Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 1 pot

76

PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN
CHƯƠNG I. HÀM SỐ
I.1. Giả sử
0
y
∈
,
f
T
khi đó
0
2
2 1
4
x
y
x x
−
=
+ +
(1) có nghiệm đối với
.
x

(1)
(
)
2
0

4 2 1
y x x x
⇔ + + = −

(
)
2
0 0 0
2 4 1 0
y x y x y
⇔ + − + + =
(2)
Xét các trường hợp sau:
+ Xét
0
0.
y
=

Khi đó,
(
)
2 2 1 0
x
⇔ − + =
1
2
x
⇔ =
. Vậy,

0
0 .
f
y T
= ∈
+ Xét
0
0.
y
≠
Khi đó, (2) có nghiệm khi và chỉ khi

( ) ( )
2
0 0 0
2 4 4 1 0
y y y
∆ = − − + ≥

2
0 0
15 8 4 0
y y
⇔ − − + ≥

0
4 2 19 4 2 19
15 15
y
− +

⇔ ≤ ≤
Vậy, tập giá trị của hàm số là
4 2 19 4 2 19
; .
15 15
f
T
 
− +
=
 
 

I.2. Hàm số đã cho có tập xác định
.
D
=
ℝ

Giả sử
0
f
y T
∈
, khi đó
( )
0
2
1
1

x
y
x a
+
=
+
có nghiệm đối với
.
x

(
)
(
)
2
0
1 1
y x a x
⇔ + = +

2
0 0
1 0
y x x ay
⇔ − + − =
(2)
Xét các trường hợp sau
+
0
0.

y
=
(2)
0
1 0 .
f
x y T
⇔ = − ⇒ = ∈
+
0
0.
y
≠
khi đó, (2) có nghiệm
x
khi và chỉ khi
(
)
0 0
1 4 1 0
ay y
∆ = − − ≥

2
0 0 0
1 1 1 1
4 4 1 0 .
2 2
a a
ay y y

a a
− + + +
⇔ − + + ≥ ⇔ ≤ ≤
Như vậy tập giá trị của hàm số chứa đoạn
[
]
0;1
khi và chỉ khi
0
a
>
và hệ điều kiện sau
1 1
0
5
2
0 .
4
1 1
1
2
a
a
a
a
a

− +
≤



⇔ < ≤

+ +

≥



77

I.3. Hàm số đã cho có tập xác định là
{
}
\ ;1 .
D m=
ℝ
Tập xác định
D
là tập đối xứng khi
và chỉ khi
1.
m
= −
Với
1
m
= −
thì hàm số trở thành
2

1
.
1
y
x
=
−
Hàm số này là một hàm số
chẵn. Vậy, khi
1
m
= −
thì hàm số đã cho là hàm số chẵn.
I.4. Hàm số đã cho có tập xác định là:
D
=
ℝ
.
1)
,
a D
∀ ∈
ta có
( ) (0 ) (0) ( )
f a f a f f a
= + = +
(0) ( ) ( )
f f a f a
⇒ = −
(0) 0.

f
⇒ =

Vậy,
(0) 0
f
=
(Đpcm).
2) Theo giả thiết hàm số
( )
y f x
=
xác định trên
ℝ
nên tập xác định của hàm số đã cho là
tập đối xứng. Mặt khác ta lại có:
0 (0) ( ) ( ) ( )
f f a a f a f a
= = − + = − +
( ) ( ).
f a f a
⇒ − = −

Vậy,
f
là hàm số lẻ.
I.5. Trường hợp phương trình
(
)
0

f x
=
vô nghiệm thì số nghiệm của phương trình bằng 0.
Giả sử phương trình
(
)
0
f x
=
có nghiệm. Gọi
0
x
là một nghiệm của phương trình
(
)
0,
f x
=
ta có
(
)
0
0
f x
=
và
0
0.
x
≠

Vì
( )
y f x
=
là hàm số lẻ nên
(
)
(
)
0 0
.
f x f x
− = −
Suy ra
(
)
0
0
f x
− =
và do đó
0
x
−
cũng là một nghiệm của phương trình
(
)
0.
f x
=

Từ đây
ta có nếu
0
x
là một nghiệm của phương trình
(
)
0
f x
=
thì
0
x
−
cũng là một nghiệm của
phương trình
(
)
0.
f x
=
Như vậy, số nghiệm của phương trình
(
)
0
f x
=
là một số chẵn.
I.6. a) Ta có:
(

)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
2 (1), ,f x x f x x f x f x x x
+ + − = ∀ ∈
ℝ
.
Thay
1 2
0
x x
= =
vào 2 vế của (1) ta được
( ) ( )
2
2 0 2 0
f f
 
=
 
(
)
0 0
f
⇔ =

∨
(
)
0 1
f
=
. Nhưng theo bài ra ta có
(
)
f x
0
≠
,
x
∀ ∈
ℝ
do
đó
(
)
0 1
f
=
.
b) Hàm số
(
)
y f x
= xác định trên

ℝ
nên tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
Thay
1 2
0;
x x x
= =
vào
(
)
1
ta được:
(
)
(
)
(
)
2
f x f x f x
+ − =
(
)
(
)
.
f x f x
⇔ = −
x
∀ ∈

ℝ
.
Vậy,
(
)
f x
là một hàm số chẵn.
I.7. 1)
y
=
(
)
cos 2 3 .
x + Tập xác định của hàm số đã cho là
.
D
=
ℝ

Hàm số
(
)
( ) cos 2 3
y f x x
= = +
là hàm số tuần hoàn vì có T =
2
π
sao cho
78

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 .
2 cos 2 2 3 cos 2 3 4 cos 2 3
x x
x f x x x x f x
π
π π π
∀ ∈ ⇒ ± ∈
   
