Tính toán áp lực đất ppsx

tính tốn áp lực đất
biên soạn: đặng đình minh
trong thi cơng đào đất, khi tạo mái dốc thành hố đào, gia cường chống sụt lở cho vách
thành hố đào, đào đất thi cơng tường chắn đất hoặc tường tầng hầm nhà cao tầng… chúng ta
đều phải tính tốn áp lực đất của thành hố đào.
tính tốn áp lực đất có hai phương pháp tính tốn chủ yếu:
phương pháp tính tốn của w.j.m rankine.
phương pháp tính tốn của c.a. coulomb.
phương pháp tính của coulomb giản đơn, phạm vi sử dụng tương đối rộng rãi.
phương pháp tính của rankine cũng giản đơn, dễ ứng dụng, nói chung người thi cơng
lập biện pháp sử dụng tương đối nhiều.
i. tính tốn áp lực đất theo phương pháp rankine:
1. tính áp lực đất chủ động:
đất giáp lưng tường thẳng
đứng, đất trên đỉnh tường ngang
phẳng, bỏ qua lực ma sát giữa đất
và mặt đứng của tường chắn,
cường độ áp lực đất chủ động pa
được tính như cơng thức dưới đây.
đối với đất khơng dính:
aa
HKHtgP
γ
ϕ
γ
=−= )
2
45(
02
đối với đất dính:
aaa

a
KcHKP
ctgHtgP
2
)
2
45(2)
2
45(
002
−=
−−−=
γ
ϕϕ
γ
trong đó:
γ: khối lượng riêng của đất sau tường chắn kn/m
3
. nếu thấp hơn mức nước ngầm thì đó
chính là dung trọng nổi .
h: chiều sâu mặt đất đắp cần tính (m).
ϕ: góc ma sát trong của đất đắp – xác định theo kết quả thí nghiệm. nếu khơng có kết
quả thí nghiệm có thể tham khảo của bảng dưới.
k
a
: hệ số áp lực đất chủ động; k
a
=tg
2
(45

0
-ϕ/2). trị số k
a
có thể thm khảo bảng hệ số áp
lực đất k
a
.k
p
trang kế tiếp. nếu khơng có thơng số ϕ để tra cứu k
a
và k
p
thì ta có thể lấy giá trị
k
a
như sau:
đất khơng dính k
a
=0,4-0,5
đất dính đất sét k
a
=0,5-0,6
c: lực dính kết của đất đắp (kn/m
2
)
góc ma sát trong của một số loại đất.
- 1 -
Áùp lực đất dính
(b)
Tường chắn tính áp

lực chủ động
(a)
Áùp lực đất không
dính
(c)
H
γ.
H.K
a
H
/3
γ.
H.K
a
b
a
d
z
o
(H-z
o
)
/3
2c K
a
c
Hình 1:
Biểu đồ áp lực đất.
loại đất đất cát bột đất cát mịn đất cát vừa
cát thơ, sỏi

đá cuội
đá dăm đất dính
ϕ
0
góc ma
sát trong
15
0
-20
0
20
0
-30
0
25
0
-35
0
30
0
-40
0
40
0
-45
0
10
0
-30
0

với chiều cao tường chắn là h, tổng áp lực đất chủ động của đất e
a
trên suốt chiều cao
của tường được tính theo cơng thức dưới đây:
- với đất khơng dính:
aa
KHtgHE
2022
2
1
)
2
45(
2
1
γ
ϕ
γ
=−=
e
a
ở tại trọng tâm của hình tam giác. như vậy, vị trí của e
a
ở cách chân tường khoảng cách h/3.
- với đất dính:
γ
γ
ϕ
ϕϕ
γ

2
2
2
0022
2
2
2
12
)
2
45(2)
2
45(
2
1 c
KcHKH
c
cHtgtgHE
aaa
+−=+−−−=
e
a
của đất dính ở tại trọng tâm của tam giác abc, cách chân tường chắn một khoảng
3
0
ZH −
trong đó:
a
K
c

tg
c
Z
γ
ϕ
γ
2
)
2
45(
2
0
0
=
−
=
2. tính áp lực bị động:
đất giáp lưng tường chắn
thẳng đứng, đất trên đỉnh tường
ngang phẳng. bỏ qua lực ma sát
giữa đất và mặt đứng của mặt
tường. cường độ áp lực bị động p
p
đước tính theo cơng thức dưới đây.
đối với đất khơng dính:
p
p
=γhtg
2
(45

