BÀI TẬP BỔ SUNG TOÁN 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (346.26 KB, 23 trang )
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
1
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các pương trình sau:
a)
1
2sin1
1cos223sin2cos
2
x
xxx
b)
xxxx sin122sin4
4
2cos
4
2cos
c)
xxx cos22sin22cot3
22
d)
0
cos
2cos39sin62sin4
22
x
xxx
e)
xxxx
2
cos42tancot2sin
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
02cos.sin2222sin2
2
xxx
b)
022
2
cos32cos2
2
cos
22
xxx
c)
x
x
x
xx
2sin8
1
cot
2
1
2sin5
cossin
44
d)
24
21
4
3sin
4
cos
12
5
cossin
44
xxxx
e)
0cot2cot1
sin
2
cos
1
48
24
xx
xx
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
x
xx
xx
4cos
4
tan
4
tan
2cos2sin
4
44
c)
8
5
2cos
2
5
cossin
44
xxx
b)
xxxxx 2cos
2
1
cossin2cossin
244
d)
0
sin22
1cossin4cossin2
44
x
xxxx
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
1cos21coscos21sin xxxx
d)
xxxxx cossin3sin23cossin4
b)
0sin2sincos4sin4
23
xxxx
e)
x
x
x
x
x
2
cot
sin
cot3
1
sin
1
cot32
c)
xxxx cot3coscot4sin43
22
Bài 5: Giải các phương trình sau:
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
2
a)
xxx 2sin14sin32cos
22
d)
xxxx
3
cos63sin2sinsin
b)
0sinsincos3sin4cos
233
xxxxx
e)
2
5
sin2cos4cossin34
22
xxxx
c)
xxxxx cossin2cos32tansin
2
f)
x
xx
xx
2cos2
cos4sin5
cos2sin6
3
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a)
2
23
cos2cossin3sin
22
xxxx
c)
xxxxxx cossin2cos3sin2sintan
22
b)
2
3
2cos
4
1
2cos2sin
4
5
cossin
244
xxxxx
d)
0sincos3
4
cos22
3
xxx
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a)
xxxxxx 3cos2coscos3sin2sinsin
b)
0cossinsin3cos3sin4
233
xxxxx
c)
xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222
d)
xxxx
x
xx
22
22
tansin1
2
1
sintan
sin14
cos1cos1
Bài 8: Giải các phương trình sau:
a)
x
x
x
x
cos
1
3cos2
sin
1
3sin2
c)
xxxxx 2cos
4
5
cossin2cossin
101088
b)
2
1
2
3
sinsin
2
sin
2
3
coscos
2
cos
x
x
xx
x
x
d)
5
8
cos31
5
6
cos2
2
xx
Bài 9: giải các phương trình sau:
a)
2
sin2
cossin
2sin
cot
2
1
x
xx
x
x
b)
112sin112cos334sin33cossin8
66
xxxxx
c)
xxxxx cos32cos3cos11cos22sin3
d)
xxxxx 2cossin213cos2sin2cos
Bài 10: Giải các phương trình sau:
a)
xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin
b)
24
cos8
cos
sin13
tantan3
2
2
3
x
x
x
xx
c)
01cossin1tan
332
xxx
d)
xxxxx 2coscoscos2sinsin2
33
e)
xxxxx 2cos2sincos3cossin1
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
3
f)
x
xx
xx 2cot2
2sin
1
sin2
1
sin2sin
g)
2
3
cos2
42
cos
4
5sin
xx
x
h)
02cossin32cos2sin xxxx
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Bài 1. Cho các số gồm chín chữ số gồm năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5.Có bao nhiêu
cách xếp nếu:
a) Năm chữ số 1 xếp kề nhau.
b) Năm chữ số 1 xếp tùy ý.
Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7. Lập được bao nhiêu số 4 chữ số chia hết chọ.
Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số 5 chữ số khác nhau trong đó:
a) Số tạo thành chẵn.
b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.
c) Nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
d) Phải có mặt hai chữ số 0 và 1.
Bài 4: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số và nhỏ hơn 276 ?
Bài 5: Tính tổng các số có 5 chữ số phân biệt được thành lập từ các số sau: 3,4,5,6,7.
Bài 6: Với các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện ba lần, mỗi
chữ số khác có mặt đúng một lần.
Bài 7: Cho tập A
9 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,
. Từ A lập được bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau và mỗi
số có chứa chữ số 5. Trong đó có bao số không chia hết cho 5.
Bài 8: Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem
thư đã chọn. Mỗi bì thư dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm ?
Bài 9: Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự Hội
nghị mà trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp ?
Bài 10: Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một đoàn công tác có 3
người gồm cả nam lẫn nữ và có cả nhà Toán học, nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài 11: Cho hai đường thẳng song song d
1
và d
2
. Trên d
1
lấy 15 điểm, trên d
2
lấy 7 điểm. Hỏi có bao
nhiêu tam giác được tạo thành bởi ba điểm từ các điểm đã lấy ?
Bài 12: Đội tuyển HSG có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn 8 em đi
dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài 13: Có n quả cầu trắng và n quả cầu đen, đánh dấu từ 1, 2, 3, ,n. Có bao nhiêu cách sắp xếp các
quả cầu này thành dãy sao cho 2 quả cầu cùng màu không nằm cạnh nhau.
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
4
Bài 14: Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về
đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?
Bài 15: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số mà trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần
và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần ?
