Chuyên đề " Định lý biến thiên động năng " pot

Chuyên đề " Định lý biến
thiên động năng "




Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 1 -
CHUYÊN :
NH LÝ BIN THIÊN NG NNG.


I. C S LÝ THUYT:
1. CÁC NH NGHA:
1.1. NG NNG:
ng nng ca mt cht m có khi lng m, chuyn ng vi vn tc
v
là
i lng vô hng c kí hiu là T:

2

2
1
mvT  (1)
ng nng ca h gm N cht m là i lng vô hng bng tng ng
ng ca tt c các cht m ca h.


 )
2
1
(
2
kk
vmT (2)
ng nng là i lng vt lí c trng cho nng lng c hc ca h khi
chuyn ng. n v ca ng nng là Jun (J).

Các công thc tính ng nng ca vt rn chuyn ng:
 Vt rn có khi lng m chuyn ng tnh tin, có vn tc khi tâm
c
v :

2
2
1
c
mvT  (3)
 Vt rn quay quanh trc

cnh vi vn tc góc


và có mô men quán tính
i vi trc quay là

J :

2
2
1


 JT (4)
 Vt rn có khi lng m chuyn ng song phng, có vn tc khi tâm
c
v và
n tc góc

:

222
2
1
2
1
2
1

pcc
JJmvT  (5)
Trong ó

pc
JJ , ln lt là mômen quán tính ca vt i vi khi tâm và tâm quay tc
thi P.
 Nu vt có dng dây, bng ti (vt bin dng) thì cn xem vt th gm vô s
các cht m và s dng công thc (2)  tính ng nng.
1.2. CÔNG CA LC:
 Công ca lc biu th nng lng mà lc ó ã cung cp thêm hoc làm hao
n cho c h trong quá trình chuyn ng.
 Công nguyên t ca lc
F
(tc là công ca lc trong khong thi gian vô
cùng bé dt) là i lng vô hng.

dsFdtvFrdFdA

cos

Trong ó

là góc hp gia lc và phng tip tuyn ca quo.

Công ca các lc thng gp:
 Công ca trng lc:
PhA



Trong ó h là  cao di chuyn ca m t trng lc. Ly du cng hoc tr tùy thuc
vào m t ca trng lc c h xung hoc nâng lên.
 Công ca lc àn hi khi m t di chuyn theo phng tác dng ca lc:

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 2 -
1


r

A
C
B
r

)(
2
1
2
2
2
1
xxkA 
 Công ca ngu lc có vec t mô men
M
tác dng lên vt quay quanh trc

:



 MA
Trong ó constM 


là hình chiu ca vec t mô men ngu lc
M
trên trc quay

.
 Công ca ngu lc ma sát ln trong di chuyn hu hn ca bánh xe (trng
p phn lc pháp tuyn có tr s không i trong quá trình bánh xe ln).


kNA



1.3. CÁC VÍ D TÌM NG NNG CA C H VÀ CÔNG CA LC:
Câu 1: Mt bng ti vt liu ang hot ng. Cho bit vt c ti A có khi lng m
1
,
các trc quay B và C là các trc ng cht có cùng bán kính r và khi lng m
2
, bng ti
là dây không dãn, ng cht có chiu dài l và khi lng m
3
c phân bu. B qua
 trt gia vt A và bng, tính ng nng ca c h theo vn tc góc ca trc dn gn
i ròng rc B.
Gii:
ng nng ca c hc tính nh
sau:
T = T

A
+ T
B
+ T
C
+ T
ng

Trong ó T
A
, T
B
, T
C
, T
ng
ln lt là
ng nng ca các vt A, B, C, và bng ti.
Ta có :
t A chuyn ng tnh tin thng:

2
1
2
1
AA
vmT 
Hai ròng rc B và C chuyn ng quanh các trc cnh :

2

11
2
1

JT
B
 ;
2
22
2
1

JT
C

ng ti là vt bin dng  tính ng nng ca nó ta chia bng ti thành nhiu
phn t, mi phn t xem nh là mt cht m có khi lng m
k
và có cùng vn tc v
A

(vì dây không giãn và gia vt A và bng không có s trt) nên:
T
ng
=
2
3
22
2
1

2
1
2
1
AkAAk
vmmvvm 


t khác ta có: rrv
A 21


Ngoài ra
21
, JJ ln lt là mô men quán tính ca các vt B và C i vi trc quay
riêng ca chúng:
2
2
2
21
rm
JJ 
y biu thc ng nng ca c h là:

2
321
2
1
2
321

)(
2
1
)(
2
1
A
vmmm
rmmmT





Câu 2: Con ln hình tr tròn A ng cht có khi lng m
1
, ln không trt trên mt
phng ngang, c qun dây vt qua ròng rc B có bán kính r và mô men quán tính i
i trc quay là J
0
, u kia ca dây buc vt D có khi lng m
2
.B qua khi lng ca
dây. Bit vt D chuyn ng vi vn tc v
D
, hãy tìm ng nng ca c h.
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 3 -
A


v
D
D

B

A

B


V
C
C

R

Gii:
 h gm 3 vt con ln A chuyn ng song phng, ròng rc B chuyn ng
quay và vt D chuyn ng tnh tin. ng nng ca hc tính nh sau:

2
2
2
0
22
1
2
1

2
1
)
2
1
2
1
(
DBAccDBA
vmJJvmTTTT 


Trong ó:
2
1
2
1
;
2
;
2
; RmJ
v
Rv
R
v
r
v
c
D

Ac
D
A
D
B



Thay các giá tr này vào biu thc tính ng nng ta c:
2
2
0
21
)
8
3
(
2
1
D
v
r
J
mmT 

Câu 3: C cu culit gm tay quay OC ng cht có chiu dài R và khi lng m
1
quay
quanh trc cnh O, con trt A có khi lng m
2
có th di chuyn dc theo tay quay
OC và truyn chuyn ng cho thanh AB có khi lng m
3
trt dc theo rãnh thng
ng. Tìm ng nng ca c hó ti v trí tay quay có vn tc góc

và to góc

vi
phng nm ngang. Cho bit khong cách t trc O n rãnh trt bng l.

