Đại số sơ cấp - Phương trình, bất phương trình mũ và logarit ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (397.96 KB, 47 trang )
146
CHƯƠNG V. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
§1. NHẮC LẠI LOGARIT
1. Định nghĩa. Cho
a
là một số dương khác 1 và
b
là một số dương. Số thực
α
sao cho
a b
α
=
được gọi là logarit cơ số
a
của
b
và kí hiệu là
log
a
b
tức là
log .
a
b a b
α
α = ⇔ =
Chú ý.
· Khi viết
log
a
b
thì phải hiểu là
0, 1; 0.
a a b
> ≠ >
· Trường hợp cơ số
10
a
=
thì logarit cơ số 10 của số dương
b
ta viết là
lg
b
và đọc là logarit
thập phân của
.
b
· Với
a e
=
thì logarit cơ số
e
của số dương
b
ta viết là
ln
b
và đọc là logarit tự nhiên của
.
b
(Số
e
là giới hạn
1
lim (1 )
x
x
x
→+∞
+ xấp xỉ bằng
2,718281828 ).
Từ định nghĩa ta có một số kết quả sau.
·
log 1 0 , log 1;
a a
a
= =
· log
b
a
a b
=
·
log
a
b
a b
=
2. Các tính chất của logarit
2.1. Định lý.
)log ( ) log log ;1 0; , 0
)log log log ;1 0; , 0
)log log ;1 0; 0; .
a a a
a a a
a a
i bc b c a b c
b
ii b c a b c
c
iii b b a b
α
= + ≠ > >
= − ≠ > >
= α ≠ > > α ∈
ℝ
Chú ý. Trong iii) nếu
*
2 ,k k
α
= ∈
ℕ
thì
2
log 2 log ;1 0; 0.
k
a a
b k b a b
= ≠ > ≠
Hệ quả
1
)log log ;1 0; 0
1
)log log ;1 0; 0; , 2.
a a
n
a a
i b a b
b
ii b b a b n n
n
= − ≠ > >
= ≠ > > ∈ ≥
ℕ
2.2. Định lý
log
log
log
a
b
a
c
c
b
= hay
log .log log ;1 0;1 0; 0.
a b a
b c c a b c
= ≠ > ≠ > >
Hệ quả
1
)log
log
a
b
i b
a
= hay
log .log 1;1 0;1 0.
a b
b a a b
= ≠ > ≠ >
.
147
1
)log log ;1 0; 0; 0.
a
a
ii c c a c
α
= ≠ > > α ≠
α
iii)
log log
;1 0; , 0.
b b
c a
a c b a c
= ≠ > >
§2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Định nghĩa. Phương trình, bất phương trình mũ là phương trình, bất phương trình mà ẩn số
có mặt ở số mũ của lũy thừa.
Trong một số trường hợp ta xét thêm ẩn số có mặt ở cả cơ số của lũy thừa, khi đó ta phải
xét hai trường hợp: cơ số
1
a
>
và
0 1.
a
< <
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
2.1. Phương pháp logarit hóa
Các dạng cơ bản
·
( ) ( )
0
1
( ) ( )
f x g x
a
a a
a
f x g x
>
= ⇔
=
=
·
( )
( ) log ,1 0; 0.
f x
a
a b f x b a b
= ⇔ = ≠ > >
Ví dụ 1. Giải phương trình
3
2 5 (1)
x x+
=
Giải.
3
2 2
(1) log 2 log 5
x x
+
⇔ =
2
3 log 5
x x⇔ + =
2
2
3
3 (log 5 1) .
log 5
x x⇔ = − ⇔ =
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm là
2
3
.
log 5 1
x =
−
Ví dụ 2. Giải phương trình
2
2
3
2 3 (1)
2
x x x−
=
Giải.
2
2
2 2
3
(1) log 2 .3 log
2
x x x−
⇔ =
2
2 2
3
2 log 3 log .
2
x x x⇔ − + =
(
)
2
2 2
2
log 3 2 1 log 3 0
1
1 log 3
x x
x
x
⇔ + − + − =
=
⇔
= −
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là
2
1 1 log 3.
x x= ∨ = −
148
2.2. Phương pháp đặt ẩn số phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
4 6 9 (1)
x x x
+ =
Giải.
2
4 6
(1) 1
9 9
2 2
1 0 (1)
3 3
x x
x x
⇔ + =
⇔ + − =
Đặt
2
0 (1)
3
x
t
= >
trở thành
2
1 0
t t
+ − =
1 5
2
1 5
2
t
t
− −
=
⇔
− +
=
Do t > 0 nên ta chọn
1 5
,
2
t
− +
=
suy ra
2
3
2 1 5 1 5
log .
3 2 2
x
x
− + − +
= ⇔ =
Ví dụ 2. Giải phương trình
(
)
(
)
2 3 2 3 4 (1)
x x
− + + =
Giải. Đặt
(
)
2 3 0
x
t
= − >
ta có
(1)
trở thành
1
4
t
t
+ =
2
4 1 0
2 3 0
2 3 0
t t
t
t
⇔ − + =
= − >
⇔
= + >
(
)
( )
2
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
1 2
2
x
x
t
x
x
+ = − ⇒ − = −
⇔ − = −
⇔ = ⇔ =
149
(
)
( )
2
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
1 2
2
x
x
t
x
x
+ = + ⇒ − = +
⇔ − = +
⇔ − = ⇔ = −
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là
2 2.
