Đề cương môn toán A1 có đáp án

Chương 1: Sai số
Bài 1: Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối
tương ứng với những giá trị của các đối số đã cho.
1.1/
)(
2
yzyxtgu +=
,
.114,2;032,1;983,0 === zyx

Ta có :
037283,0)114,2.032,1032,1.983,0(
2
=+= tgu

.
[ ]
031732,2)032,1.983,0.2.()114,2.032,1032,1.983,0(1'
22
=++= tgxu

.
[ ]
084571,3)114,2983,0.()114,2.032,1032,1.983,0(1'
222
=+++= tgyu

.
[ ]
033435,1032,1.)114,2.032,1032,1.983,0(1'

22
=++= tgzu

Vậy:
333
10.5,0.033435,110.5,0.084571,310.5,0.031732,2.'.'.'
−−−
++=∆+∆+∆=∆ zzuyyuxxuu
003075,0=∆u

⇒
082477,0
037283,0
003075,0
==
∆
=
u
u
u
δ

2.1/
)sin(
.
xy
ezu =
,
015,3;732,4;133,0 === zyx

3
10.5,0
−
=∆=∆=∆⇒ zyx

Ta có:
431548,5.015,3.
)732,4.133,0sin()sin(
=== eezu
xy

.
777737,20)732,4.133,0cos(.732,4 015,3)cos( '
)732,4.133,0sin()sin(
=== exyyezxu
xy
.
58399,0)732,4.133,0cos(.133,0 015,3)cos( '
)732,4.133,0sin()sin(
=== exyxezyu
xy

.
801508,1'
)sin(
==
xy
ezu

Vậy:
( )
011582,010.5,0.801508,158399,0777737,20.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆=∆
−
zzuyyuxxuu
⇒
002132,0
431548,5
011582,0
==
∆
=
u
u
u
δ

3.1/
)cos(
2
yzxu =
,
145,0;18,2;132,1 === zyx

⇒ ∆x = ∆z =0,5.10
-3
, ∆y = 0,5.10
-2

Ta có :
217936,1)145,0.18,2cos(132,1
2
==u

.
15183,2)(.2' == yzcoxxxu

.
05776,0)sin( '
2
−=−= yzzxyu

.
868395,0)sin('
2
−=−= yzyxzu

3
0,5.10x y z
−
⇒ ∆ = ∆ = ∆ =
Vậy :
( )
[ ]
001799,010.05.05776,010.5,0.868395,015183,2.'.'.'
23
=++=∆+∆+∆=∆
−−

zzuyyuxxuu
⇒
001477,0
217936,1
001799,0
==
∆
=
u
u
u
δ

4.1/
)ln(
2
xyzu =
,
015,2;734,1;123,0 === zyx


3
10.5,0
−
=∆=∆=∆⇒ zyx
Ta có :
273616,6−=u

.
009959,33'

2
==
x
z
xu

.
341537,2'
2
==
y
z
yu

.
226914,6)ln(.2' −== xyzzu

Vậy :
( )
020789,010.5,0.226914,6341537,2009959,33.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆=∆
−
zzuyyuxxuu
⇒
003314,0
273616,6
020789,0
==
∆

=
u
u
u
δ

5.1/
)sin(
2
yzxu =
,
131,2;102,0;113,1 === zyx


3
10.5,0
−
=∆=∆=∆⇒ zyx

Ta có :
267146,0=u

.
480047,0)sin(.2' == yzxxu

.
577701,2)cos(.'
2
== yzzxyu

.
123381,0)cos(.'
2
== yzyxzu

Vậy:
( )
001591,010.5,0.123381,0577701,2480047,0.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆=∆
−
zzuyyuxxuu
⇒
005955,0
267146,0
001591,0
==
∆
=
u
u
u
δ

6.1/
)ln(xy
zeu =
,
91,1;531,4;162,0 === zyx

⇒ ∆x = ∆y = 0,5.10
-3
; ∆z = 0,5.10
-2
Ta có :
401982,1=u

.
65421,8.'
)ln(
==
xy
e
x
z
xu

.
30942,0'
)ln(
==
xy
e
y
z
yu

.
734022,0'
)ln(

==
xy
ezu

Vậy:
[ ]
( )
008152,010.5,0.734022,010.5,0.30942,065421,8.'.'.'
23
=++=∆+∆+∆=∆
−−
zzuyyuxxuu
⇒
005815,0
401982,1
008152,0
==
∆
=
u
u
u
δ