Bài 16: Cho hai đường thẳng song aong d
1
và d
2
. Trên d
1
lấy 10 điểm phân biệt, trên d
2
lấy n điểm phân
biệt
1n
. Biết có 2800 tam giác có 3 đỉnh là các điểm đã lấy. Tìm n.
Bài 17: Trong một mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút của chúng thuộc P.
b) Có bao nhiêu vect tơ khác
0
mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P.
Bài 18: Một đoàn tàu nhỏ có ba toa khách đỗ ở sân ga. Có ba hành khách bước lên tàu. Hỏi:
a) Có bao nhiêu khả năng trong đó ba hành khách bước lên ba toa khác nhau.
b) Có bao nhiêu khả năng trong đó hai hành khách cùng bước lên một toa còn hành khách thứ ba lên
toa khác.
Bài 19: Có bao nhiêu cách chian vật khác nhau thành k nhóm mà nhóm thứ nhất có n
1
vật, nhóm thứ
hai có n
2
vật, nhóm thứ k có n
k
vật và hai nhóm bất kỳ không chứa vật nào chung ?
Bài 20: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác
nhau và tổng chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
Bài 21: Cho đa giác đều A
1
A
2
A
2n
nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3
trong 2n điểm A
1
,A
2
, ,A
2n
gấp 20 lần với hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
,A
2
, ,A
2n
. Tìm n.
Bài 22: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả và trong
tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kỳ, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc
vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2
trong
1n
điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu.
Bài 23: Rút gọn các biểu thức sau:
72
9
53
8
10
74
PP
P
PP
P
P
PP
A
4
n
5
n
6
n
A
AA
B
23
2
5
1
5
2
2
5
3
3
5
4
4
5
5
2PP
A
A
P
A
P
A
P
A
P
C
7
17
7
15
6
15
5
15
kn
4
n
1n
C
C2CC
PA
P
D
2
5
2
2
5
3
5
P
P
P
AA
E
3
53
3
15
3
8
2
6
AP
C
65
1
C
28
1
C
3
1
F
Bài 24: Rút gọn biểu thức:
a)
n
2k
n
k!
1k
A
b)
n
1k
n
kk!A
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
5
c)
!2n
P
A!3n
n!
A
1n
2
n
d)
1n
n
n
n
1
n
2
n
1
n
C
C
n
C
C
2CB
Bài 25: Chứng minh:
a)
2n1nn
P
1
P
1
P
n
b)
n
kn
21n
kn
2n
kn
AkAA
c)
5
5n
2
5n
2
3n
2
1nk
Ank!AAAP
d)
kn
n
k
n
CC
Bài 26: Chứng minh:
a)
!2n
1
!1n
1
n!
n
2
b)
nrN,0rn, ;C CCC
1r
1r
1r
2n
1r
1n
r
n
c)
nkN,3kn, ;CC3C3CC
k
3n
3k
n
2k
n
1k
n
k
n
d)
1n
1kn
n
kn
n
2n
n
1n
n
n
CC CCC
i)
nk;0CCC
1k
1n
k
1n
k
n
j)
k4n
k
1n5n
.P15AP
Bài 27: a) Chứng minh:
3nZ,n ;2n!
1n
.
b) Chứng minh:
2
n
2n
n
k2n
n
k2n
C.CC
; với
nk0 vàZkn,
.
Bài 28: 1) Tìm n nguyên dương, biết: a)
33!1nn!3
b)
!1n
15
!2n
A
4
4n
2) Tìm
4nN,n
,biết:
!2!4n3n12
!1nn
!4!1n
!1n
.
1n
5
2n
1
.
Bài 29: Tìm k sao cho các số
2k
7
1k
7
k
7
C,C,C
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Bài 30: Giải các phương trình sau:
a)
2
2x
2
x
A502A
b)
1x
2
x
3
x
P3AA2
c)
15x25AA
2
x
3
x
d)
x
2
x
2
xx
2PA672AP
Bài 31: Giải các phương trình sau:
a)
8xPxP
3
2
2
b)
1x
x
2
x
3
x
14CCA
c)
x
2
7
CCC
3
x
2
x
1
x
d)
2
2x
2
1x
3
1x
A
3
2
CC
e)
1
4x
2
1x
1
x
6C
7
C
1
C
1
f)
14xCA
2n
n
3
n
g)
2
n
3
2n
20CC
h)
2
n
4
n
3
n
3A2CA
i)
6
1
!1x
!1xx!
Bài 32: Giải các bất phương trình sau:
a)
303A2C
2
x
2
1x
b)
3
4
1x
3x
1x
14P
1
A
C
c)
10C
x
6
AA
2
1
3
x
2
x
2
2x
d)
1n2nn
4n
P
15
.PP
P
Bài 33: Giải các hệ phương trình sau:
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
6
a)
802C5A
905C2A
y
x
y
x
y
x
y
x
b)
1y
x
y
x
1y
x
2y
x
CC
3C5C
c)
720P
126CP:A
1x
xy
y1x
x
y
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1.
2
8
8
32
4
9.
9
1
243.3
x
x
x
x
9.
x
x
xx
16
8
1
.4.2
1
11
2.
76
3
4
13
33
279333333
xx
10.
43
64
255
x
x
3.
78323412
2
10.55.4
xxxx
11.
125,0.228.42
3
3
121
xxx
4.
1
1
3
12
417417
x
x
x
x
12.
116
42.22
xx
5.
31
22
xx
xx
13.
1
25
9
.
4
3
11
2
xxx
6.
4
2
45
2
33
2
xxx
xx
14.
3
3
2
1
1
16
17
1
93
x
x
7.
