Bài soạn so sánh phương trình mũ và logarit

§2. SO SÁNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng
cùng cơ số
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= =Û
VD : Giải phương trình
2
3 2
1
2
4
x x+ −
=
Giải:

2
3 2
1
2
4
x x+ −
=
(Cần chuyển về cơ số 2 nên đặt vấn đề
?
1
2
4
=

)
⇔
2
3 2 2
2 2
x x+ − −
=
(Vì
2
1
2
4
−
=
)
⇔
2
3 2 2x x+ − = −
(Sử dụng tính chất cùng cơ số)
⇔

2
3 0x x+ =
(Cộng vào từng vế với 2)
⇔

0x =
hoặc
3x = −
● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x)

2
3 2
1
2
4
x x+ −
=
2
?
0 3 0 2
1
2
4
g+ −
=

?
2
1
2
4
−
=
(đúng)

2
3 2
1
2
4

x x+ −
=
( ) ( )
2
?
3 3 3 2
1
2
4
g− + − −
=

?
2
1
2
4
−
=
(đúng)
Vậy phương trình có nghiệm
0x
=
hoặc
3x
= −
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng
cùng cơ số:
log log
a a

M N M N
= ⇔ =
VD : Giải phương trình
2 2 2
log log ( 3) log 4x x+ + =
Giải:
● Điều kiện:
0 0
0
3 0 3
x x
x
x x
> >
 
⇔ ⇔ >
 
+ > > −
 
● Ta có:

2 2 2
log log ( 3) log 4x x+ + =
⇔
2 2
log ( 3) log 4x x + =
(dùng tổng hai logarit)
⇔ ( 3) 4x x + =
(Sử dụng tính chất cùng cơ số)
2

3 4 0x x⇔ + − =
1x⇔ =
(nhận) hoặc
4x = −
(loại so với điều kiện)
● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x)
2 2 2
log log ( 3) log 4x x+ + =

{
?
2 2 2
0
log 1 log (1 3) log 4+ + =

?
2 2
log 4 log 4=
(đúng)
Vậy phương trình có nghiệm:
1x =
2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương
trình đại số.
VD : Giải phương trình
25 2.5 15 0
x x
− − =
Giải:
25 2.5 15 0
x x

− − =
(Cần chuyển về cơ số nhỏ hơn là 5)
( )
2
5 2.5 15 0
x x
− − =
(Vì
( ) ( )
2
2 2
25 5 5 5
x
x x x
= = =
)
Đặt
5
x
t
=
( điều kiện t > 0), phương trình trở thành
2
2 15 0t t− − =
⇔
5t =
hoặc
3t
= −
(loại)

Với
5t =
thì
5 5 1
x
x= ⇔ =
● Thử lại: (thế giá trị 1 vừa tìm được vào x)
25 2.5 15 0
x x
− − =

?
1 1
25 2.5 15 0− − =

?
0 0=
(đúng)
2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương
trình đại số.
VD : Giải phương trình
2
2 2
log log 2 0x x+ − =
Giải:
● Điều kiện:
0x >
● Ta có:
2
2 2

log log 2 0x x+ − =

⇔
( )
2
2 2
log log 2 0x x+ − =

Đặt
2
logt x
=
ta được:

2
1
t 2 0
2
t
t
t
=

+ − = ⇔

= −

+ Với t = 1 thì
2
log 1x = ⇔

1
2 2x = =
+ Với
2t = −
thì
2
log 2x = − ⇔
2
2
1 1
2
2 4
x
−
= = =
● Thử lại: (thế từng giá trị vừa tìm được vào x)
Vậy phương trình có nghiệm
1x =
2
2 2
log log 2 0x x+ − =
2
2 2
log 2 log 2 2 0+ − =

1 1 2 0+ − =

2
2 2
log log 2 0x x+ − =

2
2 2
1 1
log log 2 0
4 4
 
+ − =
 ÷
 

4 2 2 0− − =
Vậy phương trình có nghiệm
2x =
hoặc
1
4
x =
3.Phương pháp 3: Lấy logarit hai vế
VD : Giải phương trình
1
8
4
x
=
Giải:

1
8
4
x

=

8 8
1
log 8 log
4
x
=
(lấy logarit cơ số 8 hai vế)

8
1
log ( )
4
x =

● Thử lại: (thế giá trị vừa tìm được vào x)

1
8
4
x
=

8
1
log
?
4
1

8
4
 
 
 ÷
 ÷
 
 
=
(sử dụng máy tính đề tính vế trái)

?
1 1
4 4
=
(đúng)
Vậy phương trình có nghiệm
1x =
3. Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế
VD : Giải phương trình
3
log (3 8) 2
x
x− = −
Giải:
● Điều kiện:
3 8 0
x
− >
● Ta có:

3
log (3 8) 2
x
x− = −
3
log (3 8)
2
3 3
x
x
−
−
⇔ =
2
3 8 3
x x−
⇔ − =
9
3 8
3
x
x
⇔ − =
( )
2
3 8.3 9 0
x x
⇔ − − =
⇔
3 1

x
= −
(loại) hoặc
3 9
x
=
Với
3 9
x
=
⇔
2x =
(nhận vì thỏa điều kiện)
● Thử lại: (thế giá trị 2 vừa tìm được vào x)
3
log (3 8) 2
x
x− = −
?
2
3
log (3 8) 2 2− = −

?
3
log 1 0=
(đúng)
Vậy phương trình có nghiệm
2x
=

4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính
đơn điệu của hàm mũ để chứng minh nghiệm duy
nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính
đơn điệu của hàm số logarit để chứng minh nghiệm
duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
☺ Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C (với C là hằng
số) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = C thì đó là
nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
☺ Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì
phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
VD : Giải phương trình
3 4 5

x x x
+ =
Giải:
3 4 5
x x x
+ =
, chia từng vế với
5
x
ta được:
3 4
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
(*)
● Ta có
2x =
là nghiệm của phương trình (*) vì
2 2
3 4
1
5 5
   
+ =
 ÷  ÷
   

● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, xét
3 4
( )
5 5
x x
f x
   
= +
 ÷  ÷
   
Ta có
( )f x
nghịch biến trên
¡
vì
3 3 4 4
'( ) ln ln 0
5 5 5 5
x x
f x
   
= + <
 ÷  ÷
   
,
x∀ ∈¡
. Do
đó
+ Với

2x >
thì
( ) (2)f x f<
hay
3 4
1
5 5
x x
   
+ <
 ÷  ÷
   
, nên phương trình (*) không
thể có nghiệm
2x
>
+ Với
2x
<
thì
( ) (2)f x f>
hay
3 4
1
5 5
x x
   
+ >
 ÷  ÷
   

, nên phương trình (*) không
thể có nghiệm
2x <
● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất
2x
=
VD : Giải phương trình
( )
2 5
log log 2 1 2x x+ + =
Giải:
● Điều kiện:
0x >
● Đặt
( )
2 5
log log 2 1 2x x
+ + =
(*)
Ta có
2x
=
là nghiệm của phương trình (*) vì
( )
2 5
log 2 log 2.2 1 2+ + =
● Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, hàm số
2
logy x=

và
( )
5
log 2 1y x= +
đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó đồng
biến.
+ Với
2x >
, ta có:
( ) ( )
( )
2 2
5 5
2 5
log log 2 1

log 2 1 log 2.2 1 1
log log 2 1 2
x
x
x x
> =


+

+ > + =


⇒ + + >

Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi
2x
>
+ Với
0 2x< <
, ta có:
( ) ( )
( )
2 2
5 5
2 5
log <log 2 1

log 2 1 log 2.2 1 1
log log 2 1 <2
x
x
x x
=


+

+ < + =


⇒ + +
Suy ra, phương trình (*) vô nghiệm khi
0 2x
< <

● Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất
2x =