7.1/
2
2
2
yx
u

+
=
,
152,2,055,0,085,0 === zyx


3
10.5,0
−
=∆=∆=∆⇒ zyx
Ta có :
065145,12
2
055,0.2085,0
==
+
u

.
738302,01.2ln.2'
2
055,0.2085,0
==
+
xu

.
162426,0055,0.4.2ln.2'
2
055,0.2085,0

==
+
yu

Vậy :
00045,010.5,0.162426,010.5,0.738302,0.'.'
33
=+=∆+∆=∆
−−
yyuxxuu

⇒
000422,0
065145,1
00045,0
==
∆
=
u
u
u
δ

8.1/
y
zxu )1( +=
,
174,5;034,1;192,0 === zyx

⇒ ∆x = ∆y = ∆z = 0,5.10

-3
Ta có :
040716,2=u

.
764095,6.)1('
1
=+=
−
zzxyxu
y

.
407779,1)1ln(.)1(' =++= zxzxyu
y

.
405139,0.)1('
1
=+=
−
xzxyzu
y

Vậy:
∆u =
( )
004289,010.5,0.405139,0407779,1764095,6.'.'.'
3
=++=∆+∆+∆

−
zzuyyuxxu
⇒
002102,0
040716,2
004289,0
==
∆
=
u
u
u
δ

Bài 2: Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường
kính đo được d=1,112 và sai số cho phép đo là 1 mm.
Lấy π = 3,141 và xem π,d là các đối số của phương trình thể tích hình cầu V.
Giải:
Xem
π
,d là những đối số của hàm V ta có:
V =
3 2 2
3 3.3,14.1,112
, 1,941
6 6 6
d d
d d
V V
π π

′
= = = =
3 3
1.112
( ) 0,229173
6 6
d
V
π
′
= = =
Sai số tuyệt đối:
3 3 3
( ). ( ) 1,941.0,5.10 0,229173.0,5.10 1,085.10
V d
V d V
π
π
− − −
′ ′
∆ = ∆ + ∆ = + =
Chương 2:
Giải phương trình đại số và phương trình siêu việt
Bài 1: Dùng phương pháp chia đôi giải các phương trình sau và tính số lần
lặp với ε = 10
-3
.
1.1/
1sin =xx
,

[ ]
2;1
0
∈x
.
( )
1sin −= xxxf

( ) ( )
0158529,01 <−== faf

( ) ( )
0818595,02 >== fbf

Số lần chia đôi:
101
2ln
10
12
ln
1
2ln
ln
3
=+
−
=+



















−
=
−
ε
ab
n
( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0496242,05,15,1
2
11
fcf
ba
c

thay
1
cb =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0186231,025,125,1
2
22
fcf
ba
c
thay
2
cb =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0015051,0125,1125,1
2
33
fcf
ba
c
thay
3
cb =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0071827,00625,10625,1
2
44
fcf
ba
c
thay
4
ca =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0028362,009375,109375,1
2
55
fcf
ba
c
thay
5
ca =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0006643,0109375,1109375,1

2
66
fcf
ba
c
thay
6
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0004209,0117188,1117188,1
2
77
fcf
ba
c
thay
7
cb =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0001216,0113282,1113282,1
2
88
fcf
ba

c
thay
8
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒
+
= 0001497,0115235,1115235,1
2
99
fcf
ba
c
thay
9
cb =

114259,1
2
115235,1113282,1
2
10
=
+
=
+
=⇒
ba
c

là nghiệm của phương trình.
2.1/
0cos =− xx
;
[ ]
1;0
0
∈x
.
( )
xxxf cos−=

( ) ( )
010 <−== faf

( ) ( )
0459698,01 >== fbf

Số lần chia đôi:
101
2ln
10
01
ln
1
2ln
ln
3
=+
−

=+


















−
=
−
ε
ab
n

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0170476,05,05,0

2
11
fcf
ba
c
thay
1
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0134337,075,075,0
2
22
fcf
ba
c
thay
2
cb =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0020394,0625,0625,0
2
33
fcf
ba

c
thay
3
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0056321,06875,06875,0
2
44
fcf
ba
c
thay
4
cb =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0017807,065625,065625,0
2
55
fcf
ba
c
thay
5
cb =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0001332,0640625,0640625,0
2
66
fcf
ba
c
thay
6
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0008228,0648438,0648438,0
2
77
fcf
ba
c
thay
7
cb =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+

