Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Từ 1992-1992 tới 2003-2004) pps

Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Đề số 1 (Năm học 1992-1993)

Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:







cd1ab
dcba

Chứng minh rằng: c = d.
Bài 2: Chứng minh:






2
2
2
2
2
2
1x2dcxxbaxx 
Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện
1

d
c
b
a
2222

.
Bài 3: Cho
1021
a, a,a là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 
92110
2
10
2
2
2
1
a aaa
a aa
P



.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4).
a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ CB,OA cùng phương?
b) Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho
0

45
MBA
 .


Đề số 2 (Năm học 1993-1994)

Bài 1: Cho phương trình: k5xx4  .
a) Giải phương trình với k = 3.
b) Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phương trình
0
1
ax
x
2
 và
0
2
bx
x
2
 có một nghiệm chung.
ii) Tổng ba  nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình:

05x2x3y
22


Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3).
a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn:
0
MC
4
MB
3
MA
2
 .
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho:
222
NC2NBNA  .


Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Đề số 3 (Năm học 1994 – 1995)

Bài 1: a) Chứng minh:


71923
189019451930
592


b) Đơn giản biểu thức:
xsin1
xsin1

.
xcos1
xcos1
xcos1
xcos.xsin
A






(với
00
180
x
0

)
Bài 2: Cho hàm số
1x68x1x2x)x(f 

a) Tìm tập xác định D của hàm số.
b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số.
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với
đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,
N, P thoả mãn
0
CM

BP
AN

. Chứng minh tam giác ABC đều.

Đề số 4 (Năm học 1995-1996)

Bài 1: Giải hệ phương trình sau với các ẩn số x, y, z:











8zyx
6zyx
2zyx
333
222

Bài 2: a) Cho 1cbaRc,b,a






vµ . Chứng minh rằng:
6accbba 
b) Gọi
21
x,x là nghiệm của hệ:












0,
1xx
0xx
21
21

Chứng minh rằng:
4
1
x.x
21


Bài 3: Cho tam giác ABC.
a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức:
0
IC
6
IB
3
IA
 .
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EC2EBEA
3
1
EF  . Tìm
bao hình của đường thẳng EF.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn với OK = k 
0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trường hợp sau:
a) Tổng
22
KB
KA

đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
b) Tổng
22
KB
KA

đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.

Đề số 5 (Năm học 1996-1997)

Bài 1: Giải hệ phương trình:
















0
yx
x3y
y
3
yx
y3x
x
22
22

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 1n,n;2
n
n
1
n
n
1
n
n
n
n
 Z .
Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:
     
BABCBCBA
yyxxyyxx
2
1
S  .
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O. Tìm vị trí
của điểm M để biểu thức:
222
MC
3
MB
2
MA
T


đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn
nhất. Tính các giá trị đó.
Đề số 6 (Năm học 1997 – 1998)
Bài 1: a) Cho




43x/RxB;32x/RxA  .
Tìm BA;BA


?
b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng


654321
A;A;A;A;A;A
trong đó không có 3 điểm
nào thẳng hàng. Mỗi đoạn
ji
AA
nối 2 trong 6 điểm đó được tô bằng màu đỏ hoặc xanh.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác
kji
AAA
có 3 cạnh đồng màu.
Bài 2: Cho phương trình:
0
1

m
x
4
x
2

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx

thoả mãn:
7
x
x
x
x
2
1
2
2
2
2
2
1

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
53
)x2(x)x(f  trên [0; 2].

Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh:
A
sin
Ccos
C
sin
Bcos
B
sin
Acos
CgcotBgcotAgcot
3
3
3
3
3
3
333

b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2
hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh:
BN
AR

.

Đề số 7 (Năm học 1998 –1999)
Bảng A
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phương trình:







2
222
cbyaxyx  có nghiệm thì bất
đẳng thức sau đúng:


2
2
bac3  .
Bài 2: Cho hàm số:
**
:f

 QN
thoả mãn điều kiện:
a)
2
)
1
(
f

, và
b) 1n)n(fn)n(f )2(f)1(f
2

 .
Hãy tìm công thức đơn giản của
)
n
(
f
?
Bài 3: Giải phương trình:
20xx1x59x14x5
22

.
Bài 4: a) Cho n véc tơ
n21
a, ,a,a đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất trong n
véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại.
Chứng minh rằng: 0a aaa
n21
 .
(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau).
b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng:

tgB
1
tgA
1
tgC
2
BNAM 
.