x x
= ∨ = −
Ví dụ 3. Giải phương trình
4 4 2 2 10 (1)
x x x x− −
+ + + =
Giải. Đặt
2 0
x
t
= >
(1)
trở thành
2
2
1 1
10
t t
t t
+ + + =
2
2
1 1
2 10 0
1 1
12 0
t t
t t
t t
t t
⇔ + − + + − =
⇔ + + + − =
1
4
1
3.
t
t
t
t
+ = −
⇔
+ =
Vì
0,
t
>
nên ta chọn
1
3
t
t
+ =
1
3
t
t
+ =
2
3 5
0
2
3 1 0
3 5
0
2
t
t t
t
−
= >
⇔ − + = ⇔
+
= >
2
2
3 5 3 5
2 log
2 2
3 5 3 5
2 log
2 2
x
x
x
x
− −
= =
⇒ ⇔
+ +
= =
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là
2
2
3 5
log
2
3 5
log .
2
x
x
−
=
+
=
150
Ví dụ 4. Giải phương trình
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0 (1)
x x x+
− + − =
Giải.
Đặt
2 0
x
t
= >
(1)
trở thành
3 2
2 7 7 2 0
t t t
− + − =
(
)
(
)
2
1 2 5 2 0
t t t
⇔ − − + =
2 1
1 0
2 2 2 1
1 1 1.
2
2 2
x
x
x
t x
t x
x
t
=
= =
⇔ = ⇔ = ⇔ =
= −
= =
Vậy, phương trình đã cho có ba nghiệm là
0
1
1.
x
x
x
=
=
= −
Ví dụ 5. Giải phương trình
( )
2 2 2
1 1 1
2.4 6 9 1
x x x+ + +
+ =
Giải.
( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2
2
2 2
2 1 2 1
1
1 2 1
1 2.2 2.3 3
3 3
2
2 2
x x
x
x x
+ +
+
+ +
⇔ + =
⇔ + =
Đặt
2
1
3 3
,
2 2
x
t
+
= ≥
ta được phương trình:
2
2
2 0
1
t
t t
t
=
− − = ⇔
= −
Ta nhận
2
1
2
3
2
3
2 2 1 log 2
2
x
t x
+
= ⇒ = ⇔ + =
3
2
3
2
log 2 1
log 2 1
x
x
= −
⇔
= − −
Vậy, phương trình có hai nghiệm là
3
2
3
2
log 2 1
log 2 1
x
x
= −
= − −
Ví dụ 6. Giải phương trình
( )
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0 1
x x x x+ + +
− + =
151
Giải.
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 1 2
2 2
2 2
1 2 9.2 1 0
1 9
.2 .2 1 0
2 4
2.2 9.2 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
− − − −
− −
− −
⇔ − + =
⇔ − + =
⇔ − + =
Đặt
2
2 0,
x x
t
−
= >
ta có phương trình
2
4
2 9 4 0
1
2
t
t t
t
=
− + = ⇔
=
·
4
t
=
ta có:
2
2 2
1
2 4 2 2 0
2
x x
x
x x x x
x
−
= −
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔
=
·
1
2
t
=
ta có:
( )
2
2 2
1
2 1 1 0
2
x x
x x x x VN
−
= ⇔ − = − ⇔ − + =
Vậy, phương trình có hai nghiệm
1, 2
x x
= − =
.
Ví dụ 7. Giải phương trình
( )
( )
3
3. 1
1 12
2 6.2 1 1
2
2
x x
x
x−
− − + =
Giải.
( )
3
3
3
2 2
1 2 6 2 1
2 2
x x
x x
⇔ − − − =
Đặt
2
2
2
x
x
t
= −
ta có
3
3
3 3
3
2 2 2 2
2 2 3.2 . 2 6
2 2 2 2
x x x x
x x x x
t t
− = − + − = +
Khi đó ta có phương trình:
3
6 6 1 1
t t t t
+ − = ⇔ =
Suy ra
( )
2
2 1
2
2 1 2 2 2 0
2
2 2
x
x x x
x
x
= −
− = ⇔ − − = ⇔
=
Ta chọn
2 2 1
x
x
= ⇔ =
Vậy, phương trình có một nghiệm duy nhất
1.
x
=
Ví dụ 8. Giải phương trình
(
)
2 2
1 1 2 1 2 1 2 2
x x x
+ − = + −
Giải.
Điều kiện:
2 2
1 2 0 2 1 0
x x
x
− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Như vậy ta có
0 2 1
x
< ≤
, do đó đặt
2 sin
x
t
= với
0;
2
t
π
∈
.
Phương trình trở thành
(
)
( )
2 2
1 1 sin sin 1 2 1 sin
1 ost sin 1 2 ost
t
2. os sin sin 2
2
t t t
c t c
c t t
+ − = + −
⇔ + = +
⇔ = +
t 3 t
2. os 2sin . os
2 2 2
t
c c⇔ =
152
t 3
2. os 1 2 sin 0
2 2
t
os 0
2
3 2
sin
2 2
t
c
c
t
⇔ − =
=
⇔
=
do
0;
2
t
π
∈
nên ta chỉ nhận
3 2
sin
2 2
t
= từ đó ta được
1
1
2
6
2
0
2 1
2
x
x
t
x
x
t
π
π
=
= −
=
⇔ ⇔
=
=
=
Vậy, phương trình có hai nghiệm
1; 0.
x x
= − =
2.3. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình là cách giải khá quen thuộc.
Ta có ba hướng áp dụng như sau.
1. Biến đổi phương trình về dạng
( )
f x k
=
(1)
với
k
là hằng số.
