CÁC BÀI TOÁN KHÓ CHỌN LỌC TỪ CÁC ĐỀ THI 2010– 2011_2 potx

CÁCBÀITOÁNKHÓCHỌNLỌCTỪCÁC
ĐỀTHI2010– 2011


Bài 5: (1,0 điểm)
Gọi
1 2
x ,x
là hai nghiệm của phương trình:
2 2
x 2(m 1)x 2m 9m 7 0
     

(m là tham số).
Chứng minh rằng :
1 2
1 2
7(x x )
x x 18
2

 



Bài 5: PT :
2 2
x 2(m 1)x 2m 9m 7 0
     
(1)

+
/ 2 2 2
m 2m 1 2m 9m 7 m 7m 6
          

+ PT (1) có hai nghiệm
1 2
x ,x
/ 2 2
0 m 7m 6 0 m 7m 6 0
           


 
(m +1)(m + 6) 0
; Lập bảng xét dấu
6 m 1
    

(*)

+Với đ/k (*), áp dụng đ/l vi ét:
1 2
2
1 2
x x 2(m 1)
x x 2m 9m 7
   



  


2 2 2
1 2
1 2
7(x x )
14(m 1)
x x (2m 9m 7) 7m 7 2m 9m 7 2m 16m 14
2 2

 
               

2
2(m 8m 16) 14 32       
2
18 2(m + 4)


+ Với
6 m 1
   
thì
2
18 2(m 4) 0
  
. Suy ra   
2 2
18 2(m + 4) 18 2(m + 4)

Vì
2
2(m 4) 0
 
  
2
18 2(m + 4) 18
. Dấu “=” xảy ra khi
m 4 0 m 4
    

(tmđk (*))
Vậy :
1 2
1 2
7(x x )
x x 18
2

 
(đpcm)

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho x, y >0 v
x y 1

Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
2 2
1 1

A
x y xy



Bi 5: V i
a 0,b 0

; Ta cú :

2 2 2 2
a b 2 a b 2ab
(Bdt Cụ si)
2 2 2
a b 2ab 4ab (a b) 4ab

(a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 4
4 (*)
ab ab a b ab ab a b a b a b




p dng BéT (*) v i a =
2 2
x y

; b = 2xy ; ta cú:

2 2 2 2 2

1 1 4 4
x y 2xy x y 2xy (x y)


(1)
Mt khỏc :
2
2 2
1 1 1 4
(x y) 4xy
4xy (x y) xy (x y)


(2)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A .
x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy 2 xy







2 2 2 2
4 1 4 4 1 6
. . 1
(x y) 2 (x y) (x y) 2 (x y)

6

[Vỡ x, y >0 v
2
x y 1 0 (x y) 1

];

minA = 6
khi
1
x = y =
2
d

câu 4: (1,5điểm)
Giả sử x và y là 2 số thoả mãn x > y và xy=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
22
yx
yx


.

Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y

1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
xyyx
5011
22



Câu I : Tính giá trị của biểu thức:
A =
53
1

+
75
1

+
97
1

+ +
9997
1


B = 35 + 335 + 3335 + +

399
35 3333
số

Câu 1 :
1) A =
53
1

+
75
1

+
97
1

+ +
9997
1


=
2
1
( 35 + 57 + 79 + + 9799 ) =
2
1
( 399 )
2) B = 35 + 335 + 3335 + +

399
35 3333
số
=
=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2
= 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)
= 198 +
3
1
( 99+999+9999+ +999 99)
198 +
3
1
( 10
2
-1 +10
3
- 1+10
4
- 1+ +10
100
1) = 198 33 +
B =

27
1010
2101
+165

Câu 3 : Cho 1,1


yx Chứng minh.
xy
yx





1
2
1
1
1
1
22

Câu 3 : Chuyển vế quy đồng ta đợc.
bđt

0
1111
22







xyy
yxy
xyx
xyx






01
2
xyyx

đúng vì 1

xy

Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1
Hãy tính giá trị của:
B =
x
xyz
y
zx
z
xy


Câu 5: Biến đổi B = xyz









222
111
zyx
=
2

2
.
xyz
xyz



Bài 5 : Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
x
3
+ y
4
.
Chứng minh:
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
x + y 2

Bài 5 (1đ):
Ta có (y
2

- y) + 2 0 2y
3
y
4
+ y
2

(x
3
+ y
2
) + (x
2
+ y
3
) (x
2
+ y
2
) + (y
4
+ x
3
)
mà x
3
+ y
4
x
2

+ y
3
do đó
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
(1)
+ Ta có: x(x - 1)
2
0: y(y + 1)(y - 1)
2
0
x(x - 1)
2
+ y(y + 1)(y - 1)
2
0
x
3
- 2x
2
+ x + y
4
- y
3

