Chuyên để Nhị thức Newton và công thức tổ hợp - 2 pot

Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
2
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
I. Quy tắc cộng
Phương pháp giải toán
Muốn đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc A bằng cách quy tắc
cộng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để tiến hành thực
hiện công việc A
Bước 2: đếm số cách lựa chọn x
1
,x
2
,…x
n
tương ứng với từng phương án A
1
,A
2
…A
n
.
Bước 3: dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công
việc A là:
S = x
1
+ x
2
+…+ x
n
=

∑
=
n
i
i
x
1
Giải
Có 3 phương án
Phương án 1: Chọn sách toán 10 cách chọn
Phương án 2: chọn sách vật lý 8 cách chọn
Phương án 3: chọn sách hóa học 6 cách chọn
Vậy số cách chọn là S = 10 + 8 + 6 = 24
3
Giả sử công việc A có thể tiến hành theo một trong các phương án A
1
,.A
2
…A
n
.
Mỗi phương án có số cách thực hiện theo thứ tự là x
1
,x
2
,…x
n
.Khi dó số cách
thực hiện công việc A được cho bởi quy tắc cộng
S = x

1
+x
2
+……x
n
=
∑
=
n
i
i
x
1
Ví dụ 1: Có 10 quyển sách toán khác nhau, 8 quyển sách vât lý khác nhau và 6
quyển sách hóa học khác nhau, một học sinh được chọn một quyển hỏi có bao
nhiêu cách chọn
Hai quy tắc đếm cơ bản
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
Giải
Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án :
đường bộ
hoặc đường thủy :
Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn.
Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn.
Và 2 phương án này độc lập với nhau. Vậy theo qui tắc cộng ta
có tất cả:
S= 3 + 2 = 5 cách chọn.
Giải
Thực khách có 3 phương án chọn :
Hoặc chọn rượu: 3 cách chọn

Hoặc chọn bia: 4 cách chọn
Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn
Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 9 cách chọn một loại
thức uống.
II. Quy tắc nhân
Phương pháp giải toán
Muốn đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc nhân ta
thực hiện các bước sau
Bước 1 phân tích xem có bao nhiêu công đoạn lien tiếp cần phải tiến hành để
thực hiện công việc A
Bước 2 đềm số cách chọn x
1
,x
2
… x
n
tương ứng với từng công đoạn A
1
,A
2
………A
n
Bước 3 dùng quy tắc nhân ta có số cách lựa chọn để thực hiện công việc A
là
S=x
1
.x
2
….x
n

=
i
x∏
4
Ví dụ 2: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy. Cần
chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?

Ví dụ 3: Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt. Một thực
khách cần chọn đúng một loại thức uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giả sử công việc A bao gồm n công đoạn A
1
,A
2
….A
n
.Mổi công đoạn có số
cách thực hiện theo thứ tự là x
1
.x
2
….x
n
.khi đó số cách thực hiện công việc A
được cho bởi quy tắc nhân
S=x
1
.x
2
….x
n

=
i
x
Π
1 2 3
a a a
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
Giải
Ta chia việc chon ban cán sự thành 3 công đoạn liên tiếp
Bước 1 chọn lớp trưởng 30 cách
Bước 2 chọn lớp phó 29 cách
Bước 3 chọn thủ quỹ 28 cách
Vậy S = 30.29.28 = 24360 cách.
Giải
Ta có thể xem việc đi Hà Nội - Huế - Sài Gòn như một công
việc tiến
hành theo 2 giai đoạn liên tiếp nhau :
Giai đoạn 1 : đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi.
Giai đoạn 2 : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai
đoạn 1 ta đều có 4 cách để hoàn thành giai đoạn 2.
Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả : 3.4 = 12 cách đi Hà Nội - Huế - Sài
Gòn.
Giải
Số cần lập có dạng:
Số cách chọn:
a
1
: 5 cách chọn
a
2

