BÀI TẬP XÁC SUẤT THÔNG KÊ THPT docx

1

BÀI GING XÁC SUT (Dành cho HS THPT)
Biên son : TS. Nguyn Vit ông, Khoa Toán –Tin hc, HKHTN, HQG TP.HCM.
I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Qui tc đm
a) Qui tc cng : Gi s đi tng X có m cách chn khác nhau, đi tng Y có n cách chn
khác nhau và không có cách chn đi tng X nào trùng vi mi cách chn đi tng
Y. Khi đó có m + n cách chn mt trong hai đi tng y.
b) Qui tc nhân : Gi s có hai hành đng đc thc hin liên tip. Hành đng th nht có m
kt qu. ng vi mi kt qu ca hành đng th nht, hành đng th hai có n kt qu.
Khi đó có m.n kt qu ca hai hành đng liên tip đó.
2. Hoán v, chnh hp, t hp
Cho A là tp hp gm n phn t (n 1).
a) Mi cách sp đt tt c n phn t ca A theo mt th t nào đó đc gi là mt hoán v
ca n phn t . S các hoán v ca n phn t đoc ký hiu là P
n
.
Công thc : P
n
= n !
b) Mi cách ly ra k phn t t tp A (1 k n) và xp chúng theo mt th t nht đnh đc
gi là mt chnh hp chp k ca n phn t. S các chnh hp chp k ca n phn t đc
kí hiu là
k
n
A
.
Công thc
!
( 1)( 2) ( 1)

( )!
k
n
n
A n n n n k
nk
     


c) Mi tp con gm k phn t ca tp hp A(1 k n) đc gi là mt t hp chp k ca n
phn t . Qui c t hp chp 0 ca n phn t là tp rng.
Công thc
!
!( )!
k
n
n
C
k n k




3. Phép th và bin c
a) Mt phép th mà kt qu ca nó không th đoán trc đc, nhng có th lit kê ra tt c
các kt qu có th xy ra gi là phép th ngu nhiên. Tp hp tt c các kt qu có th xy
ra ca phép th gi là không gian mu ca phép th đó. Không gian mu đc kí hiu bi
.
b) Trong mt phép th ngu nhiên, mi tp con ca không gian mu đc gi là mt bin c.
Nu kt qu ca phép th là mt phn t ca bin c A, thì ta nói trong phép th đó, bin

c A xy ra.
2

VD1. Gieo mt con xúc xc, gi 1, 2, …, 6 là s chm xut hin thì không gian mu là
 = {1,2,…, 6}.
VD2. Gieo mt đng xu hai ln, thì không gian mu là
 = {SS, SN, NS, NN}.
VD3. Gieo mt con xúc xc. Bin c B = {1, 3, 5} là bin c s chm xut hin ca xúc
xc là s l.
4. Mt s lai bin c
a) Bin c s cp
Mi tp hp con gm đúng mt phn t ca không gian mu gi là mt bin c s cp.
VD4. Trong ví d 1 thì bin c A = {1} là bin c s cp.
b) Bin c chc chn, bin c không th
Bn thân tp  đc gi là bin c chc chn. Tp rng là bin c không th.
c) Bin c hp (tng), bin c giao(tích), bin c bù
Bin c A B (còn kí hiu là A+ B) gi là bin c hp ca hai bin c A và B. Bin c
A B( còn kí hiu là AB) gi là bin c giao ca hai bin c A và B. Bin c
\AA

gi là bin c bù ca bin c A.
VD5. Trong ví d 1, xem các bin c A={1,3,5}, B= {3,6}.
Khi đó :
- Bin c AB là bin c {1,3,5,6} nó ch không xy ra khi s chm xut hin là 2
hoc 4.
- Bin c AB là bin c {3}.
- Bin c bù ca bin c A là bin c xúc xc xut hin mt chn.
Nhn xét: Bin c AB xy ra khi và ch khi có ít nht mt trong hai bin c A và B xy ra.
Bin c AB xy ra khi và ch khi c hai bin c A và B đng thi xy ra.
Bin c

A
xy ra khi và ch khi A không xy ra.
d) Bin c xung khc
Hai bin c gi là xung khc nu chúng không th xy ra trong cùng mt phép th.
e) Bin c đng kh nng
Các bin c đc gi là đng kh nng nu chúng có cùng kh nng xut hin khi tin
hành phép th.
f) Bin c đc lp
Các bin c đc gi là đc lp nu vic xy ra ca mt bin c không nh hng gì đn
vic xy ra ca nhng bin c còn li.
3

5. nh ngha xác sut
Nu không gian mu gm n bin c s cp đng kh nng và bin c A gm m bin c s
cp thì xác sut ca bin c A là
()
m
PA
n

.
Nhn xét :
0 ( ) 1. ( ) 1. ( ) 0P A P P     

VD6. Mt bình đng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đ. Ly ngu nhiên ra hai
viên bi. Tính xác sut đ đc hai viên bi xanh.
Gii. Có

2
5

10C 

cách chn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mu gm 10 phn t).
Có

2
3
3C 

cách chn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là s phn t ca bin c đang xét).
Do đó xác sut đ ly đc 2 bi xanh là 3/10.

