
◦ Hàm hao tán :
2
1
= ( )
2
b y u
Φ −
& &
Với :

T d T
my my
y dt y
 
∂ ∂
= → =
 ÷
∂ ∂
 
& &&
& &
,
0
T
y
∂
=
∂

( )c y u
y
∂Π
= −
∂
,
( )b y u
y
∂Φ
= −

∂
& &
&
Thế các hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai

d T T
dt y y y y
 
∂ ∂ ∂Π ∂Φ
− = − −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
& &

( ) ( ) 0my b y u c y u
⇒ + − + − =
&& & &
my by cy bu cu
⇔ + + = +
&& & &

. os u sinmy by cy bu c t c t
⇔ + + = Ω Ω + Ω
&& &
c
b
y
m
u(t)

Hình 12

( )
os sin
b c u
y y y b c t c t
m m m
⇔ + + = Ω Ω + Ω
&& &
(1)
Đặt
2
b
m
δ
=
và
2
0
c
m
ω
=
,
1
cu
h
m
=
,

2
bu
h
m
Ω
=
Thay vào (1) ta được lập phương trình vi phân dao động của hệ :

2
0 1 2
2 sin osy y y h t h c t
δ ω
+ + = Ω + Ω
&& &
Nghiệm của phương trình có dạng :

*
( ) Asin( )y t t
ϕ
= Ω +
Câu 2 : Cho hệ dao động như hình 13 , tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần
số dao động riêng của hệ ?
Biết
1 2 3 4 5
20 /C C C C C C N m= = = = = =
,
6 7
0,5C C C
= =
,

8 9
1,5C C C= =
10 11 12 13
2C C C C C= = = =
, m=10 kg.
Độ cứng tương đương của lò xo 4,5 mắc nối tiếp :

4 5
45
4 5
20.20
10( / )
40
C C
C N m
C C
= = =
+
Độ cứng tương đương của lò xo 1,2,3 mắc song song :

13 1 2 3
20.3 60( / )C C C C N m= + + = =
Độ cứng tương đương của hệ lò xo 1,2,3,4,5 :

15 13 45
10 60 70( / )C C C N m
= + = + =
Độ cứng tương đương của lò xo 6,7 mắc song song :

67 6 7

2.0,5 20( / )C C C C N m= + = =
Độ cứng tương đương của lò xo 8,9 mắc nối tiếp :
1
c
2
c
3
c
6
c
7
c
8
c
9
c
10
c
11
c
12
c
13
c
m
4
c
5
c
Hình 13

8 9
89
8 9
1,5.1,5.20
15( / )
3
C C
C N m
C C
= = =
+
Độ cứng tương đương của lò xo 10,11 mắc nối tiếp :

10 11
1011
10 11
2.2.20
20( / )
4
C C
C N m
C C
= = =
+
Độ cứng tương đương của lò xo 12,13 mắc nối tiếp :

12 13
1213
12 13

2.2.20
20( / )
4
C C
C N m
C C
= = =
+
Độ cứng tương đương của hệ lò xo 1,2,3,4,5,6,7,8,9 :
15 67 89
19
15 67 67 89 15 89
70.20.15 84
7.636( / )
70.20 20.15 70.15 11
C C C
C N m
C C C C C C
= = = ≈
+ + + +
Độ cứng tương đương của hệ lò xo 10,11,12,13 :

1013 1011 1213
20 20 40C C C= + = + =
(N/m)
Độ cứng tương đương của hệ lò xo :

*
19 1013
7,636 40 47,636C C C

= + = + =
(N/m)
Tần số dao động riêng của hệ :
*
0
47,636
2,183
10
C
m
ω
= = =
(rad/s)
Câu 3: Con lắc là chất điểm khối lượng m được gắn một đầu vào thanh cứng tuyệt đối
dài L. Thanh được giữ ở vị trí cân bằng bởi một lò xo và bộ giảm chấn thủy lực với hệ
số cản nhớt b như hình 14 .
1.Lập phương trình vi phân dao động của con lắc có khối lượng m?
2.Xác định tần số dao động riêng và độ tắt lôga . Biết m=10 kg, L= 1m, a= 0,6m ,độ
cứng lò xo
4
c=10
N/m , hệ số cản nhớt
2
b=3.10 /kg s
.


