­­ung dung dao ham de tinh gioi han

Tính giới hạn của hàm số
ứng dụng định nghĩa đạo hàm vào tính giới hạn
Giả sử cần tính giới hạn L =
0
lim Q( )
x x
x

có dạng
0
0
.
Phơng pháp: Ta biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng sau:
Dạng 1: Ta đợc L =
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
Dạng 2: Ta đợc L =
0

0
0 0
0
( ) ( )
lim P( ) '( )P( )
x x
f x f x
x f x x
x x


=

với
0
P( )x
.
Dạng 3: Ta đợc L =
0
0
0 0
0
0
0
( ) ( )
'( )
lim
( ) ( )
'( )
x x

f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x



=


với
0
'( ) 0g x
.
Chú ý: Một số bài toán có dạng vô định ta dùng cách biến đổi nh sau:
Dạng
0. .

( )
( ) ( )
1
( )
f x
f x g x
g x
=
.
Dạng
.

1 1
( ) ( )
1 1
( ) ( )
f x g x
f x g x
=
1 1
( ) ( )
1
( ) ( )
f x g x
f x g x

=
.
Dạng


0 0
1 , , 0 .
Cho hàm số
( )
[ ( )]
g x
y f x=
, để tính giới hạn

0

lim
x x
y
mà:


=
0
lim ( ) 1
x x
f x
và

=
0
lim ( )
x x
g x
hoặc

=
0
lim ( )
x x
f x
và

=
0
lim ( ) 0

x x
g x
hoặc

0
lim ( )
x x
f x

= =
0
lim ( ) 0
x x
g x
ta làm nh sau:
Lấy logarit 2 vế
ln ( ).ln ( )y g x f x=
dạng
0. .
ChuyÓn
ln y
vÒ d¹ng
0
0
, råi ta ¸p dông 1 trong 3 d¹ng trªn.
C¸c vÝ dô minh ho¹:
VÝ dô 1: TÝnh giíi h¹n sau
L =
3
1

3 2
lim
1
x
x x
x
→
− −
−
. ( §HQG Hµ Néi - 1998 )
Gi¶i:
§Æt
3
( ) 3 2f x x x= − −
, ta cã:
(1) 0f =
,
= − ⇒ = − =
−
2
3 3 3
'( ) 3 '(1) 3 .
2 2
2 3 2
f x x f
x
Khi ®ã:
1
( ) (1) 3
L=lim '(1)

1 2
x
f x f
f
x
→
−
= =
−
.
VÝ dô 2: TÝnh giíi h¹n
L =
3 2
3
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
→
− − +
−
. ( §HTC KÕ to¸n - 2001)
Gi¶i:
ViÕt l¹i giíi h¹n trªn díi d¹ng:
L =
→

− − +
− +
3 2
3
1
5 7
1
lim . .
1 1
x
x x
x x
§Æt
3 2
3
( ) 5 7f x x x= − − +
, ta cã
(1) 0f =
;
= − − ⇒ =−
− +
2
2 2 2
3
3 2 11
'( ) '(1) .
12
2 5 3 ( 7)
x x
f x f

x x
Khi ®ã: L =
1
( ) (1) 1 1 11
lim . '(1)
1 1 2 24
x
f x f
f
x x
→
−
= = −
− +
.
VÝ dô 3: TÝnh giíi h¹n
L =
0
1 2 1 sin
lim
3 4 2
x
x x
x x
→
− + +
+ − −
. ( §HGT - 1998 )
Giải:
Viết lại giới hạn trên dới dạng:

L =

+ +
+
0
1 2 1 sin
lim .
3 4 2
x
x x
x
x x
x
Đặt
( ) 1 2 1 sinf x x x= + +
, ta có
(0) 0f =
;
= + =
+
1
'( ) cos '(0) 0.
2 1
f x x f
x
Đặt
( ) 3 4 2g x x x= +
, ta có
(0) 0g =
;

= =
+
3 1
'( ) 1 '(0) .
4
2 3 4
g x g
x
Khi đó: L =
0
( ) (0)
'(0)
0
lim 0
( ) (0)
'(0)
0
x
f x f
f
x
g x g
g
x



= =

.
Nhận xét: Để tính giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta phải làm nh
sau
+ +
+
+ + +
=
+ +
= +

= +
+ + + +

= +
+ + + +
1 2 1 sin
3 4 2
1 2 1 sin 3 4 2
( ):( )
1 2 1 3 4 2
sin
( ):( 1)
2 sin 3
( ) : ( 1)
(1 2 1) ( 3 4 2)
2 sin 3
( ): ( 1).
1 2 1 3 4 2
x x
x x

x x x x
x x
x x
x
x x x
x x x
x
x x x x
x
x
x x
Do ®ã L =
0
1 2 1 sin
lim
3 4 2
x
x x
x x
→
− + +
+ − −
→
−
= + − =
+ + + +
0
2 sin 3
lim( ) : ( 1) 0.
1 2 1 3 4 2

x
x
x
x x
VÝ dô 4: TÝnh giíi h¹n
K
π
→
= − ≠
a
lim(a )tan , (a 0)
2a
x
x
x
. ( D¹ng
0.∞
)
Gi¶i:
ViÕt l¹i giíi h¹n trªn nh sau:
K
a
a
1 1
lim
cot cot
2a 2a
lim
a a
x

x
x x
x x
π π
→
→
− −
= =
− −
.
§Æt
( ) cot
2a
x
f x
π
=
, ta cã
(a) 0f =
,
π
π
−
=
2
1
'( )
2a
sin
2a

f x
x

π
−
⇒ ='( )
2a
f a
,
π
π
→
−
= =
−
a
cot
2a
lim '( )
a 2a
x
x
f a
x
.
Do ®ã K =
2
a
π
.

VÝ dô 5: TÝnh giíi h¹n
L =
1
0
lim( )
x
x
x
e x
→
+
. ( D¹ng
1
∞
)
Gi¶i:
§Æt
= +
1
( )
x
x
y e x
. LÊy logarit ta cã
= + ⇒
1
ln(e + )
( ) ln = .
x
x

x
x
y e x y
x
XÐt
=( ) ln(e + ).
x
f x x
Ta cã:
(0)= 0,f
→ →
−
= = ⇒ = = =
−
0 0
e + 1 ln(e + ) ( ) (0)
'( ) , '(0) 2 lim lim '(0) 2.
e + 0
x x
x
x x
x f x f
f x f f
x x x
Do ®ã L =
2
e
.