Gii:
 h gm tay quay OC chuyn ng quanh O, con trt A c xem nh cht
m, thanh AB chuyn ng tnh tin.  tìm liên h ca c cu culit ta phi phân tích
chuyn ng phc hp ca con trt A vi hng là tay quay OC. Chuyn ng tng
i ca A là chuyn ng thng dc theo OC, chuyn ng theo là chuyn ng quay
O


C
B

A



l

V
a
V
e
V
r
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 4 -
a hng OC quanh O, do ó phng vn tc theo

e
v vuông góc vi OC và có tr s
là:



cos
l
OAv
e

. Áp dng nh lý hp vn tc ta c:

rea
vvv 




2
coscos
l
v
v
e
a

n tc tnh tin ca thanh AB cng chính là vn tc ca con trt A, ta tìm
c ng nng ca c h nh sau:

 
)(3cos
cos6
cos
)(
2
1
)
3
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
32
242
1
4
2
2
2
32
22
1
2

3
2
2
2
0
mmlRm
l
mmRm
vmvmJ
TTTT
AA
ABAoc























Câu 4: Con ln hình tr tròn có khi lng m
1
và bán kính r ln không trt trên mt
phng ngang vi vn tc ti khi tâm O là V
0
. Thanh thng ng cht OB có khi
ng m
2
và chiu dài l, quay u quanh trc O ca con ln A theo quy lut
t



. Bán
kính quán tính ca con ln A i vi trc O là

. Tìm ng nng ca c h.







Gii:
 h gm con ln A và thanh OB u chuyn ng song phng. ng nng ca

 hc tính nh sau:

)
2
1
2
1
()
2
1
2
1
(
22
2
2
0
2
01

ccA
JvmJvmT 
Trong ó

;
0
r
v
A
 là vn tc góc tng i ca thanh OB i vi h ta 

ng Oxy tnh tin cùng khi tâm O và cng là vn tc góc ca thanh OB quay quanh
khi tâm C. Vn tc tuyt i ca khi tâm C c tìm bng nh lý hp vn tc.

rea
vvv 
P
2
A

B

x

y



A


r

V
e
V
r
O



C


Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 5 -
i
0
;
2
vv
l
v
er


; ta có:


cos2
222
ererc
vvvvv 

tvlv
l
v
c


cos

4
0
2
0
22
2

Thay các giá tr tìm c  trên vào biu thc tính ng nng ta c:


































2
00
22
2
2
2
2
01
22
2
2
00
22
2
2
0
2
1
2

01
cos
3
1
2
1
1
2
1
)
12
1
(
2
1
cos
42
1
))((
2
1
2
1
vtvllm
r
vm
lmvtvl
l
m
r

v
mvmT






Câu 5: Con ln A có trng lng P
1
, bán kính vành trong và vành ngoài là r và R, ln
không trt trên mt phng nm ngang di tác dng ca mô men quay M = const.
Vành trong ca cong ln c qun dây và vt qua ròng rc B ng cht, bán kính r
1
.
u kia ca dây buc vt nng D có trng lng P
3
, có th trt trên mt phng nghiêng
góc

vi phng nm ngang. H s ma sát ln gia con ln vi mt phng ngang là k.
 s ma sát trt gia D vi mt phng nghiêng là f. Mô men cn ti trc quay O là
M
c
= const. Tìm tng công ca các lc tác dng lên c h trong di chuyn mà vt D i
c n ng S
D
.

Gii:
 h gm 3 vt, con ln A chuyn ng song phng, ròng rc B chuyn ng
quay và vt nng D chuyn ng tnh tin. Khi vt D chuyn ng c n ng s
D

c mt phng nghiêng, vt B quay c góc
B

, trc C ca con ln i c n
ng s
C
và con ln A quay c góc
A

. Tng công ca các lc tác dng lên c h
trong di chuyn ó bng:

DDBcAA
sfNsPMkNMA
331
sin 



 tìm các di chuyn qua di chuyn s
D
, ta da vào liên h gia các vn tc:

ACADBD
RvrRvrv

 ;)(;
1

Tích phân hai v ca các ng thc trên, ta tìm c liên h gia các di chuyn:

ACADBD
RsrRsrs

 ;)(;
1

Hay:
rR
Rs
s
rR
s
r
s
D
C
D

A
D
B



 ;;
1


r
1
A
B
D
M
l
r
R
M
c
M


s
C
C
A


s
D
B


P
3

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 6 -
t khác ta li có:

cos;
3311
PNPN 
Thay các giá tr tìm c vào biu thc tính công ca các lc ta c:

D
D
c
D
sfP
r
s
M
rR
s
kPMA )cos(sin)(
3
1

1






2. CÁC NH LÝ BIN THIÊN NG NNG:
2.1. NH LÝ BIN THIÊN NG NNG DNG HU HN:
 Bin thiên ng nng ca h trong di chuyn hu hn bng tng công ca tt
 các lc tác dng lên c h trong di chuyn ó.



k
ATT
0

Trong ó: T và T
0
ln lt là ng nng ca h ti thi m ang xét và thi
m u.

k
A là tng công hu hn ca các lc.
2.2. NH LÝ BIN THIÊN NG NNG DNG VI PHÂN:
 Vi phân ng nng ca c h trong di chuyn vô cùng bé ca h bng tng
công nguyên t ca các lc tác dng lên c h trong di chuyn ó.




k
dAdT
Hay:


k
W
dt
dT

Trong ó: T là ng nng ca c h ti thi m bt k,

k
dA và

k
W là tng
công nguyên t và tng công sut ca các lc.
2.3. CÁC VÍ D ÁP DNG:
Câu 1: Vt A có khi lng m
1
c t trên mt phng ngang nhn, gn bn l ti O
i thanh ng cht OB có khi lng m
2
và chiu dài l. H bt u chuyn ng t
trng thái tnh, khi ó thanh OB nm ngang. B qua ma sát ti bn l O. Tìm vn tc
a vt A ti thi m khi thanh OB  v trí thng ng.

Gii:
Xét c h gm vt a chuyn ng tnh tin và thanh OB chuyn ng song
phng. Áp dng nh lý bin thiên ng nng dng hu hn:


 ATT
0

Ban u hng yên, do ó T
0
= 0. Ti v trí thanh OB thng ng, vt A có vn
c
A
v còn thanh OB có vn tc góc

, ng nng ca h ti v trí ó bng:
)
2
1
2

1
(
2
1
22
2
2
1

ccA
JvmvmT  (1)
A
0

B
0

l
O
P
1
x
x
1
y
1
O
1
v
e

y
A
0

A
O
B
P
2
v
r
v
A


C

N
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 7 -
P
A
B
Q
M

R
n tc tuyt i ca khi tâm C ca thanh OB i vi h ta  cnh O
1
x

1
y
1

ng tng ca vec t vn tc tng i
2

l
v
r
 i vi h ta ng Oxy, chuyn
ng tnh tin cùng vi vt A, và vec t vn tc theo v
e
= v
A
; ta có:

2

l
vv
Ac

Thay giá tr này vào (1) vi lu ý
2
2
12
1
lmJ
c

 ta c:

22
2
2
2
2
1
)
12
1
(
2
1
)
2
(
2
1
2
1


lm
l
vmvmT
AA
 (2)
 tìm vn tc góc


là vn tc góc tng i ca thanh OB i vi h ta 
ng Oxy ng thi cng là vn tc góc tuyt i i vi h cnh O
1
x
1
y
1
, ta chú ý
ngoi lc P
1
, P
2
, N tác dng lên h luôn vuông gc vi trc O
1
x
1
, do ó ng lng ca
c bo toàn theo trc O
1
x
1
. Ban u hng yên, do ó ti v trí thng ng ng
ng ca h bng:

lm
vmm
l
vvm
A
AA

2
21
1
)(2
0)
2
(






Thay giá tr vn tc góc vào biu thc (2) ta tìm c ng nng ca h nh sau:

2
2
2121
6
)4)((
A
v
m
mmmm
T


Trong di chuyn ca h ch có trng lc P
2
sinh công và bng:



2
2
l
gmA
y vn tc ca vt A khi thanh OB  v trí thng ng là:

)4)((
3
2121
2
mmmm
gl
mv
A



Câu 2: Mt vt A có trng lng P c kéo lên t trng thái ng yên nh ròng rc B
là a tròn ng cht có bán kính R, trng lng Q và chu tác dng ngu lc có mô
men M không i. Tìm vn tc ca vt A khi nó c kéo lên mt n bng h, tìm gia
c vt A.
Gii:
 h gm vt A chuyn ng tnh tin, ròng rc B quay quanh
trc cnh. Áp dng nh lý bin thiên ng nng dng hu hn:


 ATT

0

Ta có T
0
= 0, vì ban u hng yên. ng nng ca h khi vt A
chuyn ng c mt h là:

22
2
)
2
1
(
2
1
2

R
g
Q
g
Pv
TTT
A
BA

Ngoài ra ta có:

Rv
A


y ng nng ca h bng:

g
vQP
T
A
4
)2(
2

 (1)
ng công ca các lc:
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 8 -


 PhMA


Trong ó

là góc quay c ca ròng rc khi vt A c nâng lên mt n
h.:

Rh


y:
hP

R
M
A







 (2)
t hp (1) và (2) ta c:
hP
R
M
g
vQP
A








4
)2(
2

h
QPR
PRM
gv
A
)2(
)(
4




 tìm gia tc ca vt A ta áp dng nh lý bin thiên ng nng dng vi phân nó
c vit nh sau:

const
QPR
PRM
ga
vP
R
M
av
g
QP
A
AAA













)2(
2
2
)2(

Câu 3: Mt tm nng có khi lng m, c t nm ngang trên hai con ln, mi con
n là mt khi tr tròn xoay ng cht có bán kính r và khi lng m
1
. Tác dng vào
m mt lc
F
nm ngang có  ln không i. H s ma sát ln gia con ln vi mt
n là k. Các con ln ln không trt trên nn và tm nng không trt i vi các con
n. Tìm gia tc ca tm và tìm lc ma sát trt tng cng do mt nn tác dng lên các
con ln. B qua ma sát ln gia tm và các con ln.