Hình 14 Hình 15
1.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ,khi hệ dao động có dạng như hình 15

Gọi
ϕ
là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng
Từ hình vẽ mô phỏng chuyển động của hệ , ta được :

sin osx L x L c
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ =
&
&
,
os siny Lc y L
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ = −
&
&

os (1 cos )h L Lc L
ϕ = ϕ
= − −
,
sin cos
c c
x a x a
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ =
&
&
Hàm động năng :
2 2 2 2

1 1
T = ( )
2 2
x y L
ϕ
+ =
&
& &
Hàm thế năng :
2 2 2
1 1
sin (1 os
2 2
c
cx mgh ca mgL c
ϕ− ϕ)
Π = − = −
Hàm hao tán :
2 2 2 2
1 1
x os
2 2
c
b ba c
ϕ ϕ
Φ = =
&
&
Và ta có :

2
Td
mL
dt
ϕ
ϕ
 
∂
=
 ÷
∂
 
&&
&

2 2
osba c
ϕ ϕ
ϕ
∂Φ
=
∂
&
&

0
ϕ
∂Τ
=
∂

2
sin os sinca c mgL
ϕ ϕ − ϕ
ϕ
∂Π
=
∂
c
b
a
O
c
b
O
x
y
ϕ
L
h
m
m
Thế các hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

d T T
dt y y y y
 
∂ ∂ ∂Π ∂Φ
− = − −
 ÷

∂ ∂ ∂ ∂
 
& &
2 2 2 2
sin os sin os 0mL ca c mgL ba c
ϕ ϕ ϕ− ϕ ϕ ϕ
⇒ + + =
&& &
(1)
Khi dao động nhỏ
sin
ϕ ϕ
⇒ ≈
,
os 1c
ϕ
≈
Nên ta có phương trình (1) trở thành :

2 2 2
( ) 0mL ba ca mgL
ϕ ϕ ϕ
+ + − =
&& &

2 2
2 2
( ) 0
ba ca g
mL mL L

ϕ ϕ ϕ
⇒ + + − =
&& &
(2)
Vậy phương trình (2) là phương trình vi phân dao động của hệ
Đặt
2 2
2
0
2 2
2 ,
ba ca g
mL mL L
δ ω
= = −
, thay vào phương trình (2) ta được phương trình vi
phân dạng tổng quát của hệ :

2
0
2 0
ϕ δϕ ω ϕ
+ + =
&& &
2.
Tần số dao động riêng của hệ không có cản :

2 4 2
2 2
0

2
10 .(0,6)
10 350 (s )
10.1
ca g
mL L
ω
−
= − = − =

1
0
350 18,7 (s )
ω
−
⇒ = ≈
Lực cản :

2 2 2
1
2
3.10 .(0,6)
5,4 (s )
2 2.10.1
ba
mL
δ
−
= = =
Tần số dao động riêng của hệ :

( )
2 2 2 1
0
350 (5.4) 17,91 (s )
ω ω δ
−
= − = − =
Chu kỳ dao động tự do có cản :

2 2
0,35 (s)
17,91
T
π π
ω
= = =
Độ tắt loga
5,4.0,35 1,89T
δ
Λ = = =
.
Câu 4 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình ví dụ sau :
Ví dụ : Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l ,khối lượng mỗi vật điểm là m .
Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ số cứng là c , ở vị trí cách trục quay một
đoạn là d . Độ dài của lò xo ở trạng thái không biến dạngbằng khoảng cách giữa hai
trục con lắc . Bỏ qua khối lượng của thanh , lò xo và bỏ qua lực cản .
a.Xác định các tọa độ chính của hệ
b.Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu :

1 0 2
(0) , (0) 0
ϕ ϕ ϕ
= =

1 2
(0) 0 , (0) 0
ϕ ϕ
= =
& &


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Gọi
1 , 2
ϕ ϕ
lần lượt là độ dịch chuyển của khối lượng
1 2
, m m
khỏi vị trí cân bằng
a. Từ hệ trên ta có :