0
+ϕ/2)=γhk
p
.
đối với đất dính:
ppp
KcHKctgHtgP 2)
2
45(2)
2
45(
2
1
002
+=+++=
γ
ϕϕ
γ
k
p
là hệ số áp lực bị động. k
p
=tg
2
(45
0
+ϕ/2). nếu biết ϕ ta có thể tìm giá trị k
p
bằng phương
pháp tra bảng.

các ký hiệu khác giống như các kí hiệu đã nói phần trên.
bảng hệ số áp lực đất k
a
và k
p
ϕ tg(45
0
-ϕ/2) tg
2
(45
0
-ϕ/2) (k
a
) tg(45
0
-ϕ/2) tg
2
(45
0
-ϕ/2) (kp)
0
0
2
0
4
0
5
0
6
0

10
0
1.000
0.966
0.933
0.916
0.900
0.869
1.000
0.933
0.870
0.840
0.811
0.756
1.000
1.036
1.072
1.091
1.111
1.150
1.000
1.072
1.150
1.190
1.233
1.323
- 2 -
(b)
Tường chắn tính áp
lực bò động

(a)
H
H
/3
γ.
H.K
p
Đất không dính
Đất dính
(c)
γ.
H.K
p
+2c K
p
2c K
p
Hình 2:
Áp lực đất bò động.
0.839 0.704 1.192 1.420
12
0
14
0
15
0
16
0
18
0

20
0
0.810
0.781
0.767
0.754
0.727
0.700
0.656
0.610
0.589
0.568
0.528
0.490
1.235
1.280
1.303
1.327
1.376
1.428
1.525
1.638
1.698
1.761
1.894
2.040
22
0
24
0

25
0
26
0
28
0
30
0
0.675
0.649
0.637
0.625
0.601
0.577
0.455
0.422
0.406
0.390
0.361
0.333
1.483
1.540
1.570
1.600
1.664
1.732
2.198
2.371
2.464
2.561

2.770
3.000
32
0
34
0
35
0
36
0
38
0
40
0
0.554
0.532
0.521
0.510
0.488
0.466
0.307
0.283
0.271
0.260
0.238
0.217
1.804
1.881
1.921
1.963

2.050
2.145
3.255
3.537
3.690
3.852
4.204
4.599
42
0
44
0
45
0
46
0
48
0
50
0
0.445
0.424
0.414
0.404
0.384
0.364
0.198
0.180
0.172
0.163

0.147
0.132
2.246
2.356
2.414
2.475
2.605
2.747
5.045
5.550
5.828
6.126
6.786
7.549
tổng áp lực đất bị động e
p
suốt trên chiều cao h của tường chắn được tính theo các
công thức dưới đây.
- với đất không dính:
pp
KHtgHE
2022
2
1
)
2
45(
2
1
γ

ϕ
γ
=+=
vị trí của e
p
ở tại trọng tâm của tam giác tức là cách chân tường một khoảng cách h/3 tính từ
dưới lên.
- với loại đất dính:
ppp
KcHHKcHtgtgHE 2)
2
45(2)
2
45(
2
1
0022
+=+++=
γ
ϕϕ
γ
vị trí của e
p
là tại trọng tâm hình thang, cách chân tường tính từ dưới lên một khoảng cách là:
cKH
cKH
H
p
p
4

6
3
+
+
×
γ
γ
ví dụ tính toán:
tường chắn đất cao 4,8m lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất trên đầu tường bằng
phẳng. đất đắp có dung trọng 18 kn/m
3
. tìm áp lực đất chủ động
và điểm tác dụng áp lực của nó. vẽ biểu đồ phân bố áp lực chủ
động.
bài giải:
biết ϕ=20
0
, tra bảng ta có k
a
=0,49; do đó cường độ áp lực của
đất tại chân tường sẽ là:
- 3 -
H
=
4800
1070
28,3 KN/m
E
a
=

45,5 KN/m
z
o
=
1,59
2
2
/2849,010249,08,418 mKNP
a
=××−××=
ap lực đất chủ động sẽ là:
mKNE
E
a
a
/5,45
18
102
49,08,410249,08,418
2
1
2
2
=
×
+×××−×××=
chiều sâu giới hạn z
0
là:
mZ 59,1