Nếu hàm số
( )
f x
đồng biến (nghịch biến) trên khoảng
( ; )
a b
thì phương trình (1) có
nhiều nhất một nghiệm trên khoảng
( ; ).
a b
Do đó nếu tìm được
0
x
thuộc khoảng
( ; )
a b
sao
cho
0
( )
f x k
=
thì
0
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
2. Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( ) (2)
f x g x
=
Nếu hàm số
( )
y f x
=
đồng biến (nghịch biến) trên khoảng
( ; ),
a b
nhưng hàm số
( )
y g x
=
nghịch biến (đồng biến) cũng trên khoảng đó thì phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm
trên khoảng
( ; ).
a b
Do đó, nếu tìm được
0
x
thuộc khoảng
( ; )
a b
sao cho
0 0
( ) ( )
f x g x
= thì
0
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
3. Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( ) (3)
f u f v
=
Xét hàm số
( ),
y f x
=
nếu hàm số này đơn điệu trên khoảng
( ; )
a b
thì khi đó phương trình
(3) tương đương với
; , ( ; ).
u v u v a b
= ∈
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
2 3 1 (1)
x
x
= +
Giải.
3 1
(1) 1
2 2
x
x
⇔ = +
153
Hàm số
3 1
( )
2 2
x
x
f x
= +
nghịch biến trên
ℝ
nên phương trình nếu có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất, ta thử
được
2
x
=
thỏa phương trình.
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
2.
x
=
Ví dụ 2. Giải phương trình
2 3 2
3 (3 10).3 3 0 (1)
x x
x x
− −
+ − + − =
Giải.
Đặt
2
3 0
x
t
−
= >
Viết lại phương trình (1) dưới dạng
2
1
3
3 (3 10) 3 0
3
t
t x t x
t x
=
+ − + − = ⇔
= −
· Với
2
1 1
3 2 1 1.
3 3
x
t x x
−
= ⇒ = ⇔ − = − ⇔ =
· Với
2
3 3 3 .
x
t x x
−
= − ⇒ = −
Hàm số
2
3
x
y
−
= đồng biến trên toàn trục số, còn hàm số 3
y x
= −
luôn luôn nghịch biến và ta
thử được
2
x
=
thỏa phương trình.
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là
1,
x
=
2.
x
=
Ví dụ 3. Giải phương trình
2
1 2
2 2 ( 1) (1)
x x x
x
− −
− + = −
Giải.
Viết lại phương trình (1) dưới dạng
2
1 2
2 1 2 .
x x x
x x x
− −
+ − = + −
Xét hàm số
( ) 2 ,
t
f t t
= +
ta có, hàm số này luôn luôn đồng biến trên toàn trục số.
Như vậy, phương trình được viết dưới dạng
2 2
( 1) ( ) 1 1.
f x f x x x x x x
− = − ⇔ − = − ⇔ =
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là
1.
x
=
Ví dụ 4. Giải phương trình
3 3 2 2
2 3 .2 (1 3 ).2 2 0
x x x
x x x x
+ + + + + − =
(1)
Giải. Viết lại phương trình (1) dạng
3
(2 ) (2 ) 2
x x
x x
+ + + =
(2)
Xét hàm số
3
( ) ,
f t t t
= +
hàm số này luôn luôn đồng biến trên toàn trục số và
(1) 2,
f
=
do đó
(2)
2 1 2 1 . (3)
x x
x x⇔ + = ⇔ = −
Cũng lập luận nhờ tính chất đơn điệu của hàm số thì phương trình (3) chỉ có một nghiệm duy
nhất là
0.
x
=
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là
0.
x
=
154
Ví dụ 5. Giải phương trình
(
)
9 2 2 3 2 5 0 (1)
x x
x x+ − + − =
Giải.
Đặt
3 0
x
t
= >
(1)
trở thành
(
)
2
2 2 2 5 0
t x t x
+ − + − =
1 0
2 5
t
t x
= − <
⇔
= − +
Như vậy, ta có
3 2 5
x
x
= − +
3 2 5 0
x
x
⇔ + − =
Hàm số
3 2 5
x
y x
= + −
đồng biến trên
,
ℝ
do đó phương trình có nhiều nhất một nghiệm, thử
được
1
x
=
thỏa phương trình.
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
1.
x
=
Ví dụ 6. Cho phương trình
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
(1)
Tìm
m
để phương trình có nghiệm.
Giải.
Đặt
2
2 2,
t x mx
= + +
phương trình (1) trở thành
2 2
5 5 2 2 (2)
t t m
t t m
+ −
+ = + + −
Xét hàm số
( ) 5 ,
t
f t t
= +
hàm số này đồng biến trên toàn trục số do đó
2
(2) ( ) (2 2) 2 2 2 0
2 0 (3)
f t f t m t t m t m
x mx m
⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ + − =
⇔ + + =
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm, khi và chỉ khi
2
0
0
1.
m
m m
m
≤
′
∆ = − ≥ ⇔
≥
Vậy, giá trị
m
cần tìm là
0
1.
m
m
≤
≥
2.4. Một số phương pháp khác
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
2
2
2 4.2 2 4 0 (1)
x x
x x x
−
+
− − + =
Giải.
(
)
(
)
2
2 2
(1) 2 2 4 2 1 0
x x x
x x
−
+
⇔ − − − =
(
)
(
)
2 2
2
2 2 1 4 2 1 0
x x x x x− −
⇔ − − − =
155
(
)
(
)
2
2
2 1 2 4 0
x x x−
⇔ − − =
2
2
2
0 1
0
2 1
1.
