sáng kiến kinh nghiệm-phương pháp đồ thị giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA TỐN
LỚP SƯ PHẠM TỐN K29
Nhóm thực hiện:
Lê Văn Đẳng
Lê Thị Hà Giang
Lê Hòa Hải
Lê Thị Hải
Nguyễn Thị Diệu Hạnh
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
Phạm Thị Mỹ Hạnh

Đề tài:

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
(Bài kiểm tra học trình )

Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ

Quy nhơn, tháng 10 năm 2009.
1


LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình tốn phổ thơng, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là
một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. Đây là mảng kiến
thức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài tốn nào mà
biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt ở là việc giải và biện luận phương
trình) học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi trường hợp. Hiện nay,

có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn đạt khác nhau và nhiều
phương pháp giải cho dạng tốn này. Trong đó, phương pháp đồ thị là phương pháp
mà chúng tôi thấy khá hay cần phải nghiên cứu. Với vốn kiến thức của mình, cùng
với sự tìm tịi, học hỏi chúng tôi đã cùng nhau đúc kết lại để làm nên đề tài này. Mặc
dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để viết nhưng khơng thể
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cơ giáo và
quý bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Nhóm sinh viên thực hiện

2


MỤC LỤC
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
A. Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối..............................1
B. Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m)................................2
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: y = |f(x)|.....................................................................................................3
Dạng 2: y = f(|x|).....................................................................................................14
Dạng 3: y = |f(|x|)|...................................................................................................19
Dạng 4: y = |f(x)|g(x)..............................................................................................22
KẾT LUẬN CHUNG................................................................................................26
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................27

PHẦN I :

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
3

A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 1:

y = |f(x)|

ì f (x) khi f (x) ³ 0
ï
y = |f(x)| = ï
í
ï - f (x) khi f (x) < 0
ï
ỵ
Do đó đồ thị
y = |f(x)| gồm:
+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f (x) .
+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh của y = f (x) qua Ox.
Dạng 2:
y = f(|x|).

Ta có

ì f (x) khi x ³ 0
ï
y = f(|x|) = ï
í
ï f (- x) khi x < 0
ï
ỵ
Và y = f (|x|) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là oy.

Do đó đồ thị y = f(|x|) gồm :
+ Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x).
+ Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.
Dạng 3 :
y = |f(|x|)|.
Từ đồ thị y = f(x) để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện hai quy
tắc 1 & 2. Cụ thể là :
+ Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x).
+ Từ y = g(x) suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|.
hoặc
+ y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x).
+ y = h(x) suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|.
Dạng 4 :
y= |u(x)|.v(x)

Ta có

Ta có

ì u(x).v(x) khi u(x) ³ 0
ï
y= |u(x)|.v(x) = ï
í
ï - u(x).v(x) khi u(x) < 0
ï
ỵ

Do đó để có đồ thị hàm số y= |u(x)|.v(x) trước hết ta vẽ đồ thị y= f(x) = u(x).v(x)
và từ đó đồ thị y= |u(x)|.v(x) gồm :
+Phần từ đồ thị y=f(x) trên miền u(x) ³ 0.

+Đối xứng phần đồ thị y=f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành .

B.Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m).
4

(1)


Bước 1 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
y=f(x,m) va đường thẳng (d): y = g(m).
Bước 2 : Vẽ đồ thị hàm số (Cm) : y=f(x,m) trên miền xác định D
Bước 3 : Kết luận
phương trình có nghiệm ⇔ Min f (x,m) £ g(m) £ MỴ ax f (x, m)
xỴ D
x D
phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = g(m) cắt (Cm) tại k điểm
phân biệt.
bằng phép tịnh tiến đường thẳng y = g(m) ta có được câu trả lời cho yêu cầu “Tùy
theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình ”

PHẦN II :
DẠNG I

CÁC DẠNG BÀI TẬP
y = |f(x)|
5


I. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |2x+1| = m

Bài giải:
Xét hàm số : y = 2x+1.
TXT: D = Ρ.
BBT
x
-∞
+∞
y
+∞

(1)

-∞
Đồ thị của hàm số y = 2x+1 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0,1) ; B(-1,-1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |2x+1|,gồm 2 phần :
+ Phần phía trên trục hồnh của đồ thị y = 2x+1.
+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh của đồ thị y = 2x+1 qua Ox.