49,018
102
0
=
×
×
=
điểm tác dụng của e
a
cách chân tường một đoạn chiều cao là:
m
ZH
07,1
3
59,18,4
3
0
=
−
=
−
phân bố áp lực chủ động được thể hiện như biểu đồ bên cạnh.
3. tính áp lực đất trong các trường hợp đặc biệt:
a. tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường chắn có tải
trọng phân bố đều:
phía trên mặt đất sau tường chắn có tải trọng phân bố
đều q thì tải trọng q được quy đổi ra trọng lượng đất tương
đương.lớp đất dày tương đương quy đổi h đó là:
γ
q

h =
γ là dung trọng đất đắp sau tường chắn.
khi tính tốn, ta xem a’b là lưng tường chắn và tính như
trường hợp khơng có tải trọng trên mặt đất đỉnh tường.
ví dụ như tính cho trường hợp đất khơng dính thì cường
độ áp lực đất tại điểm a là:
aaA
hKhtgP
γ
ϕ
γ
=−= )
2
45(
02
cường độ áp lực đất tại điểm b là:
aaB
KhHtghHP )()
2
45()(
02
+=−+=
γ
ϕ
γ
ap lực chủ động của đất được thể hiện bằng biểu đồ abcd
aa
KH
H
htgH

H
hE
γ
ϕ
γ
)
2
()
2
45()
2
(
02
+=−+=
điểm tác dụng của áp lực chủ động lên tường chắn chính là trọng tâm của hình thang
abcd, cách chân tường một đoạn là:
Hh
HhH
+
+
×
2
3
3
ví dụ tính tốn:
tường chắn đất cao 5,5m, lưng tường thẳng đứng
trơn nhẵn; tại mặt trên đất đỉnh tường có tải trọng phân bố
đều q=12kn/m
2
.dung trọng đất đắp sau tường γ=19kn/m

3
;
góc ma sát trong ϕ=34
0
; lực dính c=0. hãy tìm áp lực chủ
động e
a
và điểm tác dụng của nó.
bài giải:
- 4 -
γ . (
h+H).K
a
H
=
q/
γ
B
H
A
C
D
q
γ .
H.K
a
Hình 3:
Sơ đồ tính áp lực đất
tường chắn khi có tải trọng phân
bố đều q ở trên tường chắn

H
=
5500
h
=
632
E
0
=
99,94 KN/m
32,94 KN/m
B
2000
3,4 KN/m
A
A'
q
=
12 KN/m
Hình 4:
Biểu đồ phân bố áp lực
đất chủ động khi có phụ tải
trên mặt đất đỉnh tường chắn
đem tải trọng phân bố đều q chuyển đổi ra chiều dày lớp đất tương đương h
h=12/19=0,632m
cường độ áp lực đất ở đỉnh tường chắn:
202
/4,3)
2
34

45(632,019 mKNtgP
aA
=−×=
cường độ áp lực đất tại chân tường chắn:
202
/94,32)
2
34
45()5,5632,0(19 mKNtgP
aB
=−+=
tổng áp lực chủ động e
a
:
mKNE
a
/94,99
2
5,5)94,324,3(
=
×+
=
vị trí điểm tác dụng của e
a
cách chân tường chắn một khoảng cách theo chiều cao là:
m0,2
2
5,5632,03
3
5,5

=
+×
×
b. tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường có tải trọng
phân bố đều q và mặt đứng lưng tường chắn là mặt
nghiêng.
tải trọng phân bố đều được quy đổi ra lớp đất tương
đương có chiều dày h:
γ
q
h =
giả thiết mặt đất đắp và cạnh ab lưng tường kéo dài
gặp nhau ở a’. khi tính tốn, ta xem a’b như cạnh của lưng
tường và tính tốn áp lực đất như trường hợp trên mặt đất
khơng có tải trọng. chiều cao tường tính tốn lúc này là
h+h’.
xét tam giác a’ae ta có thể tìm ra h’:
)cos(
coscos
'
βα
αβ
−
= hh
với trường hợp đất khơng dính, cường độ áp lực của đất tại điểm a mặt đất đỉnh tường chắn là:
aaA
KhtghP ')
2
45('
02

γ
ϕ
γ
=−=
cường độ áp lực đất tại điểm b (chân tường):
aaB
KhHtghHP )'()
2
45()'(
02
+=−+=
γ
ϕ
γ
tổng áp lực chủ động là:
aa
KH
H
htgH
H
hE
γ
ϕ
γ
)
2
'()
2
45()
2

