MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT pps

M T PH NG PHÁP TÌM GIÁ TR NH NH T VÀ GIỘ ƯƠ Ị Ỏ Ấ Ấ
TR L N NH TỊ Ớ Ấ
Trong bài vi t này, tôi đ c p đ n m t d ng toán ế ề ậ ế ộ ạ tìm giá tr l n nh tị ớ ấ
(GTLN) và giá tr nh nh t (GTNN) c a m t bi u th c nhi u nị ỏ ấ ủ ộ ể ứ ề ẩ , trong đó
các n là nghi m c a nh ng ph ng trình ho c b t ph ng trình choẩ ệ ủ ữ ươ ặ ấ ươ
tr c. ướ
Đ i v i d ng toán này, ta c n xác đ nh và gi i m t b t ph ng trình m tố ớ ạ ầ ị ả ộ ấ ươ ộ
n mà n đó là bi u th c c n tìm GTLN, GTNN. ẩ ẩ ể ứ ầ
Bài toán 1 : Tìm GTLN và GTNN c a xy bi t x và y là nghi m c aủ ế ệ ủ
ph ng trình ươ
x
4
+ y
4
- 3 = xy(1 - 2xy)
L i gi i :ờ ả Ta có x
4
+ y
4
- 3 = xy(1 - 2xy)
<=> xy + 3 = x
4
+ y
4
+ 2x
2
y
2

<=> xy + 3 = (x
2

+ y
2
)
2
(1).
Do (x
2
- y
2
)
2
≥ 0 v i m i x, y, d dàng suy ra (xớ ọ ễ
2
+ y
2
)
2
≥ 4(xy)
2
v i m i x, yớ ọ
(2).
T (1) và (2) ta có : ừ
xy + 3 ≥ 4(xy)
2
<=> 4t
2
- t - 3 ≤ 0 (v i t = xy) ớ
<=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0
V y : t = xy đ t GTLN b ng 1 ậ ạ ằ
<=> x = y = 1 ; t = xy đ t GTNN b ng ạ ằ

Bài toán 2 : Cho x, y, z là các s d ng th a mãn xyz ≥ x + y + z + 2. Tìmố ươ ỏ
GTNN c a x + y + z. ủ
L i gi i :ờ ả áp d ng b t đ ng th c Cô-si cho ba s d ng x, y, z ta có : ụ ấ ẳ ứ ố ươ
V y t = x + y + z đ t GTNN b ng 6 khi và ch khi x = y = z = 2. ậ ạ ằ ỉ
Bài toán 3 : Cho các s th c x, y, z th a mãn xố ự ỏ
2
+ 2y
2
+ 2x
2
z
2
+ y
2
z
2
+
3x2y
2
z
2
= 9. Tìm GTLN và GTNN c a A = xyz. ủ
L i gi i : ờ ả
x
2
+ 2y
2
+ 2x
2
z

2
+ y
2
z
2
+ 3x
2
y
2
z
2
= 9
<=> (x
2
+ y
2
z
2
) + 2(y
2
+ x
2
z
2
) + 3x
2
y
2
z
2

= 9 (1).
áp d ng b t đ ng th c mụ ấ ẳ ứ
2
+ n
2
≥ 2|mn| v i m i m, n ta có : ớ ọ
x
2
+ y
2
z
2
≥ 2|xyz| ; y
2
+ x
2
z
2
≥ 2|xyz| (2).
T (1) và (2) suy ra : ừ
2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 9
<=> 3A
2
+ 6|A| - 9 ≤ 0 <=> A
2
+ 2|A| - 3 ≤ 0
<=> (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ 0 <=> |A| ≤ 1
<=> -1 ≤ A ≤ 1.
V y : A đ t GTLN b ng 1 ậ ạ ằ
A đ t GTNN b ng -1 ạ ằ

Bài toán 4 : Cho các s th c x, y, z th a mãn xố ự ỏ
4
+ y
4
+ x
2
- 3 = 2y
2
(1 - x
2
).
Tìm GTLN và GTNN c a xủ
2
+ y
2
.
L i gi i : Ta có xờ ả
4
+ y
4
+ x
2
- 3 = 2y
2
(1 - x
2
)
<=> (x
2
+ y

2
)
2
- 2(x
2
+ y
2
) - 3 = -3x
2
≤ 0
=> t
2
- 2t - 3 ≤ 0 (v i t = xớ
2
+ y2 ≥ 0)
=> (t + 1)(t - 3) ≤ 0 => t ≤ 3
V y t = xậ
2
+ y
2
đ t GTLN b ng 3 khi và ch khi x = 0 ; ạ ằ ỉ
Ta l i có xạ
4
+ y
4
+ x
2
- 3 = 2y
2
(1 - x

2
)
<=> (x
2
+ y
2
)
2
+ x
2
+ y
2
- 3 = 3y
2
≥ 0
=> t
2
+ t - 3 ≥ 0 (v i t = xớ
2
+ y
2
≥ 0)
V y t = xậ
2
+ y
2
đ t GTNN b ng ạ ằ
khi và ch khi y = 0 ; ỉ
Bài t p t ng t ậ ươ ự
1) Cho x, y, z th a mãn : ỏ

2xyz + xy + yz + zx ≤ 1.
Tìm GTLN c a xyz. ủ
Đáp s : 1/8(x = y = z = 1/2) ố
2) Cho ba s d ng x, y, z th a mãn : ố ươ ỏ
(x + y + z)
3
+ x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4 = 29xyz
Tìm GTNN c a xyz. ủ
Đáp s : 8 (x = y = z = 2). ố
3) Tìm GTLN và GTNN c a S = xủ
2
+ y
2
bi t x và y là nghi m c a ph ngế ệ ủ ươ
trình :
5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 36
Đáp s : GTLN là 36 ố
GTNN là 4
4) Cho x và y là các s th c th a mãn : ố ự ỏ
Tìm GTLN c a xủ

2
+ y
2
.
Đáp s : 1 (x = -1 ; y = 0). ố
5) Cho các s th c x, y, z th a mãn : ố ự ỏ
x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 4xy + 5x - 10y +2z - 5
Tìm GTLN và GTNN c a x - 2y. ủ
Đáp s : ố
GTLN là 4 (x = 2y + 4 ; y Є R ; z = 1) ;
GTNN là 1 (x = 2y + 1 ; y Є R ; z = 1).
6) Tìm các s nguyên không âm x, y, z, t đ M = xố ể
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
đ tạ
GTNN, bi t r ng : ế ằ
Đáp s : x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0. Khi đó M đ t giá tr nh nh t là 61.ố ạ ị ỏ ấ
M T H NG Đ NG TH C THÚ VỘ Ằ Ẳ Ứ Ị
V i m i s th c a, b, c, ta có : ớ ọ ố ự

(a + b)(a + c) = a
2
+ (ab + bc + ca)
= a(a + b + c) + bc (*).
V i tôi, (*) là h ng đ ng th c r t thú v . Tr c h t, t (*) ta có ngay : ớ ằ ẳ ứ ấ ị ướ ế ừ
H qu 1 :ệ ả N u ab + bc + ca = 1 thì ế
a
2
+ 1 = (a + b)(a + c).
H qu 2 ệ ả : N u a + b + c = 1 thì ế
a + bc = (a + b)(a + c).
Bây gi , chúng ta đ n v i m t vài ng d ng c a (*) và hai h qu trên. ờ ế ớ ộ ứ ụ ủ ệ ả
Bài toán 1 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tínhố ươ ỏ
giá tr c a bi u th c : ị ủ ể ứ
L i gi i :ờ ả Theo h qu 1 ta có ệ ả
a
2
+ 1 = a
2
+ (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ;
b
2
+ 1 = b
2
+ (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ;
c
2
+ 1 = c
2
+ (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b).