- y
2
+ y 0
(x
2
+ y
2
) + (x
2
+ y3) (x + y) + (x
3
+ y
4
)
mà x
2
+ y
3
x
3
+ y
4

x
2
+ y
2
x + y (2)
và (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y
3

-1) 0
x
3
- x
2
- x + 1 + y
4
- y - y
3
+ 1 0
(x + y) + (x
2
+ y
3
) 2 + (x
3
+ y
4
)
mà x
2
+ y
3
x
3
+ y
4

x + y 2
Từ (1) (2) và (3) ta có:

x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
x + y 2

bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoã mãn phơng trình
3x
2

+10 xy + 8y
2
=96
b)tìm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3
Bài 3: a. Cho các số x, y, z dơng thoã mãn
x
1
+
y
1
+
z
1
= 4
Chứng ming rằng:
zyx 2

1
+
zyx 2
1
+
zyx 2
1


1


b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
2
2
20062
x
xx
(với x 0

)
Bài 2 a. 3x
2
+ 10xy + 8y
2
= 96
< > 3x
2
+ 4xy + 6xy + 8y
2

= 96
< > (3x
2
+ 6xy) + (4xy + 8y
2
) = 96
< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y >
x + 2y 3


mà 96 = 2
5
. 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu
diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 =
8. 12
Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y
là số chẳn do đó






2443
62
yx
yx
Hệ PT này vô nghiệm

Hoặc





1643
62
yx
yx






1
4
y
x

Hoặc





1243
82
yx

yx
Hệ PT vô nghiệm
Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1)
b. ta có /A/ = /-A/
A
A



Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/
3/3//20082005/






xx (1)
mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3
(2)
Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ 0


(3)
(3) sảy ra khi và chỉ khi

2007
2006
0/2007/
0/2006/
y
x
y
x

Bài 3
a. Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ
b. Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có


(*)
2
22
yx
ba
y
b
x
a

< >(a
2
y + b
2
x)(x + y)


xyba
2



a
2
y
2
+ a
2
xy + b
2
x
2
+ b
2
xy

a

2
xy + 2abxy + b
2
xy

a
2
y
2
+ b
2
x
2


2abxy

a
2
y
2
2abxy + b
2
x
2


0

(ay - bx)

2


0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0
Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay
a b
x y


áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 4 4 4 4
2 2
x y z x y z x y x z x y x z







2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 1 1
4 4 4 4
16
x y x z x y z

Tơng tự
1 1 1 2 1
2 16
x y z x y z






1 1 1 1 2
2 16
x y z x y z






Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
2 2 2 16 16 16

1 4 4 4 4 1 1 1 1
.4 1
16 16 4
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z










Vì
1 1 1
4
x y z




2
2
2 2006
0
x x
B x
x

Ta có:
x
xx
B
x
xx
B
2006
20062006.22006
20062
22
2
2









2006
2005
2006
2005200620052006
2

2
2
2
2





x
x
x
xx
B

Vì (x - 2006)
2


0 với mọi x
x
2
> 0 với mọi x khác 0


2
2
2006
2005 2005
0 2006

2006 2006 2006
x
B B khix
x



Bài 5: (1đ)
Cho ba số a, b , c khác 0 thoã mãn:
0
111

cba
; Hãy tính P =
222
b
ac
a
bc
c
ac




Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = 0 (vì 1/a = 1/b + 1/c = 0)
x = -(y + z)
x
3
+ y

3
+ z
3
3 xyz = -(y + z)
3
+ y
3
3xyz
-( y
3
+ 3y
2
z +3 y
2
z
2
+ z
3
) + y
3
+ z
3
3xyz = - 3yz(y + z + x) = -
3yz .0 = 0
Từ x
3
+ y
3
+ z
3

3xyz = 0 x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz
1/ a
3
+ 1/ b
3
+

1/ c
3
3 1/ a
3
.1/ b
3
.1/ c
3
= 3/abc
Do đó P = ab/c
2
+ bc/a
2
+ ac/b
2
= abc (1/a
3

+ 1/b
3
+ 1/c
3
) =
abc.3/abc = 3
nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c
2
+ bc/a
2
+ ac/b
2
= 3