'(
02
+=−+=
vị trí điểm tác dụng của lực e
a
là trọng tâm của hình thang abcd.
ví dụ tính tốn:
tường chắn cao 5,5m, lưng tường giáp mặt đất nhẵn, nghiêng một góc α=10
0
. mặt đất
trên đỉnh tường đắp dốc với góc β=30
0
. tải trọng phân bố đều q=12 kn/m
2
. dung trọng đất đắp
ở lưng tường γ=19kn/m
2
, góc ma sát trong của đất ϕ=34
0
; lực dính c=0. hãy tìm ea (áp lực chủ
động của tường chắn) và điểm tác dụng của e
a
.
bài giải:
quy đổi tải trọng phân bố đều: h=12/19=0,632m
- 5 -
A
H
h'
A'

d
β
a
B
b
c
α
h
=
q/
γ
γ .
h.Ka
q
E
e
Hình 5:
Biểu đồ tính toán áp lực
đất khi mặt tường chắn nghiêng
và có tải trọng trên đỉnh tường.
căn cứ vào h và các góc α, β, ta tính h’:
574,0
)3010cos(
10cos30cos
632.0'
00
00
=
−
×=h

(m)
cường độ áp lực đất trên mặt đất đỉnh tường là:
202
/08,3)
2
34
45(574,019 mKNtgP
aA
=−×=
cường độ áp lực đất ở chân tường là:
202
/63,32)
2
34
45()5,5574,0(19 mKNtgP
aB
=−+=
tổng áp lực chủ động:
e
a
=1/2(3,08+32,63)x5,5=98,2kn/m
điểm tác dụng của áp lực chủ động e
a
là:
m2
63,3208,23
63,3208,32
3
5,5
≈

+
+×
×
c. tính áp lực đất trường hợp khi trên mặt đất đỉnh tường có tải trọng phân bố cục bộ:
có hai trường hợp phân bố tải trọng.
* trường hợp 1: cách đỉnh tường một đoạn l có tải trọng phân bố đều liên tục q (kn/m
2
) tác
dụng (như hình a thể hiện). tính tốn áp lực chủ động, điểm tải trọng tác dụng bắt đầu từ o kéo
xuống đến c (oc tạo với đường ngang một góc (
2
45
0
ϕ
+
). từ c trở lên đỉnh tường xem như
khơng chịu tác dụng của tải trọng, áp lực chủ động vùng này chỉ đơn thuần do đất sau lưng
tường (từ đỉnh đến điểm c) gây ra.
biểu đồ phân bố áp lực đất được thể hiện như hình (a): aba. từ điểm c trở xuống, ta xét
thêm tác dụng của tải trọng trên mặt đất đỉnh tường chắn. ap lực chủ động do tải trọng này gây
ra được thể hiện ở hình (a) là acde.
tổng áp lực chủ động tác dụng lên đỉnh tường chính là diện tích của abcde. phương
pháp tính tốn cũng như các ví dụ trước.
* trường hợp 2: cách đỉnh
tường một đoạn l bắt đầu
có tải trọng phân bố đều
tác dụng lên mặt đất với
chiều dài tải trọng l
1
(như

hình b). tính tốn lực chủ
động, điểm tải trọng trên
mặt đất bắt đầu tác dụng từ
c đến d (từ o và o’ ta kẻ
hai đường xiên tạo với oo’
một góc (45
0
+j/2) và sẽ
gặp ab ở hai điểm c và d).
từ c trở lên xem như
khơng có tải trọng trên mặt
đất tác dụng xuống tường
chắn và từ d đến a cũng
khơng có tải trọng trên mặt
đất tác dụng xuống tường chắn.
- 6 -
q
KN/m2
q
KN/m2
Cách một đoạn l có một đoạn
tải trọng phân bố đều l
1
tác
dụng lên mặt đất đỉnh tường.
Cách một đoạn l bắt đầu có
tải trọng phân bố đều tác
dụng trên mặt đất đỉnh tường.
8
45 +

ϕ
/2
A
(a)
a e
C
d
c
B
o
l
45 +
ϕ
/2
45 +
ϕ
/2
(b)
A
a
g
C
f
d
c e
l
B
o
o'
l

1
Hình 6:
Tính áp lực đất khi có tải trọng ở đỉnh tường.
D
diện tích hình abcefda chính là tổng áp lực chủ động tác dụng lên lưng tường chắn.
d. tính tốn áp lực đất tường chắn có nhiều lớp:
trường hợp sau lưng tường chắn đắp bằng nhiều lớp đất khác nhau thì khi tính áp lực
đất, trước hết ta tính áp lực đất lớp 1.
biểu đồ áp lực đất lớp 1 chính là tam
giác abc.
khi ta tính áp lực đất do lớp 2 gây ra,
ta đem đất lớp 1 quy đổi ra lớp 2 với chiều cao
tương ứng để tính lớp 1 là h’
1
.