Suy ra
Vì v y A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) ậ
= 2(ab + bc + ca) = 2.
V n đ s khó h n khi ta h ng t i vi c đánh giá các bi u th c. ấ ề ẽ ơ ướ ớ ệ ể ứ
Bài toán 2 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn (a +b)(a +c) = 1. Ch ngố ươ ỏ ứ
minh r ng : ằ
L i gi i :ờ ả a) S d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s d ng a(a + b + c) ;ử ụ ấ ẳ ứ ố ươ
bc :
1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥
b) S d ng b t đ ng th c Cô-si cho ba s d ng aử ụ ấ ẳ ứ ố ươ
2
;
(ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2
1 = (a + b)( a + c) = a
2
+ (ab + bc + ca) =
Bài toán 3 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1. Ch ngố ươ ỏ ứ
minh r ng : ằ
L i gi i :ờ ả Theo h qu 1 ta có ệ ả
S d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s d ng aử ụ ấ ẳ ứ ố ươ
2
+ ab ; a
2
+ ac :
T ng t ta có ươ ự
T các k t qu trên ta suy ra : ừ ế ả
Bài toán sau đây nguyên là đ thi Châu á - Thái Bình D ng năm 2002 đãề ươ
đ c vi t l i cho đ n gi n h n (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) b i (a ; b ; c)). ượ ế ạ ơ ả ơ ở
Bài toán 4 : Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minhố ươ ỏ ứ
r ng : ằ

L i gi i :ờ ả Theo h qu 2 và b t đ ng th c Bu-nhi-a-c p-ski ta có ệ ả ấ ẳ ứ ố
T ng t ta có ươ ự
T các k t qu trên ta suy ra : ừ ế ả
Đ k t thúc, xin các b n làm thêm m t s bài t p : ể ế ạ ộ ố ậ
Bài t p 1 :ậ Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Hãy tính giá trố ươ ỏ ị
c a bi u th c : ủ ể ứ
Bài t p 2 :ậ Cho ba s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1. Ch ng minhố ươ ỏ ứ
r ng : ằ
Bài t p 3 :ậ Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minhố ươ ỏ ứ
r ng : ằ
(a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)
2
.
LÀM QUEN V I B T Đ NG TH CỚ Ấ Ẳ Ứ
TRÊ-B -SEPƯ
Các b n đã t ng đ c làm quen v i các b t đ ng th c Cô si, Bunhiacôpskiạ ừ ượ ớ ấ ẳ ứ
nh ng không ít b n còn ch a bi t v b t đ ng th c Trê - b - sép. Conư ạ ư ế ề ấ ẳ ứ ư
đ ng đi đ n b t đ ng th c này th t là gi n d , quá g n gũi v i nh ngườ ế ấ ẳ ứ ậ ả ị ầ ớ ữ
ki n th c c b n c a các b n b c THCS.ế ứ ơ ả ủ ạ ậ
Các b n có th th y ngay : N u aạ ể ấ ế
1
≤ a
2
và b
1
≤ b
2
thì (a
2
- a

1
) (b
2
- b
1
) ≥ 0.
Khai tri n v trái c a b t đ ng th c này ta có :ể ế ủ ấ ẳ ứ
a
1
b
1
+ a
2
b
2
- a
1
b
2
- a
2
b
1
≥ 0
=> : a
1
b
1
+ a
2

b
2
≥ a
1
b
2
+ a
2
b
1
.
N u c ng thêm aế ộ
1
b
1
+ a
2
b
2
vào c hai v ta đ c :ả ế ượ
2 (a
1
b
1
+ a
2
b
2
) ≥ a
1

(b
1
+ b
2
) + a
2
(b
1
+ b
2
)
=> : 2 (a
1
b
1
+ a
2
b
2
) ≥ (a
1
+ a
2
) (b
1
+ b
2
) (*)
B t đ ng th c (*) chính là b t đ ng th c Trê - b - sép v i n = 2. N uấ ẳ ứ ấ ẳ ứ ư ớ ế
thay đ i gi thi t, cho aổ ả ế

1
≤ a
2
và b
1
≥ b
2
thì t t c các b t đ ng th c trênấ ả ấ ẳ ứ
cùng đ i chi u và ta có :ổ ề
2 (a
1
b
1
+ a
2
b
2
) ≤ (a
1
+ a
2
) (b
1
+ b
2
) (**)
Các b t đ ng th c (*) và (**) đ u tr thành đ ng th c khi và ch khi aấ ẳ ứ ề ở ẳ ứ ỉ
1
=
a

2
ho c bặ
1
= b
2
.
Làm theo con đ ng đi t i (*) ho c (**), các b n có th gi i quy t nhi uườ ớ ặ ạ ể ả ế ề
bài toán r t thú v . ấ ị
Bài toán 1 : Bi t r ng x + y = 2. Ch ng minh xế ằ ứ
2003
+ y
2003
≤ x
2004
+ y
2004
.
L i gi i :ờ ả Do vai trò bình đ ng c a x và y nên có th gi s x ≤ y. T đóẳ ủ ể ả ử ừ
=> : x
2003
≤ y
2003
.
Do đó (y
2003
- x
2003
).(y - x) ≥ 0
=> : x
2004

+ y
2004
≥ x.y
2003
+ y.x
2003

C ng thêm xộ
2004
+ y
2004
vào hai v ta có : 2.(xế
2004
+ y
2004
) ≥ (x+y) (x
2003
+ y
2003
)
= 2.(x
2003
+ y
2003
)
=> : x
2004
+ y
2004
≥ x

2003
+ y
2003
(đpcm).
Đ ý r ng : B t đ ng th c v a ch ng minh tr thành đ ng th c khi và chể ằ ấ ẳ ứ ừ ứ ở ẳ ứ ỉ
khi x = y = 1 ; các b n s có l i gi i c a các bài toán sau : ạ ẽ ờ ả ủ
Bài toán 2 : Gi i h ph ng trình : ả ệ ươ
N u các b n quan tâm t i các y u t trong tam giác thì v n d ng các b tế ạ ớ ế ố ậ ụ ấ
đ ng th c (*) ho c (**) s d n đ n nhi u bài toán m i. ẳ ứ ặ ẽ ẫ ế ề ớ
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có di n tích b ng 1. AH và BK là cácệ ằ
đ ng cao c a tam giác. ườ ủ
Ch ng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8. ứ
L i gi i :ờ ả Ta có AH x BC = BK x CA = 2. Do vai trò bình đ ng c a BC vàẳ ủ
CA nên có th gi s r ng BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA => AH ≥ BK. ể ả ử ằ
Do đó (CA - BC).(BK - AH) ≤ 0
=> : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH
C ng thêm CA x BK + BC x AH vào 2 v ta có :ộ ế
2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK)
=> : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8.
Đ ng th c x y ra khi và ch khi BC = CA ho c BK = AH t ng đ ngẳ ứ ả ỉ ặ ươ ươ
v i BC = CA hay tam giác ABC là tam giác cân đ nh C. ớ ỉ
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c và các đ ngớ ườ
cao t ng ng c a các c nh này có đ dài l n l t là hươ ứ ủ ạ ộ ầ ượ
a
, h
b
, h
c
. Ch ngứ
minh :