Bµi 5: Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng:
21 






a
c
c
c
b
b
b

a
a

Bµi 5:Ta cã:
c
b
a
a


<
a
b
a

<
c
b
a
ca



(1)

c
b
a
b



<
c
b
b

<
c
b
a
ab



(2)

c
b
a
c


<
a
c
c

<
c
b

a
bc



(3)
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :
1 <
b
a
a

+
c
b
b

+
a
c
c

< 2

Bài 5: Các số


a,b,c 1;4
 
thoả mãn điều kiện

a 2b 3c 4
  

chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2
a 2b 3c 36
  

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 5: Do -1 4,,


cba Nên a +1

0 a – 4

0
Suy ra : ( a+1)( a - 4)

0

a
2


3.a +4
Tương tự ta có : b
2



3b +4

2.b
2


6 b + 8 3.c
2


9c
+12
Suy ra: a
2
+2.b
2
+3.c
2


3.a +4+6 b + 8+9c +12 a
2
+2.b
2
+3.c
2

36 ( vì
a +2b+3c


4 )
MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ
Với mọi số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a
2
+ (ab + bc + ca) =
a(a + b + c) + bc (*).
Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta
có ngay :
Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì a
2
+ 1 = (a + b)(a
+ c).
Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì a + bc = (a + b)(a
+ c).
Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả
trên.
Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1.
Hãy tính giá trị của biểu thức :


Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có
a
2
+ 1 = a
2
+ (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b
2
+ 1 = b
2
+ (ab +

bc + ca) = (b + a)(b + c) ;
c
2
+ 1 = c
2
+ (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b). Suy ra






Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a +
b)
= 2(ab + bc + ca) = 2.
Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức.






Bài 5
: (2,0
điểm
)
a) V
ớ
i b
ộ

s
ố (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thứ
c đ
úng :
.
Hãy tìm t
ấ
t c
ả
các b
ộ
s
ố
(a ; b ; c) g
ồ
m các ch
ữ
số h
ệ
th
ậ
p
phân a , b, c
đ
ôi m
ột
khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức

đúng
.

b) Cho tam giác có s
ố

đ
o m
ộ
t góc b
ằ
ng trung bình c
ộ
ng c
ủ
a
s
ố

đ
o hai góc còn l
ại
và
độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn:
a + b
-
c
=

a
+
b

-
c .
Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều
.
Hãy tìm t
ấ
t c
ả
các b
ộ
s
ố
(a ; b ; c) gồm các ch
ữ
s
ố
a , b, c
khác nhau và khác 0 sao
cho đẳ
ng th
ức:

=
( 1)
đúng.
Viết l
ại (1): (10a + b)c =(10c + a)b
⇔
2.5.c(a – b) = b(a –
c)

.
Suy ra: 5 là
ước số củ
a b(a – c)
.
Do 5 nguyên tố
và 1 ≤ a,
b
, c ≤ 9;
a
≠ c
nên:
1) hoặc b = 5
2) hoặc a - c =
5
3)
ho
ặ
c c - a = 5
+ V
ớ
i b = 5:
2c(a
-
5) = a
-
c
⇔

c =

c
=

⇔

2
c =1
+

.
Suy ra: 2a
-
9 = 3 ; 9 (a
≠ 5, do a
≠
c)
Trường hợ
p này tìm đượ
c: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1)
+ Vớ
i a = c + 5: 2c(c + 5
-
b) = b
⇔

b =

. Viế
t
l

ạ
i: 2b
= 2
c + 9
-
Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c
≠ 0).
Trường h
ợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4)
.
+ V
ớ
i c = a + 5: 2(a + 5)(a
-
b) =
-
b
⇔

b =

.

Viế
t l
ạ
i : 2b
=
2a +19
+

. Suy ra: b > 9, không xét
.
+ V
ậy:
Các bộ số thỏ
a bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1),
(6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4)
.

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t s
ố

đ
o m
ộ
t góc b
ằ
ng trung bình c
ộ
ng c
ủ
a số
đ
o

hai góc còn l
ạ
i, suy ra
tam giác
đ
ã cho có ít nh
ấ
t một góc b
ằng 60
o
.
Ví dụ
: Từ 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180
o
. Do
đó A = 60
o
.
T
ừ
a + b
-
c
=
a
+

b
-

c
(*), suy ra tam giác
đã cho là
tam giác cân.
Thậ
t v
ậ
y, bình ph
ươ
ng các v
ế c
ủa (*):
a + b
-
c = a + b + c + 2
ab
-
2 cb
-
2 ac
⇒

c
c
-
a
+

b
a

-
c =
0
⇒
a
-

c

b
-
c = 0
Vì vậ
y tam giác này có a = c ho
ặc b = c.
Tam giác đã cho là tam giác cân và có góc b
ằng 60
o
nên là tam giác đề
u.
0,25