Khi đó, số nghiệm của phương trình là số
Điểm của (C) và đường thẳng y = m.
Vì vậy
.Với m < 0 : phương trình (1) vơ nghiệm
.Với m = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm
.với m > 0 : phương trình (1) co 2 nghiệm
phân biệt
Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau :
| |m|x – 3| = 4 -m
(2)
Bài giải:
Ta hãy vẽ đường thẳng biểu diễn của hàm số : y1 = | |m|x – 3| (3)

và cắt nó bằng đường thẳng y2 = 4 – m (4) song song với trục hoành.
6


Khi đó , tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình (2)
Trường hợp: m = 0 phương trình (2) vơ nghiệm.
- Trường hợp: m ≠ 0
ì m >0
ì m <0
ï
ï
ï
ï
(2) ⇔ y1 = í
hoặc y = í
ï |mx - 3 |
ï |mx + 3 |
ï
ï
ỵ
ỵ
y

y

3
y2=4 - m

2

3
B

A

y2=4 - m

1
0
-1
-2

2

D

C

1

3
m

x

0
-1

-

-2

-3

-3

Hình 1

Hỡnh 2

ỡ 4- m 0
ỡ mÊ 4
ù
ù
ù
ù
ớ

ớ
ùmạ 0
ùmạ 0
ù
ù
ợ
ợ
Nu thêm điều kiện m>0 thi ta có 0< m ≤ 4
Từ điều kiện đó suy ra điều kiện đối với đường thẳng y2 như sau 0≤ y2 < 4
Rõ ràng trong hình (1),nếu cắt đường biểu diễn của y1 bởi đường thẳng y2 song song
với trục hồnh và có giá trị biến thiên từ 0 (kẻ từ O) đến 4 (kẻ từ 4) thi ln có hai
giao điẻm A và B có hồnh độ tính như sau:

m- 1
Điểm A : -mx + 3 = 4 – m hay x=
m
7- m
Điểm B : mx - 3 = 4 – m hay x=
m

Từ phương trình (1) ta có điều kiện :

7

x


3
4
Trong hình 2, y2=4 – m > 0 .Rõ ràng là với mọi giá trị dương của y2 thì đường thẳng
luôn cắt đường biểu diễn của y1 tại hai điểm C,D có hồnh độ như sau:
m- 1
Điểm C : mx + 3 = 4 – m hay x= m
7- m
Điểm D : - mx - 3 = 4 – m hay x= m
Vậy:
m=0
: phương trình (1)vơ nghiệm
3
m=4
: phương trình (1) có 1 nghiệm x=
4
m- 1

7- m
0 < m < 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm x=
và x=
m
m
m- 1
7- m
m<0
: phương trình (1) có 2 nghiệm x = và x= m
m
Ví dụ 3 :
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x2 + 2x – 3| = m. (1)
Bài giải:
Xét hàm số (P) : y = x2 + 2x – 3
MXĐ : D = Ρ.
BBT:
x
-∞
-1
+∞
y
+∞
+∞

Nếu m=4 thì đường thẳng y2 cắt đường biểu diễn của y1 tại điểm có hồnh độ x=

-4
Đồ thị : Ta lấy thêm 2 điểm A(-3,0) và B(1,0)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |x2 + 2x -3| , gồm 2 phần:
+ Phần phía trên trục hồnh của (P).

+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh của (P) qua Ox

8


Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m
ta được :
-Với m < 0 : phương trình (1) vơ nghiệm
-Với m= 0 hoặc m > 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm
-Với 0 < m < 4 : phương trình (1) có 4 nghiệm
-Với m = 4 : phương trình (1) có 3 nghiệm.
Ví dụ 4 :
Với giá trị nào của m thì phương trình :
|x - 2 x|
ổử
ỗ1 ữ = m 2 + m +1 (1) cú 4 nghim phõn bit.
ỗ ứ
ỗ3ữ
ốữ
Bi gii:
Vỡ m 2 + m +1 > 0,với mọi m nên lấy logarit cơ số 1/3 hai vế phương trình (1) ta
được:
|x2 – 2x| = log1/3(m2 + m + 1) (2)
Đặt log1/3(m2 + m + 1) = a . Khi đó phương trình (2) được viết lại |x2 – 2x| = a.
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = |x2 – 2x| tại 4 điểm phân
biệt.
hoặc
9
2