= 0003446,0644532,0644532,0
2
88
fcf
ba
c
thay
8
cb =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0001057,0642579,0642579,0
2
99
fcf
ba
c
thay
9
cb =

641602,0
2
642579,0640625,0
2
10
=
+

=
+
=⇒
ba
c
là nghiệm của phương trình.
3.1/
tgxx =
;
[ ]
5,4;4
0
∈x
.
( )
tgxxxf −=

( ) ( )
0842179,24 >== faf

( ) ( )
0137332,05,4 <−== fbf

Số lần chia đôi:
91
2ln
10
45,4
ln
1

2ln
ln
3
=+
−
=+


















−
=
−
ε
ab
n

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0243691,225,425,4
2
11
fcf
ba
c
thay
1
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 052439,1375,4375,4
2
22
fcf
ba
c
thay
2
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+

= 0891762,04375,44375,4
2
33
fcf
ba
c
thay
3
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0445853,046875,446875,4
2
44
fcf
ba
c
thay
4
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0174948,0484375,4484375,4
2
55
fcf

ba
c
thay
5
ca =

( ) ( )
⇒>==⇒=
+
= 0024531,0492188,4492188,4
2
66
fcf
ba
c
thay
6
ca =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0054898,0496094,4496094,4
2
77
fcf
ba
c
thay
7

cb =

( ) ( )
⇒<−==⇒=
+
= 0014821,0494141,4494141,4
2
88
fcf
ba
c
thay
8
cb =

493165,4
2
494141,4492188,4
2
9
=
+
=
+
=⇒
ba
c
là nghiệm của phương trình.
Bài 2: Dùng phương pháp lặp giải các phương trình sau với
5

1
10
−
+
<−
nn
xx
,
đánh giá sai số.
1.2/
01
3
=−− xx
;
[ ]
2;1
0
∈x
. (*)
( )
1
3
−−= xxxf

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]




∈∀>−=
<−=−==
2;1013'
055.12.1.
2
xxxf
ffbfaf

( )
0' =⇒ xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
2;1
.
( )
3
1* +=⇒ xx
đặt
( )
3
1+= xx
ϕ

( )
( )
3
1
'
3

2
−
+
=⇒
xx
x
ϕ

( )
320499,0
93
2
'max
3
===⇒ xM
ϕ

Đặt
5,1
2
21
0
=
+
=x

( )
5
011
3

001
1006735,0
1
357209,11
−
>=−
−
=∆⇒=+== xx
M
M
xxx
ϕ

( )
5
122
3
112
10012428,0
1
330861,11
−
>=−
−
=∆⇒=+== xx
M
M
xxx
ϕ

( )
5
233
3
223
10002348,0
1
325884,11
−
>=−
−
=∆⇒=+== xx
M
M
xxx
ϕ

( )
5
344
3
334
10000446,0
1
324939,11
−
>=−
−
=∆⇒=+== xx
M

M
xxx
ϕ

( )
5
455
3
445
10000085,0
1
324759,11
−
>=−
−
=∆⇒=+== xx
M
M
xxx
ϕ

( )
5
566
3
556
10000016,0
1
324726,11
−

>=−
−
=∆⇒=+== xx
M
M
xxx
ϕ

( )
5
677
3
667
100000033,0
1
324719,11
−
<=−
−
=∆⇒=+== xx
M
M
xxx
ϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
324719,1
7
=x

2.2/
033
24
=−− xx
;
[ ]
2;1
0
∈x
.
( )
033
24
=−−= xxxf
(*)
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )











∈∀>−=

<−=−=
2;
2
3
064'
051.52.1
3
xxxxf
ff

( )
0=⇒ xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
2;1

( )
4
2
33* +=⇒ xx
đặt
( )
4
2
33 += xx
ϕ

( )
( )
2

33.3
'
4
3
2
−
+
=⇒
xx
x
ϕ

( )
393598,0
3375
3
'max
4
===⇒ xM
ϕ

Đặt
5,1
2
21
0
=
+
=x

( ) ( )
5
01101
1017334,0
1
767059,15,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
12212
10070255,0
1
875299,1767059,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
23323
10028112,0
1
91861,1875299,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
34434
10011175,0
1
935827,191861,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
45545
10004429,0
1
942651,1935827,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
56656
10001754,0
1
945353,1942651,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
67767
10000695,0
1
946423,1945353,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
78878
10000276,0
1
946846,1946423,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
89989
10000108,0
1
947013,1946846,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
91010910
10000043,0
1
947079,1947013,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1011111011
10000018,0
1
947106,1947079,1
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1112121112
100000065,0
1
947116,1947106,1
−
<=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
947116,1
12
=x

