Đề thi chọn học sinh gỏi trường môn toán lớp 12 Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế ppsx

Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 1


Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA CHỌN
HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Tổ Toán Tin MÔN TOÁN (
Năm học 2009-2010 )
 ( Thời gian
làm bài 180 phút )

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: ( 3 điểm )
a) Một trường học có 20 học sinh xuất sắc, trong đó có 5
cặp sinh đôi. Nhà trường cần chọn 5 học sinh xuất sắc đi dự
trại hè sao cho trong đó không có cặp sinh đôi nào. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
b) Cho n là một số nguyên dương với
2
n

. Chứng minh
rằng:



1 2 2 2 3 2 4 2 2
2 . 3 . 4 . . 1 .2

n n
n n n n n
C C C C n C n n

      
Câu 2: ( 2 điểm )
Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 2

Cho dãy số


n
u
xác định như sau
 
1 2
1 1
2, 3
2,
3 2
n n n
u u
n n
u u u
 
 


 

 

¥

Hãy xác định số hạng tổng quát
n
u
và tính tổng
1 2

n
u u u
  
.
Câu 3: ( 3 điểm )
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1
a b c
  
.
Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
  

  
.
Câu 4: ( 4 điểm )
Tìm tham số m để phương trình
1 1 1
sin cos 1 tan cot
2 sin cos
x x x x m
x x
 
      
 
 
có nghiệm
0;
2
x

 

 
 
.
Câu 5: ( 4 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn tâm I nội tiếp tam
giác đó tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các
điểm D, E, F. Đường phân giác trong của góc
·
BIC
cắt cạnh

BC tại điểm M, đường thẳng AM cắt EF tại điểm P.
a) Chứng minh rằng DP là phân giác của góc
·
EDF
.
b) Chứng minh bất đẳng thức
2
1
4. .
2
DP DE DF EF
  .
Câu 6: ( 4 điểm )
Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế


Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 3

Cho tứ diện SABC với
, ,
SA a SB b SC c
  
. Một mặt phẳng
thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA,
SB, SC lần lượt tại các điểm D, E, F.
a) Chứng minh đẳng thức
4
a b c
SD SE SF
  

.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
T
SD SE SF
  