2
1
11
'
γ
γ
hh =
sau đó lấy chiều cao (h’
1
+h
2
) làm chiều
cao tính tốn của tường chắn và ta tiếp tục
tính tốn như đối với trường hợp đất đắp đồng

chất. tính tốn tầng nào thì nên dùng các thơng
số của tầng ấy (góc ma sát trong, lực chính)
nhưng điều này chỉ thực hiện khi ta tính lớp
đất thứ 2 – như hình bdef.
ví dụ như hình vẽ có hai lớp đất này, nếu là đất khơng dính, áp lực chủ động của đất sẽ là:
21
)'2(
2
1
2
1
)
2
45()'2(
2
1
)
2
45(
2
1
)
2
45()''(
2
1
)
2
45(
2

1
1222
2
11
2
02
2122
1
022
11
2
02
2221212
1
022
11
aaa
a
a
KhhhKhE
tghhhtghE
tghhhhtghE
++=
−++−=
−+++−=
γγ
ϕ
γ
ϕ
γ

ϕ
γγγ
ϕ
γ
ví dụ tính tốn:
tường chắn cao 4,7m, lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất trên đỉnh tường phẳng,
đất đắp sau đỉnh tường gồm 2 lớp. chiều dày và tính cơ lý của đất được thể hiện như hình vẽ.
hãy tìm áp lực chủ động e
a
, vẽ biểu đồ phân bố áp lực đất.
bài giải:
cường độ áp lực đất lớp 1:
2
02
1
02
111
/49,11
)
2
32
45(2,217)
2
45(
mKN
tgtghP
a
=
−×=−=
ϕ

γ
cường độ áp lực đất lớp 2:
quy đổi chiều dày lớp 1:
mhh 97,1
19
17
2,2'
2
1
11
===
γ
γ
cường độ áp lực đất trên lớp đất 2 và trên mặt,
gồm hai loại
'
2
a
P
và
2
a
P
:
- 7 -
a
h'
1
h
2

f
e
h
1
γ
1
.
h
1
.Ka1
b
d
c
Lớp 2
ϕ
2

γ
2
Lớp 1
ϕ
1

γ
1
γ
2
.(
h'
1

+h
2
).K
a
2
Hình 7:
Biểu đồ áp lực đất
sau tường có nhiều lớp.
Lớp 1:

γ
1
=
17 KN/m
ϕ
1
=
32 C
1
=
0
6,17 KN/m
33,14 KN/m
2500
c
H
=
4700
b
2200

Lớp 2:

γ
2
=
19 KN/m
ϕ
2
=
16 ;
C
2
=
10 KN/m
11,49 KN/m
a
Hình 8:
Biểu đồ áp lực đất đắp theo lớp.
)
2
45(2)
2
45(
2
0
2
2
02'
1
'

12
ϕϕ
γ
−−−= tgctghP
a
2'
2'
2
0
2
2
02
11
'
/17,607,1524,21
)
2
16
45(102)
2
16
45(2,217
)
2
45(2)
2
45(
2
2
2

mKNP
tgtgP
tgctghP
a
a
a
=−=
−×−−×=
−−−=
ϕϕ
γ

22
2
2
0
2
2
02
2211
2
0
2
2
02
2
'
12
/14,33/07,1521,48
)

2
16
45(102)
2
16
45()5,2192,217(
)
2
45(2)
2
45()(
)
2
45(2)
2
45().(
2
2
2
2
mKNmKNP
tgtgP
tgctghhP
tgctghhP
a
a
a
a
=−=
−×−−×+×=

−−−+=
−−−+=
ϕϕ
γγ
ϕϕ
γ
ap lực chủ động e
a
là: e
a
=1/2x11,49x2,2+1/2(6,16+33,14)x2,5=61,76 kn/m
2
e. tính tốn áp lực đất khi có nước ngầm:
khi dưới lớp đất đắp sau tường có nước ngầm thì áp lực hơng tác dụng lên mặt đứng
của tường bao gồm áp lực đất và áp lực nước. khi tính tốn ta giả thiết rằng góc ma sát trong
của đất ϕ và góc ma sát giữa tường và đất δ ở trên mức nước ngầm và dưới mức nước ngầm là
như nhau. nếu lưng tường trơn nhẵn và khơng thốt nước được thì góc ma sát ở lưng tường
δ=0. dung trọng đất trên mức nước ngầm là dung trọng đất thiên nhiên. dung trọng đất dưới
mức nước ngầm là dung trọng nổi.
ví dụ như laọi đất khơng dính, diện tích abdec
chính là áp lực của đất trên mực nước ngầm gây ra. diện
tích cef chính là áp lực của đất dưới nước ngầm gây ra
còn cfg chính là áp lực do nước ngầm gây ra.
tổng áp lực tác dụng lên lưng tường chính là
diện tích abdefgca. như vậy, tổng áp lực chủ động là:

awaa
K
h
K

h
hhE
2
)'(
2
)2(
2
21
21
γγ
γ
+++=
trong đó:
h
1
và h
2
là khoảng cách từ mực nước ngầm lên
đến đỉnh tường và từ mực nước ngầm đến chân tường.
γ’: dung trọng nổi: γ’=γ-1
γ
w
: trọng lượng riêng của nước.
γ và k
a
: như các phần trước.
ví dụ tính tốn:
tường chắn đất cao 6m: đất đắp sau tường là đất
khơng dính. mặt đất đỉnh tường phẳng. dung trọng đất
thiên nhiên γ=18kn/m

3
. góc ma sát trong ϕ=30
0
, cách mặt đất đỉnh tường 2m có nước ngầm.
dung trọng đất đắp bão hòa γ
sat
=19kn/m
3
. hãy tìm tổng áp lực chủ động tác dụng lên tường (áp
lực đất và áp lực nước) và vị trí điểm tác dụng của áp lực chủ động.
bài giải:
ta có h
1
=2m và h
2
=6-2=4m; γ
w
=10kn/m
3
; γ’=19-10=9 kn/m
3
.
- 8 -
H
γ
'
.
h
2
.K

a
γ
w
.
h
2
f
e
d
γ .
h
1
.K
a
g
b
γ .
h
1
.K
a
c
a
h
1
h
2
Hình 9:
Tính toán áp lực đất
có mức nước ngầm.

góc ma sát trong của đất khơng đổi. hệ số áp lực đất chủ động k
a
trên mức nước ngầm đều
giống nhau: k
a
=tg
2
(45
0
-30/2)=0,333
theo cơng thức tính tổng áp lực chủ động tác dụng lên tường:
awaa
K
h
K
h
hhE
2
)'(
2
)2(
2
21
21
γγ
γ
+++=
ta có:
2
2

/56,110333,0
2
4
)109(333,0
2
218
)422( mKNE
a
=×++×
×
×+=
nếu gọi y là khoảng cách từ tổng áp lực chủ động đến chân tường thì ta có:
my
y
98,1
3
4
2
333,04
)109(
2
333,04218
)
3
2
4(
2
333,0218
56,110
222

=
×
×
++
×××
++
××
=
f. tính áp lực đất trên mặt nghiêng của tường chắn:
mặt tường nghiêng có hai dạng: lưng nghiêng ra
ngồi và lưng nghiêng ngả vào trong. người ta thường
dùng theo phương pháp tính gần đúng dưới để tính tốn.
* lưng tường nghiêng ra ngồi:
gióng đường thẳng đứng từ a, gặp đường ngang
trên cùng ở c. ta xem ac như lưng tường trơn nhẵn, ta có áp
lực đất trên mặt ac là.
a
KHtgHE
202
1
2
1
)
2
45(
2
1
γ
ϕ
γ

=−=
các ký hiệu vẫn như các vị trí trước.
trọng lượng của khối đất abc (g):
g=diện tích ∆abcxγ
ap lực chủ động tác động lên lưng tường chắn e
a
:
vectơ e
a
= vectơ e
1
+vectơg (như hình vẽ).
điểm tác dụng của e
a
: tính từ dưới chân lên một khoảng
h/3.
* lưng tường nghiêng ngả vào trong:
ta gióng đường thẳng đứng từ a lên gặp đường
nằm ngang ở c. ta xem ac như lưng tường trơn nhẵn và
áp lực đất tác dụng lên mặt ac là:

a
KHtgHE
202
1
2
1
)
2
45(

2
1
γ
ϕ
γ
=−=
g=(diện tích∆abc)x γ↑
trong đó:
γ là dung trọng của đất (khơng liên quan gì đến
dung trọng của khối tường chắn).
ap lực chủ động e
a
tác dụng lên tường
chắn chính là tổng hợp của hai vectơ e
1
và g.
điểm tác dụng ở tại điểm cách chân
tường chắn một khoảng h/3.
với tường chắn kiểu treo, phương
pháp tính tốn áp lực chủ động cũng như
trường hợp tính cho tường chắn có lưng
nghiêng.
- 9 -
G
H
B
A
H
/3
E