2 2
2 4
0 1.
x x
x
x x
x x
x
x
x x
−
= ∨ =
− =
=
⇔ ⇔ ⇔
=
=
=
⇔ = ∨ =
Ví dụ 2. Giải phương trình
(
)
3 3
5 9.5 27 5 5 64 (1)
x x x x− −
+ + + =
( )
( )
3
3
2 3
2
3
3
2
5
3 9 3
(1) 5 3.5 . 3.5 . 4
5 5 5
3 3
5 4 5 4
5 5
5 4.5 3 0
05 1
log 3.
5 3
x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
⇔ + + + =
⇔ + = ⇔ + =
⇔ − + =
==
⇔ ⇔
=
=
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là
5
0 log 3.
x x= ∨ =
Ví dụ 3. Tìm
k
để phương trình
(
)
9 1 3 2 0 (1)
x x
k k− − + =
có nghiệm duy nhất.
Giải.
Đặt
3 0.(1)
x
t = > trở thành
(
)
2
1 2 0 (2)
t k t k− − + =
(1)
có nghiệm duy nhất
(2)
⇔
có đúng một nghiệm dương.
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0 . 0
0; 0
. 0
0
S t t
t t
t t P t t
t t
P t t
S t t
∆ =
= + >
= >
⇔ < < ⇔ = <
= >
= =
= + >
( )
2
2 8 0
1 0
5 2 6
2 0
0
2 0
1 0
k k
k
k
k
k
k
k
− − =
− >
= +
⇔ < ⇔
<
=
− =
Vậy, giá trị
k
cần tìm là
5 2 6
0.
k
k
= +
<
Ví dụ 4. Cho phương trình
156
2 1
4 0 (1)
4 2
x x
m m
m
+
− + + =
Tìm
m
sao cho phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa
1 2
1 0 .
x x
− < < <
Giải. Đặt
1
0
2
x
t
= >
(1)
trở thành
(
)
2
2 1 4 0 (2)
mt m t m− + + + =
Ta có
1 2 2 1
1 0 0 1
x x x x
− < < < ⇔ − < < − <
2 1
2 1
0
2 1
2 2 2 2
1 1
1 2
2 2
1 2 (3)
x x
x x
t t
− −
⇔ < < <
⇔ < < <
⇔ < < <
(*)
Đặt vế trái của
(2)
là
( )
f t
, thì
( )
3 0
(1) 0
(3) 2
2 0(2) 0
m
mf
m
m mmf
<
<
⇔ ⇔ ⇔ < −
+ >>
Vậy, với
2
m
< −
thì
(1)
có hai nghiệm thỏa
1 2
1 0 .
x x
− < < <
Sau đây ta giải một số hệ phương trình mũ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
2
2 2 2
2 2 2
4 2 4 1
2 3.2 16
x x y y
y x y
− +
+ +
− + =
− =
Giải.
Viết lại hệ phương trình dưới dạng
2 2
2
2( 1) 1 2
2 1
4 4.4 .2 2 1
(1)
2 3.4 .2 4
x x y y
y x y
− −
−
− + =
− =
Đặt
2
1
4
1
; , 0.
4
2
x
y
u
u v
v
−
=
≥ >
=
Khi đó (1) được viết thành
2 2
2
4 1 ( )
3 4 ( )
u uv v a
v uv b
− + =
− =
Do
0
v
>
nên từ
2
4
( )
3
v
b u
v
−
⇒ = thay vào
( )
a
ta được
157
2
4 2
2
16
2 31 16 0
1
2
v
v v
v
=
− − = ⇔
= −
Ta nhận
2
16 4
v v
= ⇔ =
(do
0)
v
>
1.
u
⇒ =
Như vậy, ta có
2
21
1 1
1 0
4 1
2.
2
2 4
x
y
x x
x
y
y
−
= ∨ = −
− =
=
⇔ ⇔
=
=
=
Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
(1;2),( 1;2).
−
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2 2
3 3 (1)
12(2)
x y
y x
x xy y
− = −
+ + =
Giải.
Ta viết phương trình (1) dưới dạng
3 3 (3)
x y
x y+ = +
Xét hàm số ( ) 3
t
f t t
= +
, hàm này đồng biến trên
,
ℝ
do đó (3)
.
x y
⇔ =
Khi đó hệ trở thành
2 2 2
2 2.
12 3 12
x y x y
x y
x x
x xy y x
= =
=
⇔ ⇔
= ∨ = −
+ + = =
Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
(2;2),( 2; 2).
− −
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2 ( )( 2) (1)
2 (2)
x y
y x xy
x y
− = − +
+ =
Giải.
Thay (2) vào (1) ta được
2 2 3 3
3 3
2 2 ( )( )
2 2 (3)
x y
x y
y x x xy y y x
x y
− = − + + = −
⇔ + = +
Áp dụng phương pháp giải như Ví dụ 2, ta cũng được hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
(1;1),( 1; 1).
− −
Ví dụ 4. Tìm
m
để hệ phương trình
2 .3 3
(1)
.2 3 2 1
x y
x y
m m
m m
+ =
+ = +
Có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
158
Giải.
Đặt
2 0
3 0
x
y
u
v
= >
= >
Khi đó hệ được biến đổi về dạng
3
(2)
2 1
u mv m
mu v m
+ =
+ = +
Ta có
2 2 2
1 ; 2 2 ; 3 2 1.
u v
D m D m m D m m
= − = − + = − + +
Hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình (2) có nghiệm duy
nhất
( ; ), 0, 0.
u v u v
> >
0
2
0
1
1
3 1 1
0 1
1 3
u
v
m
D
m
u
D m
m
D
m
v m
D m
<
= = > ⇔
−
>
− −
= = > ⇔ − < < −
+
Vậy, giá trị
m
cần tìm là
1
1 .
