Giáo án xác xuất thống kê - Chương 1. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên doc

Chương 1. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên
1.1 Phép thử, biến cố và các phép tính đối với
các biến cố
1.1.1 Phép thử, biến cố
- Phép thử được hiểu là một nhóm các hành
động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu một đối
tượng hay một hiện tượng nào đó.
- Biến cố (hay sự kiện) được hiểu là một sự
vật, hiện tượng trong cuộc sống. Có thể hiểu
biến cố là kết cục của phép thử.


VD 1.1:
- phép thử là gieo 1 đồng xu, biến cố: “đồng
xu sấp”, “đồng xu ngửa”.
- phép thử là gieo 1 con xúc xắc, biến cố:
“xuất hiện mặt 3 chấm”.
- phép thử là bắn 1 viên đạn, biến cố : “bắn
trúng”, “bắn trật”.


1.1.2 Các loại biến cố
- Biến cố chắc chắn (ký hiệu Ω) là biến cố
nhất định xảy ra thực hiện phép thử.
VD 1.2: gieo 1 con xúc xắc, biến cố “xuất hiện
mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là chắc chắn.
- Biến cố không thể (ký hiệu ) là biến cố
nhất định không xảy ra thực hiện phép thử.
VD 1.3: biến cố “xuất hiện đồng thời mặt sấp và
ngửa” khi gieo đồng xu là
.

- Biến cố ngẫu nhiên (bcnn) (thường ký hiệu là A,
B, C…) là biến cố xảy ra hay không xảy ra thực
hiện phép thử.
VD 1.4: biến cố “xuất hiện mặt 3 chấm” khi gieo 1
con xúc xắc là bcnn.
- Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có cùng
khả năng xuất hiện như nhau trong phép thử
(khơng có biến cố nào ưu tiên xảy ra hơn các biến
cố khác).


VD 1.5: gieo một lần con xúc xắc. Gọi A i là
các biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, i=1,..,6. Các
biến cố A1 ,..., A 6 là đồng khả năng.
VD 1.6: Một hộp đựng 10 viên như nhau,
trong đó có 3 bi trắng và 7 bi đen. Lấy ngẫu
nhiên 1 viên bi từ hộp. Nếu quan tâm đến việc
lấy được bi màu gì thì ta có 2 biến cố khơng
đồng khả năng.


1.1.3 Quan hệ và các phép tính
- Sự kéo theo A ⊂ B : nếu A xảy ra thì B xảy ra.
VD 1.7: B là biến cố “xuất hiện mặt chẵn” khi gieo
một 1 xúc xắc. Ta có
A 2 ⊂ B, A 4 ⊂ B, A 6 ⊂ B
- Sự bằng nhau
A ⊂ B

A=B⇔
B ⊂ A


- Biến cố tổng A ∪ B là biến cố xảy ra nếu ít
nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
Biến cố sơ cấp (bcsc) là biến cố không thể
biểu diễn thành tổng của các biến cố khác. Về
mặt hình học có thể hình dung, đó là phần nhỏ
nhất không thể phân chia nhỏ hơn nữa.
* Chú ý:
+ Mọi bcnn A đều có thể biểu diễn dưới
dạng tổng của một số bcsc nào đó. Các bcsc
trong tổng này gọi là thuận lợi cho A.


+ Biến cố chắc chắn Ω là tổng của mọi
bcsc có thể có, nên Ω cịn gọi là khơng gian
các bcsc hay không gian mẫu.
+ Bcsc là bcnn, ngược lại, bcnn nói chung
khơng là bcsc.
VD 1.8: trong VD 1.5 và VD 1.7
Ω = { A1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 }
A1 ,..., A 6 là các bcsc.
B = A 2 ∪ A 4 ∪ A 6 là bcnn nhưng không là
bcsc.


- Biến cố tích A ∩ B hay AB là biến cố
xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra.

VD 1.9: Phép thử là gieo con xúc xắc, A là bc
xuất hiện mặt chẵn, B là bc xuất hiện mặt nhỏ
hơn 4. Ta có
A = A2 ∪ A4 ∪ A6
B = A1 ∪ A 2 ∪ A 3
Khi đó: AB = A 2 tức là xuất hiện mặt 2 chấm.


- Biến cố xung khắc: hai bc A và B gọi là
xung khắc nếu AB = ∅
VD 1.10: Bắn 1 viên đạn vào bia, A là bc có
được 1 điểm, B là bc có được 2 điểm thì A và B
là xung khắc.
- Biến cố đối lập A của A là bc A không xảy
ra, nghĩa là A ∪ A = Ω, AA = ∅
* Chú ý: bc đối lập là xung khắc, ngược lại
không đúng.