2
3
352
2
24
75
x
xx
15.
91121
3
5
25
9
.
3
5
2
xxx
8.
x
x
xxx
2
12
1
4
1
3
2432
2
16.
4
193
2
1
2
1
2
25,016
x
x
xx
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1.
xxxx
3.42.72.33.5
7.
121
2222
3322
xxxx
2.
21121
333555
xxxxxx
8.
9477333
11
xxx
3.
933.63.2
11
xxx
9.
4
2
7
2
9
52
4332
x
xx
x
4.
112
2122
xxx
10.
122
9.
2
1
4.69.
3
1
4.3
xxxx
5.
3121
333555
xxxxxx
11.
12
2
1
2
3
3229
x
xx
x
6.
7503333
4321
xxxx
12.
12
2
1
2
1
2334
x
xx
x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1.
xx
xxxx
cos32
2
sin
2
22
5.
xxx
2.2121211
22
2.
0324
2
2
sin
1
cot
x
x
6.
02.93.923
2
xxxx
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
7
3.
02323347
xx
7.
0223.39
22
22
xx
xx
4.
1
2
12
2
1
2.62
13
3
xx
xx
8.
1444
7325623
222
xxxxxx
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1.
222
18
22
2
12
8
111
xxx
x
x
6.
4
7
34
34
5
327
xx
xx
2.
132232
1122
x
xxx
x
x
7.
11
2
4
2
2
xxxx
x
3.
x
x
x
4
3
2
9
1
993
3
1
8.
02222
3
2
9
2
2
xxxx
x
4.
x
x
x
x
4.
2
1
2
1
15
1
5
9.
3
1
3
1
11
xx
xx
5.
422
1
2
2
1
3
x
x
x
10.
2
33
2
xx
xx
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
1.
xxx 3413154
2
1
2
1
2
8.
xx
7.162.49
2
15.
xxx
xx
1
2
12
2
2
1
2
1
2
2.
xxx 5711179
2
1
2
1
2
9.
4343
22
32
xxxx
16.
112
5.1187.257
xxxx
3.
13
2
3
9
1
x
x
x
10.
1
1
1212
x
x
x
17.
21432
55222
xxxxx
4.
xxx
112
2
1
2
1
36
11.
1
2
2
2
1
2
x
xx
18.
11333
21
xxx
5.
1
2
2
2
1
2
x
xx
12.
13
1
12
1
22
x
x
19.
32
4
3232
1212
22
xxxx
6.
365
25
2
xxx
13.
1
1
1
2525
x
x
x
20.
2121
999444
xxxxxx
7.
1221
5353
xxxx
14.
4
2
642
1
x
x
x
21.
2
1
424
x
x
x
Bài 6: Giải các phương trình sau:
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
8
1.
12
3
1
3
3
1
1
12
xx
3.
082.124
515
22
xxxx
5.
0324
2
2
sin
1
cot
x
x
2.
093.363
152
xx
4.
699
22
cossin
xx
6.
54.94
22
cos2sin21
xx
Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
1.
933.2336
212
xxxx
xxx
6.
63.499.3
122
22
xxxxxx
2.
1282.2.32.4
222
212
xxxx
xxx
7.
52428
11
xxx
3.
623.2334
212
xxxx
xxx
8.
2
2
1212222
xxx
4.
xx
xxxxxxx 34253232253
222
9.
53
45
5.2
5
2
x
x
x
5.
1232625221139
xxx
10.
8.8
1214
xx
exxex
Bài 8: Giải các phương trình sau:
1.
06
3
3
3162727
1
x
xxx
3.
623.233.4
212
xxxx
xxx
2.
093.613.73.5
1112
xxxx
4.
035.2.5.335.
1112
xxxxx
xx
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
1.
x
x
xx
993.2
2
1
4
4
4.
1282.2.32.4
222
212
xxxx
xxx
2.
09.93.83
442
xxxx
5.
01343
224
2
xx
x
3.
042.34
32132
22
xxxxxx
6.
242122
12
xx
xx
Bài 10: Giải các phương trình sau:
1.
xx
32
loglog
6.
413log1log
53
xx
2.
xxxx
20432
loglogloglog
7.
xx
2332
loglogloglog
3.
xxx
2
2
3
log133log
8.
xx
2
2
3
log1log
4.
xx
32
log1log
9.
xxx
4
4
6
loglog2
5.
xxxx 2log12log
2
2
2
3
10.
01log1log
3
3
2
2
xx
Bài 11: Giải các phương trình sau:
1.
32log22log
2
5
2
6
xxxx
6.
2
5
1
223log
13
2
3
2
xx
xx
2.
3log2log1loglog
5432
xxxx
7.
3
loglog
2
2log3
333
122. xxx
xx
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
9
3.
55log14log45log
2
15
2
2
xxxx
8.
2
2
1
2
3
log
xxx
x
4.
x
x
xx
x 99.
3
2
27log1log33.29
2
1
3
13
9.
05.
9
50
2
15log
3
log
3
2
3
xx
x
5.
421236log9124log
2
32
2
73
xxxx
xx
10.
xx
xx
324log18log39
33
Bài 12: Giải các phương trình sau:
1.
05
10
1
2
1cos2sin2
7lgsincos
1cos2sin2
xx
xx
xx
5.
645.95
5
1
275
3
3
xx
x
x
2.
0444.34.3
923423392
222
xxxxxxxxxx
6.
1
2
1
26
2
8
2
13
3
x
x
x
x
3.
642222
622124
2222
xxxx
7.
xxxx
xx
2222
66.66.
