PP BIẾN ĐỔI ĐỂ TÌM GIỚI HẠN TỔNG doc

biến
đổi, khai triển và ước lược để tìm giới hạn dãy tổng
laisac
biên soạn
T
rong các kì thi Oluympic , HSG ta thường thấy có nhiều bài toán tìm giới hạn dãy tổng.
Đôi lúc, để giải được dạng này ta phải biến đổi từ điều kiện giả thiết đã cho của dãy, từ đó khai triển và
ước lược để đưa về dãy tổng cần tìm đơn giản hơn , ta có thể tính được giới hạn của nó .
Dưới đây là các bài toán của tác giả và sưu tầm lấy từ tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ để minh họa cho
chuyên đề này.
Bài
1:
Xét
dãy số (x
n
) (n=1,2,3 )
được xác định bỡi :x
1
=2và x
n+1
=
1
2
(x
2
n
+1
) với
mọi n =1,2,3
Đặt S
n

=
1
1+x
1
+
1
1+x
2
+ +
1
1+x
n
.
Tính
phần nguyên của S
2009
v
à tính giới hạn của S
n
khi
n tăng lên vô hạn.
HD:Ta có thể tổng quát bài toán như sau:
Cho dãy u
n
thỏa
mãn



u

1
= a
u
n+1
=
u
2
n
− (b + c)u
n
+ c
2
b −c
Tính
chứng minh S
n
=
n

i=1
1
u
i
+ b
=
1
u
1
+ c
−

1
u
n+1
+ c
.
Thật
vậy, ta biến đổi u
n+1
=
u
2
n
− (b + c)u
n
+ c
2
b − c
⇒ u
n+1
+ c =
u
2
n
−(b + c)u
n
+ bc
b − c
=
(u
n

+ b)(u
n
+ c)
b −c
⇒
1
u
n+1
+ c
=
1
u
n
+ c
−
1
u
n
+ b
⇒
1
u
n
+ b
=
1
u
n
+ c
−

1
u
n+1
+ c
Khai
triển và ước lược dãy:
1
u
1
+ b
=
1
u
1
+ c
−
1
u
2
+ c
1
u
2
+ b
=
1
u
2
+ c
−

1
u
3
+ c
.
.
.
1
u
n
+ b
=
1
u
n
+ c
−
1
u
n+1
+ c
Do
đó S
n
=
1
u
1
+ c
−

1
u
n+1
+ c
V
ận dụng:Ta có thể giải bài toán trên bằng phép biến đổi này (b=1,c=-1)
Khi đó S
n
=
1
u
1
− 1
−
1
u
n
− 1
=1−
1
u
n
−1
Mà u
n+1
−u
n
=
1
2

(u
n
− 1)
2
> 0 , ∀n ∈ N
∗
⇒ u
n
là
dãy tăng ⇒ 2=u
1
≤ u
2
≤ u
3
≤
Giả
sử limu
n
= a(a>2) ⇒ 2a = a
2
+1⇒ a =1(v
ô lí)
Vậy limu
n
= ∞⇒lim
1
u
n
−1

=0
1
www.VNMATH.com
Do
đó phần nguyên S
2009
=0vì 0 <
1
u
2009
− 1
< 1 và limS
n
=1
Bài
2:
Cho
dãy u
n
thỏa
mãn:

u
1
=
2009
u
n+1
= u
2

n
−u
n
+1
.
Tính lim
n

i=1
1
u
n
.
HD: Ta
có u
n+1
− u
n
=(u
n
− 1)
2
> 0 , ∀n ∈ N
∗
⇒ u
n
là
dãy tăng
Giả sử (u
n

)
có giới hạn. Đặt limu
n
= L(L>2009)
Ta
có L = L
2
− L +1⇒ L =1(v
ô lí)
⇒ limu
n
= ∞⇒li
m
1
u
n
=0
T
a còn có u
n+1
= u
2
n
− u
n
+1⇒ u
n+1
− 1=u
n
(u

n
− 1)
⇒
1
u
n+1
−1
=
1
u
n
(u
n
− 1)
=
1
u
n
− 1
−
1
u
n
Vậ
y
1
u
n
=
1

u
n
− 1
−
1
u
n+1
−1
Khai
triển và ước lược ta có :
1
u
1
=
1
u
1
− 1
−
1
u
2
− 1
1
u
2
=
1
u
2