v i S là di n tích tam giác ABC. ớ ệ
L i gi i :ờ ả Do vai trò bình đ ng c a các c nh trong tam giác nên có th giẳ ủ ạ ể ả
s r ng a ≤ b ≤ c ử ằ
=> : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => h
a
≥ h
b
≥ h
c
.
Làm nh l i gi i bài toán 3 ta có :ư ờ ả
(a + b).(ha + hb) ≥ 8S
=> : 1/(h
a
+ h
b
) ≤ (a + b)/(8S) (1)
T ng t ta đ c : ươ ự ượ
1/(h
b
+ h
b
) ≤ (b + c)/(8S) (2)
1/(h
c
+ h
a
) ≤ (c + a)/(8S) (3)
C ng t ng v c a (1), (2), (3) d n đ n : ộ ừ ế ủ ẫ ế
B t đ ng th c (4) tr thành đ ng th c khi và ch khi các b t đ ng th c (1),ấ ẳ ứ ở ẳ ứ ỉ ấ ẳ ứ

(2), (3) đ ng th i tr thành đ ng th c t ng đ ng v i a = b = c hay tamồ ờ ở ẳ ứ ươ ươ ớ
giác ABC là tam giác đ u. ề
Bây gi các b n th gi i các bài t p sau đây : ờ ạ ử ả ậ
1) Bi t r ng xế ằ
2
+ y
2
= 1. Tìm giá tr l n nh t c a F = (xị ớ ấ ủ
4
+ y
4
) / (x
6
+ y
6
)
2) Cho các s d ng x, y, z th a mãn x + y + z = 1. Ch ng minh : ố ươ ỏ ứ
3) Cho tam giác ABC có đ dài các c nh l n l t là a, b, c và đ dài cácộ ạ ầ ượ ộ
đ ng phân giác trong thu c các c nh này l n l t là lườ ộ ạ ầ ượ
a
, l
b
, l
c
. Ch ngứ
minh :
4) Hãy d đoán và ch ng minh b t đ ng th c Trê - b - sép v i n = 3. Tự ứ ấ ẳ ứ ư ớ ừ
đó hãy sáng t o ra các bài toán. N u b n th y thú v v i nh ng khám pháạ ế ạ ấ ị ớ ữ
c a mình bài t p này, hãy g i g p bài vi t v cho chuyên m c EUREKAủ ở ậ ử ấ ế ề ụ
c a TTT2.ủ

PH NG PHÁP HOÁN V VÒNG QUANHƯƠ Ị
Phân tích thành nhân t là m t trong nh ng kĩ năng c b n nh t c aử ộ ữ ơ ả ấ ủ
ch ng trình đ i s b c THCS. Kĩ năng này đ c s d ng khi gi i các bàiươ ạ ố ậ ượ ử ụ ả
toán : bi n đ i đ ng nh t các bi u th c toán h c, gi i ph ng trình,ế ổ ồ ấ ể ứ ọ ả ươ
ch ng minh b t đ ng th c và gi i các bài toán c c tr Sách giáo khoaứ ấ ẳ ứ ả ự ị
l p 8 đã gi i thi u nhi u ph ng pháp phân tích thành nhân t . Sau đây tôiớ ớ ệ ề ươ ử
xin nêu m t ph ng pháp th ng s d ng, d a vào vi c k t h p cácộ ươ ườ ử ụ ự ệ ế ợ
ph ng pháp quen thu c nh đ t nhân t chung, nhóm s h ng, h ngươ ộ ư ặ ử ố ạ ằ
đ ng th c ẳ ứ
Ph ng pháp này d a vào m t s nh n xét sau đây : ươ ự ộ ố ậ
1/ Gi s ph i phân tích bi u th c F(a, b, c) thành nhân t , trong đó a,ả ử ả ể ứ ử
b, c có vai trò nh nhau trong bi u th c đó. N u F(a, b, c) = 0 khi a = bư ể ứ ế
thì F(a, b, c) s ch a các nhân t a - b, b - c và c - a. ẽ ứ ử
Bài toán 1 : Phân tích thành nhân t : ử
F(a, b, c) = a
2
(b - c) + b
2
(c - a) + c
2
(a - b).
Nh n xét :ậ Khi a = b ta có :
F(a, b, c) = a
2
(a - c) + a
2
(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có ch a nhân t a - b. ứ ử
T ng t F(a, b, c) ch a các nhân t b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là bi u th cươ ự ứ ử ể ứ
b c ba, do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a). ậ
Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có :

1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1.
V y : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a). ậ
Bài toán 2 : Phân tích thành nhân t : ử
F(a, b, c) = a
3
(b - c) + b
3
(c - a) + c
3
(a - b).
Nh n xét :ậ T ng t nh bài toán 1, ta th y F(a, b, c) ph i ch a các nhânươ ự ư ấ ả ứ
t a - b, b - c, c - a. Nh ng đây F(a, b, c) là bi u th c b c b n, trong khiử ư ở ể ứ ậ ố
đó (a - b)(b - c)(c - a) b c ba, vì v y F(a, b, c) ph i có m t th a s b cậ ậ ả ộ ừ ố ậ
nh t c a a, b, c. Do vai trò a, b, c nh nhau nên th a s này có d ng k(a + bấ ủ ư ừ ố ạ
+ c). Do đó :
F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.
V y : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c). ậ
2/ Trong m t s bài toán, n u F(a, b, c) là bi u th c đ i x ng c a a,ộ ố ế ể ứ ố ứ ủ
b, c nh ng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta th xem khi a = -b, F(a, b, c) cóư ử
tri t tiêu không, n u th a mãn thì F(a, b, c) ch a nhân t a + b, và tệ ế ỏ ứ ử ừ
đó ch a các nhân t b + c, c + a. ứ ử
Bài toán 3 : Ch ng minh r ng :ứ ằ
N u : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) thì ế
1/x
n
+ 1/y
n
+ 1/z
n

= 1/(x
n
+ y
n
+ z
n
)
v i m i s nguyên l n. ớ ọ ố ẻ
Nh n xét : ậ
T gi thi t 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => : ừ ả ế
(xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = 0 (*)
Do đó ta th phân tích bi u th cử ể ứ
F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân t . ử
Chú ý r ng khi x = - y thì F(x, y, z) = - yằ
2
z + y
2
z = 0 nên F(x, y, z) ch aứ
nhân t x + y. L p lu n t ng t nh bài toán 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(yử ậ ậ ươ ự ư
+ z)(x + z).
Do đó (*) tr thành : (x + y)(y + z)(x + z) = 0 ở
T ng đ ng v i : x + y = 0 ho c y + z = 0 ho c z + x = 0 . ươ ươ ớ ặ ặ
N u x + y = 0 ch ng h n thì x = - y và do n l nên xế ẳ ạ ẻ
n
= (-y)
n
= -y
n
.
V y : 1/xậ

n
+ 1/y
n
+ 1/z
n
= 1/(x
n
+ y
n
+ z
n
)
T ng t cho các tr ng h p còn l i, ta có đpcm. ươ ự ườ ợ ạ
Có nh ng khi ta ph i linh ho t h n trong tình hu ng mà hai nguyên t cữ ả ạ ơ ố ắ
trên không th a mãn : ỏ
Bài toán 4 :
Phân tích đa th c sau thành nhân t :ứ ử
F(x, y, z) = x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz.
Nh n xét :ậ Ta th y r ng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nh ng n uấ ằ ư ế
thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân t x + y + z. Chiaử
F(x, y, z) cho x + y + z, ta đ c th ng xượ ươ
2
+ y
2