Đề số 8 (Năm học 1998-1999)

Bảng B
Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y  1.
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy4
xy
2
yx
1
P
22


 .
Bài 2: (Bài 2 bảng A).
Bài 3: Giải phương trình:
21xx1xx
2
4
2

.
Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ABC. Chứng minh:

0OC.SOB.SOA.S
AOBAOCBOC


b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c).
Chứng minh rằng: Nếu a+b < 3c thì:
2
1
2
B
tg.
2
A
tg 
.
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho )3,2,1i(,b,a
ii


R .
a) Chứng minh rằng:






2
332211
2
3
2
2

2
1
2
3
2
2
2
1
babababbbaaa 
b) Giả sử
.4aaaaaa
133221




Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
3
4
2
4
1
aaaP  .
Bài 2: a) Giải hệ phương trình:

















3
zy
yz
2
zx
xz
1
yx
xy

b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phương trình:

0z9y3x
333


Bài 3: a) Cho 0b,0a  .
Chứng minh rằng:



b,acos.b.ab.a 

b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC vuông
góc thì
5
4
Bcos  .
c) Cho ABC không cân, đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh
BC, CA, AB tương ứng ở A
1
, B
1
, C
1
. Gọi M là giao điểm của BC và B
1
C
1
. Chứng minh rằng:
MO vuông góc với AA
1
.

Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Đề số 10 (Năm học 2000-2001)
Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phương trình:
0
m
1

mx
x
22

có nghiệm
]
1
;
1
[
x


.
b) Cho hệ phương trình:
















1n
2
n
n1n
2
1n
32
2
2
21
2
1
xcbxax
xcbxax

xcbxax
xcbxax

Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên:
- vô nghiệm.
- có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phương trình
0
b
a
abx
x
2
 có nghiệm nguyên.
Bài 3: a) Cho ABC và 3 điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

Tính giá trị biểu thức
'
CC
.
AB
'
BB
.
CA
'
AA
.
BC
S

b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P. Tính
AP.
Bài 4: a) Tìm điểm M trong ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất.
b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đường chéo AC, BD cho trước và góc giữa hai đường chéo đó
có độ lớn đã cho. Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.
Đề số 11 (Năm học 2001-2002)
Bảng A
Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác đều có một
đường tròn ngoại tiếp nó”.
b) Giải phương trình: 03x24x4x
24
 .
Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn:
4
xyz

zx
yz
xy




. Chứng minh rằng:

zx
yz
xy
z
y
x






b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn:
)
x
(
P
)
2002
x
(

)
1
x
(
xP



.
Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm sao cho
0
OC
OB
OA

 . Đường thẳng () cắt các đường thẳng
OA, OB, OC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)

0
'
OC
OC
'
OB
OB
'
OA
OA


b) Cho ABC, ta vẽ các đường phân giác trong. Giao điểm A’, B’, C’ của chúng với các cạnh
đối diện tạo thành A’B’C’.
Chứng minh rằng:
   
accbba
abc2
)ABC(S
)'C'B'A(S



(S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh).

Đề số 12 (Năm học 2001-2002). Bảng B
Bài 1: (Bài 1 của bảng A)
Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm:






04kx
06x5x
2

b) Bài 2a) bảng A.
Bài 3: Cho ABC, O là điểm sao cho
0

OC
OB
OA


.
a) Chứng minh O là trọng tâm ABC.
b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3
cạnh. Chứng minh rằng:
6
cba
MO3MC.MB'MA.MA2
222
2


Đề số 13 (Năm học 2002-2003)
Bảng A
Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì:
3
a
c
c
b
b
a
 .
b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của
góc C cắt AB tại X. Chứng minh rằng:

3
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX

.
Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn:
;36zyx;25cba
222222


30czbyax



. Hãy tính giá trị biểu thức:
zyx
cba
P


 .
b) Cho hai phương trình 0a2x3x
2
 và 0a5x6x
2


Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của
phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia.
Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a. Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn
222
k
PB
PA



(k là số thực không âm).
b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy xác
định vị trí của M để
MN
AN
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề số 14 (Năm học 2002-2003)
Bảng B:
Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A.
b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
6accbba  .
Bài 2: Bài 2 – Bảng A.
Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A.
b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác. Gọi K, L, M lần lượt là hình chiếu
vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng
222
AMCLBK 
nhỏ nhất.

Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A:
Bài 1: a. Giải phương trình
07x12x6xx2
22


b. Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ. Chứng minh
rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Bài 2: a. Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1)

1mx2mxy 

b. Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện:
4
a
b
0





y3x2
7ba




Tìm giá ttrị nhỏ nhất của
22

b
a
y
2
y
x
1
x2
s



Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P
sao cho .ax0,xAP;
3
a2
CN;
3
a
BM 
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
a. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.
b. Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên. Gọi H
1
H
2
H
3
lần lượt là các điểm
đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác

H
1
H
2
H
3
không phụ thuộc vào vị trí của điểm H.
Đề số 16 (Năm học 2003-2004)
Bài 1: Bài 1 của Bảng A.
Bài 2: a) Bài 2a Bảng A.
b) Cho a, b, c thoả mãn:





1cabcab
2cba
222
. Chứng minh rằng:







3
4
;

3
4
c,b,a
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P
sao cho .ax0,xAP;
3
a2
CN;
3
a
BM 
a. Chứng minh )AB
a
x3
AC(
3
1
PN  .
b. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.