: 4 cách chọn
a
3
: 3 cách chọn
Vậy có tất cả 3.4.5 = 60 cách chọn
5
Ví dụ 1: Một lớp có 30 học sinh cần cử một cán sự lớp gồm một lớp trưởng
một lớp phó một thủ quỹ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi học sinh
đều có thể làm không quá một nhiệm vụ trong ban cán sự
Ví dụ 2: Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa. Từ Huế
đến Sài Gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy. Hỏi có bao nhiêu
cách đi Hà Nội - Huế - Sài Gòn ?
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành
từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ?
( )
1
1 !
2 2
n
n
P
−
−
=
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
I. Hoán vị
1. Định nghĩa

2. Ví dụ
Giải
Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử, có tất
cả: P
3
= 3! = 1.2.3 = 6 cách sắp xếp
Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Giải
Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy ta có tất cả là :
P
4
= 4 ! = 24 số.
Vậy có tất cả 24 số được lập.
Giải
Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác nhau mà đa
giác vẫn không thay đổi nên số đa giác là :
6
Cho tập hợp X gồm n phần tử khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta
được một hoán vị các phần tử của tập hợp X
Cho một số nguyên dương n số cac hoán vị của một tập hợp có n phần tử là
P
n
=
nnn ).1 (3.2.1!
−=
Hoán vị vòng: Cho tập A gồm n phần tử 
n
≥
1


. Mỗi kết quả của sự sắp
xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín được gọi là một
hoán vị vòng của n phần tử đó.
Số hoán vị vòng của n phần tử là :
P
n-1
=(n-1) !
Ví dụ 1:
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn
dài có 3
chỗ ngồi ?
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số
2, 6, 7, 9 ?
Ví dụ 3: Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ?

Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
Giải
Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị
vòng họ theo một chiều nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL,
BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các hoán vị vòng không
có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất. Vậy số cách sắp xếp là :
( )
1
!
1 !
n
n
n P
n

−
= − =
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa


2. Ví dụ
Giải
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ
số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi
số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9.
Vậy có tất cả :
5
9
120A
=
7
Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn ?
Cho tập hợp X cò n phần tử và cho số nguyên k với 1
nk ≤≤
khi lấy k phần
tử của X và sắp xếp chúng theo thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n
phần tử của X
Cho các số nguyên n và k với
nk ≤≤1
.Khi đó số các chỉnh hợp chập k của
một tập hợp có n phần tử là
)!(
!
)1) (2)(1(

kn
n
knnnn
A
A
k
n
k
n
−
=
+−−−=
Chú ý :
!nP
n
n
n
A
==
 Chỉnh hợp lặp:
Chỉnh hợp lập chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử
đã cho, trong đó đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, 3, …, k lần trong nhóm
tạo thành.
Kí hiệu
k
n
A
là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.
k k
n

A n
=
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số
1, 2, 3, ,9

Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
Giải
Mỗi vectơ là một chỉnh hợp 10 chập 2 của tập điểm đã cho.
Với mỗi bạn người đó có 2 cách lựa chọn : mời hoặc không mời
Kết quả người đó có 2
n
cách lựa chọn ( kể cả không mời người nào ).
Vậy số cách chọn là : S =
2
10
90A
=
.
Giải
Với mỗi bạn người đó có 2 cách lựa chọn : mời hoặc không mời
Kết quả người đó có 2
n
cách lựa chọn ( kể cả không mời người nào ).
Giải

Ta thấy rằng tổng số các từ có chiều dài n là số các chỉnh hợp lặp của 26
chữ cái, nghĩa là có 26
n
chữ cái khác nhau có chiều dài n. Do
26