+ z
2
- xy - yz - zx và d là 0.ư
Do đó :
F(x, y, z) = (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - zx).
Ta có th thêm b t vào F(x, y, z) m t l ng 3xể ớ ộ ượ
2
y + 3xy
2
đ nhân đ c k tể ượ ế
qu này. ả
Các b n hãy dùng các ph ng pháp và k t qu nêu trên đ gi i các bài t pạ ươ ế ả ể ả ậ
sau đây.
Bài toán 5 :
Tính t ng : ổ
trong đó k = 1, 2, 3, 4.
Bài toán 6 : Ch ng minh r ng (a - b)ứ ằ
5
+ (b - c)
5
+ (c - a)
5
chia h t cho 5(a -ế
b)(b - c)(c - a).

TS. Lê Qu c Hánố
(ĐH Vinh)
M T PH NG PHÁP TÌM NGHI M Đ C ĐÁOỘ ƯƠ Ệ Ộ
B ng ki n th c hình h c l p 6 ta có th gi i đ c các ph ng trình b cằ ế ứ ọ ớ ể ả ượ ươ ậ
hai m t n đ c không ? Câu tr l i là tr ng h p t ng quát thì khôngộ ẩ ượ ả ờ ở ườ ợ ổ
đ c, nh ng trong r t nhi u tr ng h p ta v n có th tìm đ c nghi mượ ư ấ ề ườ ợ ẫ ể ượ ệ
d ng. ươ
Ví d :ụ Tìm nghi m d ng c a ph ng trình xệ ươ ủ ươ
2
+ 10x = 39.
L i gi i :ờ ả
Ta có : x
2
+ 10x = 39
t ng đ ng xươ ươ
2
+ 2.5.x = 39
T bi n đ i trên, ta hình dung x là c nh c a m t hình vuông thì di n tíchừ ế ổ ạ ủ ộ ệ
c a hình vuông đó là xủ
2
. Kéo dài m i c nh c a hình vuông thêm 5 đ n vỗ ạ ủ ơ ị
(nh hình v ), ta d th y : ư ẽ ễ ấ
Hình vuông to có đ dài c nh là x + 5 s có di n tích là 64. Do đó :ộ ạ ẽ ệ
(x + 5)
2
= 64 = 82 t ng đ ng x + 5 = 8 hay x = 3. ươ ươ
V y ph ng trình có nghi m d ng là x = 3. ậ ươ ệ ươ
Ph ng pháp này đã đ c nhà toán h c Italia n i ti ng Jerôm Cacđanôươ ượ ọ ổ ế
(1501 - 1576) s d ng khi tìm nghi m d ng c a ph ng trình xử ụ ệ ươ ủ ươ
2

+ 6x =
31.
Các b n hãy tìm nghi m d ng c a ph ng trình xạ ệ ươ ủ ươ
2
- 8x = 33 b ngằ
ph ng pháp hình h c th xem ?ươ ọ ử
M T D NG TOÁN V CLN VÀ BCNNỘ Ạ Ề Ư
Trong ch ng trình s h c l p 6, sau khi h c các khái ni m c chung l nươ ố ọ ớ ọ ệ ướ ớ
nh t ( CLN) và b i chung nh nh t (BCNN), các b n s g p d ng toánấ Ư ộ ỏ ấ ạ ẽ ặ ạ
tìm hai s nguyên d ng khi bi t m t s y u t trong đó có các d ki nố ươ ế ộ ố ế ố ữ ệ
v CLN và BCNN. ề Ư
Ph ng pháp chung đ gi i : ươ ể ả
1/ D a vào đ nh nghĩa CLN đ bi u di n hai s ph i tìm, liên h v i cácự ị Ư ể ể ễ ố ả ệ ớ
y u t đã cho đ tìm hai s . ế ố ể ố
2/ Trong m t s tr ng h p, có th s d ng m i quan h đ c bi t gi aộ ố ườ ợ ể ử ụ ố ệ ặ ệ ữ
CLN, BCNN và tích c a hai s nguyên d ng a, b, đó là :Ư ủ ố ươ ab = (a, b).[a,
b], trong đó (a, b) là CLN và [a, b] là BCNN c a a và b. Vi cƯ ủ ệ ch ngứ
minh h th c này không khó : ệ ứ
Theo đ nh nghĩa CLN, g i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu cị Ư ọ ớ ộ
Z
+
; (m, n) = 1 (*)
T (*) => ab = mndừ
2
; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd
2
= ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)
Chúng ta hãy xét m t s ví d minh h a.ộ ố ụ ọ

Bài toán 1 : Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t [a, b] = 240 và (a, b) = 16.ố ươ ế
L i gi i : Do vai trò c a a, b là nh nhau, không m t tính t ng quát, gi sờ ả ủ ư ấ ổ ả ử
a ≤ b.
T (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) v i m, n thu cừ ớ ộ
Z
+
; (m, n) = 1.
Theo đ nh nghĩa BCNN : ị
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = 1 , n = 15 ho c m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 ho c a = 48, b = 80. ặ ặ
Chú ý : Ta có th áp d ng công th c (**) đ gi i bài toán này : ab = (a, b).ể ụ ứ ể ả
[a, b] => mn.16
2
= 240.16 suyy ra mn = 15.
Bài toán 2 : Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t ab = 216 và (a, b) = 6. ố ươ ế
L i gi i :ờ ả L p lu n nh bài 1, gi s a ≤ b. ậ ậ ư ả ử
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n v i m, n thu c Zớ ộ
+
; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì v y : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 t ng đ ng mn = 6 t ngậ ươ ươ ươ
đ ng m = 1, n = 6 ho c m = 2, n = 3 t ng đ ng v i a = 6, b = 36 ho ccươ ặ ươ ươ ớ ặ
là a = 12, b = 18.
Bài toán 3 : Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t ab = 180, [a, b] = 60. ố ươ ế
L i gi i :ờ ả
T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. ừ
Tìm đ c (a, b) = 3, bài toán đ c đ a v d ng bài toán 2. ượ ượ ư ề ạ
K t qu : a = 3, b = 60 ho c a = 12, b = 15. ế ả ặ
Chú ý : Ta có th tính (a, b) m t cách tr c ti p t đ nh nghĩa CLN,ể ộ ự ế ừ ị Ư
BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd
2