1 1 1
os (1 os )h l lc l c
ϕ ϕ
= − = −

2 2 2
os (1 os )h l lc l c
ϕ ϕ

= − = −
Hàm động năng :

2 2 2
1 2
1
T= ( )
2
ml
ϕ ϕ
+
& &
Hàm thế năng :

2 2
2 1 1 2
1
d ( )
2
c mgh mgh
ϕ ϕ
Π = − − −
1
ϕ
2
ϕ
d
l
c
1

h
1
m
2
m
2
h
x
y
O
Hình 16

2 2
2 1 1 2
1
d ( ) 2 ( os os )
2
c mgl mgl c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − − + +
Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

T
i i i
d T
dt
ϕ ϕ ϕ
 
∂ ∂ ∂Π
− = −

 ÷
∂ ∂ ∂
 
&
⇒
hệ phương trình dao động của hệ :

2 2 2
1 1 1 2
d sin d 0ml c mgl c
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ − − =
&&


2 2 2
2 2 2 1
d sin d 0ml c mgl c
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ − − =
&&

Khi dao động nhỏ
sin
ϕ ϕ
⇒ ≈
,
os 1c
ϕ
≈

⇒
hệ (1) tương ứng

2 2 2
1 1 2
( d ) d 0ml c mgl c
ϕ ϕ ϕ
+ − − =
&&

2 2 2
2 1 2
d ( d ) 0ml c c mgl
ϕ ϕ ϕ
− + − =
&&
Hoặc dưới dạng ma trận :

2 2 2
1 1
2 2 2
2 2
0 d d 0
+ =
( )
0 d d
ml c mgl c
F t
ml c c mgl
ϕ ϕ

ϕ ϕ
   
− −
   
 
   
   
 
− −
   
 
   
   
&&
&&
Phương trình đặc trưng :
2
0C M
ω
− =

2 2 2
2
2 2 2
d d 0 0

0
d d 0
c mgl c ml
c c mgl ml

ω
   
− −
 
⇒ − =
   
 
− −
   
 
   

2 2 2 2
2 2 2 2
d ml d
= 0
d d ml
c mgl c
c c mgl
ω
ω
− − −
⇔
− − −

2 2 2 2 2 4
( ) = 0 cd mgl ml c d
ω
⇔ − − −

2 2 2 2 2
( +2cd )( ) 0mgl ml mgl ml
ω ω
⇔ − − − =

⇔

2
1
g
l
ω
=

2
2
2
2
2 dg c
l ml
ω
= − +
(1)
(2)
Vectơ riêng :
1 2
1 1
v
V
v

=

với
2 2 2 2
2
11 11 1 1
1
2 2 2
12 12 1
( d )
d
1
d cd
c m c mgl ml
c
v
c m c
ω ω
ω
− − −
= − = − = =
− −

2 2 2 2
2
11 11 2 2
2
2 2 2
12 12 2
( d ) d

1
d cd
c m c mgl ml c
v
c m c
ω ω
ω
− − −
= − = − = − = −
− −

⇒
Ma trận vectơ dạng riêng của hệ :

1 1
1 1
V
 
=
 
−
 
√ Phương trình dao động tự do không cản của hệ :

M C 0
ϕ ϕ
+ =
&&
(3)
Đặt

Vp
ϕ
=

1 1 2
2 1 2
p p
p p
ϕ
ϕ
= +

⇒

= −

(*)
Thay (*) vào (2) ta được :

M. . C. . 0V p V p
+ =
&&

M. . C. . 0
T T
V V p V V p
⇒ + =
&&
(4)
Ta có :

2
2
2
1 1 0 1 1 1 0
M. . . 2
1 1 1 1 0 1
0
T
ml
V V ml
ml
 
     
= =
 
     
− −
 
     
 
2 2
2
2 2
2 0
1 1 cd -mgl cd 1 1
C. . .
1 1 1 1
0 -2mgl+4 d
cd cd -mgl
T

mgl
V V
c
 
−
 
   
= =
 
 
   
− −
−
 
   
 
 
Thế vào phương trình (4) ta được :