∀ ∈ ⇒ ± = ± + = + ± = + =
   
i ℝ ℝ
i ℝ

Chu kì của hàm số là
0
T
=
.
π
Giả sử còn có
0 l
π
< <
sao cho

(
)
(

)
( ) ( )
,
cos 2 3 cos 2 3 (1),
f x l f x x
x l x x
+ = ∀ ∈
 
⇔ + + = + ∀ ∈
 
ℝ
ℝ

Chọn
x
=
3
2
−
ta có (1)
cos 2 1
l
⇔ =
, với
0 ,
l
π
< <
(Vô lý).
Vậy, chu kì của hàm số là

0
T
=
.
π

2)
2
sin .
y x
= Tập xác định của hàm số đã cho là
.
D
=
ℝ

Hàm số
( )
2
1 cos2
sin
2
x
y f x x
−
= = = là hàm tuần hoàn vì có
2
T
π
=

sao cho
2x x
π
∀ ∈ ⇒ ± ∈
i ℝ ℝ

( )
(
)
(
)
( )
1 cos 2 2
1 cos 2 4
1 cos2
2
2 2 2
x
x
x
x f x f x
π
π
π
 − ±
− ±
−
 
∀ ∈ ⇒ ± = = = =i ℝ
Chu kì của hàm số là

0
T
=
.
π

Giả sử còn có
0 l
π
< <
sao cho
(
)
(
)
( )
( )
,
1 cos 2
1 cos2
,
2 2
cos 2 cos 2 (1),
f x l f x x
x l
x
x
x l x x
+ = ∀ ∈
 

− +
−
 
⇔ = ∀ ∈
 ⇔ + = ∀ ∈
 
ℝ
ℝ
ℝ

Chọn
x
π
=
ta có
(1)
⇔
cos2 1,
l
=
với
0 l
π
< <
(Vô lý)
Vậy, chu kì của hàm số là
0
T
=
.

π

I.8. 1)
3 2
( ) 2 .
y f x x x
= = + Tập xác định của hàm số đã cho là
.
D
=
ℝ
ta có
3 2
0
( ) 2 0
2.
x
f x x x
x
=

= + = ⇔

= −


Giả sử
( )
f x
là hàm số tuần hoàn, khi đó tồn tại số dương

T
sao cho
( ) ( ), .
f x T f x x D
+ = ∀ ∈
Chọn
0,
x
=
ta có
(0 ) (0) 0 0
f T f T
+ = = ⇒ >
là nghiệm của
phương trình
( ) 0
f x
=
(vô lý). Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
2) ( ) 1
y f x x
= = −
. Tập xác định của hàm số đã cho là
[1; ).
D
= +∞

( ) 0 1.
f x x
= ⇔ =

Giả sử
( )
f x
là hàm số tuần hoàn, khi đó tồn tại số dương
T
sao cho
( ) ( ), .
f x T f x x D
+ = ∀ ∈
Chọn
1,
x
=
ta có
(1 ) (1) 0 1 1
f T f T
+ = = ⇒ + >
là nghiệm của
phương trình
( ) 0
f x
=
(vô lý). Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
79

2
3) ( ) .
1
x
y f x

x
= =
−
Tập xác định của hàm số đã cho là
{
}
\ 1;1 .
D = −
ℝ

Giả sử
( )
f x
là hàm số tuần hoàn, khi đó tồn tại số dương
T
sao cho
x D
∀ ∈
.
x T D
⇒ ± ∈
Do
{
}
\ 1;1
D = −
ℝ
nên1 (1 ) 1
T D T T D D
+ ∈ ⇒ + − ∈ ⇒ ∈

(Vô lý).
Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
I.9. Tập xác định của hàm số Đirichlê là
.
D
=
ℝ
Với 0,T T
> ∈
ℚ
ta đều có
x T
± ∈
ℚ
nếu
,
x
∈
ℚ
\
x T
± ∈
ℝ ℚ
nếu
\
x
∈
ℝ ℚ
.
Suy ra

1 , .
( )
0 , \ .
x
f x T
x
∈

± =

∈

ℚ
ℝ ℚ

Như vậy,
( ) ( ), .
f x T f x x
± = ∀ ∈
ℝ
Suy ra hàm số
)
f x
(
là hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên
trong tập các số hữu tỉ dương không có số dương bé nhất, vì vậy hàm số Đirichlê là hàm số
tuần hoàn nhưng không có chu kỳ.
I.10. 1) Ta có:
( )
( )

( )
( )
1
1
1
2
1
1
1 2
1
1
x
f x
x
x
y f f x x
x
f x
x
+
+
+
−
= = = = =
+
−
−
−

Vậy,

(
)
(
)
.
y f f x x
= =

2) Ta có:
( )
( )
(
)
( )
1
2 1 1 2
1 2 1 1 2 2 1
g x
x x x
y f g x
g x x x x
+
− +
= = = = =
− − − − −

Vậy,
( )
( )
.