1
E
a
C
Hình 10:

Áp lực đất tác dụng lên mặt
nghiêng (ra ngoài).
A
Ea
G
E1
C
B
H
/3
Hình 11:

Tính toán áp lực đất cho tường
chắn nghiêng vào trong.
(c)
Phân bố áp lực
chủ động
(b)
(a)
Các lực tác dụng lên
∆
ABC
Tam giác lực
β

ϕ
E
a
δ
B
Ο
E
R
H
α
G
A
Ο
−
ϕ
b
R
γ.
H.K
a
E
ϕ
c
G
a
H
O

-

ϕ
Hình 12:
Biểu đồ áp lực đất theo phương pháp Coulomb.
ii. tính áp lực đất theo phương pháp coulomb:
1. tính áp lực chủ động:
như hình vẽ: lưng tường nghiêng. đất trên đỉnh tường dốc. giữa lưng tường và đất có
lực ma sát. giả thiết đất đắp sau tường là đất không dính và mặt trượt phá hoại của đất bc là
một mặt phẳng.
khối đất hình nêm abc có mặt trượt xuống ở vào trạng thái cân bằng cực hạn chủ động
thì áp lực chủ động e
a
có thể tính theo công thức:
aa
KHHE
2
2
2
2
2
2
1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
2
1
γ
βαδα
βϕδϕ

δαα
αϕ
γ
=






−+
−+
++
−
=
trong đó:
γ: dung trong đất sau lưng tường chắn kn/m
3
.
h: chiều cao tường chắn.
ϕ: góc ma sát trong của đất.
α: góc nghiêng lưng tường (nghiêng ra lấy dấu +; nghiêng ngả vào lấy dấu -).
β: góc nghiêng của mặt đất trên đỉnh tường.
δ: góc ma sát giữa vật liệu đắp và lưng tường. dựa vào mức độ thô nhám và điều kiện
thoát nước để xác định.
lưng tường trơn phẳng, thoát nước kém: δ=(0-1/3)ϕ
lưng tường nhám, thoát nước tốt: δ= (1/3÷1/2)ϕ
lưng tường rất thô nhám, thoát nước tốt: δ=(1/2-2/3)ϕ
lưng tường và đất đắp không thể trơn trượt thì: δ=(2/3-1)ϕ
k

a
: hệ số áp lực chủ động coulomb.
aa
KHK
2
2
2
2
2
1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
γ
βαδα
βϕδϕ
δαα
αϕ
=






−+
−+
++
−

=
nếu β=0 mà biết ϕ, α, δ thì có thể tra bảng để tìm ka. khi α=0, đất trượt trên lưng
tường (δ=0); β=0 thì công thức tính áp lực chủ động ea nói trên sẽ trở thành:
)
2
45(
2
1
022
ϕ
γ
−= tgHE
a
như vậy, trong điều kiện như đã nói trên thì công thức của rankine giống công thức của
coulomb.
nếu muốn tìm cường độ áp lực chủ động p
a
tại một điểm cách đỉnh tường chắn là z thì
ta có công thức tính p
a
như sau:
aa
zz
E
a
zKKz
d
d
d
d

P
a
.).
2
1
(
2
γγ
===
từ công thức trên, ta nhận thấy cường độ áp lực chủ động theo chiều cao của tường
chắn được thể hiện phân bố theo hình tam giác (hình (c)). điểm tác dụng của áp lực chủ động
cách chân tường một khoảng h/3.
ví dụ tính toán:
tường chắn cao 4m, lưng tường nghiêng ra ngoài α=10
0
, β=0. dung trọng đất đắp
γ=18kn/m
2
, ϕ=30, c=0, góc ma sát giữa đất và tường δ=2/3ϕ=20
0
. hãy tìm áp lực chủ động e
a
và điểm tác dụng.
bài giải:
ta có δ=20
0
; α=10
0
; ϕ=30
0

, tra bảng k
a
(của coulumb) ta có k
a
=0,377.
theo công thức tính e
a
:
- 10 -
mKNKHE
aa
/3,54377,0418
2
1
2
1
22
=×××==
γ
điểm tác dụng của áp lực đất chủ động:
h/3=1/3x4=1,33m (cách chân tường tính từ dưới lên: 1,33m).
bảng hệ số k
a
áp lực đất chủ động
β
=0 (theo coulomb)
δ ϕ
α
15
0