1 1
2
2
2 2
2 0
1 0
2 . . 0
0 1
0 -2mgl+4cd
mgl
p p

ml
p p
 
   
 
+ =
 
   
 
 
   
 
&&
&&

1 1
2
2 2
2
0
0
2 d
g
p p
l
g c
p p
l ml

+ =



⇒ =

 

+ − +
 ÷

 

&&
&&

2
1 1 1
2
2 2 2
0
0
p p
p p
ω
ω

− =

⇔

+ =



&&
&&
(**)
Vậy hệ phương trình (**) là hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính
Nghiệm của hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính có dạng

1 1 1 1
2 2 2 2
( ) sin( )
( ) sin( )
p t c t
p t c t
ω α
ω α
= +


= +


Thay
1 2
( ) , ( )p t p t
vào (*) ta được các dạng dao động chính của hệ :

1 1 1 1 2 2 2
2 1 1 1 2 2 2
( ) sin( ) sin( )

( ) sin( ) sin( )
t c t c t
t c t c t
ϕ ω α ω α
ϕ ω α ω α
= + + +


= + − +

(I)
b. Đạo hàm theo thời gian các hàm
1 2
,
ϕ ϕ
ta được :

1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 1 1 2 2 2 2
( ) os( ) os( )
( ) os( ) os( )
t c c t c c t
t c c t c c t
ϕ ω ω α ω ω α
ϕ ω ω α ω ω α
= + + +


= + − +


&
&
(II)
Điều kiện đầu :

1 0 2 1 2
(0) , (0) 0 , (0) 0 , (0) 0
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= = = =
& &
Ta xác định được các hằng số
1 2 1 2
,c , ,c
α α
bằng cách thay điều kiện ban đầu đã cho
vào hai hệ phương trình (I) và (II) , tương ứng ta được :

1 1 2 2 0
1 2 0
1 1 2 2
sin sin
1

sin sin 0
2
c c
c c
c c
α α ϕ
ϕ

α α
+ =

⇔ = =

− =

và
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
os os 0
os os
os os 0
2
c c c c
c c
c c c c
ω α ω α
π
α α α α
ω α ω α
+ =

⇔ = ⇔ = =

− =

Vậy dao động tự do của hệ hai con lắc lò xo có dạng :

0
1 2 1 2
1 1 2 0
( ) ( os os ) os( ) os( )
2 2 2
t c t c t c t c t
ϕ
ω ω ω ω
ϕ ω ω ϕ
+ −
= + =

0
1 2 1 2
2 1 2 0
( ) ( os os ) sin( )sin( )
2 2 2
t c t c t t t
ϕ
ω ω ω ω
ϕ ω ω ϕ
+ −
= − =
Câu 5 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự
do như hình 17 . Các khối lượng chỉ có thể dao
động theo phương thẳng đứng.
a. Hãy thiết lập phương trình vi phân dao động
của cơ hệ ?
b. Xác định tần số dao động riêng và vectơ dao
động dạng riêng của cơ hệ ?

c. Thiết lập phương trình vi phân ở dạng tọa độ
chính ?
Điều kiện đầu :
1 2 1 2 1 2
, 2 , 3c c c b b b m m m
= = = = = =
Chọn tọa độ suy rộng là
1 , 2
x x
với
1 , 2
x x
lần lượt là độ dịch chuyển của vật có khối
lượng
1 2
, m m
khỏi vị trí cân bằng tĩnh .
Các biểu thức :
Hàm động năng :
2 2
1 1 2 2
1 1
=
2 2
T m x m x
+
Hàm thế năng :
2 2
1 1 2 1 2
1 1

( )
2 2
c x c x xΠ = + −
Hàm hao tán :
2 2
1 1 2 1 2
1 1
( )
2 2
b x b x x
Φ = + −
& & &
Thế các hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai :

*
i
i i i i
d T T
Q
dt x x x x
 
∂ ∂ ∂Π ∂Φ
− = − − +
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
& &
( với
*
i

Q
là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng )
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2
( ) ( ) 0
( )
m x b b x b x c c x c x
m x b x b x c x c x F t
+ + − + + − =