ì x 2 - 2x khi x £ 0
x³ 2
ï
Xét hàm số y = |x – 2x| = ï
í
ï 2x - x 2 khi 0 < x < 2
ï
ỵ
Cách 1: Dùng cho các học sinh biết khái niêm đạo hàm
ì 2x - 2 khi x < 0 hoặc x > 2
ï
’
y =ï
í
ï 2 - 2x khi 0 < x < 2
ï
ỵ
BBT:
x
-∞
0
1
2
’
y
+
+
2

y

+∞

1

+∞
+∞
0

0

Từ đó đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt
⇔0 < a < 1 ⇔ 0 < log1/3(m2 + m + 1) < 1
1
< m2 + m + 1 < 1
3
-1 < m < 0
Vậy với -1Cách 2:Với các em học sinh chưa biết khái niệm đạo hàm thì làm theo cách này:
-Vẽ Parabol (P1) : y = x2 – 2x
-Vẽ Parabol (P2) : y = - x2 + 2x
Khi đồ đó thị hàm số hàm số y = |x2 – 2x| gồm 2 phần:
Phần đồ thị của Parabol (P1) lấy với 0 £ x và x ³ 2 .
Phần đồ thị của Parabol (P2) lấy với 0 < x < 2 .

10


Từ đồ thị suy ra 0 < a < 1 ⇔ 0 < log1/3(m2 + m + 1) < 1.

⇔ - 1 < m < 0.
Vậy với – 1 < m < 0 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5:
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: | x3 – 3x2 – 6| = a.
Bài giải:
Xét hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 – 6.
MXĐ: D = Ρ.
y’ = 3x2 – 6x
é =0
x

y’ = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ ê = 2
ê
x
ë
y’’ = 0 ⇔ 6x – 6 = 0 x = 1.
x
-

y
Gii hn:

1
0

-

3
x đ- Ơ
x đ- Ơ

x
x đ- ¥
3
lim y = lim (x 3 - 3x 2 - 6) = lim x 3 (1- x đ+Ơ
xđ+Ơ
x
x đ+Ơ
BBT:
X
-
0
2
lim y = lim (x 3 - 3x 2 - 6) = lim x 3 (1-

11

+∝
+

6
) =- ¥
x3
6
) = +¥
x3
+∝


y’

+

y

0

-

0

+

-6

+∝

-∝

-10

Đồ thị hàm số :
Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=| x3 – 3x2 – 6| gồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y= f(x)
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành .

Biện luận :
Với a < 0 : phương trình (1) vơ nghiệm.
Với a = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm.
Với 0< a < 6 hoặc a>10: phương trình (1) có 2 nghiệm.
12

Với a = 6 hoặc a = 10 : phương trình (1) có 3 nghiệm.
Với 6 < a < 10 : phương trình (1) có 4 nghiệm.
Ví dụ 6 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x4 - 2x2 -1| = log4m.
Bài giải:
Xét hàm số y= f(x) = x4 - 2x2 -1
MXĐ: D =Ρ.
y’ = 4x3 – 4x
â =0
x

ê
y = 0 4x(x2 1) = 0 êx = 1
ê
ô



2

y = 12x 4
y = 0 x =
x

1
.
3
-

-

y
th

1
3

1
3

+

-

lừm

+

li

lừm

ổ 1
14 ử
ữ
ỗ,ữ
ỗ
ữ
ỗ

9ứ
ố 3

BBT:
x
y
y

-
0

+

-1
+

ổ1 14 ử
ỗ , ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 3 9ứ

0
0

-

+

0

1
+

+

-1
-2

+
-2

th hm s y = x4 - 2x2 -1 cắt trục hoành tại x= ± 1 + 2 .
ì f(x)
ï

nếu f(x) ³ 0

í
Ta có y = |x4 - 2x2 -1| = |f(x)| = ï
ï - f(x) nếu f(x) < 0
ï
ỵ
Từ đó ta có đồ thị của hàm số y= |x4 - 2x2 -1| gồm hai phần:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 -1
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh qua Ox.