4.
093.613.73.5
1112
xxxx
8.
5393.89
444
xxx
Bài 13: Giải các phương trình sau:
1.
x
x
2263log
1
3
2.
8log21log3log
424
xx
3.
08log5log2log
2
122
xx
4.
2
2
2
2
2
3
2
6
2
43loglog8log.43log
2
1
xxxx
5.
xxxxxx
532532
log.log.loglogloglog
6.
3log
2
1
log
2
1
65log
3
3
2
2
9
x
x
xx
7.
24log53log
503
1
1log
3
1
243
2902
81
3
3
xxx
8.
3
8
2
2
4
4log4log21log xxx
9.
1log1log1log1log
24
2
24
2
2
2
2
2
xxxxxxxx
10.
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log
11.
1log1log.1log
2
20
2
5
2
4
xxxxxx
12.
2log22log5log1log
25
15
5
1
2
5
xxx
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
10
13.
2
1
log31log1log2log
2234
x
14.
12cos3log
2
1
2cos
2
1
2
2
12cos
xx
x
Bài 14: Giải các bất phương trình sau:
1.
22000log1
x
2.
0
23log
1
12log
1
2
2
2
1
xx
x
3.
12log12log41444log
2
555
xx
4.
0
1log
382114
2
x
xx
xx
5.
x
xx
3
2
2003201220032012
33
loglog
6.
1loglog1log
9
9
12
xx
7.
33logloglog
4
3
3
3
1
3
xxx
8.
xxxx 1loglog1loglog
2
7
14
2
7
4
1
9.
3log
2
1
2log65log
3
1
3
1
2
3
xxxx
10.
1
114
2
log34log
2
2
1
2
2
xxx
xx
11.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
ln
1
ln
2
2
1
2
2
3
1
VẤN ĐỀ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1: Trong mpOxy cho điểm A
2;1
và đường tròn
C
có tâm I
2;1
, bán kính R
3
và đường tròn
042xyx:C'
22
. Tìm các điểm
IAMN cho sao C'N,CM
.
Bài 2: Cho tam giác ABC cố định có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE, kẻ DD'
AB, EE'
AC. Gọi
MEE'DD'
. Tìm tập hợp điểm M khi hình thoi BCDE thay đổi.
Bài 3: Cho hai điểm B
4;2
, C
6;4
. Điểm A nằm trên đường tròn tâm I
3;0
, bán kính R
22
. Tìm
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
11
trực tâm H của tam giác ABC biết H nằm trên đường thẳng
01yx:d
.
Bài 4: Trong mpOxy cho các đường thẳng
012yx:d
,
042yx:D
và hai điểm A
2;3
,
B
0;5
. Tìm M
d
, N
D
sao cho
NBMA
ngắn nhất.
Bài 5: Trong mpOxy cho điểm A
2;3
. Tìm trên trục Ox và đường thẳng
0yx:d
hai điểm B, C
sao cho chu vi
ABC nhỏ nhất.
Bài 6: Cho
ABC nội tiếp đường tròn
RO;
. Gọi H là trực tâm của
ABC. Chứng minh đường tròn
ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB có bán kính bằng bán kính đường tròn
RO;
.
Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD, các điểm A'
AD, C'
BC. Tìm các điểm B'
CD, D'
AB sao cho tứ
giác A'B'C'D' là hình bình hành.
Bài 8: Trong mpOxy, cho đường thẳng
0yx:d
, đường tròn
022y2xyx:C
22
. Tìm
A
C
, B
d
sao cho điểm I
2;3
là trung điểm AB.
Bài 9: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các
tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các
đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh tam giác BMN đều.
Bài 10: Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt
AB tại E và AD tị F, gọi
ADCMN
. Chứng minh rằng:
a)
EFCNCM
b)
222
AB
1
CN
1
CM
1
Bài 11: Cho đường tròn
RO;
và một dây cung cố định
2RAB
, điểm M chạy trên cung lớn AB sao
cho
MAB có các góc nhọn, và có H là trực tâm . AH, BH cắt đường tròn
RO;
theo thứ tự tại A', B'.
Gọi
AB'BA'N
.
a) Chứng minh tứ giác AMBN là hình bình hành.
b) Gọi
B'A'HNI
. Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên cung lớn AB.
Bài 12: Trong mpOxy cho hai đường thẳng
03yx:d 0,2y2x:d
21
và điểm M
2;5
. Viết
phương trình đường thẳng đi qua M, cắt d
1
, d
2
lần lượt tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB.
Bài 13: Trong mpOxy cho đường tròn
42y1x:C
22
. Hãy viết phương trình đường tròn
C'
là ảnh của
C
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỷ số
2k
và phép tịnh tiến vec tơ
1;2v
.
Bài 14: Trong mpOxy, gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn,(A là điểm có hoành độ dương):
2y1x:C'1;1y1x:C
2
222
. Viết phương trình đường thẳng
d
qua A và cắt
C',C
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
12
lần lượt tại M, N sao cho M là trung điểm AN.
Bài 15: Trong mpOxy cho đường tròn tâm I
3;2
, bán kính R
3
. Viết phương trình đường tròn là
ảnh của đường tròn trên qua việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến
3;2v
.