Gii:
 gm tm nng chuyn ng tnh tin, các con ln chuyn ng song phng.
Các lc tác dng lên h sinh công gm có lc
F
, các ngu lc ma sát ln do nn tác
ng lên các con ln, chúng có mô men ln lt là: M
l1
= kN
1
, M
l2
= kN
2
.
 tìm gia tc ca tm nng ta có th áp dng nh lý bin thiên ng nng dng
o hàm nh sau:


 W
dt
dT

ng nng ca h gm ng nng ca tm nng và hai con ln:











22
2
2
1
2
1
2
11
2

Jvm
mvT

Vì không có hin tng trt gia con ln và nn, gia con ln và tm nên:

r
v
r
v
v
v
2
;

2
1
1



v
1
v
v
1
M
l1
M
l2
F

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 9 -
Trong ó v là vn tc ca tm nng, v
1
và

là vn tc và vn tc góc ca các
con ln.
y ng nng ca h :

2
4
34

2
1
v
mm
T


Bây gi ta tính tng công sut ca lc
F
và ca các ngu lc ma sát ln.

vPPP
r
k
FPPPkFv
NNkFvMMFvW
ll









)()(
)()(
2121
2121




nh lý bin thiên ng nng dng o hàm cho ta:

1
1
1
21
21
1
34
)2(
4
34
)(
4
)(
4
34
mm
gmm
r
k
F
mm
PPP
r
k
F

a
vPPP
r
k
Fva
mm















 tìm lc ma sát tng cng do nn tác dng lên các con ln ta vit phng trình
chuyn ng khi tâm cho h:





kkms
NPFFamam

11
2
Khi chiu phng trình vec t nhn c lên trc nm ngang ta c:



ms
FFamma
11
2
Chú ý rng:
1
2aa  ta tìm c:
ammFF
ms
)(
1


(vi a c tính nh trên).
Câu 4: Mt thanh ng cht AB có chiu dài 2a, quay c quanh trc A cnh còn
u B ta trên sàn. Truyn cho thanh vn tc góc ban u
0

và khi thanh  v trí nm
ngang liên kt ti A b mt. Tip theo thanh chuyn ng t do trong mt phng thng
ng di tác dng ca trng lc. Tìm giá tr ca vn tc góc u
0

ca thanh  khi

thanh ri chm vào sàn thanh  v trí thng ng.









Gii:


Chuyn ng ca thanh gm hai giai n: giai n u thanh t v trí thng
ng c truyn vn tc gc
0

, quay quanh trc cnh qua A và kt thúc khi thanh
m  v trí nm ngang và liên kt  A b mt; giai n th hai liên kt  A b mt và
thanh chuyn ng song phng. u kin u  giai n hai là u kin cui ca giai
n u.  tìm u kin cui ca giai n u chúng ta áp dng nh lý bin thiên
ng nng dng hu hn:
0


1


A
B

B
’

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 10 -


 ATT
0

Qua tính toán ta c:
PaJ
A
 )(
2
1
2
0
2
1


Trong ó
1

là vn tc gc ca thanh khi nó quay n v trí ngang, J
A
là mô men
quán tính ca thanh i vi trc qua A:
2

3
4
maJ
A
 . Tó ta tìm c:

a
g
2
3
2
0
2
1


(1)
Trong giai n th hai thanh chuyn ng song phng, phng trình chuyn
ng có dng nh sau:
.0;;0 

cycxc
Jmgmama
Ta có các u kin u:
10010000
;0;;0;0;

 avyvax
yccxcc

Khi tích phân ta nhn c:

t
t
gtayax
cc 1
2
1
;
2
;


 khi thanh ri chm vào sàn  v trí thng ng, các u kin sau phi tha
mãn:

, 3,2,1,0;
2
)12(;  kkay
c



y ta có:
tka
t
gta
1
2
1

2
)12(;
2




Kh t t các phng trình này ta nhn c
1

và thay biu thc này vào (1) ta
c:












2)12(
)12(
6
4
22
2

0



k
k
a
g

Câu 5: Mt chic xe tng c khi ng nh mt ng c làm quay 4 bánh xe (mi
bên hai bánh) kéo theo xích chuyn ng. Sau 8 giây k t lúc bt u chuyn ng xe
t c vn tc 36 km/gi. Hãy xác nh công sut trung bình ca ng c, nu trng
ng ca hòm xe là P
1
= 50.000N, trng lng mi bánh P
2
= 2000N, trng lng mi
xích P
3
= 5000N. Bánh xe coi nha tròn ng cht.