1
x
y f g x
x
= =
−

I.11. Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 1 3 2
4 3 1
1 1 1 1 1
,
1 1 1
1 1
1
1
.
1
x x
f x f f x f x f f x x
x
x x
x x x

f x f f x f x
x
− −
= = = = = = = =
−
−
− −
−
= = =
−

Như vậy,
(
)
(
)
(
)
(
)
1 4 7 1 3
, .
k
f x f x f x f x k
+
= = = = ∈
ℕ

Do đó
( ) ( )

100 1
1
.
1
f x f x
x
= =
−

I.12. Ta có

( ) ( )
1
1 2 ,
2
, 2 1 .
1
2 1,
2
x x
y f x f x x
x x

− <


= = ⇒ = −


− ≥




80


( )
1, 1
1 , 1
1
x x
y g x
x x
x
− ≥

= =

− <

= −

Vậy,
[
]
[
]
( ) 2 1 1 , ( ) 2 1 1.
f g x x g f x x
= − − = − −

I.13. Hàm số
(
)
2 1
y f x x
= = − −
xác định trên nửa khoảng
(
]
;1 .
−∞
Trên tập xác định
(
]
;1
−∞
phương trình 2 1
y x
= − −
có nghiệm duy nhất đối với ẩn
x
là
( )
2
2
1 2 4 3.
x y y y
= − − = − + −

Vậy, hàm số ngược cần tìm là
1 2
( ) 4 3, ( ;2].
y f x x x x
−
= = − + − ∈ −∞
I.14. 1) a) Ta có
2 2
7 3
2 ( ) 2
2 2
x x x x
y f x
x x
− − + −
= = − = −
+ +

Từ đồ thị hàm số
2
3
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
suy ra đồ thị

2
7
2
x x
y
x
− −
=
+
bằng phép tịnh tiến
theo véc tơ
(0; 2).
v
= −


b) Ta có
2 2
7 9 ( 3) ( 3) 3
( 3)
5 ( 3) 2
x x x x
y f x
x x
+ + + + + −
= = = +
+ + +

Từ đồ thị hàm số
2

3
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
suy ra đồ thị
2
7 9
5
x x
y
x
+ +
=
+
bằng phép tịnh tiến
theo
( 3;0).
v = −


c) Từ đồ thị hàm số
2
3
( )
2

x x
y f x
x
+ −
= =
+
tịnh tiến theo vectơ
( ; )
v a b
=

được đồ thị
2
2 4
3
x x
y
x
+ −
=
+
khi và chỉ khi
[ ]
( )
2 2
2 2
3 2 3 2 2
2
2 4 ( ) ( ) 3
, 3

3 ( ) 2
( 2 4) ( ) 2 ( ) ( )(1 ) 3 2 3 , 3
(4 ) 2 4 8 (4 2 ) ( 7 5 )
3( 2 3), 3
x x x a x a
b x
x x a
x x x a x a x a b b x x
x a x ax a x b a x a a ab b x
a a ab b x
+ − − + − −
= + ∀ ≠ −
+ − +
 
⇔ + − − + = − + − + − + + ∀ ≠ −
 
⇔ + − − + − = + + − − − − + +
+ − − + − ∀ ≠ −

2
2
4 4 2
1
2 ( 7 5 )
1
4 8 3( 2 3)
a b a
a
a a a ab b
b

a a a ab b
− = + −

= −


⇔ − = − − − + ⇔
 
= −


− = − − + −


Vậy, tịnh tiến đồ thị hàm số
2
3
2
x x
y
x
+ −
=
+
theo vectơ
( 1; 1)
v
= − −

được đồ thị hàm số

81

2
2 4
.
3
x x
y
x
+ −
=
+

2) a) Ta có
2 2
3 3
( )
2 2
x x x x
y f x
x x
 
− − + + −
= = − = −
 
+ +
 

Từ đồ thị hàm số
2

3
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
suy ra đồ thị hàm số
2
3
2
x x
y
x
− − +
=
+
bằng phép đối
xứng qua trục hoành.
b) Ta có
2 2
5 3
1 ( ) 1
2 2
x x x
y f x
x x
 

− + + −
= = − + = − +
 
+ +
 

Do đó để có đồ thị hàm số
2
5
2
x
y
x
− +
=
+
ta thực hiện hai bước
+ Bước 1: Đối xứng đồ thị hàm số
( )
y f x
=
qua trục hoành ta được đồ thị
1
( )
C
của hàm số
( ).
y f x
= −

+ Bước 2: Tịnh tiến
1
( )
C
theo vectơ
(0;1)
v =

ta được đồ thị hàm số
2
5
2
x
y
x
− +
=
+
.
I.15. Ta có
3 7 1
3 .
2 2
x
y
x x
−
= = −
− −
Do đó ta thực hiện liên tiếp các bước biến đổi sau:

+ Tịnh tiến đồ thị của hàm số
1
y
x
=
theo véc tơ
(2;0)
v =

thì được đồ thị hàm số
1
.
2
y
x
=
−

+ Đối xứng đồ thị hàm số
1
2
y
x
=
−
qua trục hoành ta được đồ thị hàm số
1
.
2
y

x
= −
−

+ Tịnh tiến đồ thị của hàm số
1
2
y
x
= −
−
theo véc tơ
(0;3)
u =

ta được đồ thị hàm số
3 7
.
2
x
y
x
−
=
−

I.16. 1)
2
3 1
.

3
x x
y
x
− +
=
−

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
3 1
3
x x
y
x
− +
=
−

dành cho bạn đọc. Đồ thị (C) của hàm số
2
3 1
3
x x
y
x
− +
=
−
như sau

82

x
y
5
42
1
O

2) a)
2
2
2
3 1
; ( ) 0
3 1
3
( )
3
3 1
; ( ) 0
3
x x
f x
x x
x
y f x
x
x x
f x

x

− +
≥

− +

−
= = =

−
− +

− <

−


Do đó đồ thị hàm số
2
3 1
3
x x
y
x
− +
=
−
gồm hai phần:
+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số