⇒

− + − + =

&& & &
&& & &
(1)
Hình 17
Với điều kiện ban đầu :
1 2 1 2 1 2
, 2 , 3c c c b b b m m m
= = = = = =

Thay vào hệ phương trình (1) , ta được hệ phương trình vi phân dao động của cơ hệ :

1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
3 4 2 2 0
3 2 2 ( )
mx bx bx cx cx

mx bx bx cx cx F t
+ − + − =


− + − + =

&& & &
&& & &
(2)
Hoăc dưới dạng ma trận :

1 1 1
2 2 2
3 0 4 2 2 0
. . .
0 3m 2 2b c ( )
x x x
m b b c c
x b x c x F t
− −
     
       
+ + =
     
       
− −
       
     
&& &
&& &

(3)
b. Phương trình đặc trưng :
2
C M 0
ω
− =


2
2 3 0
. 0
c 0 3m
c c m
c
ω
−
   
⇒ − =
   
−
   

2
2
2 3
0
3
c m c
c c m
ω

ω
− −
⇔ =
− −

2 4 2 2
9 9 0m cm c
ω ω
⇔ − + =
Ta được :

2
1 1
9 45 3 5 3 5
18 6 6
c c c
m m m
ω ω
     
+ + +
= = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
(
1
s
−
)

2
2 2
9 45 3 5 3 5
18 6 6
c c c
m m m
ω ω
     
− − −
= = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
(
1
s
−
)
Tần số dao động riêng của hệ :

1
3 5
6
c
m
ω
 
+
=
 ÷

 ÷
 
(
1
s
−
)
2
3 5
6
c
m
ω
 
−
=
 ÷
 ÷
 
(
1
s
−
)
٭ Vectơ riêng :
1 2
1 1

V
v v

=
Với :


2
11 11 1
1
2
12 12 1
(3 5)
(2 3 )
1 5
6
0,618
2
c
c m
c m
m
v
c m c
ω
ω
+
−
−
−
= − = − = ≈ −
− −

2
11 11 2
2
2
12 12 2
(3 5)
(2 3 )
1 5
6
1,618
2
c
c m
c m
m
v
c m c
ω
ω
−
−
−
+
= − = − = ≈
− −
Vậy ma trận vectơ dạng riêng của hệ :

1 1
0,618 1,618
V =

−
c. Phương trình dao động tự do có cản của hệ :

( )Mx Bx Cx F t
+ + =
&& &
(4)
Đặt
x Vp
=
thay vào phương trình (4) ta được :

. . . . . . ( )M V p BV p C V p F t
+ + =
&& &

. . . . . . ( )
T T T T
V M V p V BV p V C V p V F t⇒ + + =
&& &
(5)
Với :

1 0,618 1 0 1 1
. 3 . .
1 1,618 0 1 0,618 1,618
T
V M V m
−
     

=
     
−
     

1,382 0
3
0 3,618
m
 
=
 
 

1 0,618 2 1 1 1
. 2 . .
1 1,618 1 1 0,618 1,618
T
V BV b
− −
     
=
     
− −
     

3,618 0
2
0 0,618
b

 
=
 
−
 

1 0,618 2 1 1 1
. . .
1 1,618 1 1 0,618 1,618
T
V C V c
− −
     
=
     
− −
     

3,618 0
2
0 0,618
b
 
=
 
−
 


1 0,618 0

. ( ) .
1 1.618 ( )
T
V F t
F t
−
   
=
   
   
Thế các tích ma trận trên vào phương trình (5) ta được :
1 1
2 2
1,382 1 3,618 0
3 . 2 .
0 3,618 0 0,618
p p
m b
p p
   
   
+
   
   
−
   
   
&& &
&& &

1
2
p
3,618 0 1 0,618 0
. .
0 0,618 p 1 1.618 ( )
c
F t
−
 
     
+ =
 
     
−
     
 
1 1 1
2 2 2
4,146. . 7,236. . 3,618. . 0,618. ( )
10,854. . 1,236. . 0,618. . 1,618. ( )
m p b p c p F t
m p b p c p F t
+ + = −

⇔

− − =

&& &

&& &
(*)
Vậy phương trình (*) là phương trình vi phân ở dạng tọa độ chính .