3
m
− < < −
Khi đó nghiệm duy nhất của hệ phương trình là
2
3
2
log
1
3 1
log .
1
m
x
m
m
y
m
=
−
− −
=
+
3. Một số phương pháp giải bất phương trình mũ
3.1. Phương pháp logarit hóa
Các dạng cơ bản
·
( ) ( )
1
( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x
a
f x g x
a a
a
f x g x
>
<
< ⇔
< <
>
.
·
( )
1
( ) log
( 0)
0 1
( ) log
a
f x
a
a
f x b
a b b
a
f x b
>
<
< > ⇔
< <
>
.
·
( )f x
a b
>
(1).
(0 1)
a
< ≠
i) Nếu
0
b
≤
thì
(1) ( )
f x
⇔
có nghĩa.
159
ii) Nếu
0
b
>
thì:
+ Trường hợp 1:
1
a
>
(1)
( ) log
a
f x b
⇔ >
+ Trường hợp 2:
0 1
a
< <
(1)
( ) log
a
f x b
⇔ <
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
1 2 1 2
7 7 7 5 5 5 (1)
x x x x x x+ + + +
+ + < + +
Giải.
(
)
(
)
(1) 7 1 7 49 5 1 5 25
x x
⇔ + + < + +
7
5
57.7 31.5
7 31 31
log .
5 57 57
x x
x
x
⇔ <
⇔ < ⇔ <
Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm là
5
7
31
log .
57
x <
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
( )
2
2
2
1 1 (1)
x x
x x
+
− + ≤
Giải.
Nhận xét:
2
1 0
x x
− + >
với mọi
x
. Ta xét 3 trường hợp sau
Trường hợp 1:
2
0
1 1
1
x
x x
x
=
− + = ⇔
=
, các giá trị
0, 1
x x
= =
là nghiệm của bất phương trình
(1)
vì thay vào
(1)
ta được
1 1
≤
(đúng).
Trường hợp 2:
2 2
1 1 0
x x x x
− + > ⇔ − >
0
1
x
x
<
⇔
>
Khi đó
2
2
2 2
1
(1) log ( 1) 0
x x
x x
x x
+
− +
⇔ − + ≤
2
2 0 2 0
x x x
⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
Kết hợp với điều kiện
0
1
x
x
<
>
ta được
2 0.
x
− ≤ ≤
Trường hợp 3:
2
0 1 1
x x
< − + <
2
2
0
0 1
1 0
x x
x
x x
− <
⇔ ⇔ < <
− + >
160
2
0
(1) 2 0
2.
x
x x
x
≥
⇔ + ≥ ⇔
≤ −
Kết hợp với điều kiện đang xét, ta chọn nghiệm là
0 1.
x
< <
Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
2 1.
x
− ≤ ≤
3.2. Phương pháp đặt ẩn số phụ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
1
2 2 1
0 (1)
2 1
x x
x
−
− +
≤
−
Giải.
Đặt
2 0
x
t
= >
, (1) trở thành
1
2 2 1
0
1
t t
t
−
− +
≤
−
2
2
0
( 1)
t t
t t
− + +
⇔ ≤
−
Lập bảng xét dấu vế trái ta nhận được
0 1
2.
t
t
< <
≥
Từ đó suy ra
0 2 1 0
1
2 2
x
x
x
x
< < <
⇔
≥
≥
Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
0
1.
x
x
<
≥
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
5.36 2.81 3.16 0 (1)
x x x
− − ≤
Giải.
36 16
(1) 5. 2 3. 0
81 81
x x
⇔ − − ≤
2
4 4
5. 2 3. 0
9 9
x x
⇔ − − ≤
Đặt
4
0
9
x
t
= >
, ta có bất phương trình theo ẩn
t
161
2
2
3
3 5 2 0
1.
t
t t
t
≤
− + ≥ ⇔
≥
Như vậy, ta có
4 2
0
1
9 3
2
4
0
1
9
x
x
x
x
< ≤
≥
⇔
≤
≥
Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
1
2
0.
x
x
≥
≤
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
4
4 (1)
4 3
x
x x
<
−
Giải.
4
(1) 4 0
4 3
x
x x
⇔ − <
−
3.4 4.3
0
4 3
3
3 4
4
0.
3
1
4
x x
x x
x
x
− +
⇔ <
−
− +
⇔ <
−
Đặt
3
0
4
x
t
= >
, ta có bất phương trình
3
4 3
4
0
1
1
t
t
t
t
<
−
> ⇔
−
>
,
Suy ra
3 3
0
3
4 4
0
4
3
1
1
4
x
x
t
t
< <
< <
⇔
>
>
1
0.
x
x
>
⇔
<
162
Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
1
0.
x
x
>
<
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
(
)
(
)
( )
5 21 5 21 5.2 1
x x
x
+ + − ≤
Giải.
Chia hai vế cho
2 0
x
>
ta được
5 21 5 21
5
2 2
x x
+ −
+ ≤
Đặt
5 21
0
2
x
t
+
= >
, ta có bất phương trình
2
1
5 5 1 0
5 21 5 21
2 2
5 21 5 21 5 21
2 2 2
1 1
x
t t t
t
t
x
+ ≤ ⇔ − + ≤
− +
⇔ ≤ ≤
− + +
⇔ ≤ ≤
⇔ − ≤ ≤
Vậy, nghiệm của bất phương trình là
1 1
x
− ≤ ≤
.