( )
y f x
=
;
+ Đối xứng của phần đồ thị hàm số
( )
y f x
=
phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Đồ thị của hàm số
( )
y f x
= như sau
x
y
5
42
1
O

b)
2
3 1
;
3
x x
y
x
− +
=

−

Ta có:
2
2
2
3 1
; 3
3 1
3
3
3 1
; 3
3
x x
x
x x
x
y
x
x x
x
x

− +
>

− +

−

= ⇔

−
− +

− <

−


83

Do đó đồ thị hàm số
2
3 1
3
x x
y
x
− +
=
−
gồm hai phần:
+ Phần đồ thị
( )
y f x
=
trên miền
3;
x

>

+ Đối xứng của phần đồ thị
( )
y f x
=
trên miền
3
x
<
qua trục hoành.
Đồ thị hàm số
2
3 1
3
x x
y
x
− +
=
−
như sau
x
y
5
4
2
-1
O

2
3 1
) ;
3
x x
c y
x
− +
=
−
Do hàm số
( )
y f x
= là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là trục
.
Oy
Với
0
x
≥
thì
(
)
(
)
.
y f x f x
= =
Đồ thị hàm số
2

3 1
3
x x
y
x
− +
=
−
gồm hai phần:
+ Phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
;
+ Đối xứng của phần đồ thị hàm số
( )
y f x
=
phía bên phải trục tung qua trục tung.
Đồ thị hàm số
(
)
y f x
= như sau
-2
-4
x
y
5
4

2
1
O

84

d) Ta có
2 2
2
2 2
3 1 3 1
; 0
3 3
3 1
3
3 1 3 1
; 0
3 3
x x x x
x x
x x
y
x
x x x x
x x

− + − +
≥

− −

− +

= =

−
− + − +

− <

− −


Do đó đồ thị hàm số
2
3 1
3
x x
y
x
− +
=
−
gồm hai phần:
+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số
( )
y f x
= ;
+ Đối xứng của phần đồ thị hàm số
( )
y f x

= phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Đồ thị hàm số
2
3 1
3
x x
y
x
− +
=
−
như sau
-2
-4
x
y
5
4
2
1
O

I.17. Đặt
2
x X
y Y
= +


=



Hàm số đã cho trở thành
( ) ( )
2
2
5 5
.
1
2 4 2 3
Y
X
X X
= =
−
+ − + +
Hàm số
2
5
1
Y
X
=
−
là hàm số chẵn.
Vậy, đường thẳng
2
x
=
là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

I.18. Đường thẳng
0
x x
=
là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
4 3 2 2 3 2
0 0 0 0 0 0
4 3 2 4 3 2 2
0 0 0 0
2 ,
2 4 2 3 2 2 2 4 3 2 ,
4 2 1 3 8 8 1 2 16 24 6 1
16 32 12 4 4 3 3 2 ,
f x x f x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
− = ∀ ∈
⇔ − + − + − − − = + + − ∀ ∈

⇔ − + + + + − + + − +
+ + + − = + + + − ∀ ∈
ℝ
ℝ
ℝ

85

( )
( )
( )
( )
( )
0
0
2
0 0
0 0
2
0
3 2
0 0 0
0 0 0
2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
1
2 1 1
1 0

8 8 1 1
1
1 16 8 2 0
16 24 6 1 1
1 4 4 1 0
16 32 12 4 0
x
x
x x
x x
x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
= −


− + =


= − ∨ =

+ + =

⇔ ⇔ ⇔ = −
 
+ + − =
+ + − =
 

 
+ + − =
+ + − =



Vậy, đồ thị hàm số
4 3 2
4 3 2
y x x x x
= + + −
có duy nhất một trục đối xứng cùng phương với
trục tung là
1.
x
= −

I.19. Ta có
( )
2
2 2
4 2 4 3
1 1
1 1
x x x
y
x x
+ − −
= = +
+ +

Giả sử
(
)
0 0
,
I x y
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Dời hệ trục toạ độ
Oxy
về hệ trục toạ độ mới
IXY
với
(
)
0 0
,
I x y
bởi phép đặt
0
0
x X x
y Y y
= +


= +


Thay vào

(
)
1
ta được
(
)
( )
2
4 3
( ) 1
1
o
o
o
X x
Y g X y
X x
+ −
= = + −
+ +

Nếu đồ thị
(
)
C
nhận
(
)
;
o o

I x y
làm tâm đối xứng thì hàm số
(
)
Y g X
= phải là hàm số lẻ
tức là
(
)
( )
(
)
( )
( )
2 2
0
4 3 4 3
1 1
1 1
o o
o o
o
X x X x
y y
X x X x
− + − − + +
+ − = − + ∗
− + + + +
đúng với mọi
.

X
∈
ℝ

Cho
X
→ ∞
thì
(
)
∗
tương đương với:
2 2 1
o o
y y
= ⇔ =
. Với
1
o
y
=

(
)
∗
trở thành
(
)
( )
(

)
( )
( )
2 2
4 3 4 3
; .
1 1
o o
o o
X x X x
X
X x X x
− + − − + +
= ∀ ∈ ∗∗
− + + + +
ℝ Đặt
o
X x
=
thì
(
)
∗∗
trở thành
2
2
8 3
3 12 8 6 0.
4 1
o

o o
o
x
x x
x
− +
− = ⇔ − + =
+
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy,
(
)
;
o o
I x y
không phải là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
I.20. Giả sử
x m
=
là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Đặt
x X m
y Y
= +


=


Khi đó ta có hàm số

4 3 2
( ) ( ) 4 ( ) 2( ) 12( )
Y f X X m a X m X m X m a
= = + + + − + − +
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3
2 2
4 6 4 4 ( 3 3 )
2( 2 ) 12 ( )
X X m X m Xm m a X X m Xm m
X m mX a X m
= + + + + + + + + −
− + + − +

86

4 3 2 2 3 2
4 3 2
(4 4 ) (6 12 2) (4 12 4 12 )
4 2 12 (2)
X m a X m am X m am m a X
m am m am
= + + + + − + + − −
+ + − −