Gii:

 h kho sát gm: thân xe chuyn ng tnh tin, bánh xe chuyn ng song
phng (4 bánh), xích xe chia làm ba phn : n AB không chuyn ng, có vn bng
không; n CD chuyn ng tnh tin vi vn tc bng hai ln vn tc xe tng; n ba
m hai na vành tròn kt hp AID và BIIC chuyn ng song phng(nh hình v).
v

A
C
B
R

D
I

II

R

v

DC
v
R
II

AB

I

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 11 -
 xác nh công sut trung bình ca ng c ta áp dng công thc:

t
A
W


Trong ó

A là tng công ca các lc thc hin c khi xe tng i c mt
quãng ng nào ó trong thi gian t.
t khác theo nh lý ng nng ta có:


 ATT
0

Mà T
0
= 0 vì ban u xe ng yên, vy ta có:

t
T
W 
Bây gi ta ch cn tính ng nng T ca xe khi nó chuyn ng vi vn tc v =
36 km/gi. theo phân tích chuyn ng trên ta có:
T = T

hòm xe
+ T
4 bánh
+ T
2 xích

T
hòm xe
=
2
1
2
1
v
g
P
.
T
4 bánh
=
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2

3
2
4
22
4
2
4
2
4 v
g
P
g
vP
g
RP
v
g
P
J
o





T
2 xich
= 2T(DC) + 2T (vành tròn)
T(DC) =
)(2

)2(
)22(2
)2(
)(
2
3
2
3
2
Rlg
lvP
v
Rlg
lP
v
DCm





T(vành tròn) =
2
3
2
3
2
2
3
)(222

2
222
2.
v
Rlg
RP
g
v
Rl
RP
g
R
Rl
RP













y: T
2 xích
=

g
vP
2
3
2

Cui cùng ta nhn c biu thc ng nng ca h nh sau:

g
v
PP
P
g
vP
g
vP
g
vP
T
2
32
1
2
3
2
2
2
1
23
2

2
3
2








y công sut ca ng c là:

gt
v
PP
P
T
2
32
1
23
2








Th các giá tr mà  cho ta c: W = 51,250 kW.
Câu 6: Mt c cu hành tinh t trong mt phng nm ngang chuyn ng t trng thái
ng yên nh mt ngu lc có momen không i M t vào tay quay OA. Tay quay OA
quay quanh trc cnh qua O làm cho bánh 2, là mt a tròn ng cht có bán kính r
2

và trng lng P, ln không trt i vi bánh 1 có bán kính r
1
và cnh.Xem tay
quay OA là thanh ng cht, có trng lng Q, b qua các lc cn, xác nh gia tc góc
a tay quay.








O

r
1
r
2
A

M

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 12 -
Gii:
 gm: tay quay OA quay quanh trc cnh qua O, bánh 2 chuyn ng song
phng. D dàng nhn thy rng ch có ngu lc sinh công, các trng lc không sinh
công vì c cu dt trong mt phng ngang.  tìm gia tc góc ca tay quay ta áp dng
nh lý bin thiên ng nng:

 W
dt
dT

ng nng ca h bng tng ng nng tay quay và hai bánh:
T = T
OA
+ T
2

Tay quay OA quay quanh trc cnh vi vn tc góc

nên:

2
2
21
2
3
)(
2
1

2
1

rr
g
Q
JT
oOA


Bánh 2 chuyn ng song phng vi vn tc góc
2

và vn tc khi tâm v
A
nên:

22
2
2
2
22
22
2
1
42
1
2
1
AAA

v
g
P
r
g
P
v
g
P
JT 


Biu thc ng nng toàn h là:

22
2
2
2
2
2
21
2
1
43
)(
2
1
A
v
g

P
r
g
P
rr
g
Q
T 




u xem m A nm trên tay quay OA thì:
)(
21
rrv
A



t khác có th xem m A thuc bánh song phng 2, có tâm vn tc là m
tip xúc:

22
rv
A


ó ta có:
)1(

2
1
2
r
r



Thay các i lng va tính c vào biu thc ng nng ta c:

22
21
)(
6
92
2
1

rr
g
PQ
T 



 dàng tính c:
dt
d
rr
g

PQ
dt
dT


2
21
)(
6
92




Vì ch có ngu lc sinh công nên ta có:


MW 


y nh lý bin thiên ng nng cho ta:




M
dt
d
rr
g

PQ


2
21
)(
6
92

y ta có gia tc góc ca tay quay là:

const
rrPQ
Mg
dt
d



2
21
))(92(
6



y tay quay OA quay nhanh dn u.
Câu 7: Vt nng A có trng lng P
1
c buc vào u dây vt qua ròng rc B ng

cht trng lng P
2
và dây li c qun vào tang quay C có trng lng P
3
và bán
kính r. Tang C quay quanh trc cnh O di tác dng ca momen quay
2

aM  vi

là góc quay ca tang, a = const > 0. Khi lng ca tang C c xem nh phân b
u trên vành tang. B qua khi lng ca dây và ma sát ti các trc quay ca ròng rc
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 13 -
A
B
C
2

aM 
r
P
1

c


r
1
h

v
A
và ca tang, dây không giãn. Ti thi m u hng im. Tìm vn tc ca vt A ph
thuc vào  cao h mà nó kéo lên.
Gii:
Xét c h gm vt A chuyn ng tnh tin, ròng rc B và tang quay C chuyn
ng quay. C h chu tác dng ca momen quay M ph thuc vào góc quay ca C, do
ó ta phi áp dng nh lí bin thiên ng nng dng vi phân.


 dAdT
ng nng ca c h ti mt v trí bt kì trong chuyn ng ca nó:
2
0
2
01
2
1
2
1
2
1
2
1
CBA
JJv
g
P
T