6. Công thc cng xác sut
a) Nu A và B là hai bin c xung khc thì P(A  B ) = P(A) + P(B).
b) Nu A và B là hai bin c tùy ý thì P (A  B ) = P(A) + P( B) – P (AB).
c)
( ) 1 ( )P A P A
.

VD7. Trong bình đng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đ. Ly ngu nhiên 3 viên . Tính xác sut
a) Ly đc mt hoc hai viên bi đ.
b) Ly đc ít nht mt viên bi đ.
Gii.
a) t A
1
là bin c trong 3 viên ly ra có đúng mt viên đ và A
2
là bin c trong 3 viên ly
ra có đúng hai viên đ. Ta phi tính xác sut ca bin c A là bin c trong ba viên ly ra
có mt hoc hai viên đ. Các bin c A

1
và A
2
là xung khc . Do đó
P(A
1
A
2
) = P(A
1
) + P(A
2
).
4

12
46
1
3
10
21
46
2
3
10
1
()
2
3
()

10
1 3 4
()
2 10 5
CC
PA
C
CC
PA
C
PA


  

b) Gi B là bin c ly đc ít nht mt viên bi đ thì
3
6
3
10
( ) 1 ( ) 1
C
P B P B
C
   
.
VD8. Mt lp hc có 50 hc sinh, trong đó có 12 hc sinh gii Toán, 8 hc sinh gii Vn
và 2 hc sinh gii c Vn ln Toán. Chn ngu nhiên mt hc sinh . Tính xác sut chn
đc mt hc sinh gii Vn hay Toán (gii c hai môn càng tt).
Gii. Gi A là bin c chn đc hc sinh gii Toán , B là bin c chn đc hc sinh gii

Vn. Ta cn tính P(A B). Ta có

12
()
50
8
()
50
2
()
50
12 8 2
( ) 0,36.
50 50 50
PA
PB
P A B
P A B



     

7. Công thc nhân xác sut
Nu A và B là hai bin c đc lp thì P(AB) = P(A).P(B) .
VD9. Hai ngi bn X và Y cùng đi câu cá. Xác sut đ X câu đc ít nht mt con là 0,1.
Xác sut đ Y câu đc ít nht mt con là 0,15. Tính xác sut đ hai bn X, Y không tr v tay
không.
Gii. Xác sut đ X tr v tay không là
P(A) = 1 – 0,1 = 0,9.

Xác sut đ Y tr v tay không là
P(B) = 1 – 0,15 = 0,85.
Các bin c A và B là đc lp. Vy xác sut đ c X và Y tr v tay không là
5

P(AB) = P(A). P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765.
Vy sau bui câu cá, gom s cá đã câu đc, xác sut đ hai bn đc ít nht mt con là
1 – P ( A  B) = 1 – 0,765 = 0, 235.
8. Bin ngu nhiên ri rc
i lng X đc gi là bin ngu nhiên ri rc nu nó nhn giá tr bng s thuc mt tp hu
hn nào đó và giá tr y là ngu nhiên không d đoán trc đc.
VD10. Gieo đng xu 5 ln liên tip. Kí hiu X là s ln xut hin mt nga thì X là bin ngu
nhiên ri rc, giá tr ca X là mt s thuc tp {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
9. Phân b xác sut ca bin ngu nhiên ri rc
Cho X là đi lng ngu nhiên ri rc nhn các giá tr x
1
, x
2
, …, x
n
. Ga s P(X = x
k
) = p
k
.
Bng sau đây đc gi là bng phân b xác sut ca bin ngu nhiên ri rc X.
X
x
1
x

2
x
3
….
x
n

P
p
1
p
2
p
3
….
p
n

Chú ý : p
1
+ p
2
+ p
3
+ …+ p
n
= 1 .
10. Kì vng, phng sai vƠ đ lch chun ca bin ngu nhiên ri rc
Cho bin ngu nhiên ri rc nh trong mc 9.
a) Kì vng ca X, kí hiu là E(X), là mt s đc tính theo công thc:

E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
.
b) Phng sai ca X, kí hiu là V(X) là mt s đc tính theo công thc
2
1
( ) ( ) , ( ).
n
ii
i
V X x p trong do E X


  


Chú ý

22
1

( ) .
n
ii
i
V X x p





c) Cn bc hai ca phng sai , kí hiu là

(X) , đc gi là đ lch chun ca X, ngha là
( ) ( ).X V X





II. BÀI TP MU
BT1. Gieo hai con xúc xc. Tính xác sut tng s chm  hai mt trên bng 5.
6

Gii. Không gian mu là  = { (1,1), (1,2),…, (6, 6)} gm 36 bin c s cp đng kh nng.
Bin c “đc tng s chm bng 5” là tp con A = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) } gm 4 phn
t . Vy
41
()
36 9
PA

.
BT2 . Mt vé s s có 4 ch s. Khi quay s , nu vé ca bn mua có s trùng hoàn toàn vi
kt qu thì bn đc gii nht. Nu vé ca bn mua có đúng 3 ch s trùng vi 3 ch s ca
kt qu (k c v trí) thì bn trúng gii nhì. Bn An mua mt vé x s.
a) Tính xác sut đ An trúng gii nht.
b) Tính xác sut đ An trúng gii nhì.
Gii.
a) S kt qu đng kh nng là 10
4
và ch có mt kt qu trùng vi s vé ca An. Do đó xác
sut trúng gii nht ca An là
1
0,0001
10000

.
b) Có 9 vé sai khác hàng đn v ( so vi s trúng gii nht), tng t cng có 9 vé sai khác
hàng chc, hàng trm, hàng ngàn, hàng vn. Do đó có 9+9+9+9 =36 vé trúng gii nhì .
Vy xác sut trúng gii nhì ca An là
36
0,0036
10000

.
BT3. Mt lp hc có 30 hc sinh, trong đó có có 10 n. Chn ngu nhiên 3 ngi trc lp. Tính
xác sut trong 3 ngi đó có đúng mt n.
Gii. S trng hp đng kh nng là
3
30
C

. Gi A là bin c có đúng mt n trong 3 ngi đc
chn thì s trng hp đng kh nng thun li cho bin c A là
12
10 20
CC
. Xác sut ca bin c
A là
12
10 20
3
30
95
()
203
CC
PA
C


.
BT4. Mt c quan có 100 ngi, trong đó có 60 nam. S  gn c quan là 50, trong s này có
35 nam. Nhng ngi nam hoc gn c quan thì phi trc đêm. Chn ngu nhiên mt ngi
trong c quan. Tính xác sut ngi đó phi trc đêm.
Gii. Gi A là bin c ngi đó là nam, B là bin c ngi đó  gn c quan. Khi đó bin c
A B là bin c ngi đó phi trc đêm. Ta có
60 50 35 75
( ) ( ) ( ) ( ) 0,75
100 100 100 100
P A B P A P B P A B       
.

7

BT5. Có 3 hp phn. Hp th nht có 2 viên trng 3 viên màu ; hp th hai có 4 viên trng 7
viên màu; hp th ba có 3 viên trng 5 viên màu. Ly ngu nhiên t mi hôp ra mt viên.
a) Tính xác sut c 3 viên ly ra đu trng.
b) Tính xác sut trong 3 viên ly ra có hai viên trng.
Gii. Gi A, B, C là bin c viên phn ly ra t hôp th nht, th hai, th ba là viên trng. Ba
bin c này đc lp.
a) Bin c c ba viên đu trng là ABC.
2 4 3 3
( ) ( ). ( ). ( ) . . .
15 11 8 35
P A B C P A P B P C   

b) Bin c 3 viên ly ra có 2 viên trng là
.
( ) ( ) ( ) ( ) (
2 4 5 2 7 3 3 4 3 59
15118 15118 511 8 220
F ABC ABC ABC
P F P ABC ABC ABC P ABC P ABC P AB
  
     
   

BT6. Mt lô hàng cha 10 sn phm, trong đó có 6 sn phm tt và 4 sn phm xu. Chn ngu
nhiên t lô hàng 2 sn phm. Gi X là s sn phm tt có trong hai sn phm chn ra .
a) Lp bng phân b xác sut ca X.
b) Tính kì vng, phng sai và đ lch chun ca X.
Gii.