Ví dụ 5. Giải bất phương trình
( )
2 3 6 3 5
2 15.2 2 1
x x x x+ − − + −
+ <
Giải.
Chia hai vế của bất phương trình (1) cho
2 0,
x
>
ta được bất phương trình
( )
2 3 2 6 3 5
2 3 3
3 3
2 15.2 1
4.2 15.2 4 0
x x x x
x x
x x
+ − − + − −
+ − −
+ − −
+ <
⇔ + − <
Đặt
3 3
2 0
x x
t
+ − −
= >
, ta có bất phương trình
( )( )
2
4 15 4 0
4 4 1 0
1
4
4
t t
t t
t
+ − <
⇔ + − <
⇔ − < <
Vì
0
t
>
nên ta chọn
1
0 ,
4
t
< <
như vậy ta có
( )
3 3
2
2
1
0 2
4
3 3 2
3 1
1 0 1
3 0 3 1.
2 0
3 1
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
+ − −
< <
⇔ + − − < −
⇔ + < +
+ > > −
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ >
+ − >
+ < +
163
Vậy, nghiệm của bất phương trình là
1
x
>
.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình
(
)
2 2
6 2 4.3 2 1
x x x x+
+ > +
Giải.
Đặt
3 0
2 0
x
x
u
v
= >
= >
, ta có bất phương trình
( )( )
2
. 4 4 0
4 0
3 2 3 2
4 4
2 4 2 4
0 0
2 0.
2 2
x x x x
x x
u v v u v
u v v
u v u v
v v
x x
x x
x x
+ − − >
⇔ − − >
> <
> <
⇔ ∨ ⇔ ∨
> <
> <
> <
⇔ ∨ ⇔ > ∨ <
> <
Vậy, nghiệm của bất phương trình là
2 0.
x x
> ∨ <
3.3. Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Có hai hướng áp dụng như sau
1. Biến đổi bất phương trình về dạng
( ) (1)
f x k
>
(
k
là hằng số)
Nếu hàm số
( )
f x
đơn điệu trên khoảng
( ; )
a b
(giả sử đồng biến).
Khi đó ta có nhận xét: Giả sử
0
x
thuộc
( ; )
a b
là nghiệm của phương trình
( ) ,
f x k
=
thì
Với
0 0
( ) ( ) (1)
x x f x f x k≤ ⇔ ≤ = ⇒ vô nghiệm.
Với
0 0
( ) ( )
x x f x f x k
> ⇔ > = ⇒
(1) nghiệm đúng.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là
0
.
x x
>
2. Biến đổi bất phương trình về dạng
( ) ( ) (2)
f u f v
<
Xét hàm số
( ),
y f x
=
giả sử hàm số đồng biến trên khoảng
( ; )
a b
, khi đó
( ) ( ) ; , ( , ).
f u f v u v u v a b
< ⇔ < ∈
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
2.2 3.3 6 1(1)
x x x
+ > −
Giải.
Chia hai vế của bất phương trình (1) cho
6 0,
x
>
ta được
2 3 1
1.
3 2 6
x x x
+ + >
Xét hàm số
2 3 1
( ) ,
3 2 6
x x x
y f x= = + + là hàm số nghịch biến trên toàn trục số và
(2) 1.
f
=
164
Ta có nhận xét:
+ Với
2,
x
≥
thì
( ) (2) 1
f x f
≤ = ⇒
(1) không nghiệm đúng.
+ Với
2,
x
<
thì
( ) (2) 1
f x f
> = ⇒
(1) đúng.
Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là
2.
x
<
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
2( 1) 1
2
3 3 4 3 (1)
x
x
x x
− +
− ≤ − +
Giải.
Điều kiện:
1.
x
≥
(*)
Viết lại bất phương trình dưới dạng
( )
2( 1) 1
2
2
2( 1) 1
( 1) 1
3 2( 1) 3 2 1
3 2( 1) 3 1 (2)
x
x
x
x
x x x
x x
− +
− +
− +
+ − ≤ + − +
⇔ + − ≤ + −
Xét hàm số
1 2
( ) 3 ,
x
y f x x
+
= = + hàm số này đồng biến trên
[1; ).
+∞
Khi đó ta có
( )
2
2
(2) ( 2( 1) ( 1) 2( 1) 1
2( 1) 1
2 2 2 1
f x f x x x
x x
x x x
⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ −
⇔ − ≤ −
⇔ − ≤ − +
2
4 3 0
x x
⇔ − + ≥
3
1.
x
x
≥
⇔
≤
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là
3 1.
x x
≥ ∨ =
3.4. Một số ví dụ khác
Ví dụ 1. Tìm
m
để bất phương trình
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3
x x x
m+ ≥
(1)
có nghiệm.
Giải.
Chia hai vế của bất phương trình (1) cho
2
sin
3 0
x
>
ta được
2
2
2
2
2
2
2 2
sin
cos
sin
sin
1 sin
sin
sin sin
2 3
3
3
2 3
3
3
2 1
3. .
3 9
x
x
x
x
x
x
x x
m
m
m
−
+ ≥
⇔ + ≥
⇔ + ≥
165
Xét hàm số
2 2
sin sin
2 1
3.