20
0
25
0
30
0
35
0
40
0
45
0
50
0
0
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.589
0.652
0.736
0.540

0.497
0.490
0.560
0.648
0.433
0.380
0.406
0.478
0.569
0.344
0.287
0.333
0.407
0.498
0.270
0.212
0.271
0.343
0.434
0.209
0.153
0.217
0.288
0.375
0.158
0.106
0.172
0.238
0.322
0.117

0.070
0.132
0.194
0.274
0.083
0.043
5
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.556
0.622
0.709
0.503
0.457
0.465
0.536
0.627
0.406
0.352
0.387
0.460

0.553
0.334
0.267
0.319
0.393
0.485
0.256
0.199
0.260
0.333
0.424
0.199
0.144
0.210
0.280
0.368
0.151
0.101
0.166
0.233
0.318
0.112
0.067
0.129
0.191
0.271
0.080
0.041
10
0

0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.533
0.603
0.695
0.477
0.427
0.447
0.520
0.615
0.385
0.330
0.373
0.448
0.543
0.309
0.252
0.309
0.326
0.419
0.191
0.137

0.253
0.326
0.419
0.191
0.137
0.204
0.275
0.365
0.146
0.096
0.163
0.230
0.316
0.109
0.064
0.127
0.189
0.271
0.078
0.039
15
0
0
0
10
0
20
0
-10
0

-20
0
0.518
0.592
0.690
0.458
0.405
0.434
0.511
0.611
0.371
0.314
0.363
0.441
0.540
0.298
0.240
0.301
0.378
0.476
0.237
0.180
0.248
0.323
0.419
0.186
0.132
0.201
0.273
0.366

0.142
0.093
0.160
0.228
0.317
0.106
0.062
0.125
0.189
0.273
0.076
0.038
20
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.357
0.438
0.543
0.291
0.231
0.297

0.377
0.497
0.232
0.174
0.245
0.322
0.422
0.182
0.128
0.199
0.273
0.370
0.140
0.090
0.160
0.229
0.321
0.105
0.061
0.125
0.190
0.277
0.076
0.038
25
0
0
0
10
0

20
0
-10
0
-20
0
0.296
0.379
0.488
0.228
0.170
0.245
0.325
0.430
0.180
0.125
0.199
0.276
0.377
0.139
0.089
0.160
0.232
0.329
0.104
0.060
0.126
0.193
0.284
0.075

0.037
2. tính áp lực bị động:
với những điều kiện giống như trên, khi tường chắn chịu áp lực của ngoại lực, chuyển
lên đất đắp khiến cho lớp đất đắp sau tường bị phá nứt theo mặt bc, khối đất abc trượt lên trên
ở trạng thái cân bằng cực hạn (như hình bên). trọng lượng bản thân g của khối đất abc, phản
lực r và tác dụng của e sẽ cân bằng. ap
lực đất bị động là.
- 11 -
(c)
γ.
H.Kp
A
β
R
Ep
(a)
B
δ
Ο
ϕ
α
H
G
(b)
R
G
ϕ
+
Ο
H

z
C
Ep
pp
KHHE
2
2
2
2
2
2
1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
2
1
γ
βαδα
βϕδϕ
δαα
αϕ
γ
=







−−
++
−+
+
=
trong đó k
p
là hệ số áp lực bị động coulomb:
2
2
2
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos






−−
++
++
−
=
βαδα
βϕδϕ
δαα

αϕ
p
K
nếu α=0; δ=0 (trơn nhẵn); β=0 thì e
p
sẽ là:
)
2
45(
2
1
022
ϕ
γ
+= tgHE
p
như vậy, trong trường hợp này, cơng thức coulomb và cơng thức rakine tương đồng
như nhau.
cường độ áp lực bị động có thể tính theo cơng thức sau:
pp
p
p
ZKKZ
dz
d
dz
dE
P
γγ
=== )

2
1
(
2
biều đồ phân bố cường độ áp lực bị động được thể hiện như hình (c).
vị trí điểm tác dụng của áp lực bị động tại lưng tường, cách chân tường một khoảng h/3.
- 12 -
Hình 13:
Tính toán áp lực bò động.
Phân bố áp lực bò động
Biểu đồ lực tác dụng của khôí ABC.
(b)
(c)
(a)
Tam giác lực