1
+ 26
2
+ 26
3
= 18278.
Nên chúng ta chỉ cần từ khoá có chiều dài không quá 3 kí tự là đủ số lượng
theo yêu cầu.
III. Tổ hợp
1. Định nghĩa
8
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác
vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập điểm đã cho.
Ví dụ 3: Một người tổ chức buổi tiệc sinh nhật muốn mời một trong số n
bạn đến chung vui. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn?
Ví dụ 4: Chúng ta muốn thiết lập ít nhất 18000 từ khóa khác nhau chỉ dùng
26 chữ cái tiếng Anh. Các từ khóa có chiều dài càng ngắn càng tố. Hỏi
chúng ta cần dùng từ khóa có chiều dài nhất là bao nhiêu là đủ số lượng
theo yêu cầu ?
Cho tập hợp X có n phần tử vá cho số nguyên k với
nk
≤≤
1
.Mỗi tập hợp
con của X có k phần tử được gọi là một tở hợp chập k của n phần tử của X
cho các số nguyên n và k với
nk
≤≤
1
khi đó số các tổ hợp chập k của một

tổ hợp có n phần tử là :
!)!(
!
! kkn
n
k
A
C
k
n
k
n
−
==
Ta quy ước
1,1
0
0
==
A
C
n
n

1 2
!
! ! !
k
n
r r r

3
6
2
4
C
C
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán

2.Ví dụ
Giải
a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10. Do đó, số đoàn
đại biểu được lập là :

( )
5
10
10!
252
5! 10 5 !
C
= =
−
b) Chọn 3 người từ 6 người nam : cách
Chọn 2 người từ 4 người nữ : cách
Vậy theo quy tắc nhân có
3 2
6 4
C C
= 120 cách thành lập.
Giải

Mỗi chữ là một hoán vị của 6 mẫu tự gồm 2 mẫu tự L, 2 mẫu tự A, 1 mẫu
tự B và 1 mẫu tự I.
Vậy có tất cả :
6!
2!2!1!1!
= 180 cách.
Giải
9
 Tổ hợp lặp: Cho tập hợp A có n phần tử, một tổ hợp chập k có lặp lại gọi
là tổ hợp lặp của n phần tử đó là một nhóm không kể thứ tự gồm k vật trong
đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần.
Ví dụ: abcd, aabc, aaaa,… là các tổ hợp chập 4 có lặp lại của tập gồm n phần tử
a, b, c, d,…,l.
Định lí về tổ hợp lặp: Có tất cả
1
k
n k
C
+ −
tổ hợp lặp chập k của n phần tử
 Tổ hợp phức (hoán vị lặp): Tổng số cách để phân phối n đối tượng phân
biệt vào k hộp H
1
, H
2
, ,H
k
sao cho r
1
đối tượng phân biệt vào hộp H

1
, r
2
đối
tượng phân biệt vào hộp H
2
, , r
k
đối tượng phân biệt vào hộp H
k
.
Ví dụ 1: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu
gồm 5 người. Hỏi
a) Có bao nhiêu cách lập?
b) Có bao nhiêu cách lập gồm 3 nam và 2 nữ
n = r
1
+ r
2
+…. + r
k
Ví dụ 2: Với các mẫu tự của chữ LAP LAI có thể tạo ra bao nhiêu
chữ khác nhau ( không cần có nghĩa ) ?
Ví dụ 3: Để chia 17 người thành 4 nhóm: nhóm 5 người, nhóm 2
người, nhóm 7 người và nhóm 3 người có bao nhiêu cách chia?
1 2 3 4 5
17x x x x x+ + + + =
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
Có tất cả :
17!

5!2!7!3!
= 49008960 cách.
Giải

Để đếm số nghiệm tự nhiên của phương trình chúng ta xét sự phân phối của 17
giống vật giống nhau vào 5 hộp dán nhãn
1 2 3 4 5
, , , ,r r r r r
. Số vật trong hộp r
i
thể
hiện giá trị của r
i
. Khi đó chúng ta thấy rằng mỗi sự phân phối tương ứng 1- 1 với
nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho. Như vậy phương trình có
17 17
5 17 1 21
5985C C
+ −
= =
nghiệm tự nhiên
10
Ví dụ 4: Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của phương trình
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
11
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
1.Định nghĩa
2.Ví dụ
Giải
12

Nguyên lý bù trừ
Ví dụ 1:
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
Giải
13
Ví dụ 2:
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
14
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
15
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán
16