3 9
x x
y
= +
Các hàm số
2 2
sin sin
2 1
( ) , ( )
3 9
x x
y g x y h x
= = = =
nghịch biến trên toàn trục số, nên hàm số
2 2
sin sin
2 1
3. ( ) 3 ( )
3 9
x x
y g x h x
= + = +
là một hàm nghịch biến trên toàn trục số, do vậy ta có
2 2
1 1 sin sin 0 0
2
2 1 2 1 2 1
0 sin 1 3. 3. 3.
3 9 3 9 3 9
x x
x
≤ ≤ ⇔ + ≤ + ≤ +
⇔
1 4.
y
≤ ≤
Như vậy,
4.
Maxy
=
Từ đó, bất phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
4.
m
≤
Ví dụ 2. Tìm
a
để bất phương trình
(
)
2
.4 1 2 1 0
x x
a a a
+
+ − + − >
(1)
nghiệm đúng với mọi x.
Giải.
Đặt
2 0,
x
t
= >
khi đó ta có bất phương trình
(
)
2
4 1 1 0(2).
at a t a+ − + − >
Yêu cầu bài toán được thỏa khi và chỉ khi bất phương trình (2) đúng với mọi
0.
t
>
Ta có
(
)
2
4 1 1 0
at a t a
+ − + − >
2
4 1
( )
4 1
t
a g t
t t
+
⇔ > =
+ +
Như vậy (2) đúng với mọi
0
t
>
2
4 1
( ), 0.
4 1
t
a g t t
t t
+
⇔ > = >
+ +
2
2 2
4 2
( ) 0, 0.
( 4 1)
t t
g t t
t t
− −
′
= < ∀ >
+ +
Lập bảng biến thiên của hàm số
( ), (0; ),
g t t
∈ +∞
ta được miền
giá trị
(0;1).
g
T = Vậy giá trị cần tìm là
1.
a
≥
Ví dụ 3. Tìm
m
để mọi nghiệm của bất phương trình
( )
2 1
1
1 1
3 12 1
3 3
x x
+
+ >
cũng là
nghiệm của bất phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 3 6 1 0 2 .
m x m x m− − − − + <
Giải.
Đặt
( )
1
2
3
1
0 1 12 0
3
4.
x
t
t t t
t
>
= > ⇒ ⇔ + − > ⇔
< −
Như vậy , ta có
166
1
1
1 1
3
3 3
1
1
1
0
1 0.
x
t
x
x
x
x
−
= > =
⇔ < −
+
⇔ <
⇔ − < <
· Nếu
2
m
=
,
( )
1
2 12 3 0 ,
4
x x
⇔ − < ⇔ <
thỏa mãn yêu cầu bài toán
· Nếu
2,
m
≠
khi đó yêu cầu bài toán được thỏa
(
)
( )
1 0
1 5; 2.
0 0
f
m m
f
− ≤
⇔ ⇔ − ≤ ≤ ≠
≤
Vậy, giá trị
m
cần tìm là
1 5.
m
− ≤ ≤
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
2 1 2
4 3 3 2.3 2 6
x x x
x x x x
+
+ + < + +
(1)
Giải. (1)
(
)
(
)
2
2 3 3 2 0.(2)
x
x x⇔ − − − >
Ta có
2
3
3 2 0 log 2 0,
x
x
− > ⇔ − >
nên ta được (2) tương đương với
( )( )
( )
2
3
2
3
0 log 2
0
3
1 2 3 log 2 0
.
2
x
x
x x x
x
≤ <
≥
⇔
+ − − >
>
§3. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Định nghĩa. Phương trình, bất phương trình logarit là phương trình, bất phương trình có ẩn
chứa trong biểu thức dưới dấu logarit.
Trong một số trường hợp có xét cả ẩn chứa ở cơ số của logarit, khi đó ta phải xét hai
trường hợp của cơ số:
1
a
>
và
0 1.
a
< <
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
2.1. Phương pháp mũ hóa
Các dạng cơ bản
·
0, 1
log ( )
( )
a
b
a a
f x b
f x a
> ≠
= ⇔
=
167
·
0, 1
log ( ) log ( ) ( ) 0,( ( ) 0)
( ) ( )
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x
> ≠
= ⇔ > >
=
Ví dụ 1. Giải phương trình
(
)
(
)
(
)
1 1 1
2 2 2
log 1 log 1 2log 7 1 (1)
x x x− + + − − =
Giải.
Điều kiện:
1 0
1 0 1 7
7 0
x
x x
x
− >
+ > ⇔ < <
− >
(*)
(
)
(
)
2
1 1
2 2
(1) log 1 2log 7 1.
x x⇔ − − − =
(
)
( )
( ) ( )
2
2
1 1
2 2
2 2
1
2 2
2
2
log 1 log 7 1
1 1 1
log 1
2
7 7
3
14 51 0
17
x x
x x
x x
x
x x
x
⇔ − − − =
− −
⇔ = ⇔ =
− −
=
⇔ + − = ⇔
= −
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là
3.
x
=
Ví dụ 2. Giải phương trình
( ) ( )
2
3
3
log 1 log 2 1 2 (1)
x x− + − =
Giải.
Điều kiện:
1
1 0
1
2 1 0
2
x
x
x
x
≠
− ≠
⇔
− >
>
(*)
(
)
3 3
(1) 2log 1 2log 2 1 2
x x
⇔ − + − =
(
)
( )
( )
3 3
3
log 1 log 2 1 1
log 1 2 1 1
1 2 1 3 (2)
x x
x x
x x
⇔ − + − =
⇔ − − =
⇔ − − =
. Xét
1
1
2
x
< <
(
)
(
)
(2) 1 2 1 3
x x
⇔ − − =
168
2
2 3 4 0
x x
⇔ − + =
(Phương trình vô nghiệm).