= 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.
Bài toán 4 : Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t a/b = 2,6 và (a, b) = 5. ố ươ ế
L i gi i :ờ ả Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n v i m, n thu c Zớ ộ
+
; (m, n)
= 1.
Vì v y : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 t ng đ ng v i m = 13 và n = 5ậ ươ ươ ớ
hay a = 65 và b = 25.
Chú ý : phân s t ng ng v i 2,6 ph i ch n là phân s t i gi n do (m, n)ố ươ ứ ớ ả ọ ố ố ả
= 1.
Bài toán 5 :
Tìm a, b bi t a/b = 4/5 và [a, b] = 140. ế
L i gi i :ờ ả Đ t (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , m t khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b =ặ ặ
5d.
L u ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. ư
Bài toán 6 : Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t a + b = 128 và (a, b) = 16. ố ươ ế
L i gi i :ờ ả L p lu n nh bài 1, gi s a ≤ b. ậ ậ ư ả ử
Ta có : a = 16m ; b = 16n v i m, n thu c Zớ ộ
+
; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì v y : a + b = 128 t ng đ ng 16(m + n) = 128 t ng đ ng m + n = 8ậ ươ ươ ươ ươ
T ng đ ng v i m = 1, n = 7 ho c m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 ho cươ ươ ớ ặ ặ
a = 48, b = 80
Bài toán 7 : Tìm a, b bi t a + b = 42 và [a, b] = 72. ế
L i gi i :ờ ả G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Zọ ớ ộ
+
; (m, n) = 1.
Không m t tính t ng quát, gi s a ≤ b => m ≤ n. ấ ổ ả ử
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)

=> d là c chung c a 42 và 72 => d thu c {1 ; 2 ; 3 ; 6}. ướ ủ ộ
L n l t thay các giá tr c a d vào (1) và (2) đ tính m, n ta th y ch cóầ ượ ị ủ ể ấ ỉ
tr ng h p d = 6 => ườ ợ m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (th a mãnỏ
các đi u ki n c a m, n). V y d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 ề ệ ủ ậ
Bài toán 8 : Tìm a, b bi t a - b = 7, [a, b] = 140. ế
L i gi i : G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Zờ ả ọ ớ ộ
+
; (m, n) = 1.
Do đó : a - b = d(m - n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d là c chung c a 7 và 140 => d thu c {1 ; 7}. ướ ủ ộ
Thay l n l t các giá tr c a d vào (1’) và (2’) đ tính m, n ta đ c k tầ ượ ị ủ ể ượ ế
qu duy nh t : ả ấ
d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
V y d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . ậ
Bài t p t gi i : ậ ự ả
1/ Tìm hai s a, b bi t 7a = 11b và (a, b) = 45. ố ế
2/ Tìm hai s bi t t ng c a chúng b ng 448, CLN c a chúng b ng 16 vàố ế ổ ủ ằ Ư ủ ằ
chúng có các ch s hàng đ n v gi ng nhau. ữ ố ơ ị ố
3/ Cho hai s t nhiên a và b. Tìm t t c các s t nhiên c sao cho trong baố ự ấ ả ố ự
s , tích c a hai s luôn chia h t cho s còn l i.ố ủ ố ế ố ạ
M T S D NG TOÁN S D NG PHÉP PHÂN TÍCH ĐAỘ Ố Ạ Ử Ụ
TH C THÀNH NHÂN TỨ Ử
Sau khi xem xong t p chí Toán Tu i th 2 s 5 (tháng 7 năm 2003), tôi r tạ ổ ơ ố ấ
tâm đ c v i các bài toán phân tích đa th c thành nhân t . Do đó tôi m nhắ ớ ứ ử ạ
d n trao đ i v i b n đ c v v n đ v n d ng phép phân tích đa th cạ ổ ớ ạ ọ ề ấ ề ậ ụ ứ
thành nhân t vào gi i m t s d ng toán b c THCS. ử ả ộ ố ạ ở ậ
1. Rút g n các bi u th c đ i s . ọ ể ứ ạ ố
Bài toán 1 : Rút g n : ọ
v i ab ≠ 0. ớ

L i gi i :ờ ả
Bài toán 2 : Rút g n : ọ
L i gi i :ờ ả
2. Ch ng minh b t đ ng th cứ ấ ẳ ứ
Bài toán 3 : Cho ΔABC v i góc A ≥ góc B ≥ góc C. ớ
Ch ng minh : ứ
L i gi i :ờ ả H AH vuông góc v i BC ; BI vuông góc v i AC. Ta có AH =ạ ớ ớ
h
a
, BI = h
b
. D th y 2 tam giác vuông AHC và BIC đ ng d ng và chungễ ấ ồ ạ
góc C. => h
a
/h
b
= AH/BI = b/a .
áp d ng đi u t ng t ta có : ụ ề ươ ự
Vì góc A ≥ góc B ≥ góc C t ng đ ng v i a ≥ b ≥ c nên (**) đúng, t c làươ ươ ớ ứ
(*) đ c ch ng minh. ượ ứ
3. Gi i ph ng trình và b t ph ng trình ả ươ ấ ươ
Bài toán 4 : Gi i ph ng trình : 4xả ươ
3
- 10x
2
+ 6x - 1 = 0 (1)
L i gi i : ờ ả
(1) 4x
3
- 2x

2
- 8x
2
+ 4x + 2x - 1 = 0 t ng đ ng 2xươ ươ
2
(2x - 1) - 4x(2x - 1) +
(2x - 1) = 0
hay (2x - 1)(2x
2
- 4x + 1) = 0
Bài toán 5 : Gi i ph ng trình : ả ươ
L i gi i :ờ ả Ta có :
V y ph ng trình (2) có nghi m duy nh t là x = 3. ậ ươ ệ ấ
Bài toán 6 : Gi i b t ph ng trình : 7xả ấ ươ
3
- 12x
2
- 8 < 0 (3)
L i gi i :ờ ả (3) 7x
3
- 14x
2
+ 2x
2
- 8 < 0
t ng đ ng v i 7xươ ươ ớ
2
(x - 2) + 2(x
2
- 4) < 0 hay (x - 2)(7x

2
+ 2x + 4) < 0
t ng đ ng v i (x - 2)[6xươ ươ ớ
2
+ 3 + (x + 1)2] < 0 hay x - 2 < 0 => x < 2.
V y b t ph ng trình (3) có nghi m là x < 2. ậ ấ ươ ệ
4. M t s bài toán khác. ộ ố
Bài toán 7 : CMR n u : ế
v i a, b ≠ 0 ; a ≠ b ; a, b ≠ 1/2 thì a + b + 3/2 = 1/a + 1/b. ớ
L i gi i :ờ ả (*) t ng đ ng : aươ ươ
2
b - 2a
3
b - 2b
2
+ 4ab
2
= b
2
a - 2ab
3
- 2a
2
+ 4a
2
b
hay :
3ab
2
- 3a

2
b - 2a
3
b + 2b
3
a - 2b
2
+ 2a
2
= 0
3ab(b - a) + 2ab(b
2
- a
2
) - 2(b
2
- a
2
) = 0
(b - a)[3ab + 2ab(b + a) - 2(a + b)] = 0
Vì a ≠ b => b - a ≠ 0 nên h th c trên t ng đ ng v i : 3ab + 2ab(b + a) -ệ ứ ươ ươ ớ
2(a + b) = 0
Do a.b ≠ 0 => 3/2 + a + b - (a + b)/ab = 0
=> : a + b + 3/2 = 1/a + 1/b . (đpcm).
Bài toán 8 : Ch ng minh : nứ
2
+ 11n + 39 không chia h t cho 49 v i "nế ớ
thu c N. ộ
L i gi i :ờ ả Xét M = n
2