Bài 16: Cho
ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi H, G, O lần lượt là
trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp
MNP.
a) Chứng minh
MNP là ảnh của
ABC qua phép vi tự tâm G tỷ số
2
1
k
. Từ đó suy ra bốn điểm H,
G, O, I thẳng hàng và I là trung điểm OH.
b) Chứng minh phép vị tự tâm H, tỷ số
2
1
k
biến đường tròn ngoại tiếp
ABC thành đường tròn
ngoại tiếp
MNP. Từ đó suy ra: trong một tam giác, trung điểm ba cạnh, các chân ba đường cao, điểm
các đoạn nối với trung trực với ba đỉnh là 9 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 17: Cho
21yx:C1;2A
2
2
và điểm B
012yx:d23;
. Hãy xác định trên
d
một điểm C sao cho trọng tâm của
ABC nằm trên
C
.
Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ SONG SONG
Bài 1: Cho tứ diện ABCD, O là điểm bên trong
BCD, lấy
AOM
.
a) Tìm giao tuyến của mp(MCD) với mp(ABC), mp(ABD).
b) Hai điểm J, K lần lượt nằm trên BC, BD sao cho IJ không song song với CD. Tìm giao tuyến của
(MJK) và (ACD).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC, BC. Các điểm K, M, N lần lượt nằm trên
BD, AB, AD sao cho KD
KB, MA
MB, ND
NA. Tìm các giao tuyến của các mặt phẳng sau: (CMN)
và (BCD); (IJK) và (ACD); (IJK) và (ABD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điể SD, G là
trọng tâm
SAD.
a) Tìm giao điểm H của DM với (SAC). Tính tỷ số
HS
HO
.
b) Tìm giao điểm K của GM với (ABCD). Cm: 3 điểm K, C, D thẳng hàng và
2KDKC
.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là hai điểm cố định lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho EF
không song song với BC. Điểm M di động trên CD.
a) Tìm điểm
MEFBDN
.
b) Tìm tập hợp điểm
FNEMI
.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
13
lượt trên SA, SB, SC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC.
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Tính tỷ số
IM
IA
.
b) Tìm giao điểm F của SD và (ABM).
c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm K của MN với (SBD).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. M, G lần lượt là trung điểm SB và trọng
tâm
SAD.
a) Tìm
ABDGMI
. Chứng minh ba điểm I, C, D thẳng hàng.
b) Tìm
OMGADI
. Tính tỷ số
JD
JA
.
c) Tìm
OMGSAK
. Tính tỷ số
KS
KA
.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD. Trong các tam giác SAB, SBC, SCD lấy các điểm M, N, P sao cho
mp(MNP) không song song với mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mp(MNP).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm
tam giác SAD.
a) Tìm
ABCDGMI
. Chứng minh mp(CGM) chứa CD.
b) Chứng minh mp(CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(CGM).
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(AGM).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Gọi M, P là
trung điểm SA, BC; G là trọng tâm
SCD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MPG).
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD. M là trung điểm SA, N và P lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC
và ACD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mp(MNP).
Bài 12: Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mp(P) cắt AB, SB tại B', B
1
. Qua B dựng mp(Q) cắt AC, SC
tại C', C
1
;
OCB'BC'
,
O'BCCB
11
. Giả sử
ISAOO'
.
a) Chứng minh AO, SO', BC đồng quy.
b) Chứng minh I, B
1
, B' và I, C
1
, C' thẳng hàng.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD, lấy các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng AB, AC, AD sao cho:
2
1
PA
PD
NA
NC
MB
MA
. G là trọng tâm
Δ
ACD, gọi
BDMPJ BC,MNI
.
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
14
a) Chứng minh các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng.
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD, NI, gọi
BCDGFK BE,MGH
. Chứng minh bốn
điểm H, K, I, J thẳng hàng.
Bài 14: Cho hai mặt phẳng
aβα
. Trong
α
lấy A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm
không thuộc
α
; SA, SB cắt
β
lần lượt tại C, D. Giả sử
aABE
.
a) Chứng minh S, A, B không thẳng hàng.
b) Chứng minh C, D, E thẳng hàng. Từ đó suy ra AB, CD, a đồng quy.
Bài 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lấy các điểm E, F, G bất kỳ.
a) Tìm
BCDEFG
. Tìm
EFGCDS
suy ra thiết diện của mp(EFG) với tứ diện.
b) Khi EG không song song với AD tìm
EFGADR
. Chứng minh F, S, R thẳng hàng.
c) Khi EF không song song với BC. Chứng minh các đường thẳng EF, GS, BC đồng quy.
Bài 16: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Lấy E đối xứng với B qua C, F đối xứng với B qua D. Gọi
M là trung điểm AB.
a) Tìm giao điểm I của ME với mp(ACD).
b) Tìm giao tuyến của (MEF) và (ACD). Từ đó suy ra thiết diện của tứ diện với mp(MEF).
c) Tính thiết diện của tứ diện với mp(MEF).
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có AB//CD. Một mp(P) qua AB và cắt SC tại E.
a) Tìm
SDPF
. Suy ra thiết diện của hình chóp với mp(P).
b) Tìm tập hợp các giao điểm
BFAEJ BE,AFI
khi mp(P) quay quanh AB.
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang, ABCD có đáy lớn AB. Gọi I là trung
điểm SC. Mp(P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ đi qua một điểm cố định.
c) Tìm tập hợp điểm
ANIMH
khi (P) quay quanh AI.
Bài 19: Cho
ABC nằm trong mp(P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng
phía đối với mp(P); M, N là hai điểm di động trên Bx, Cy sao cho
2BMCN
.
a) Chứng minh đường thẳng Mn luôn đi qua một điểm I cố định.
b) Điểm
AME
sao cho
EA
3
1
EM
;
IEANF
;
CFBEQ
. Cm:AQ//Bx//Cy.
c) Chứng minh (QMN) chứa một đường thẳng cố định.