Đường thẳng
x m
=
là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi hàm số
( )
Y f X

=
phải là hàm số chẵn, điều này tương đương với
3 2
4 4 0
4 12 4 12 0
m a
m am m a
+ =


+ − − =


3 2
3 2
0
3 3 0
( ) 3 ( ) ( ) 3 0
m a
m am m a
m a
a a a a a
+ =

⇔

+ − − =

= −


⇔

− + − − − − =


3 3 3
2
0
0
1
3 3 0 2 2 0
1
1
m a
m a
m a m a
a
a
a
a a a a a a
a
a
= −

= −


= − = −
=
 




=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔

   

= −
− + + − = − =

 
 

=




=



Vậy, với
0
1
1
a
a
a

=


= −


=

thì đồ thị hàm số có trục đối xứng cùng phương
.
Oy

I.21. Giả sử trên đồ thị
(
)
m
C
có hai điểm
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
M x y N x y
đối xứng nhau qua gốc tọa
độ, khi đó ta có
2 1
2 1
x x

y y
= −


= −


Như vậy ta được

( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2
1
2
1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 1 (1)
1(*)
x m x m x m x m x m x m x m x m
x x x x
m x m
x
− + + + − + + +
= − ⇔ =
− + + − +

− =


⇔

≠



Trên đồ thị
(
)
m
C
có hai điểm
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
M x y N x y
đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và
chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện (*), điều này tương đương
với
2
2
2
2
2
2
1

0
2
2 1
2
2
1
1.
1
2 1
m
m
m
m
m
m
m
m



>

>
>  
−
⇔ ⇔
  
  
≠
≠ ±

≠



−


I.22. 1)
3 2
( ) 2.3 4.3 2.3
x x x
y f x= = − + trên đoạn
[
]
1;1
− .
87

Đặt
3 0.
x
t
= >
Khi đó hàm số đã cho trở thành
3 2
( ) 2 4 2 .
y f t t t t
= = − +

Với

[ 1;1]
x
∈ −
thì
1
[ ;3].
3
t ∈
Lấy đạo hàm theo biến
t
ta được
2
6 8 2
y t t
′
= − +

1
0
1
3
t
y
t
=


′
= ⇔


=


Ta có
( ) ( )
1 8
1 0; ; 3 24.
3 27
f f f
 
= = =
 
 

Vậy,
(
)
[ ]
1;1
24
x
Maxf x
∈ −
=
và
(
)
[ ]
1;1
0.

x
Min f x
∈ −
=

2)
(
)
os3 15cos 8
y f x c x x
= = − +
trên đoạn
3
; .
3 2
π π
 
 
 

(
)
3 3
os3 15cos 8 4cos 3cos 15cos 8 4cos 18cos 8
y f x c x x x x x x x
= = − + = − − + = − +

Đặt
cos .
t x

=

Khi đó hàm số
(
)
3
4cos 18cos 8
y f x x x
= = − +
trở thành
(
)
3
4 18 8.
y f t t t
= = − +
Với
3
;
3 2
x
π π
 
∈
 
 
thì
1
[ 1; ].
2

t ∈ −
Lấy đạo hàm theo biến
t
ta được:
(
)
( )
2
12 18
3
2
0
3
2
f t t
t
f t
t
′
= −

=


′
= ⇔

= −



. Cả hai giá trị này không thuộc
1
[ 1; ].
2
−
( )
1 1
; 1 22.
2 2
f f
 
= − − =
 
 

Vậy,
(
)
3
;
3 2
22
x
Maxf x
π π
 
∈
 
 
=

và
( )
3
;
2 2
1
.
2
x
Min f x
π π
 
∈
 
 
= −

3)
(
)
3 2
3 5
y f x x x
= = − +
trên đoạn
[
]
0;3 .
Xét hàm số
3 2

3 5.
y x x
= − +
Ta có
2
3 6
y x x
′
= −

88

( )
0 5
0 3 2 0
2 1
x y
y x x
x y
= ⇒ =

′
= ⇔ − = ⇔

= ⇒ =


Tại
3 5.
x y

= ⇒ =
Vì trên đoạn
[
]
0;3
hàm số
3 2
3 5
y x x
= − +
lấy giá trị dương, do đó
(
)
[ ]
0;3
5
x
Maxf x
∈
=
và
(
)
[ ]
0;3
1.
x
Minf x
∈
=

I.23. 1)
( )
2
3
.
2 1
x
y f x
x
= =
−
Tập xác định của hàm số
2
3
( )
2 1
x
y f x
x
= =
−
là
1
\ .
2
D
 
=
 

 
ℝ
Ta có
(
)
( ) ( )
3
2 1
'
3 2 1 2 1
x
y
x x x
−
=
− −
,
' 0 1.
y x
= ⇔ =

Điểm tới hạn của hàm số thuộc đoạn
3
;2
4
 
 
 
là
1

x
=
. Ta có
(
)
1 1
f
=
;
3
3 9
4 2
f
 
=
 
 
;
( )
3
36
2
3
f = . Vậy,
( )
3
3
;2
4
36

;
3
x
Max f x
 
∈
 
 
=
3
;2
4
( ) 1.
x
Min f x
 
∈
 
 
=

2)
(
)
(
)
cos 1 sin
y f x x x
= = + ,
[

]
0;2
x
∈ π
.
Tập xác định của hàm số là
[
]
0;2
D
= π

Ta có
( )
1
cos 1 sin sin 2 sin
2
y x x x x
= + = +
cos2 cos
y x x
′
= +
2
2cos 1 cos ,
x x
= − +
' 0
y
=