+ 11n + 39 = n
2
+ 2n + 9n + 18 + 21 = (n + 2)(n + 9) +
21.
Có (n + 9) - (n + 2) = 7 => n + 9 và n + 2 cùng chia h t cho 7 ho c khôngế ặ
cùng chia h t cho 7. ế
- N u n + 9 và n + 2 cùng chia h t cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chia h t cho 49ế ế ế
mà 21 không chia h t cho 49 nên M không chia h t cho 49. ế ế
- N u n + 9 và n + 2 không cùng chia h t cho 7 thì (n + 9)(n + 2) không chiaế ế
h t cho 7 mà 21 chia h t cho 7 nên M không chia h t cho 49. ế ế ế
V y nậ
2
2 + 11n + 39 không chia h t cho 49. ế
Sau đây là m t s bài t p đ các b n th v n d ng :ộ ố ậ ể ạ ử ậ ụ
1. Tìm nghi m t nhiên c a ph ng trình : xệ ự ủ ươ
6
- x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
= y
2
.
2. Cho ab ≥ 1.
Ch ng minh : 1/(1 + aứ
2
) + 1/(1 + b
2

) ≥ 2/(1 + ab).
3. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên l n thì (nứ ằ ớ ỗ ố ẻ
86 - n4 + n2) chia h t cho 1152.ế
M T S PH NG PHÁP GI I Ộ Ố ƯƠ Ả
PH NG TRÌNH NGHI M NGUYÊNƯƠ Ệ
Trong quá trình gi ng d y và làm toán, tôi đã h th ng đ c m t sả ạ ệ ố ượ ộ ố
ph ng pháp gi i ph ng trình nghi m nguyên, hi v ng s giúp các emươ ả ươ ệ ọ ẽ
h c sinh bi t l a ch n ph ng pháp thích h p khi gi i bài toán lo i này. ọ ế ự ọ ươ ợ ả ạ
Ph ng pháp 1 :ươ Đ a v d ng tíchư ề ạ
Bi n đ i ph ng trình v d ng : v trái là tích c a các đa th c ch a n,ế ổ ươ ề ạ ế ủ ứ ứ ẩ
v ph i là tích c a các s nguyên.ế ả ủ ố
Thí d 1 :ụ Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình : ệ ủ ươ
y
3
- x
3
= 91 (1)
L i gi i :ờ ả (1) t ng đ ng v i (y - x)(xươ ươ ớ
2
+ xy + y
2
) = 91 (*)
Vì x
2
+ xy + y
2
> 0 v i m i x, y nên t (*) => y - x > 0. ớ ọ ừ
M t khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; xặ
2
+ xy + y

2
đ u nguyên d ngề ươ
nên ta có b n kh năng sau : ố ả
y - x = 91 và x
2
+ xy + y
2
= 1 ; (I)
y - x = 1 và x
2
+ xy + y
2
= 91 ; (II)
y - x = 3 và x
2
+ xy + y
2
= 7 ; (III)
y - x = 7 và x
2
+ xy + y
2
= 13 ; (IV)
Đ n đây, bài toán coi nh đ c gi i quy t. ế ư ượ ả ế
Ph ng pháp 2 :ươ S p th t các nắ ứ ự ẩ
N u các n x, y, z, có vai trò bình đ ng, ta có th gi s x ≤ y ≤ z ≤ đế ẩ ẳ ể ả ử ể
tìm các nghi m th a mãn đi u ki n này. T đó, dùng phép hoán v đ =>ệ ỏ ề ệ ừ ị ể
các nghi m c a ph ng trình đã cho.ệ ủ ươ
Thí d 2 :ụ Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình : ệ ươ ủ ươ
x + y + z = xyz (2).

L i gi i :ờ ả
Do vai trò bình đ ng c a x, y, z trong ph ng trình, tr c h t ta xét x ≤ y ≤ẳ ủ ươ ướ ế
z.
Vì x, y, z nguyên d ng nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3zươ
=> xy ≤ 3 => xy thu c {1 ; 2 ; 3}. ộ
N u xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. ế
N u xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. ế
N u xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. ế
V y nghi m nguyên d ng c a ph ng trình (2) là các hoán v c a (1 ; 2 ;ậ ệ ươ ủ ươ ị ủ
3).
Thí d 3 :ụ Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình : ệ ươ ủ ươ
1/x + 1/y + 1/z = 2 (3)
L i gi i :ờ ả Do vai trò bình đ ng c a x, y, z, tr c h t ta xét x ≤ y ≤ z. Ta cóẳ ủ ướ ế
:
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.
Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
ho c y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. ặ
V y nghi m nguyên d ng c a ph ng trình (3) là các hoán v c a (1 ; 2 ;ậ ệ ươ ủ ươ ị ủ
2).
Ph ng pháp 3 :ươ S d ng tính ch t chia h tử ụ ấ ế
Ph ng pháp này s d ng tính ch t chia h t đ ch ng minh ph ng trìnhươ ử ụ ấ ế ể ứ ươ
vô nghi m ho c tìm nghi m c a ph ng trình.ệ ặ ệ ủ ươ
Thí d 4 :ụ Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình : ệ ủ ươ
x
2
- 2y
2
= 5 (4)

L i gi i :ờ ả T ph ng trình (4) ta => x ph i là s l . Thay x = 2k + 1 (kừ ươ ả ố ẻ
thu c Z) vào (4), ta đ c : ộ ượ
4k
2
+4k + 1 - 2y
2
= 5
t ng đ ng 2(kươ ươ
2
+ k - 1) = y
2

=> y
2
là s ch n => y là s ch n. ố ẵ ố ẵ
Đ t y = 2t (t thu c Z), ta có : ặ ộ
2(k
2
+ k - 1) = 4t
2

t ng đ ng k(k + 1) = 2tươ ươ
2
+ 1 (**)
Nh n xét :ậ k(k + 1) là s ch n, 2tố ẵ
2
+ 1 là s l => ph ng trình (**) vôố ẻ ươ
nghi m. ệ
V y ph ng trình (4) không có nghi m nguyên. ậ ươ ệ
Thí d 5 :ụ Ch ng minh r ng không t n t i các s nguyên x, y, z th aứ ằ ồ ạ ố ỏ

mãn :
x
3
+ y
3
+ z
3
= x + y + z + 2000 (5)
L i gi i :ờ ả Ta có x
3
- x = (x - 1).x.(x + 1) là tích c a 3 s nguyên liên ti pủ ố ế
(v i x là s nguyên). Do đó : xớ ố
3
- x chia h t cho 3. ế
T ng t yươ ự
3
- y và z
3
- z cũng chia h t cho 3. T đó ta có : xế ừ
3
+ y
3
+ z
3
- x -
y - z chia h t cho 3. ế
Vì 2000 không chia h t cho 3 nên xế
3
+ y
3