13

Biện luận:
Nếu log4m > 2 ⇔ m > 16 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Nếu log4m = 2 ⇔ m = 16 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Nếu 1< log4m < 2 ⇔ 4 < m < 16 thì phương trình có 6 nghiệm phân biệt.
Nếu log4m = 1 ⇔ m = 4 thì phương trình có 5 nghiệm phân biệt.
Nếu 0 < log4m < 1 ⇔ 1 < m < 4 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Nếu log4m = 0 ⇔ m = 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Nếu log4m < 0 ⇔ m < 1 thì phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 7 :

x 2 + 3x + 3
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình :
=a
x +2

Bài giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) =
MXĐ :D = Ρ\{-2}.

1
x 2 + 3x + 3
=x+1+
x +2
x +2

1

Đạo hàm : y’ = 1 - (x + 2)2

© =- 3 ị y =- 3
x
ê
y= 0 x + 4x + 3= 0 êx =- 1 ị y = 1
ê
ô
2

Gii hn , tim cn:
lim y = Ơ

x đƠ

lim y = ¥

nên x = -2 là tiệm cận đứng.
lim [ y - (x +1) ] = 0 nên y = x +1 l tim cn xiờn.
x đƠ

x đ- 2

14

(1).


BBT:
x
y’
y

-∝

-3
0
-3

-2
+∝

-∝
x 2 + 3x + 3
Từ đồ thị của hàm số y =
x +2

-1
0

-∝

+∝
1

x 2 + 3x + 3
suy ra đồ thị của hàm số y =
x +2

gồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x).
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh qua trục hồnh .

Biện luận:
Với a < 1: phương trình vơ nghiệm.
Với a = 1: phương trình có nghiem duy nhất.
Với 1< a < 3 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Với a = 3 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Với a > 3 : phương trình co 4 nghiệm phân biệt.
II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

15

+∝


Bài 1:
Tìm nghiệm của phương trình sau theo m : |x – 1| = 3x + 2m.
Với giá trị nào của m thi phương trình trên vơ nghiệm.
Bài 2 : Xác định a để phương trình sau có 4 nghiệm khác nhau:
|-2x2 + 10x -8| = x2 – 5x +a
ĐS : 4 < a <

43
4

Bài 3 :
a.Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 3x – 2.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
|x3 – 3x| + m – 2 = 0.
Bài 4: Xác định m để phương trình :

1 4
x - 4x 3 + 3 = lgm có 8 nghiệm phân biệt.
2

Bài 5: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
x2 - x - 2
=a
a.
x- 3

b.

x 2 +1
= a- 5
x

DẠNG II:

y = f(|x|)

I/ VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2|x| + 5 = 3m (1)
Bài giải:
Xét hàm số: y = 2x + 5
Mxđ: D = R
Đồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2,1) và B(-1,3)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần:
Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x + 5
16

Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao đỉểm của (C) và đường thẳng
3m. Ta được:
Với 3m < 5  m<5/3 thì phương trình (1) vơ nghiệm.
Với 3m = 5  m = 5/3 thì phương trình (1) có 1 nghiệm
Với 3m > 5  m>5/3 thì phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 - 2|x| + m = 0 (1)
Bài giải:
Xét hàm số (P): y = -x2 + 2x
Mxđ: D = R
BBT:
x

1

y

1

Đồ thị: ta lấy thêm 2 điểm O(0,0), A(2,0).

17

y=


Viết lại phương trình dưới dạng: - x2 + 2|x| = m
Gọi (C) là đồ thị hàm số y = -x2 + 2|x| gồm 2 phần:

* Phần phía bên phải Oy của (P)
* Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy
Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y
= m,ta được:
- Với m > 1
: phương trình vơ nghiệm.
- Với m = 1 v m < 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Với 0 < m < 1
: phương trình có 4 nghiệm phân biệt
- Với m= 0
: phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x – 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = m
Bài giải:
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + 1
Mxđ: D = R
Đạo hàm:
+
y’ = 3x2 + 6x
y’ = 0  3x2 + 6x = 0

+

y” = 6x + 6
y” = 0  x = - 1

BXD:
x
y

-1
-

0

+

18


Giới hạn:

x3(1 -

=

+

]=

BBT:
x

-2

y’

-

y

0

0
+

0

-

5
1

Đồ thị của hàm số:

y=f(x) y = f(x-1)

y=1

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = |x - 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = f(|x-1|) với đường thẳng y = m.
Đồ thị y = f(|x – 1|) được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x) theo hai bước:
* Bước 1: Suy ra đồ thị y = f(x – 1) bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y =
f(x) sang phải 1 đơn vị
*Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm:
Phần bên phải đường thẳng y = 1 của đồ thị y = f(x – 1)
19