2
2cos cos 1 0
x x
⇔ + − =

cos 1
1
cos
2
x
x
= −


⇔

=


. Với
[
]
cos 1 0;2
x x
π π
= − ⇒ = ∈
. Với
[ ]
[ ]
0;2

1
3
cos
5
2
0;2
3
x
x
x
π
π

= ∈

= ⇒

π

= ∈ π



(
)
0 0
f
=
;
3 3

;
3 4
f
π
 
=
 
 
(
)
0;
f
π
=
(
)
2 0;
f
π
=

5 3 3
.
3 4
f
π −
 
=
 
 

Vậy,
[ ]
( )
0;2
3 3
;
4
x
Max f x
∈ π
=
( )
[ ]
0;2
3 3
.
4
x
Minf x
π
∈
−
=

I.24. Giả sử
(
)
,
x y

là một nghiệm của hệ phương trình
89

( )
2 2
2
1
3
x y a
x y xy
+ = −


+ + =


Ta có
( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
2
1
4 1
3 3
x y a x y a
x y a
I

xy a a
x y xy xy x y
+ = − + = −
 
+ = −

 
⇔ ⇔ ⇔
  
= − +
+ − = = + −
 

 

Khi đó
;
x y
thỏa phương trình
(
)
(
)
2 2
2 4 1 0
X a X a a
− − + − + = ∗

Phương trình
(

)
∗
có nghiệm khi và chỉ khi
( )
(
)
2
2 2
0 2 4 4 1 0 3 12 0 0 4.
a a a a a a
∆ ≥ ⇔ − − − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤

Xét
( ) ( )
2
2 2
3 2
M x y xy x y xy= + − = + −
Thế
(
)
I
vào
(
)
2
ta được
( )
(
)

2
2 2
2 3 4 1 2 8 1.
M a a a a a
= − − − + = − + +

Khi đó việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
M x y xy
= + −
trở thành
việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 8 1
N a a
= − + +
trên đoạn
[
]
0;4 .

Xét
(
)
2
2 8 1
f a a a
= − + +
(
)

' 4 8,
f a a
⇒ = − +
(
)
' 0 4 8 0 2.
f a a a
= ⇔ − + = ⇔ =

Ta có
(
)
(
)
(
)
2 9; 0 1; 4 1.
f f f
= = =

Vậy, khi
0
4
a
a
=


=


thì
M
đạt giá trị nhỏ nhất và khi
2
a
=
thì
M
đạt giá trị lớn nhất.
I.25. Tập xác định của hàm số là
.
D
=
ℝ

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
1 2 3 4 1 4 2 3
5 4 5 6 5 4 5 4 2
y x x x x x x x x
x x x x x x x x
   
= + + + + = + + + +
   
= + + + + = + + + + +

(
)
(
)
( )
2
2 2
2
2
5 4 2 5 4 1 1
5 5 1 1, .
x x x x
x x x
= + + + + + + −
= + + − ≥ − ∀ ∈ℝ

Dấu
" "

=
xảy ra khi và chỉ khi
2
5 5 5 5
5 5 0 .
2 2
x x x x
− − −
+ + = ⇔ = ∨ =
Vậy,
1.
Miny
= −

I.26. Theo bất đẳng thức Bunhiascopki ta có
2
2 2
5 1 1 1
1 . .
4 4
4
x y
x y
 
   
= + = + ≤
 
   
 
   

 
( ) ( )
( )
2
2
2 2
1 1 1 1
. .
16
4
x y x y
x y
x y
 
 
 
 
 
 
≤ + + = + +
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 

90

25 5 1 4 1
.
16 4 4 4
x y
 
⇔ ≤ +
 
 
(Do
5
4
x y
+ =
)
4 1
5 5.
4
A
x y
⇔ ≤ + ⇒ ≥

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
1
1
1
4

4
5
4
x
x
x
y
y
y
x y

=


=



= ⇔
 
=
 



+ =


Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là
5.

MinA
=

I.27. Xét ba vectơ
( 1;0), ( 2;0), w (5 2 ;0)
u x v x x
= + = − = −
  

Khi đó
w (4;0).
u v+ + =
  
Ta có bất đẳng thức
2
w w 1 2 5 2 4 0 4.
u v u v x x x
+ + ≥ + + ⇔ + + − + − ≥ + =
     

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba vectơ
, ,w
u v
  
cùng hướng, khi và chỉ khi
5
2 .
2
x
≤ ≤

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là
4.
Miny
=

I.28.
2 2
3 1 2 1 1 1
2 .
4 4 8 8 2
y y x y
A x y x
x y x y
 
+
= + + + = + + + + +
 
 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương
1
4
x
và
1
x
ta có
( )
1 1 1 1

2 . 1 1
4 4
x x
x x
+ ≥ = .
Tương tự, ta cũng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương
2
1
; ;
8 8
y y
y
ta có
( )
3
2 2
1 1 3
3 . . 2 .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =

Ta lại có
( )
4 2 3 .
2
x y
x y
+

+ ≥ ⇒ ≥
Từ (1), (2), (3), ta suy ra
3 9
1 2. 2 .
4 2
A
≥ + + =

91

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
1
4
2
1
2
8
4
x
x
x
y
y
y
x y

=



=


= ⇔
 
=



+ =



Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là
9
.
2
MinA
=

I.29. Điều kiện
3, 4, 5.
x y z
≥ ≥ ≥

Biểu thức được viết lại
4
3 5
y
x z

T
x y z
−
− −
= + +
Áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với hai số không âm
( 3);3
x
−
ta được
3 3
3. 3 ( 3).3
2 2
3 1
.
2 3
x x
x x
x
x
− +
− = − ≤ =
−
⇔ ≤