+ z
3
- x - y - z ≠ 2000 v i m i sớ ọ ố
nguyên x, y, z t c là ph ng trình (5) không có nghi m nguyên. ứ ươ ệ
Thí d 6 :ụ Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình : ệ ủ ươ
xy + x - 2y = 3 (6)
L i gi i :ờ ả Ta có (6) t ng đ ng y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không th aươ ươ ỏ
mãn ph ng trình nên (6) t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ
y = (-x + 3)/(x - 2) t ng đ ng y = -1 + 1/(x - 2). ươ ươ
Ta th y : y là s nguyên t ng đ ng v i x - 2 là c c a 1 hay x - 2 = 1ấ ố ươ ươ ớ ướ ủ
ho c x - 2 = -1 t ng đ ng v i x = 1 ho c x = 3. T đó ta có nghi m (x ;ặ ươ ươ ớ ặ ừ ệ
y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).
Chú ý : Có th dùng ph ng pháp 1 đ gi i bài toán này, nh đ a ph ngể ươ ể ả ờ ư ươ
trình (6) v d ng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 t ng đ ng (x - 2)(y + 1) = 1. ề ạ ươ ươ
Ph ng pháp 4 :ươ S d ng b t đ ng th cử ụ ấ ẳ ứ
Dùng b t đ ng th c đ đánh giá m t n nào đó và t s đánh giá này =>ấ ẳ ứ ể ộ ẩ ừ ự
các giá tr nguyên c a n này.ị ủ ẩ
Thí d 7 :ụ Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình : ệ ủ ươ
x
2
- xy + y
2
= 3 (7)
L i gi i : ờ ả
(7) t ng đ ng v i (x - y/2)ươ ươ ớ
2
= 3 - 3y
2
/4
Vì (x - y/2)

2
≥ 0 => 3 - 4y
2
/4 ≥ 0
=> -2 ≤ y ≤ 2 .
L n l t thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào ph ng trình đ tính x. Ta có cácầ ượ ươ ể
nghi m nguyên c a ph ng trình là :ệ ủ ươ
(x ; y) thu c {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.ộ
Ch c ch n còn nhi u ph ng pháp đ gi i ph ng trình nghi m nguyênắ ắ ề ươ ể ả ươ ệ
và còn nhi u thí d h p d n khác. Mong các b n ti p t c trao đ i v v nề ụ ấ ẫ ạ ế ụ ổ ề ấ
đ này. Các b n cũng th gi i m t s ph ng trình nghi m nguyên sauề ạ ử ả ộ ố ươ ệ
đây :
Bài 1 : Gi i các ph ng trình nghi m nguyên :ả ươ ệ
a) x
2
- 4 xy = 23 ;
b) 3x - 3y + 2 = 0 ;
c) 19x
2
+ 28y
2
=729 ;
d) 3x
2
+ 10xy + 8y
2
= 96.
Bài 2 : Tìm x, y nguyên d ng th a mãn : ươ ỏ
a) 4xy - 3(x + y) = 59 ;
b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ;

c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ;
d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.
GI I H PH NG TRÌNHẢ Ệ ƯƠ
B NG CÁCH ĐÁNH GIÁ CÁC NẰ Ẩ
H ph ng trình là m t d ng toán th ng g p trong các kì thi c a h cệ ươ ộ ạ ườ ặ ủ ọ
sinh l p 9. Có nhi u h ph ng trình khi gi i tr c ti p s r t ph c t p,ớ ề ệ ươ ả ự ế ẽ ấ ứ ạ
th m chí không gi i đ c. Trong m t s tr ng h p nh v y, ta có thậ ả ượ ộ ố ườ ợ ư ậ ể
tìm cách đánh giá gi a các n ho c gi a n v i m t s , t đó xác đ nhữ ẩ ặ ữ ẩ ớ ộ ố ừ ị
nghi m c a h . Ph ng pháp này g i là ệ ủ ệ ươ ọ “ph ng pháp đánh giá các n”ươ ẩ .
1. Đánh giá gi a các nữ ẩ
Ví d 1 ụ (đ thi vào kh i chuyên Toán Tin, ĐHQG Hà N i năm 1996ề ố ộ ) :
Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
L i gi i :ờ ả Đi u ki n : x ≥ 1/2 ; y ≤ 1/2. ề ệ
Ta s ch ng minh x = y. Th t v y : ẽ ứ ậ ậ
V y nghi m duy nh t c a h ph ng trình (th a mãn đi u ki n) là : x = yậ ệ ấ ủ ệ ươ ỏ ề ệ
= 1.
Ví d 2ụ (đ thi vào kh i chuyên, ĐHSPHN năm 2004ề ố ) : Tìm nghi mệ
d ng c a h ươ ủ ệ
L i gi i :ờ ả Ta s ch ng minh x = y = z. Do x, y, z có vai trò nh nhau nênẽ ứ ư
không m t t ng quát, gi s x y và x z. (4) ấ ổ ả ử
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên :
T (1), (2), (4) => 2xừ
2004
= y
6
+ z
6
≤ x
6
+ z

6
= 2y
2004
=> 2x
2004
≤ 2y
2004
=> x ≤
y. (5)
T (1), (3), (4) => 2xừ
2004
= y
6
+ z
6
≤ y
6
+ x
6
= 2z
2004
=> 2x
2004
≤ 2z
2004
=> x ≤
z. (6)
T (4), (5), (6) suy ra x = y = z. ừ
Thay vào (1) ta có 2x
2004

= x
6
+ x
6
= 2x
6
suy ra x = 1 (do x > 0).
V y h có nghi m d ng duy nh t : x = y = z = 1. ậ ệ ệ ươ ấ
Ví d 3 :ụ Tìm a, b, c bi t ế
4a - b
2
= 4b - c
2
= 4c - a
2
= 1 (*)
L i gi i :ờ ả Ta th y ngay a > 0, b > 0, c > 0. ấ
Gi s a > b, t (*) ta có : ả ử ừ
4a - 4b = b2 - c2 > 0 => b > c (>0) ;
4b - 4c = c2 - a2 > 0 => c > a (>0).
=> b > c > a trái v i gi thi t a > b => a ≤ b. ớ ả ế
T ng t nh trên, n u a < b thì cũng d n đ n đi u vô lí. V y a = b, suyươ ự ư ế ẫ ế ề ậ
ra :
4a - 4b = b
2
- c
2
= 0 => b = c => a = b = c.
Thay vào (*) ta có :
4a - b

2
= 1 <=> 4a - a
2
= 1 <=> a
2
- 4a + 1 = 0
Gi i ph ng trình b c hai n a trên ta đ c hai nghi m là ++++++++ ả ươ ậ ẩ ượ ệ
V y h ph ng trình (*) có hai nghi m : ậ ệ ươ ệ
2. Đánh giá n v i m t sẩ ớ ộ ố
Ví d 4ụ (đ thi vào l p 10 chuyên, ĐHQG Hà N i 2004) :ề ớ ộ Bi t a > 0, b > 0ế
và a
100
+ b
100
= a
101
+ b
101
= a
102
+ b
102
(1).
Tính giá tr c a bi u th c P = aị ủ ể ứ
2004
+ b
2004
.
L i gi i :ờ ả Ta s ch ng minh a = 1, b = 1, t đó tính đ c P. Th t v y, tẽ ứ ừ ượ ậ ậ ừ
(1) ta có :

a
100
.(1 - a) = b
100
.(b - 1) (2)
a
101
.(1 - a) = b
101
.(b - 1) (3)
Tr (2) cho (3) theo t ng v ta có : ừ ừ ế
(a
100
- a
101
)(1 - a) = (b
100
- b
101
)(b - 1) <=> a
100
.(1 - a)
2
= b
100
.(1 - b)(b - 1)
<=> a
100
.(1 - a)
2