. Xét
1
x
>
(
)
(
)
2
(2) 1 2 1 3 2 3 2 0
x x x x
⇔ − − = ⇔ − − =
2
1
.
2
x
x
=
⇔
= −
So với điều kiện (*) ta nhận
2.
x
=
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
2.
x
=
Ví dụ 3. Giải phương trình
( )
4 2
2 1
1 1
log 1 log 2 (1)
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
Giải. Điều kiện:
1
1 0
2
2 0
1.
1
2 1 0
2
2 1 1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
>
− >
> −
+ >
⇔ ⇔ >
+ >
> −
+ ≠
≠
(*)
Với điều kiện
1,
x
>
ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
(1) log 1 log 2 1 log 2
2 2 2 2
x x x
⇔ − + + = + +
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2
2
2
log 1 log 2 1 1 log 2
log 1 2 1 log 2 4
1 2 1 2 4
2 2 1 2 4 0
1
2 3 5 0
5
2
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x
x
⇔ − + + = + +
⇔ − + = +
⇔ − + = +
⇔ + − − − − =
= −
⇔ − − = ⇔
=
So với điều kiện ta được
5
2
x
=
là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình
( )
(
)
( )
2
9 3 3
2 log log log 2 1 1 1
x x x
= + −
Giải.
(*)
169
Điều kiện:
0
0
0
1
2 1 0 0.
2 1 1
2
2 1 1 0
2 1 1
x
x
x
x x x
x
x
x
>
>
>
+ > ⇔ > − ⇔ ⇔ >
+ >
+ − >
+ >
Với điều kiện
0,
x
>
ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 3
2
3 3 3
3 3 3
3
2
3 3
2
2
1
1 2 log log log 2 1 1
2
1
log log log 2 1 1
2
log log 2log 2 1 1 0
log 0
1
log log 2 1 1 0
2 1 2 2 1 1
1
1
4 2 1 2
2 2 1 2, ( 0)
1
4 0
x x x
x x x
x x x
x
x
x x x x x
x
x
x x
x x x
x
x x
⇔ = + −
⇔ = + −
⇔ − + − =
=
=
⇔ ⇔
− + − =
= + − + +
=
=
⇔ ⇔
+ = +
+ = + >
=
⇔
− =
1
0
4
x
x
x
=
⇔ =
=
Vì
0
x
>
nên nghiệm của phương trình là
1
x
=
,
4
x
=
.
Ví dụ 5. Giải phương trình
( ) ( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4 1
x x x+ + = − + +
Giải.
Điều kiện:
( )
1 0 1
1
4 0 4
4 4
4 0 4
x x
x
x x
x
x x
+ ≠ ≠ −
≠ −
− > ⇔ < ⇔ ∗
− < <
+ > > −
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
1 log 1 2 2log 4 log ( 4)
log 1 log 4 log 4 log 4
log 4 1 log 16
4 1 16
4 1 16
4 12 0
4 1 16
4 20 0
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
⇔ + + = − + +
⇔ + + = − + +
⇔ + = −
⇔ + = −
+ = −
+ − =
⇔ ⇔
+ = −
− − =
6
2
2 2 6
2 2 6
x
x
x
x
= −
=
⇔
= +
= −
So với điều kiện
(
)
∗
thì nghiệm của phương trình là
2, 2 2 6.
x x= = −
Ví dụ 6. Giải phương trình
170
( ) ( )
2
2 3 2 3 7 4 3
log 3 2 log 1 log 2 1
x x x x
+ − −
− + + − = +
Giải.
Điều kiện:
2
3 2 0 1 2
1 0 1 2.
2 0 2
x x x x
x x x
x x
− + > < ∨ >
− > ⇔ > ⇔ >
+ > > −
Ta có nhận xét rằng
(
)
(
)
(
)
( )
1
2
2 3 2 3 1 2 3 2 3
7 4 3 2 3
−
+ − = ⇒ + = −
− = −
Do đó
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 3 2 3 2 3
2
2 3 2 3 2 3
2
2 3 2 3
2 2
1
1 log 3 2 log 1 log 2
2
1 1 1
log 3 2 log 1 log 2
2 2 2
1
log log 2
3 2
1
2
2
4 1 5 5 2
x x x x
x x x x
x
x
x x
x
x
x x x do x
− − −
− − −
− −
⇔ − − + + − = +
⇔ − − + + − = +
−
⇔ = +
− +
⇔ = +
−
⇔ − = ⇔ = ⇔ = >
Vậy, phương trình có một nghiệm
5.
x =
Ví dụ 7. Giải phương trình
(
)
( )
( )
2
2
2
2 2 2
log log .log 2 0 1
x x
x x x
x
−
+ − − =
Giải.
Điều kiện:
( )
2
0
1
0
x
x
x x
>
⇔ > ∗
− >
Ta có
( )
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
1 2log log log .log 2 0
2 log 1 log 1 .log 0
log 1 log 2 0
1
2
log 1 0
2
1
log 2 0
1
4
4
x x x x x x
x x x x x
x x x
x
x x
x x
x
x
x
x
⇔ − − + − − =
⇔ − − + − − =
⇔ − − + =
= −
− =
− − =
⇔ ⇔ ⇔ =
=
+ =
=
So với điều kiện
(
)
∗
ta nhận
2
x
=
.
Vậy, phương trình có một nghiệm là
2.
x
=
2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