Lập luận tương tự như trên, ta cũng có
4
1 1
4
2 4

5 1
2 5
y
y
z
z
−
≤ =
−
≤

Như vậy, ta được
1 1 1
.
4
2 3 2 5
T ≤ + +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 3
6
4 4
8
5 5
10.
3, 4, 5
x
x
y
y

z
z
x y z
− =

=


− =
 
⇔ =
 
− =
 
=


≥ ≥ ≥


Vậy,
1 1 1
.
4
2 3 2 5
MaxT = + +

I.30. Ta có
2 2 2 2 2 2
(*).

x x y y z z
P
y z z x x y
= + + + + + Ta nhận thấy
2 2
, , .
x y xy xy x y
+ − ≥ ∀ ∈
ℝ

Do đó
(
)
3 3
, , 0
x y xy x y x y
+ ≥ + ∀ >
hay
2 2
, , 0.
x y
x y x y
y x
+ ≥ + ∀ >

Tương tự ta cũng có
92

2 2
2 2

, , 0
, , 0.
y z
y z y z
z y
z x
z x z x
x z
+ ≥ + ∀ >
+ ≥ + ∀ >

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên và kết hợp với (*) ta được
2( ) 2, , , 0
P x y z x y z
≥ + + = ∀ >
và
1.
x y z
+ + =
Hơn nữa ta có
2
P
=
khi
1
.
3
x y z
= = =

Vậy,
2.
MinP
=

I.31.
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
A
b c c a a b
= + +
+ + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được
( )( ) ( )( )
3 3
3
1 1 1 1 3
3 . . (1)
1 1 8 8 1 1 8 8 4
a b c a b c a
b c b c
+ + + +
+ + ≥ =
+ + + +

Tương tự ta cũng có
( )( )

3
1 1 3
(2)
1 1 8 8 4
b c a b
c a
+ +
+ + ≥
+ +

( )( )
3
1 1 3
(3)
1 1 8 8 4
c a b c
a b
+ +
+ + ≥
+ +

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta đươc
3
3 3 3 3
.
4 2 2 2 4
a b c abc
A A
+ +
+ ≥ ≥ = ⇒ ≥

Đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
= = =
Vậy,
3
.
4
MinA
=

I.32.
.
a b c
A
b c a
= + +

Ta có
2 2 2
2
2 2 2
.
a b c a b c c a
A
b c a
c a b
= + + + + +
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được

2 2
4
4 . . . 4 (1)
a a b a b a a b a b
c c a
b b
c c c c
+ + + ≥ =
Tương tự ta cũng có
2
4 (2)
b b c b c
a b
c
a a
+ + + ≥
93

2
4 (3)
c c a c a
b c
a
b b
+ + + ≥
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta đươc
(
)
2
3 9 3.

A a b c A
≥ + + ≥ ⇒ ≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
= = =
Vậy,
3.
MinA
=

I.33.
xy yz zx
S
z x y
= + +

Ta có
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
x y y z z x
S x y z
z x y
= + + + + +
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được
2 2 2 2 2 2 2 2

2
2 2 2 2
2 . 2 (1)
x y y z x y y z
y
z x z x
+ ≥ =
Tương tự ta cũng có
2 2 2 2
2
2 2
2 (2)
y z z x
z
x y
+ ≥
2 2 2 2
2
2 2
2 (3)
x y z x
x
z y
+ ≥
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta đươc
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
x y z

z x y
+ + ≥ + +

Suy ra
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 3 3 3.
x y y z z x
S x y z x y z S
z x y
= + + + + + ≥ + + = ⇒ ≥
Đẳng thức xảy ra khi
2 2 2 2 2 2
2 2 2
, , 0
3
.
3
x y z
x y z
x y y z z x
z x y
>


⇔ = = =

= =




Vậy,
3.
MinS =
I.34.
(
)
(
)
(
)
( )( )( )
1 1 1
.
1 1 1
a b c
A
a b c
+ + +
=
− − −

Theo giả thiết
1 0
1 1 0
1 0
a b c
a b c b a c

c a b
− = + >


+ + = ⇒ − = + >


− = + >


Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được
94

( ) ( ) ( )( )
1 1 1 2 1 1 (1)
a b c b c+ = − + − ≥ − −
Tương tự ta cũng có
( )( )
( )( )
1 2 1 1 (2)
1 2 1 1 (3)
b a c
c a b
+ ≥ − −
+ ≥ − −

Nhân các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta đươc
( )( )( ) ( )( )( )
(
)

(
)
(
)
( )( )( )
1 1 1
1 1 1 8 1 1 1 8
1 1 1
a b c
a b c a b c
a b c
+ + +
+ + + ≥ − − − ⇒ ≥
− − −

Suy ra
8.
A
≥

Đẳng thức xảy ra khi
1
.
3
a b c
= = =

Vậy,
8.
MinA

=

I.35.
( )
2 2 2
2
.
ab bc ca
M
ab bc ca
+ +
=
+ +

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai bộ số
(
)
(
)
; ; , ; ;
a b c b a c b a c

Ta được

( ) ( )
(
)
( )
( )
2

2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
(1)
ab bc ca a b c ab bc ca
ab bc ca
M
a b c
a b c ab bc ca
+ + ≤ + + + +
+ +
⇒ ≥ =
+ +
+ + + +

Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacôpski thì
( )
(
)
2
2 2 2
3 9 3(2)
a b c a b c a b c+ + ≤ + + = ⇒ + + ≤
Từ (1) và (2) ta suy ra
1
.
3
M
≥

Đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
= = =

Vậy,
1
.
3
MinM
=

I.36.
2 3 8
A x y z
= + + −

Ta có
(
)
(
)
(
)
2 3 8 1 1 2 2 3 1
A x y z x y z
= + + − = − + − + −

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai bộ số

(
)
(
)
1;2;3 , 1; 2; 1
x y z
− − −

95

Ta được
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 8 14 1 2 1 14
A x y z x y z= + + − ≤ − + − + − =
Đẳng thức xảy ra khi
2 3 8 14
1 2 1 2 3 8 14
1 2 3 1 4 9 14
x y z
x y z x y z

+ + − =


− − − + + −
= = = = ±

+ +


Hệ phương trình trên có nghiệm chẳng hạn
14
1
14
14
2
7
3 14
1
14
x
y
z

= +




= +



= +



. Vậy,
14.