3.2/
042
34
=−− xx
;
[ ]
3;2
0
∈x
.
( )
42
34
−−= xxxf
(*).
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
[ ]



∈∀>−=
<−=−=
3;2064'

09223.43.2
23
xxxxf
ff

( )
0=⇒ xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
3;2
.
( )
4
3
42* +=⇒ xx
đặt
( )
4
3
42 += xx
ϕ

( )
( )
2
42.3
'
4
3
3

−
+
=⇒
xx
x
ϕ

( )
317211,0'max ==⇒ xM
ϕ

Đặt
5,2
2
32
0
=
+
=x

( ) ( )
5
01101
1002944,0
1
436631,25,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
12212
10019076,0
1
395571,2436631,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
23323
10012354,0
1
368979,2395571,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
34434
10007997,0
1
351765,2368979,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
45545
10005175,0
1
340626,2351765,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
56656
10003348,0
1
33342,2340626,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
67767
10002165,0
1
328759,233342,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
78878
100014,0
1
325745,2328759,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
89989
10000905,0
1
323797,2325745,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
91010910
10000585,0
1
322537,2323797,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1011111011
10000379,0
1
321722,2322537,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1112121112
10000245,0
1
321195,2321722,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1213131213
10000158,0
1
320855,2321195,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1314141314
10000102,0
1
320635,2320855,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1415151415
10000066,0
1
320493,2320635,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1516161516
10000043,0
1
320401,2320493,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1617171617
10000028,0
1
320341,2320401,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1718181718
10000018,0
1
320302,2320341,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1819191819
10000012,0
1
320277,2320302,2
−
>=−
−
=∆⇒=== xx

M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1920201920
100000074,0
1
320261,2320277,2
−
<=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
320261,2
20
=x
.
4.2/
x
x
=+
2

sin5,0
π
;
[ ]
π
2;0
0
∈x
.
( )
(*)
2
sin5,0 x
x
xf −+=
π
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
[ ]





∈∀>−=
<−=−=
π
ππππ

2;001
2
cos.25,0'
0.2.0
2
x
x
xf
ff

( )
0=⇒ xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
π
2;0
.
( )
2
sin.5,0*
x
x +=⇒
π
đặt
( )
2
sin.5,0
x
x +=
πϕ

( )
2
cos.25,0'
x
x =⇒
ϕ

( )
25,0'max ==⇒ xM
ϕ

Đặt
π
π
=
+
=
2
20
0
x

( ) ( )
5
01101
10166667,0
1
641593,3
−

>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xxx
πϕϕ

( ) ( )
5
12212
10005181,0
1
626049,3641593,3
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xxx
ϕϕ

( ) ( )
5
23323
10000316,0
1
626996,3626049,3
−

>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xxx
ϕϕ

( ) ( )
5
34434
10000019,0
1
626939,3626996,3
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xxx
ϕϕ

( ) ( )
56
45545
1010
1
626942,3626939,3
−−

<=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xxx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
626942,3
5
=x
.
5.2/
02 =−
−x
x
;
[ ]
1;3,0
0
∈x
.
( )
(*)2
x
xxf
−
−=
.

Ta có:
( ) ( )
( )
[ ]



∈∀>+=
<−=−=
−
1;3,002ln.21'
0256126,05,0.512252,01.3,0
xxf
ff
x

( )
0=⇒ xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
1;3,0
.
x
x
−
=⇒ 2(*)
đặt
( )
x
x

−
= 2
ϕ
.
( )
2ln.2'
x
x
−
−=⇒
ϕ

( )
56301,0'max ==⇒ xM
ϕ

Đặt
65,0
2
13,0
0
=
+
=x

( ) ( )
5
01101
10016388,0
1

63728,065,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
12212
10007272,0
1
642924,063728,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
23323
10003234,0
1

640414,0642924,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
34434
10001437,0
1
641529,0640414,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
45545
10000639,0
1

641033,0641529,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
56656
10000285,0
1
641254,0641033,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
67767
10000128,0
1

641155,0641254,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
78878
10000057,0
1
641199,0641155,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
89989
10000024,0
1

64118,0641199,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
91010910
100000103,0
1
641188,064118,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1011111011
100000039,0
1

641185,0641188,0
−
<=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
641185,0
11
=x
.