Bài 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm AB, CD, AC, BD, AD, BC. Gọi
A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh các đoạn thẳng
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
15
MN, PQ, RS, AA', BB', CC', DD' đồng quy tại G và
3GA'GA
.
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AD, BC và G là trọng tâm của
SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì ? Tìm điều kiện của AB
và CD để thiết diện đó là hình bình hành.
Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam
giác SAB, SAD; M là trung điểm CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJM).
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang với
bBCa,AD
. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm
của các tam giác SAD, SBC.
a) Tìm đoạn giao tuyến của mp(ADJ) với mp(SBC) và đoạn giao tuyến của mp(BCI) với mp(SAD).
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD).
Bài 24: Cho hình chóp S.ABC, O là một điểm nằm bên trong tam giác ABC. Qua O dựng các đường
thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC và cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) lần lượt tại các
điểm A', B', C'.
a) Chứng minh
SC
OC'
SB
OB'
SA
OA'
có giá trị không đổi khi O di động bên trong
ABC.
b) Xác định vị trí O để tích
'OA'.OB'.OC
có giá trị lớn nhất.
Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SA, mp(P) đi qua AM
và song song với BD.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P).
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD. Hãy tìm tỷ số diện tích của
SME với
SBC và tỷ số diện tích của
SMF với
SCD.
c) Gọi
CDMFJ BC,MEK
. Chứng minh ba điểm K, I, J nằm trên một đường thẳng song song
với EF và tìm tỷ số
KJ
EF
.
Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy các điểm M, N. Mp(P) đi qua MN và song
song với SB.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mp(P).
b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
Bài 27: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và
SAB đều. Điểm M di động trên BC
với BM
x; K
SA sao cho AK
MB.
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
16
a) Chứng minh KM//(SDC).
b) Tìm thiết diện của hinh chóp với mp(P) đi qua M song ong với SA, SB. Thiết diện đó là hình gì ?
Tính diện tích thiết diện theo a và x.
c) Tìm x để KN//(ABCD).
Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C' là trung điểm của SC, M di động
trên cạnh SA. Mp(P) di động luôn đi qua C'M và song song với BC.
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Xác định thiết diện mà (P) cát hình chóp S.ABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình
hành.
Bài 29: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA', AC. Dựng
thiết diện của lăng trụ với mp(MNP) trong đó B di động trên cạnh B'C'.
Bài 30: Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C'. Điểm M di động trên trên cạnh AB, mp
α
qua M và song song
với AA', BC.
a) Tìm thiết diện của
α
và hinh chóp cụt.
b) Chứng minh mp
α
luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Bài 31: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M
AB sao cho AB
4AM, điểm N
DD' sao cho
ND
3ND', P
B'C' sao cho B'C'
4B'P. Chứng minh (MNP)//(AB'D').
Bài 32: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt bên đều là các hình vuông cạnh a. Các điểm M,
N lần lượt nằm trên AD' và DB sao cho AM
DN
x,
2ax0
.
a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một ,ặt phẳng cố định.
b) Chứng minh rằng khi
3
2a
x
thì MN//A'C.
Bài 33: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên ba cạnh AB, DD', CB' lần lượt lấy ba điểm M, N, P không
trùng với các đỉnh sao cho
C'B'
PB'
DD'
ND'
AB
AM
.
a) Chứng minh mp(MNP)//mp(AB'D').
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(MNP).
Bài 34: Cho hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là một điểm di động trên AC, mp
α
đi qua I và song
song với mp(BDD'). Xác định thiết diện của mp
α
với hình chóp khi I di động trên AC.
Bài 35: Cho hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D', có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
BC'AD'M
,
DA'CB'N
,
CD'BA'P
,
DC'AB'Q
. Chứng minh các điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd là hình thang đáy lớn AD và AD
2BC, M là một điểm
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
17
tùy ý trên cạnh BC, mp
α
đi qua M và song sogn với CD và SC, mp
α
cắt AD, SA, SB lần lượt tại N,
P, Q.
a) Chứng minh NQ//(SCD) và NP//SD.
b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm SD và AD. Chứng minh (CHK)//(SAB) và CK
SCDKPQ
.
c) Gọi G là trọng tâm
SCD. Tìm
SACBGI
. Tính tỷ số
IB
IG
.
Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
AB, AD, SC.
a) Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SDC) và (SAC).
b) Gọi
MNPSBDd
. Chứng minh d//MN.
c) Tìm giao điểm của SO với mp(MNP).
Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AD, BC,
SC.
a) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MNP).
b) Gọi
NPMQI ,MNPSDQ
. Chứng minh SA//(MNP) và tứ giác SNB là hình bình hành.
c) Gọi H là trung điểm MC,
NQMPK
. Chứng minh K thuộc SH.
Bài 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi E, F lần lươt là trung điểm
SA, SD;
CDABK
.
a) Tìm
CDESBM
.
b) Tìm
EFMSCN
. Tứ giác EFMN là hình gì ?
c) Chứng minh các đường thẳng AM, DN, SK đồng quy.
d) Cho biết AD
2BC. Tính tỷ số diện tích của hai tam giác KMN, KEF.
Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có
ECDAB
,
FBCAD
,
GBDAC
. Gọi mp
α
cắc SA, SB,
SC lần lượt tại A', B', C'.
a) Tìm
αSDD'
.
b) Tìm điều kiện của
α
để A'B'C'D' có A'B'//C'D'.
c) Tìm điều kiện của mp
α
để A'B'C'D' là hình bình hành. Có bao nhiêu mp
α
thỏa điều kiện trên ?