VD 1.11: Cho 3 bc A, B, C. Sử dụng các ký
hiệu bc tổng, bc tích và bc đối lập để diễn tả
các bc sau đây:
a) A, B, C đều xảy ra.
b) có ít nhất 1 bc xảy ra.
c) có đúng 2 bc xảy ra.
d) chỉ có 1 trong 3 bc xảy ra.
e) khơng có bc nào xảy ra.


VD 1.12: Ba xạ thủ cùng bắn 1 viên đạn vào 1

con thú. Gọi A i là bc “ xạ thủ thứ i bắn trúng
thú”, i=1,2,3. Hãy biểu diễn qua A i các bc
a) A=“thú bị trúng đạn”.
b) B=“thú không bị trúng đạn”.
c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn”.
d) D=“thú bị trúng 1 viên đạn”.


1.1.4 Giải tích tổ hợp
1.1.4.1 Quy tắc nhân:
Giả sử một cơng việc hồn thành qua k
giai đoạn, giai đoạn thứ i có n i cách thì có tất
cả n1n 2 ...n k cách hồn thành cơng việc.
1.1.4.2 Chỉnh hợp:
Chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n)
là một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử)
thoả:
+ khác nhau
+ có thứ tự


Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
n!
k
An =
(n − k)!
VD 1.13: Một lớp phải học 8 môn, mỗi ngày
học 2 mơn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời
khóa biểu trong một ngày?
1.1.4.3 Hoán vị của n phần tử:

Là một cách sắp thứ tự n phần tử, chính là
chỉnh hợp chập n của n phần tử. Số hoán vị
n
của n phần tử là Pn = A n = n!


1.1.4.4 Tổ hợp
Tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là
một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử) thoả:
+ khác nhau
+ không thể thứ tự
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
n!
k
Cn =
k!(n − k)!


VD 1.14: Có bao nhiêu cách lập một tổ gồm 3
người từ 10 người đã cho?
1.1.4.5 Nhị thức Newton:
n

(a + b) = å
n

k=0

k n- k k
Cn a b .

1.2 Định nghĩa xác suất
Để so sánh các biến cố về khả năng xuất hiện,
người ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm,
sao cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả
năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn,
các biến cố đồng khả năng thì gán cho cùng một con
số.


Số gán cho biến cố A, ký hiệu P(A), gọi là xác
suất của biến cố A.
1.2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển:
m
P(A) =
n
trong đó n là số các bcsc đồng khả năng có thể xảy
ra khi thực hiện phép thử, m là số bcsc thuận lợi cho
biến cố A.
VD 1.15: Gieo một lần con xúc xắc. Tính xác suất để:
a/ xuất hiện mặt 1 chấm.
b/ xuất hiện mặt chẵn.


VD 1.16: Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm,
trong đó có 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1
sản phẩm từ lơ hàng.
a/ Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản
phẩm tốt.
b/ Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 sản phẩm từ lơ

hàng. Tìm xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra có
đúng 2 sản phẩm tốt.


VD 1.17: Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi đen. Lấy
ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để:
a/ cả 6 bi đều là bi đỏ.
b/ có 4 bi đỏ, 2 bi đen.
c/ có ít nhất 2 bi đen.
* Hạn chế:
+ số lượng các bcsc là hữu hạn.
+ tính chất đồng khả năng không phải bao giờ
cũng xác định được.


1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê:
Nếu lặp lại n lần phép thử thấy bc A xảy ra
m lần thì m gọi là tần số xảy ra bc A, còn tỷ số
m
f n (A) =
(1) gọi là tần suất của biến cố A.
n
Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một số p
nào đó, được gọi là xác suất của A.
P(A) = lim f n (A) = p.
n →∞
m
Trong thực tế, người ta coi p ≈
(khi n đủ
n

lớn).


VD 1.18: Khi quan sát 100 ngươi hút thuốc
thấy có 91 người viêm phổi, khi đó có thể nói
rằng nếu bạn hút thuốc thì xác suất bạn bị viêm
phổi sẽ khoảng 91%.
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo hình học (xem
giáo trình tr 21).
1.2.4 Tính chất và ý nghĩa của xác suất:
- Tính chất
i. P( )=0
ii. P(Ω)=1
iii. 0≤P(A)≤1, với mọi biến cố A.


- Ý nghĩa: xác suất P(A) đặc trưng cho khả
năng xuất hiện biến cố A trong phép thử. P(A)
càng lớn (càng gần 1) thì khả năng xuất hiện A
càng nhiều, P(A) càng nhỏ (càng gần 0) thì
khả năng xuất hiện A càng ít.
Bài tập: 14-18 sách Bài tập