− 1
−
1
u
3
− 1
.
.
.
S
n
=
n

i=1
1
u
i
=
1
u
1
− 1
−
1
u
n+1
−1
⇒ l
imS

n
= li
m(
1
2009 − 1
−
1
u
n+1
− 1
)=
1
2008
Bài
3:
Cho
dãy số x
n
,n =1, 2, 3 đượ
c xác định như sau:
x
1
=1và x
n+1
=

x
n
(x
n

+ 1)(x
n
+ 2)(x
n
+3)+1với n =1, 2,
Đặt y
n
=
n

i=1
1
x
i
+2
, (n =1, 2, ) .Tính giới hạn của y
n
khi
n dần đến vô tận.
HD: Ta có:
x
n+1
=

(x
2
n
+3x
n
)(x

2
+3x
n
+2
)+1=

t(t +2
)+1=

(t +1
)
2
= x
2
n
+3x
n
+1
trong
đó 0 <t= x
2
n
+3x
n
.
Xét x
n+1
− x
n
=(x

n
+1
)
2
> 0, ∀n ∈ N
∗
⇒ (x
n
) là
dãy tăng
Giả sử :limx
n
= a(a>1) ⇒ a = a
2
+3a +1 ,
vô nghiệm(vì a>1) ⇒ limx
n
= ∞
1
x
n+1
+1
=
1
x
2
n
+3x
n
+2

=
1
x
n
+1
−
1
x
n
+2
⇒
1
x
n
+2
=
1
x
n
+1
−
1
x
n+1
+1
Khai
triển và ước lược ta có:
1
x
1

+2
=
1
x
1
+1
−
1
x
2
+1
1
x
2
+2
=
1
x
2
+1
−
1
x
3
+1
.
.
.
⇒ l
imy

n
= li
m(
1
x
1
+1
−
1
x
n+1
+1
)=
1
2
.
Bài
4:
Cho
dãy số a
n
xác
định bỡi:

a
1
=1
;a
2
=3

a
n+2
=2a
n+1
− a
n
+1
n=1,2,3
Tính
giới hạn tổng S
n
=
1
a
1
+
1
a
2
+ +
1
a
n
. Khi
n dần đến vô tận.
HD:
Các
h 1:
T
a chứng minh :a

n
=
n(n +1
)
2
.
Thật
vậy: Theo phương pháp qui nạp. Ta nhận thấy a
1
,a
2
đúng
2
www.VNMATH.com
Giả
sử a
k
=
k(k +1
)
2
Ta
có a
k+1
=2a
k
− a
k−1
+1
=

(k + 1)(k +2)
2
.
Theo
nguyên lí qui nạp ta có điều chứng minh.
Vậy:a
n
=
n(n +1
)
2
⇒
1
a
n
=2
(
1
n
−
1
n +1
)
⇒ l
imS
n
= li
m2(1 −
1
n +1

)=li
m
2n
n +1
=2
Các
h 2:
Từ
giả thiết suy ra
a
n+2
− a
n+1
= a
n+1
+1
.
.
.
a
3
− a
2
= a
2
− a
1
+1
cộng lại ta có:a
n

= a
n−1
+ n =(a
n−2
+ n − 1)
+ n
⇒a
n
=
1+2+3+ + n =
n(n +1)
2
Bài
5:
Cho
dãy số (u
n
) đượ
c xác định như sau:

u
1
=1
u
n+1
=1
+u
1
.u
2

u
n
∀n =1, 2, 3 Tính lim
n

i=1
1
u
i
HD: Ta có u
1
=1⇒ u
2
=2, u
n+1
=1+u
1
.u
2
u
n−1
.u
n
=1+(u
n
− 1).u
n
⇒ u
n+1
= u

2
n
−u
n
+1
Chứng
minh được (u
n
) là dãy tăng và limu
n
= ∞
Ta còn có u
n+1
−1=u
n
(u
n
− 1)∀n ≥ 2
⇔
1
u
n+1
−1
=
1
u
n
(u
n
− 1)