Bài 41: Cho hình lập phương cạnh a ABCD.A'B'C'D'. Trên AB, CC', C'D', AA' lần lượt lấy các điểm M,
N, P, Q sao cho:
ax0x,QA'PC'CNAM
.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
b) Tìm x để (MNPQ)//(A'BC').
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
18
c) Xác định thiết diện của hình lâp phương và mp(MNPQ).
Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mp(ABM).
b) Gọi N là trung điểm BO, hãy xác định
AMNSDI
. Cm:
3
2
ID
SI
.
Bài 43: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang(AD//BC). Điểm M di động bên trong hình thang
ABCD. Qua M dựng các đường thẳng Mx//SA; My//SB.
a) Tìm
SADMyP ,SBCMxN
.
b) Chứng minh:
SB
MP
SA
MN
không đổi.
Chưng III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao d9im63 của hai đường thẳng chéo của mặt bên
ABB'A'. Điểm M thuộc OB'. Mp(MD'C) cắt BC' ở I và DA' ở J. Chứng minh I, J, M thẳng hàng.
Bài 2: Cho ứ diện ABCD. Gọi M, n là trung điểm AB, CD; P, Q là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh
AC, BD sao cho
QD
QB
PC
PA
. Chứng minh M, N, P, Q đồng phẳng.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi A', B', C', D' lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA
theo cùng tỷ số k. Với giá trị nào của k thì A', B', C', D' đồng phẳng.
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', điểm M chia đoạn AD theo tỷ số
4
1
, điểm N chia đoạn A'C
theo tỷ số
3
2
. Chứng minh: MN//(BC'D).
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Các điểm M, n lần lượt chia các đoạn thẳng AD' và DB
theo cùng tỷ số k,
1k0,k
.
a) Chứng minh: MN//(A'D'BC).
b) Khi
2
1
k
. Chứng minh MN//A'C và MN là đoạn vuông góc chung của AD' và DB.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mp(P) cắt SA, SB, SC,
SD theo thứ tự tại K, L, M, N. Chứng minh:
SN
SD
SL
SB
SM
SC
SK
SA
.
Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q R, S là trung điểm của AB, CD, AC, BD,
BC, AD.
a) Chứng minh MN vuông góc với RP, RQ.
b) Chứng minh AB vuông góc với CD.
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
19
Bài 8: Cho tứ diện ABCD có AB
CD, AC
BD, AD
BC, trong mp(BCD) dựng tam giác PQR sao
cho B, C, D lần lượt là trung điểm các cạnh RQ, RP, PQ. Chứng minh: các đường thẳng AP, AQ, AR
vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có AB
CD
a, AC
BD
b, AD
BC
c, giả sử
cba
. Gọi
δβ,α,
lần
lượt là góc giau74 AB và CD, AC và BD, AD và BC. Chứng minh:
cosδccosαacosβb
222
.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O. SA
ABCD
. Gọi K là hình chiếu của
B trên SC. Tìm điểm cách đều năm điểm S, O, A, K, B.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd là hình chữ nhật với AB
a, AD
2a, SA
ABCD
,
SA
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 12: Môt tứ diện được gọi là tứ diện trực tâm nếu chân ba đường cao hạ từ một đỉnh trùng với trực
tâm của mặt đối diện.
a) Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương:
ABCD 1
là tứ diện trực tâm.
BCADBD,ACCD,AB 2
222222
BCADBDACCDAB 3
b) Chứng minh trong tứ diện trực tâm bốn đường cao đồng quy tại một điểm(gọi là trực tâm tứ diện)
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA
a và SA
ABCD
.
a) Gọi I là trung điểm SD. Chứng minh AI
SCD
.
b) Điểm M di động trên SD. Chứng minh hình chiếu của O trên CM thuộc một đường tròn cố định.
Bài 14: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường chéo BC' của mặt bên BCC'B'
hợp với mặt bên ABB'A' một góc 30
0
. AA'
ABC
; M, N lần lượt là trung điểm của AC và BB'.
a) Tính độ dài đoạn AA'.
b) Tính góc giữa MN và mp(BA'C').
Bài 15: Cho tứ diện ABCD có
BCD đều, gọi BH là đường cao của
BCD. O là trung điểm của BH và
AO
BCD
, AO
BH
2a, trên OH lấy I sao cho BI
x,
2ax0
, mp
α
qua I và vuông góc với
OH. Dựng và tính diện tích thiết diện của tứ diện tạo bởi
α
.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO
(ABCD) và
SO
2
6a
, mp(P) qua A và vuông góc với SC. Xác định và tính diện tích thiết diện của mp(P) với hình
chóp.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy, SA
2a
.
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
20
Kẻ AH vuông góc với SB.
a) Chứng minh:
3
2
SB
SH
.
b) Mp(P) qua A vuông góc với SB cắt SC tại M. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) và tính
diện tích của thiết diện đó.
Bài 18: Trong mp
α
cho đường tròn đường kính AB và M thuộc đường tròn ấy (M không trùng A, B).
Trên đường thẳng vuông góc với mp
α
tại A lấy điểm S. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu A lên SB, SM.
Chứng minh:
SBMADE
. Tìm vị trí của M để
SABSOM
.
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SA
(ABCD), SA
2a. Xác định thiết diện
của hình chóp S.ABCD tạo bởi mp(P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua tâm O của đáy và trung điểm M của SD đồng thời vuông góc với mp(ABCD).
b) (P) qua A và trung điểm N của CD đồng thời vuông góc với mp(SBC).