Đối xứng phần đồ thị trên qua đường thẳng y = 1
Biện luận:
Với m < 1 phương trình vơ nghiệm.
Với m = 1 phương trình có 1 nghiệm.
Với m > 1 phương trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
y = f(x) =

= m (1)

Bài giải:
Xét hàm số y = f1(x) =
Mxđ: D = R\{1}
f1’(x)=

<0

BBT:
x

1

f1’(x)

-

-

2
f1(x)

2
=2

=

Þ Tiệm cận ngang y = 2
Þ Tiệm cận đứng x= 1

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) =

gồm 2 phần:

- Bên phải Oy của đồ thị y = f1(x) =
- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

20


Khi đó nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y
= m. Ta được:
-Với m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
-Với m = 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm.
-Với 1 < m

2 thì phương trình (1) vơ nghiệm

-Với m > 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm của các phương trình sau:

a/ x2 – (4 + a)|x| + 5 + 2a = 0
b/ |x|3 – 6x2 + 9|x| - 3 + a = 0
c/ |x – 1|3 + 3|x – 1| + 1 = a
d/

=a

Bài 2: Tìm tham số m để phương trình 2|x|3 – 3x2 +2 = m có 4 nghiệm phân biệt

21


DẠNG III:

y = |f(|x|)|

I/ VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: |||x – 1| - 2|-1| = m
Bài giải:
Đặt f(x) = |||x – 1| - 2|-1|
Ta có bảng xét dấu sau:
x
-2
-1
0
1
2
3
4

f(x) ||x+1| - 1|
||x – 3| - 1|
f(x) |x+2|
|x|
|x – 2|
|x – 4|
f(x) -x - 2
x+2
-x
x
2-x
x-2
4-x
x–4
Nhận xét: Đồ thị của f(x) = |||x – 1| - 2|-1| nằm phía trên trục hồnh

Từ đồ thị ta có :
Với m > 1: phương trình có 2 nghiệm.
Với m = 1: phương trình có 5 nghiệm.
Với 0 < m < 1: phương trình có 8 nghiệm
Với m = 0 : phương trình có 4 nghiệm.
Với m < 0 : phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
|x2 – 4|x| +3 | = m + 1
(1)
Bài giải:
Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm 2 phần:
- Phần phía bên phải Oy của y = x2 – 4x + 3
- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy
Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm 2 phần:

- Phần phía trên trục hoành của đồ thị (C)
- Đối xứng phần phía dưới trục hồnh qua Ox.
22


Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C’) và đường thẳng
y = m + 1, ta được:
Với m = -1 hoặc 0 < m < 2: phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
Với -1 < m < 0: phương trình (1) có 8 nghiệm phân biệt
Với m = 0: phương trình (1) có 6 nghiệm phân biệt
Với m = 2: phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
Với m > 2: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình:
y=

=m

(1)

Bài giải:
Xét hàm số y =

Theo ví dụ 4 – Dạng II ta có đồ thị của hàm số y =

Gọi (C’) là đồ thị của hàm số y =

, gồm 2 phần:

- Phần phía trên trục hồnh của (C)
- Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox

23

(C)


Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y=

với đường thẳng y = m, ta được:

- Với m < 0 : phương trình (1) vơ nghiệm
- Với 0 < m

: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

- Với m > 2: phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m:
a/ |x3 – 4|x| + 3| = m +2
b/

= lg m

24


DẠNG IV: y = |f(x)|g(x)
I/ VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau:
x|x – 1| + m = 0 (1)
Bài giải:
(1)  m = - x|x – 1|
Vậy nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của:
- Đường thẳng (D) : y = m
- Đường cong (P):
Vẽ đồ thị y = -x2 + x
nh (1/2,1/4)
BBT:

y = - x|x 1| =
(P1)

x

ẵ

y

ẳ

v (P) ta giữ nguyên đồ thị (P1) khi x

và lấy đối xứng (P1) qua Ox khi x < 1

Đồ thị (P1) là đường đứt khúc, đồ thị (P) là đường nét liền
Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (P1):
-x2 + x = m  x2 – x + m = 0

= 1 - 4m
25