=
1
u
n
− 1
−
1
u
n
∀n ≥ 2
⇔
1
u
n
=
1
u
n
− 1
−
1
u
n+1
− 1
∀n ≥ 2
Từ
đó S
n
=
1

u
1
+
1
u
2
+
1
u
3
+ +
1
u
n
⇔ S
n
=
1
u
1
+
1
u
2
− 1
−
1
u
3
− 1

+
1
u
3
− 1
−
1
u
4
− 1
+ +
1
u
n
−1
−
1
u
n+1
− 1
⇔ S
n
=
1
u
1
+
1
u
2

− 1
−
1
u
n+1
− 1
=2−
1
u
n+1
− 1
Do
đó limS
n
=2vì li
m
1
u
n+1
−1
=0
Bài
6:
Cho
dãy số u
n
thỏa
mãn u
1
=

2009; u
n+1
= u
n
(
√
u
n
+1
)
2
;v
ới n= 1, 2, 3
Tính lim
n

i=1
1
√
u
i
+1
HD: Ta
có u
n+1
= u
n
(
√
u

n
+1
)
2
⇒
√
u
n+1
=
√
u
n
(
√
u
n
+1
)
⇒
1
√
u
n+1
=
1
√
u
n
(
√

u
n
+1
)
=
1
√
u
n
−
1
√
u
n
+1
⇒
1
√
u
n
+1
=
1
√
u
n
−
1
√
u

n+1
Khai
triển và ước lược ta suy ra kết quả
Bài 7:
Cho
dãy số (x
n
) định
bởi x
1
=
2008
2009
,x
n+1
=
2008
2009
(1 − x
n
)(1 − x
n−1
) (1 − x
1
);
n=1,2,3
Tính lim
n

i=1

x
2
i
HD: Ta
có x
n+1
=
2008
2009
(1 − x
n
)(1 − x
n−1
) (1 −x
1
)
⇒ x
n+1
=(
1− x
n
).x
n
⇒ x
2
n
= x
n
− x
n+1

3
www.VNMATH.com
Khai
triển và ước lược ta có:
S
n
=
n

i=1
x
2
i
= x
1
−x
n+1
⇒ l
imS
n
=
2008
2009
Bài
8:
Cho dãy số (u
n
) có u
n
=

1
n(n +
1)(n +2) (n + 2008)
với n =1, 2, 3
Tính lim
n

i=1
u
i
HD: Số
hạng u
n
=
(n − 1)!
(n +
2008)!
.
n + 2008 − n
2008
=[
(n − 1)!
(n +
2007)!
−
n!
(n +
2008)!
].
1

2008
Cho
n = 1, 2, 3, 2008 , rồi cộng lại ta được. S
n
=
1
2008
[
1
2008!
−
n!
(n +
2008)!
]
Mà lim
n!
(n +
2008)!
= lim
1
(n +
1)(n +2) (n + 2008)
=0
⇒ S
n
= li
m
1
2008

[
1
k!
−
n!
(n +
2008)!
]=
1
2008.2008!
Bài
9:
Cho
dãy x
k
,v
ớix
k
=
k

i=1
i
(i +
1)!
, k=1, 2, 3
Tính lim
n
√
x

n
1
+ x
n
2
+ + x
n
2009
HD: Vì x
k+1
−x
k
=
k +1
(k +
2)!
> 0. Do đó dãy trên tăng. Suy ra 0 <x
1
<x
2
<
< x
2009
ha
y x
n
2009
<x
n
1

+ x
n
2
+ + x
n
2009
< 2009x
n
2009
suy
ra x
2009
<
n
√
x
n
1
+ x
n
2
+ + x
n
2009
< 2009
1
n
x
2009
(*)

Mặt
khác ta có:
k
(k +
1)!
=
1
k!
−
1
(k +
1)!
Từ đó suy ra x
k
=1−
1
(k +
1)!
⇒ x
2009
=1−
1
2010!
Tha
y kết quả này vào (*) ta có: 1 −
1
2010!
<
n


x
n
1
+ x
n
2
+ + x
n
2009
< 2009
1
n
(1 −
1
2010!
)
Nhưng
vì lim(1 −
1
2010!
)
= lim 2009
1
n
(1 −
1
2010!
)=1−
1
2010!