MaxA =

I.37.
2 2 2 2 2 2
A a b b c c a
= + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai bộ số
(
)
(
)
1;1 , ;
a b

Ta được
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
1
1. 1. 2 (1)
2
a b a b a b a b+ ≤ + ⇒ + ≥ +

Tương tự ta cũng có
( )
( )
2 2

2 2
1
(2)
2
1
(3)
2
b c b c
c a c a
+ ≥ +
+ ≥ +

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta đươc
( )
2
2.
2
A a b c≥ + + =

Đẳng thức xảy ra khi
1
.
3
a b c
= = =

Vậy,
2.
MinA =

I.38.
2
2
.
1 2 2
xy y
A
x xy
+
=
+ +

Do
2 2
1
x y
+ =
nên ta đặt
sin
, [0;2 ].
cos
x
y
ϕ
ϕ π
ϕ
=

∈


=


96

Khi đó
2
2
sin cos cos
.
1 2sin 2sin cos
A
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
+
=
+ +

Ta có
( )
2
2 2
1 2 2 2 ,
x xy x y x
+ + = + + (Do
2 2
1
x y
+ =
). Suy ra

A
xác định với mọi
,
x y
thỏa
2 2
1
x y
+ =
.
( )
2
2
sin cos cos sin 2 cos2 1
(1)
1 2sin 2sin cos 2 sin 2 cos2 2
A
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + +
= =
+ + − +

(
)
(
)
(1) 2 1 sin 2 2 1 cos2 1 4 (2)
A A A
ϕ ϕ

⇔ − − + = −
(2)
có nghiệm khi và chỉ khi
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2
2 1 2 1 1 4
8 8 1 0
2 6 2 6
.
4 4
2 6 2 6
, .
4 4
A A A
A A
A
MaxA MinA
− + + ≥ −
⇔ − − ≤
− +
⇔ ≤ ≤
+ −
⇒ = =

I.39.
1 1 1
.
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
   
 
 
   

Ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y z x y z
P
xyz
+ +
= + + + .
Do
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
x y z xy yz zx
+ + +

+ + = + + ≥ + +

Nên
2 2 2
1 1 1
.
2 2 2
x y z
P
x y z
     
≥ + + + + +
     
     

Xét hàm số
2
1
( ) , 0.
2
t
f t t
t
= + >

Lập bảng biến thiên của hàm
( )
f t
ta suy ra
3

( ) , 0.
2
f t t
≥ ∀ >
Suy ra
9
.
2
P
≥

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1.
x y z
= = =

Vậy, giá trị nhỏ nhất của
P
là
9
.
2

I.40.
(
)
(
)
(
)

2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +

Ta có
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 ; 2 ; 2 .
x y z x x y z x y y z x y z z
+ ≥ + ≥ + ≥
97

Suy ra
2
2 2
.
2 2 2
y y
x x z z
P

y y z z z z x x x x y y
≥ + +
+ + +

Đặt 2 ; 2 ; 2
a x x y y b y y z z c z z x x
= + = + = +
4 2 4 2 4 2
; ;
9 9 9
c a b a b c b c a
x x y y z z
+ − + − + −
⇒ = = =
Do đó
3 3
2 4 2 4 2 4 2
9
2 2
4 6 4.3 . . 3 . . 6 2.
9 9
c a b a b c b c a
P
b c a
c a b a b c c a b a b c
b c a b c a b c a b c a
+ − + − + −
 
≥ + +
 

 
 
 
   
= + + + + + − ≥ + − =
 
   
 
 
   
 
 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1.
x y z
= = =

Vậy,
2.
MinP
=

I.41.
2
sin
4
, ; .
2
sin 1 2cos

x
y x
x x
π
π
π
 
−
 
 
 
= ∈
 
 
+ +

Ta có
2
2 sin cos
. , ; .
2 2
sin 1 2cos
x x
y x
x x
π
π
−
 
= ∈

 
 
+ +

· Xét trường hợp
:
2
x
π
= Ta có
2
.
4
y =
· Xét trường hợp
( ; ]:
2
x
π
π
∈ Ta có
2
2 tan 1
. .
2
tan tan 3
x
y
x x
−

=
− +

Đặt
tan ,
t x
=
với
( ; ]
2
x
π
π
∈ thì
( ;0].
t
∈ −∞

Hàm số trở thành

2
2 1
( ) . , ( ;0].
2
3
t
y f t t
t t
−
= = ∈ −∞

− +

( )
( )
( )
2
2
2
2
3 1 1
2
3
( ) .
2
3
t
t t t
t
f t
t t
 
− + − − −
 
+
 
′
=
− +
( )
2

2 2
2 3 1
. .
2
3 3
t t
t t t
+ + −
=
+ − +

( ) 0 1.
f t t
= ⇔ = −

Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
ta kết luận được
; ;
2 2
2 2
, .
3 4
x x
Maxy Miny
π π
π π
   
∈ ∈

   
   
= =