6.2/
03
2
=−
x
ex
;
[ ]
1;0
0
∈x
.
( )
(*)3

2 x
exxf −=
.
Ta có:
( ) ( )
( )
[ ]



∈∀>−=
<−=−=
1;006'
0281718,0281718,0.11.0
xexxf
ff
x

( )
0=⇒ xf
có nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ]
1;0
.
3
(*)
x
e
x =⇒
đặt

( )
3
x
e
x =
ϕ
.
( )
32
'
x
e
x =⇒
ϕ

( )
475945,0'max ==⇒ xM
ϕ

Đặt
5,0
2
10
0
=
+
=x

( ) ( )
5

01101
10219177,0
1
741332,05,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
12212
10086347,0
1
836407,0741332,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5

23323
10036983,0
1
877128,0836407,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
34434
10016385,0
1
895169,0877128,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5

45545
10007367,0
1
903281,0895169,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
56656
10003334,0
1
906952,0903281,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5

67767
10001513,0
1
908618,0906952,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
78878
10000688,0
1
909376,0908618,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5

89989
10000312,0
1
90972,0909376,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
91010910
100001417,0
1
909876,090972,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5

1011111011
100000654,0
1
909948,0909876,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1112121112
100000291,0
1
90998,0909948,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5

1213131213
100000136,0
1
909995,090998,0
−
>=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

( ) ( )
5
1314141314
1000000636,0
1
910002,0909995,0
−
<=−
−
=∆⇒=== xx
M
M
xx
ϕϕ

Vậy nghiệm của phương trình:
910002,0

14
=x
.
Bài 3: Dùng phương pháp Newton ( tiếp tuyến) giải các phương trình sau với
5
1
10
−
+
<−
nn
xx
; đánh giá sai số.
1.3/
052
23
=−− xx
;
[ ]
4;1
0
∈x
.
( )
052
23
=−−= xxxf

( )
xxxf 43'

2
−=

( )
46'' −= xxf
;
( )
6''' =xf

Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
1 . 4 6.27 162 0
' 1 ' 4 0
f f
f f

= − = − <


<



Vì vậy ta cần thay đổi khoảng li nghiệm, ta chọn
5
,4
3
 
 

 
Khi đó
( )
( )
5
. 4 0
3
5 5
' ' 4 .32 0
3 3
f f
f f

 
<
 ÷

  

 

= >
 ÷

 


⇒ f(x) có nghiệm duy nhất trong khoảng
5
,4

3
 
 
 
Với
( )
( )
5
'' 0 ,4
3
5
'' 6
3
'' 4 20
f x x
f
f

 
> ∀ ∈

 
 


 
=

 ÷
 



=



Ta đặt x
0
= 4
( )
( )
4 0
4 0
f
f
′′

>


>


Với
5
5
,4
,4
3
3

5
min ( ) , max ( ) 20
3
m f x M f x
 
 
 
 
 
 
′ ′′
= = = =
⇒
1 0
(4)
2,845082
(4)
f
x x
f
= − =
′
, với
2
5
1 1 0
10,1 10
2
M
x x

m
−
∆ = − = >

2
2,7024416x
=
, với
5
2
0,122 10
−
∆ = >

3
2,6907238x =
, với
4 5
3
8,2.10 10
− −
∆ = >

4
2,69064745x =
, với
8 5
4
3,4975.10 10
− −

∆ = <
⇒ x
4
là nghiệm gần đúng, x
3
là nghiệm đúng của phương trình
2.3/ x
3
+ 3x
2
-1 = 0 ; x
0
∈
[ ]
3, 2− −
f(x) = x
3
+ 3x
2
-1 = 0
2
( ) 3 6f x x x
′
= +
( ) 6 6f x x
′′
= +
( ) 6f x
′′′
=

>0 ∀ x
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
3 . 2 3 0
' 3 ' 2 9.0 0
f f
f f

− − = − =<


− − = =


Vì vậy ta cần thay đổi khoảng li nghiệm, ta chọn
[ ]
3; 2,5− −
Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
3 . 2,5 0
' 3 ' 2,5 9.3,75 33,75 0
f f
f f

− − <


− − = = >



⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng
[ ]
3, 2,5− −
Với
( ) 6 6 0 1
( 3) 12
( 2,5) 9
f x x x
f
f
′′
= + = ⇔ = −