.
V
ậy theo định lí kẹp ta có:lim
n
√
x
n
1
+ x
n
2
+ + x
n
2009
=1−
1
2010!
.
Bài
cấp số cộng.
Bài 10:
Cho
x, y, z là ba góc thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2π

cos x + cos y + cos z =0
sin x + sin y + sin z =0
Chứng minh rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng .
HDTừ giả thiết của hệ suy ra

cos x + cos y = −cos z

sin x + sin y = −sin z
Bình phương hai vế tương ứng , rồi cộng lại ta có cos(x − y)=−
1
2
Hoàn
toàn tương tự ta cũng có cos(y −z)=cos(z −x)=−
1
2
Vì 0 ≤ y − x; z −x; z − y ≤ 2π ⇒y-x,
z-y, z-x nhận một trong hai giá trị
2π
3
;
4π
3
.
4
www.VNMATH.com
nhưng
vì z-x=(z-y)+(y-x) nên chỉ có thể xảy ra z −x =
4π
3
; z −y = y −x =
2π
3
.
Suy
ra điều phải CM.
Bài 11:
T

rong tam giác ABC có cot(
A
2
); cot(
B
2
); cot(
C
2
) lập
thành một cấp số cộng.
Tìm góc lớn nhất của tam giác đó.
HD:Ta có 2cot(
B
2
)=cot(
A
2
)+cot(
C
2
).
Biến
đổi đưa về 3tan(
A
2
).tan(
C
2
)=1

Từ
đó cot(
A
2
).cot(
C
2
)=
3⇔ cot(
A
2
)[cot(
A
2
+2
]=3
Giải phương trình này ta được một nghiệm thích hợp cot(
A
2
)=
1.
Vậy góc lớn nhất của tam giác bằng 90
0
Bài
12:
Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1
cos
6

a
+
1
cos
6
b
+
1
cos
6
c
T
rong đó ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng với công sai bằng
π
3
.
HD:Theo
giả thiết thì a = b −
π
3
và c = b +
π
3
.
Đặt cos
2
b = t, 0 <t≤ 1 và cos
3
b = m, 0 <m≤ 1 thì
cos

3
a = cos
3
(
π
3
−b)=cos
2
3b = m;
cos
3
c = cos
3
(
π
3
+ b)=cos
2
3b = m;
Và (4cos
3
b −3cosb)
2
= cos
2
b(4cos
2
b −3)
2
= m

Ha
y phương trình 16t
3
− 24t
2
+9t −m =0, 0 <m≤ 1 có
các nghiệm
t
1
= cos
2
b,
t
2
= cos
2
(
π
3
− b),t
3
= cos
2
(
π
3
+ b)
Suy
ra phương trình mu
3

−9u
2
+2
4u − 16=0có các nghiệm
u
1
=
1
cos
2
b
,u
2
=
1
cos
2
(
π
3
− b)
,u
3
=
1
cos
2
(
π
3

+ b)
.
Khi
đó P = u
3
1
+ u
3
2
+ u
3
3
. Sử dụng hệ thức Vi-et và đẳng thức
u
3
1
+ u
3
2
+ u
3
3
=(u
1
+ u
2
+ u
3
)
3

− 3(u
1
+ u
2
)(u
2
+ u
3
)(u
4
+ u
4
),
ta thu được:
P =(
9
m
)
3
− 3(
9
m
−u
1
)(
9
m
−u
2
)(

9
m
−u
3
)
Ha
y P = P (x)=x
3
− 8x
2
+
16
3
x,
x =
9
m
≥ 9, (do0 <m≤ 1).
Nhận
xét rằng hàm số này có P’(x)==3x
2
−16x +
16
3
> 0,mọi
x≥ 9 nên P(x) đồng biến
trong [9; + ∝). Suy ra minP = P(9) = 129, đạt được khi m = 1
Hay cos
2
3b =1⇔ sin3b =0⇔ b = k

π
3
.
Do đó a =(k − 1)
π
3
,c =(k +1
)
π
3
,,
k là số nguyên.
hết
5
www.VNMATH.com