= - b
100
.(1 - b)
2
. (4)
N u a ≠ 1, do a > 0 suy ra : ế
a
100
.(1 - a)
2
> 0 ≥ - b
100
.(1 - b)
2
trái v i (4) => a = 1 => b = 1 (thay vào (2), bớ
>0).
V y P = 1ậ
2004
+ 1
2004
= 2.
Ví d 5 :ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
L i gi i : Ta s ch ng minh x = 1. ờ ả ẽ ứ
Nh n xét : x, y, z đ u khác 0. ậ ề
Gi s x > 1 (4). ả ử
T ng t , x < 1 cũng d n đ n đi u vô lí. ươ ự ẫ ế ề
Suy ra x = 1, thay vào (1) và (2) ta có :
V y h có nghi m duy nh t : x = y = z = 1. ậ ệ ệ ấ
Các b n hãy th gi i các h ph ng trình sau :ạ ử ả ệ ươ
S D NG DI N TÍCHỬ Ụ Ệ

TRONG CH NG MINH HÌNH H CỨ Ọ
Có nhi u bài toán hình h c t ng nh không liên quan đ n di n tích,ề ọ ưở ư ế ệ
nh ng n u ta s d ng di n tích thì l i d dàng tìm ra l i gi i c a bài toán.ư ế ử ụ ệ ạ ễ ờ ả ủ
Bài toán 1 : Tam giác ABC có AC = 2 AB. Tia phân giác c a góc A c t BCủ ắ
D. Ch ng minh r ng DC = 2 DB.ở ứ ằ
Phân tích bài toán (h.1)
Đ so sánh DC và DB, có th so sánh di n tích hai tam giác ADC và ADBể ể ệ
có chung đ ng cao k t A. Ta so sánh đ c di n tích hai tam giác này vìườ ẻ ừ ượ ệ
chúng có các đ ng cao k t D b ng nhau, và AC = 2 AB theo đ bài cho.ườ ẻ ừ ằ ề
Gi i :ả K DI vuông góc v i AB, DK vuông góc v i AC. Xét ΔADC vàẻ ớ ớ
ΔADB : các đ ng cao DI = DK, các đáy AC = 2 AB nên Sườ
ADC
= 2 S
ADB
.
V n xét hai tam giác trên có chung đ ng cao k t A đ n BC, do Sẫ ườ ẻ ừ ế
ADC
= 2
S
ADB
nên DC = 2 DB.
Gi i t ng t nh trên, ta ch ng minh đ c bài toán t ng quát : ả ươ ự ư ứ ượ ổ
N u AD là phân giác c a ΔABC thì DB/DC = AB/AC. ế ủ
Bài toán 2 : Cho hình thang ABCD (AB // CD), các đ ng chéo c t nhauườ ắ
t i O. Qua O, k đ ng th ng song song v i hai đáy, c t các c nh bên ACạ ẻ ườ ẳ ớ ắ ạ
và BC theo th t t i E và F. ứ ự ạ
Ch ng minh r ng OE = OF. ứ ằ
Gi i :ả
Cách 1 : (h.2) K AH, BK, CM, DN vuông góc v i EF. Đ t AH = BK = hẻ ớ ặ
1

,
CM = DN = h
2
.
Ta có :
T (1), (2), (3) => : ừ
Do đó OE = OF.
Cách 2 : (h.3) Kí hi u nh trên hình v . Ta có Sệ ư ẽ
ADC
= S
BDC
.
Cùng tr đi Sừ
5
đ c : ượ
S
1
+ S
2
= S
3
+ S
4
(1)
Gi s OE > OF thì Sả ử
1
> S
3
và S
2

> S
4
nên S
1
+ S
2
> S
3
+ S
4
, trái v i (1). ớ
Gi s OE < OF thì Sả ử
1
< S
3
và S
2
< S
4
nên S
1
+ S
2
< S
3
+ S
4
, trái v i (1). ớ
V y OE = OF. ậ
Bài toán 3 : Cho hình bình hành ABCD. Các đi m M, N theo th t thu cể ứ ự ộ

các c nh AB, BC sao cho AN = CM. G i K là giao đi m c a AN và CM.ạ ọ ể ủ
Ch ng minh r ng KD là tia phân giác c a góc AKC.ứ ằ ủ
Gi i :ả (h.4) K DH vuông góc v i KA, DI vuông góc v i KC. ẻ ớ ớ
Ta có :
DH . AN = 2 S
ADN
(1)
DI . CM = 2 S
CDM
(2)
Ta l i có Sạ
ADN
= 1/2.S
ABCD
(tam giác và hình bình hành có chung đáy AD,
đ ng cao t ng ng b ng nhau), Sườ ươ ứ ằ
CDM
= 1/2.S
ABCD
nên S
ADN
= S
CDM
(3)
T (1), (2), (3) => DH . AN = DI . CM. ừ
Do AN = CM nên DH = DI. Do đó KI là tia phân giác c a góc AKC. ủ
Nh v y khi xét quan h gi a đ dài các đo n th ng, ta nên xét quan hư ậ ệ ữ ộ ạ ẳ ệ
gi a di n tích các tam giác mà c nh là các đo n th ng y. Đi u đó nhi uữ ệ ạ ạ ẳ ấ ề ề
khi giúp chúng ta đi đ n l i gi i c a bài toán. ế ờ ả ủ
B n hãy s d ng di n tích đ gi i các bài toán sau : ạ ử ụ ệ ể ả

1. Cho tam giác ABC cân t i A. G i M là m t đi m b t kì thu c c nh đáyạ ọ ộ ể ấ ộ ạ
BC. G i MH, MK theo th t là các đ ng vuông góc k t M đ n AB,ọ ứ ự ườ ẻ ừ ế
AC. G i BI là đ ng cao c a tam giác ABC. Ch ng minh r ng MH + MKọ ườ ủ ứ ằ
= BI.
H ng d n :ướ ẫ Hãy chú ý đ n ế
S
AMB
+ S
AMC
= S
ABC
.
2. Ch ng minh r ng t ng các kho ng cách t m t đi m M b t kì trong tamứ ằ ổ ả ừ ộ ể ấ
giác đ u ABC đ n ba c nh c a tam giác không ph thu c v trí c a M. ề ế ạ ủ ụ ộ ị ủ
H ng d n :ướ ẫ Hãy chú ý đ n ế
S
MBC
+ S
MAC
+ S
MAB
= S
ABC
.
3. Cho tam giác ABC cân t i A. Đi m M thu c tia đ i c a tia BC. Ch ngạ ể ộ ố ủ ứ
minh r ng hi u các kho ng cách t đi m M đ n đ ng th ng AC và ABằ ệ ả ừ ể ế ườ ẳ
b ng đ ng cao ng v i c nh bên c a tam giác ABC. ằ ườ ứ ớ ạ ủ
H ng d n :ướ ẫ Hãy chú ý đ n ế