Trong ó:
2
3
0
2
1
2
01
1
;
2
1
;; r
g
P
Jr
g
P
J
r
v
r
v
A
C
A
B



Thay các kt qu trên vào biu thc tính ng nng ta c:
2
321
)22(
4
1
A
vPPP
g
T 

Vi phân hai v biu thc trên ta có:
AA
dvvPPP
g
dT )22(
2
1
321

(1)

i v trí ang xét ca h, nu cho vt A di chuyn mt n vô cùng bé dh thì
tang quay C quay c góc vô cùng bé

d và tng công nguyên t ca các lc tác dng
lên h trong di chuyn ó bng:
dhPh
r
a
dhP
r
dh
r
h
adhPdadA )(
1
2
3
1
2
2
1
2



(2)
t hp (1) và (2) ta c:
dhPh
r

a
dvvPPP
g
AA
)()22(
2
1
1
2
3
321


Tích phân hai v phng trình trên vi u kin u khi h = 0 thì v
A
= 0.
dhPh
r
a
dvvPPP
g
h
A
v
A
A
)()22(
2
1
1

2
3
00
321



hPh
r
a
vPPP
g
A 1
3
3
2
321
3
)22(
4
1


Gii ra ta tìm c vn tc ca vt A ph thuc vào  cao h mà nó i c;
)22(3
)3(
2
321
3
1

32
PPPr
Prahgh
r
v
A



Câu 8: Các vt nng A và B c ni vi nhau bng mt si dây không dãn vt qua
ròng rc C. Khi vt nng A có trng lng P
1
h xung di, ròng rc C có trng lng
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 14 -
P
3
quay xung quanh trc nm ngang cnh ca nó, còn vt nng B có trng lng P
2

c nâng lên theo mt phng nghiêng vi phng ngang mt góc

. Cho bit ròng rc
C là a tròn ng cht có bán kính R, có momen cn t lên nó là M
C
, h s ma sát
gia vt B và mt phng nghiêng là f, b qua khi lng ca dây.Xác nh gia tc ca
t A.
Gii:
Gi s ban u hng yên và sau khong thi gian t vt A di chuyn c mt

khong s, ròng rc quay c mt góc
R
s


. Vn tc ca vt A, vt B  thi m t có
giá tr bng nhau: v
A
= v
B
= v.












Do si dây không dãn và ròng rc là vt rn cho nên công ca ni lc bng
không. Công ca các ngoi lc tác dng lên h bng:
R
s
MsPsPfA
C


12
)cos(sin


ng nng ca c hc tính theo công thc:

















22
1
2
1
2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
3
21
2
2
2
2
3
2
2
2
1
22
2
2
1
P
PP
g
v
R
v
R

g
P
v
g
P
v
g
P
Jv
g
P
v
g
P
TTTT
CBA


Áp dng nh lí bin thiên ng dng o hàm ta tìm c gia tc ca vt A:
dt
dA
dt
dT
















2
1
)cos(sin
3
21
21
P
PP
R
M
fPPg
dt
dv
a
C




Câu 9: Ngi A i xe p trên ng thng ngang. Trng lng ca ngi và khung xe
là P. Mi bánh xe có trng lng p, bán kính r và c coi nh vành tròn ng cht, ln
không trt trên mt ng. H s ma sát ln gia các bánh xe vi mt ng là k. Xe

và ngi chu lc cn ca gió, có hp lc
Q vi gi thit Q = const và luôn to góc


i phng nm ngang. Ti các trc quay ca bánh xe có momen cn M
C
= const. Nu
xe ang chuyn ng vi vn tc v
0
thì ngi A không p na, tìm n ng mà t
lúc ó xe i c cho n lúc dng li.


B
A
C
R
P
1
P
2

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 15 -
P
p p
Q


M

C
M
C
Gii:
 h gm ngi A và khung xe chuyn ng tnh tin, hai bánh xe B
1
, B
2

chuyn ng song phng. Áp dng nh lí bin thiên ng nng dng hu hn:

 ATT
01
(1)
i v trí cui ca chuyn ng xe dng li do ó T
1
= 0.
i v trí u ng nng ca h bng:









22
0
2

00
2
1
2
1
2
2
1
Bc
Jv
g
p
v
g
P
T


Trong ó:
2
0
; r
g
p
J
r
v
cB



thay vào biu thc trên ta c:


2
00
2
4
v
g
pP
T


(2)












Xe di chuyn c n ng s
A
thì bánh xe ln c góc
r

s
A
B


.
ng công ca các lc trong di chuyn ca h bng:
BcBA
MkNNsQA

2)(.cos
21



t khác: pPQNN 2sin
21



Vây:
A
c
BcBA
s
r
M
pPQ
r
k

Q
MkpPQsQA
.
2
)2sin(cos
2)2sin(.cos











(3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta c:
A
c
s
r
M
pPQ
r
k
Qv
g
pP

.
2
)2sin(cos
2
)4(
2
0











Gii ra ta tìm c n ng i ca xe p :
 
c
A
MpPkkrQg
vpPr
s
2)2()sincos(2
)4(
2
0







Câu 10: Khi hình tr tròn ng cht có bán kính áy bng r, có vn tc u rt nh,
n không trt trên mt bàn nm ngang. Khi ln n mép bàn ti B, ng sinh ca
khi tr song song vi mép bàn. Ti thi m khi tr tách khi bàn, góc CBC
ˆ
0


có
giá tr nào ó. B qua ma sát ln và lc cn không khí. Tìm giá tr ca góc

và vn tc
c ca khi tr ti thi m nó tách khi bàn.
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 16 -
Gii:
Áp dng nh lut II Newton cho khi tr:
cms
amFNP





i thi m khi tr tách khi bàn, thì N = 0, do ó phng trình trên ch còn 
ng n gin:

cms
amFP




Chiu lên trc pháp tuyn C
n
ca quo ca m C, ta c:
r
v
mP
c
2
cos 


i B là tâm quay tc thi ca khi tr

rv
c
 ,suy ra:

cos
2
gr 

Khi tr chuyn ng song phng, ban du có vn tc rt nh nên ta có th xem
T
0
= 0, ng nng ca khi tr ti v trí tách ra khi bàn bng:
2222222
4
3
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
2
1

mrmrrmJmvT
cc









Áp dng nh lí bin thiên ng nng dng hu hn:

 ATT
0

Th các giá tr tính toán  trên vào ta c:
)cos1(cos
4
3
)cos1(
4
3
22




gg
mgrmr

ây ta tìm c góc


và vn tc góc

ca khi tr ti thi m nó bt u
tách khi bàn:
r
g
7
2;
7
4
cos 


Câu 11:n dây xích AB có chiu dài l, có hai phn ba xích nm dc theo ng dc
chính ca mt phng, nghiêng góc

vi phng nm ngang, phn còn li ca xích
c buông thõng theo phng thng ng. Di tác dng ca trng lc dây xích bt
u chuyn ng dc theo mt phng nghiêng xung phía di t trng thái tnh. cho
bit h s ma sát gia xích vi mt phng nghiêng là f. Tìm vn tc ca xích ti thi
m khi u B ca xích chuyn ng n m O, xích bt u nm hoàn toàn trên mt


B
C
P
v
c
n
F

ms
C
0
t


Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 17 -
nghiêng. H s ma sát f phi tha mãn u kin gì  xích có th trt xung dc theo
t nghiêng nh vy.
Gii:
Xét h là n dây xích AB, ta áp dng nh lí bin thiên ng nng dng vi
phân:

 dAdT
i v trí bt kì ca hc xác nh bi ta  OA = x, mi mt xích u có vn
c bng v, kí hiu P là trng lng ca cn dây xích, ta c ng nng ca c h:
22
2
1
2
1
v
g
P
vmT
k











Suy ra:
vdv
g
P
dT 

i v trí ó, n xích c chia làm hai phn: n OA có trng lng
l
Px
P 
1

và n OB có trng lng
l
xlP
P
)(
2

 . Lc ma sát tác dng vào n xích OA có giá
tr bng:

coscos.

1
l
fPx
fPNfF
ms












Cho c h di chuyn mt n vô cùng bé dx, tng công nguyên t ca các lc
tác dng lên c h là:
Pdxxdxf
l
P
dxPdxFdxPdA
ms


)1cos(sinsin
21


y ta có:
Pdxxdxf
l
P
vdv
g
P
 )1cos(sin


i v trí ban u lx
3
2
0
 , v trí cui khi B chuyn ng n O thì x
1
= l. Tích
phân phng trình trên:


l
l
l
l
v
dxgxdxf
l
g
vdv
3

2
3
2
0
)1cos(sin


 
1)cos(sin5
18
lg
2
2


f
v

 
1)cos(sin5lg
3
1


fv

x
O
A
B

P
2
P
1
l-x
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 18 -


A
B
H
B
C
A
l
 cho n xích có th trt xung dc theo mt nghiêng, h s ma sát phi
tha mãn u kin sao cho biu thc di du cn phi dng:




cos
5
1
0
1
)
cos
(sin

5




tgf
f

BÀI TP T GII:
Câu 1: Trên mt phng nghiêng góc

ngi ta t mt hình trc A có khi lng
m
1
= 4kg và bán kính r =5cm, cách chân H ca mt phng nghiêng mt n 2m. Ngi
ta xuyên dc theo trc ca hình tr mt thanh nh không có khi lng, tì vào các  bi.
Dùng mt si dây không dãn, không có khi lng, ni vào thanh lõi ca hình tr mt
t B có khi lng m =2kg. Tìm lc cng ca dây ni và thi gian hình tr ln n H
 t khi bt u th vt B, khi góc nghiêng
0
30

. Cho bit h s ma sát gia vt B
và mt phng nghiêng là k = 0,2, b qua ma sát  các  bi và ma sát ln.
áp s:
a
l
t
2
 , vi



2
cossin)(
1
21
221
m
mm
kmmmg
a




;


)sincos(
2

 kgamT







Câu 2: Vt khi lng m

1
c treo bng si dây không dãn, khi lng không áng
, vt qua mt ròng rc cnh B gn vi mt bàn nm ngang. u kia ca si dây ni
i trc ca mt con ln C có th ln không trt trên mt bàn. Ròng rc B và con ln C
là nhng hình trng cht có cùng bán kính R và khi lng m
2
. Ban u c hng
yên. Tìm vn tc ca vt A sau khi nó i c mt n h
0
cho bit momen ma sát ln
tác dng lên C bng M
ms
= fN, và công ca ma sát ln (công cn) bng

ms
M (vi

là
góc quay quanh trc). B qua ma sát  trc ròng rc và sc cn không khí, coi si dây
không trt trên rãnh ròng rc.
áp s:
)2(
)(2
21
21
mmr
ghfmrm
v











Câu 3: Mt dây ng cht dài L có mt phn nm trên mt bàn nm ngang nhn, mt
phn buông t do. Xác nh khong thi gian T  dây ri khi mt bàn, bit rng ti
thi m u chiu dài ca phn dây th buông dài là l và vn tc u bng không.
áp s:
)ln(
22
l
lLL
g
L
T





Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 19 -
B
A
A
0

h

a
0

m
m
M
l
v
0

Câu 4: Di tác dng ca trng lng bn thân, mt khi tr tròn ng cht ln xung
theo ng dc chính ca mt phng nghiêng có góc nghiêng là

. H s ma sát gia
t tr và mt phng nghiêng là f. Tìm góc nghiêng

ca mt phng nghieng m
o cho chuyn ng ln ó là không trt và tìm gia tc ca khi tr. B qua ma sát
n.
áp s:

sin
3
2
;3 gafarctg  .
Câu 5: Mt tr tròn ng cht A, có khi lng m, ln xung theo mt dây treo thng
ng qun vào nó. u B ca dây c buc cht và khi tr ri không vn tc u thì

nh dây qun ra. Tìm vn tc trc khi tr khi nó ã ri c mt n thng h và tìm
c cng ca dây treo.
áp s:
3
;3
3
2 mg
Tghv  .






Câu 6: Vit phng trình chuyn ng ca mt vt ri nu kn lc cn ca không
khí bit lc cn t l vi vn tc ri vkF
c


 , trong ó k = const > 0 là h s t l.
áp s:
)1(
2
2
t
m
k
e
k
gm

t
k
mg
x 
Câu 7: Mt vt ban u ng yên nh mt cái nêm nh ma sát.Tìm thi gian vt
trt ht nêm khi nêm chuyn ng nhanh dn sang trái vi gia tc
0
a

. H s ma sát
gia nêm và vt là k, chiu dài mt nêm là l, góc nghiêng là

và

gga cot
0
 .
áp s:

cos)(sin)(
2
00
kgakag
l
t



Câu 8: Trên mt bàn nm ngang rt nhn có mt tm ván khi lng M, chiu dài l. t
u ván mt vt nh có khi lng m. H s ma sát gia vt và ván là k. Tính vn tc
i thiu v
0
cn truyn t ngt cho ván  vt trt khi ván.
áp s:
M
mMkgl
v
)(2
0






Câu 9: Mt vt A có khi lng m
1
trt trên mt phng nghiêng và làm quay hình tr
tròn ng cht có bán kính R. Khi lng hình tr là m, momen càn t lên hình tr là
M
c
. H s ma sát gia A và mt phng nghiêng là k. Tìm gia tc góc ca hình tr. Bit
Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 20 -
45

0

45
0



2
1
góc to bi mt phng nghiêng và mt nm ngang là

, si dây không dãn, không khi
ng.
áp s:
)(
)cossin(
2
11
R
J
mR
R
M
gkmgm
c






Câu 10: Hai vt nng P
1
và P
2
c buc vào hai dây qun vào hai tang ca mt ti bán
kính là r và R.  nâng vt nng P
1
lên ngi ta tác dng vào ti mt momen quay M.
Tìm gia tc gc ca ti quay, gia tc ca hai vt. Bit trng lng ca ti là Q và bán
kính quán tính i vi trc quay là

.
áp s:



Rara
QRPrP
grPRPM




21

222
2
22
1
12
;;
)(









Câu 11: Mt cun ch gm hai a tròn ng cht nh nhau có bán kính R và khi
ng M c gn vào trc có bán kính, khi lng không áng k. Mt si chc
cun vào trc ca cun và gn lên trn. Cho cun ch chuyn ng xung di t trng
thái tnh, tìm gia tc chuyn ng ca tâm cun ch.
áp s:
g
r
R
a
1
2
2
2
1
















Câu 12: Mt xi lanh thành mng, khi lng m, bán kính R, c quay vi tc 
góc
0

ri c t nh nhàng vào gia hai mt phng nghiêng, nhám, có góc nghiêng
0
45

so vi phng ngang. H s ma sát trt gia xilanh và hai mt phng nghiêng
u bng

. Tính s vòng xilanh quay c cho n khi dng li. Cho bit trc ca
xilanh ng yên khi b hãm.
áp s:
g

R
N


24
)1(
2
0
2






M
c
m
1
P
2

M

P
1

R

r

Nguyn Anh Vn Lý K32 i Hc Cn Th
- 21 -

Câu 13: Mt hình trc ng cht có bán kính R ln trên mt mt phng nm ngang
i mt mt phng nghiêng to mt góc

vi mt phng ngang. Tìm giá tr cc i v
0

a vn tc mà vi giá tró hình tri trên mt phng nghiêng mà không nhy. Gi s
không có s trt.
áp s: )4cos7(
3
max0


gR
v








Câu 14: Mt hòn bi ng cht, bán kính r ln không trt tnh mt qu cu bán kính
R. Xác nh v trí hòn bi ri mt cu và tc  góc ca hòn bi khi ó.
áp s:

2
17
)(10
;
17
10
cos
r
grR 












Câu 15: Mt hòn bi bán kính r nm yên ti nh ca mt qu cu bán kính R. Khi qu
u nhn c gia tc
a

không i, nm ngang thì hòn bi bt u ln không trt
xung di. Xác nh v trí hòn bi ri qu cu và tc  góc ca hòn bi i vi trc qua
tâm ca nó.
áp s:
)1(17

1891710
cos;
17
)(10
2
2
2
2
2
2





g
a
g
a
g
a
r
grR


R
v
0



O
P


P


a