a) Ta thy X là bin ngu nhiên ri rc có th nhn các giá tr là 0, 1, 2 . Ta có
02
64
0
2
10
11
64
1
2
10
20
64
2
2
10
2
( 0)
15
8
( 1)
15
1
( 2)
3
CC
p P X
C
CC
p P X

C
CC
p P X
C
   
   
   

Vy bng phân b ca X là
X
0
1
2
P
2/15
8/15
1/3

b) Kì vng, phng sai và đ lch chun ca X
8

2 2 2 2
2 8 1
( ) 0 1 2 1,2.
15 15 3
2 8 1
( ) 0 1 2 (1,2) 32/75 0,4267.
15 15 3
( ) ( ) 0,4267 0,6532.
EX

VX
X V X

      
        
  

III. BÀI TP TNG T.
BT1. Ta vit ngu nhiên các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên các tm phiu, sau đó xp ngu
nghiên thành mt hàng. Tính xác sut đc mt s chn.
S: 4/9.
BT2. Xp ngu nhiên 5 ngi ngi vào mt cái bàn dài có 5 ch ngi . Tính xác sut :
a) A và B ngi  đu bàn.
b) A và B ngi cnh nhau.
Cng hi nh trên nhng xét bàn tròn mà các v trí hoàn toàn nh nhau.
S a) 0,1. b) 0,4. Nu bàn tròn b) 0,5.
BT3. Xp ngu nhiên 5 ngi A,B, C, D, E lên 7 toa tàu. Tính xác sut :
a) 5 ngi lên cùng toa đu.
b) 5 ngi lên cùng mt toa.
c) 5 ngi lên 5 toa đu.
d) 5 ngi lên 5 toa khác nhau.
e) A và B lên cùng toa đu.
f) A và B lên cùng mt toa.
g) A và B lên cùng toa đu , C, D, E không lên toa này .
S: a) 1/7
5
; b) 1/7
4
; c) 120/7
5

; d)7.6.5.4.3/7
5
; e) 1/49; f)1/7; g) 6
3
/7
5
.
BT4. Mt sn phm phi ln lt qua 4 công nhân gia công đc lp. Xác sut đ mi công nhân
làm hng sn phm là 0,01.Tính xác sut đ sn phm sut xng không hng .
S : (0,99)
4
.
BT5. Ba x th đc lp bn mi ngi mt viên vào 3 tm bia. Xác sut đ các x th bn trúng
bia ln lt là 0,7; 0, 8; 0,5. Tính xác sut trong 3 viên có
a) Mt viên trúng.
b) Hai viên trúng.
c) Không có viên nào trúng.
d) It nht mt viên trúng.
9

S : a)0,22; b) 0,47; c)0,03; d) 0,97.
BT6. Gi A là tp hp các s gm hai ch s khác nhau đc lâp thành t các ch s
1,2,3,4,5,6. Ly ngu nhiên mt phn t ca A, tính xác sut ly đc s chn.
S: 2/15.
BT7. Mt bình đng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đ. Ly ngu nhiên 3 viên bi. Tính xác sut đ
đc:
a) 3 viên xanh.
b) 3 viên đ.
c) 3 viên cùng màu.
d) Ít nht hai viên xanh.

S:a) 14/55; b)1/55; c)3/11; d) 42/55.
BT8. Mt bình đng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đ và hai viên bi vàng. Ly ngu nhiên 2 viên bi.
Tính xác sut đ đc ;
a) 2 viên cùng màu.
b) 2 viên khác màu.
S: a)5/18; b) 13/18.
BT9. Cho hai hp đng bi , mi hp đng 10 bi. Hp th nht đng 6 bi đ và 4 bi trng. Hp
th hai đng 7 bi đ và 3 bi trng. Rút ngu nhiên t mi hp 2 bi.
a) Tính xác sut đ đc 2 bi đ và hai bi trng.
b) Gi X là bin ngu nhiên ch s bi đ trong 4 bi đc ly ra. Lp bng phân b xác sut
ca X.
S: a) 1/3. b)
X
0
1
2
3
4
P
2/225
22/225
1/3
91/225
7/45

BT10. Mt bình đng 4 viên bi đen và 6 viên bi trng. Ly ngu nhiên 3 viên. Gi X là s viên
đen có đc. Lp bng phân b xác sut ca X.
S:
X
0

1
2
3
P
5/30
15/30/
9/30
1/30

10

BT11. Gieo 3 con xúc xc. Gi X là s con xúc xc xut hin mt 6. Lp bng phân b xác sut
ca X.
S :
X
0
1
2
3
P
125/216
75/216
15/216
1/216