Bài 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với mặt
đáy một góc 60
0
. Mp(P) chứa AB và tạo với mặt đáy một góc 30
0
. Xác định thiết diện của hình chóp cắt
bởi mp(P) và tính diện tích thiết diện đó.
Bài 21: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bằng A, gọi O là tâm của đáy và SO
3
3a
. Gọi I là
trung điểm BC và K là hình chiếu của O lên SI.
a) Tính khoảng cách từ O đến SA.
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB
a, AC
2a, AA'
52a
và góc BAC bằng 120
0
. Gọi M
là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh MB vuông góc với MA' và tính khoảng cách từ A đến mp(A'BM).
Bài 23: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên hai tia Bx, Cy cùng chiều và cùng vuông góc với mp(ABC)
lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BM
a, CN
2a. Tính khoảng cách từ C đến mp(AMN).
Bài 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC
2a. Cạnh bên SA
vuông góc với mp(ABC), SA
a. Gọi O là trung điểm AC.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB
a, BC
2a. Lấy H thuộc AC sao cho
3
3a
CH
.
Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại H lấy điểm S sao cho góc CSA bằng 90
0
.
a) Các mặt của của hình chóp S.ABC là hình gí ?
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
21
b) Gọi I, J lần lượt là tung điểm BC, SA. Tính độ dài IJ.
Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và
ABCDSAB
.
a) Chứng minh tam giác SCD cân.
b) Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AB và SC.
Bài 27: Cho mp(P)//mp(Q), trên (P) cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 3a, điểm M thuộc (Q) sao cho
MA
MB
MC
2a. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 28: Cho tứ diện ABCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh: MN là đoạn
vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi AC
BD và AD
BC.
Bài 29: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau,
ba
, nhận AB làm đoạn vuôn góc chung. Lấy C
a,
D
b thỏa CD
2d không đổi.
a) Chứng minh:
2222
BCAD ,BDAC
và góc giữa hai đường thẳng AB và CD không đổi.
b) Tìm quỹ tích trung điểm của CD.
Bài 30: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Lấy M
AD', N
BD sao cho AM
DN
x,
2ax0
.
a) Tìm x để đoạn MN có độ dài ngắn nhất.
b) Khi MN có độ dài ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD'
và DB, khi đó chưng minh MM//A'C.
Bài 31: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi I là điểm thuộc cạnh AB đặt AI
x,
ax0
.
a) Chứng minh khi
a154x
thì góc giữa DA và AC' bằng 60
0
.
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(B'DI). Tìm x để diện tích
ấy nhỏ nhất.
c) Tính khoảng cách từ C đến mp(B'DI).
BÀI TẬP CUỐI NĂM
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đay lớn là AB
2a, AD
CD
a. Mặt
bên (SAB) là tam giác đều. Gọi M thuộc AD sao cho AM
x,
ax0
và mp
α
qua M và song song
với cạnh SA, SB, cắt các cạnh BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Nêu rõ cách xác định thiết diện MNPQ của
α
và hình chóp đã cho.
b) Chứng minh thiết diện đó là hình thang cân và tính diện tích của nó.
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
22
c) Gọi
NPMQI
, chứng minh khi điểm M di động trên đoạn AD thì I luôn di động trên một đường
thẳng cố định.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi
điểm M thuộc SD sao cho SD
3SM, điểm G là trọng tâm tam giác BCD.
a) Chứng minh MG//(SBC).
b) Gọi
α
là mặt phẳng chứa MG và song song vơi CD. Tìm và tính diện tích thiết diện của hình chóp
với mp
α
.
c) Xác định P
MA, Q
BD sao cho PQ//SC. Tính PQ theo a.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA
2a
.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là hình vuông.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
c) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cach giữa hai đường thẳng SC và BD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại A, lấy điểm S
sao cho SA
a.
a) Chứng minh các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông.
b) Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (SBC).
c) Trên cạnh AB lấy M. Mp(P) qua M vuông góc với AB cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác
MNPQ là hình gì ? Đặt AM
x tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a và x.
Bài 5: Cho tam giác SAD đều và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi I
là trung điểm AD, M là trung điểm AB và F là trung điểm SB;
BICMK
.
a) Chứng minh mp(CMF)
mp(SBI).
b) Tính BK, KF suy ra
BFK cân.
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA.
Bài 6: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM
x
ax0
.
Từ A dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P). Trên Ax lấy điểm S.
a) Chứng minh
SBCSAB
.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) theo x.
c) Gọi I là trung điểm của SC và H là hình chiếu của I trên CM. Chứng minh rằng khi M di động trên
AD và S chạy trên Ax thì tập hợp các điểm H là một cung tròn cố định.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a tâm O, góc BAD bằng 60
0
,
Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu
___________________________________________________________________________________
23
SA
SB
SC
2
13a
. Gọi E là trung điểm BC.
a) Chứng minh:
SBCSDE vàABCDSD
.
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Mp(P) qua AD và vuông góc với (SBC). Xác định thiết diện hình chóp với (P).
d) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB
c, AC
b. Mp(P) qua BC và vuông góc với mp(ABC); S
là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên (SAB), (SAC) hợp với đáy
ABC hai góc có số đo lần lượt là
α
2
π
vàα
. Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC,
AB và AC.
a) Chứng minh rằng:
HI.HJSH
2
.
b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của
α
.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh a. SA
ABCD
, SA
a.
Dựng đường vuông góc trên các cạnh SC và BD. Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.