′′
− = −


′′
− = −

Ta đặt x
0
= -3
( )
( )
3 0
3 0

f
f
′′

− >


− >


Với
[ ]
[ ]
3, 2,5
3, 2,5
min ( ) 3,75; max ( ) 9m f x M f x
− −
− −
′ ′′
= = = =
⇒
0
1 0
0
( )
( 3)
3 2,888888
( ) ( 3)
f x
f

x x
f x f
−
= − = − − = −
′ ′
−
với
2
5
1 1 0
0,014815 10
2
M
x x
m
−
∆ = − = >
2
2,87945156x
= −
, với
4 5
2
1,068.10 10
− −
∆ = >
3
2,8793852x = −
, với
9 5

3
5,28.10 10
− −
∆ = <
Vậy x
3
là nghiệm gần đúng, x
2
là nghiệm đúng của phương trình
3.3/ x- cosx = 0 ; x
0
∈
0,
2
π
 
 
 
( ) cosf x x x
= −
( ) 1 sinf x x
′
= +
> 0 ∀x∈
0,
2
π
 
 
 

( ) osf x c x
′′
=
> 0 ∀x∈
0,
2
π
 
 
 
( ) sinxf x
′′′
= −
Ta có :
( )
( )
0 . 0
2 2
' 0 ' 1.1,02741213 0
2
f f
f f
π π
π

 
= − =<
 ÷

  


 

= >
 ÷

 

⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng
0,
2
π
 
 
 
Với
( ) cos
(0) 1
( ) 0,9996242
2
f x x
f
f
π


′′
=

′′

=


′′

=

Ta đặt x
0
=
2
π
0
2
0
2
f
f
π
π

 
′′
>
 ÷

  

 


>
 ÷

 

Với
0,
0,
2
2
min ( ) 1, max ( ) 1m f x M f x
π
π
 
 
 
 
 
 
′ ′′
= = = =
⇒
0
1 0
0
( )
0,785398163
( )
f x
x x

f x
= − =
′
, với
2
5
1 1 0
0,308425 10
2
M
x x
m
−
∆ = − = >
2
0,739536133x
=
, với
3 5
2
1,052.10 10
− −
∆ = >
3
0,739085178x
=
, với
7 5
3
1,02.10 10

− −
∆ = <
Vậy x
3
là nghiệm gần đúng, x
2
là nghiệm đúng của phương trình.
4.3/
2
1
ln x
x
−
= 0 ; x
0
∈
[ ]
1,2
[ ]
[ ]
[ ]
2
3
2 4
3 5
1
( ) ln
1 2
( ) 0 1,2
1 6

( ) 0 1,2
2 24
( ) 0 1,2
f x x
x
f x x
x x
f x x
x x
f x x
x x
= −
′
= + > ∀ ∈
′′
= − − < ∀ ∈
′′′
= + > ∀ ∈
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
1 . 2 1.0,443147 0
' 1 ' 2 3.0,75 0
f f
f f

= − =<


= >




⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng
[ ]
1,2
Với
2 4
1 6
( )
(1) 7
(2) 0,625
f x
x x
f
f

′′
= − −


′′
= −


′′
= −


Ta đặt x

0
= 1
Với m =
[ ]
[ ]
1,2
1,2
min ( ) 0,75, max ( ) 0,625m f x M f x
′ ′′
= = = =
( )
( )
1 0
1 0
f
f
′′

<


<


⇒
0
1 0
0
( )
(1)

1 1.333333
( ) (1)
f x
f
x x
f x f
= − = − =
′ ′
, với
2
5
1 1 0
0,0462962 10
2
M
x x
m
−
∆ = − = >

2
1.5057681x =
,với
5
2
0.012389>10
−
∆ =

3

1,5311639x =
, với
4 5
3
2,687.10 >10
− −
∆ =

4
1,5315842x =
, với
8 5
4
7,36.10 <10
− −
∆ =
Vậy x
4
là nghiệm gần đúng, x
3
là nghiệm đúng của phương trình
Chương 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp qua 3 bước.

1)
1.02 0.05 0.1 0.795
0.11 1.03 0.05 0.849
0.11 0.12 1.04 1.398

x y z
x y z
x y z
− − =


− + − =


− − + =


5 5 53
0
102 51 68
11 5 849
0
103 103 1030
11 3 699
0
104 26 520
x x y z
y x y z
z x y z

= + + +



⇔ = + + + +




= + + + +


Hay:
X X
α β
= +
Với:
5 5
0
102 51
11 5
0
103 103
11 3
0
104 26
α
 
−
 
 
 
=
 
 
 

 
 
,
53
68
849
1030
699
520
β
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 


Kiểm tra điều kiện hội tụ:
5 16 23 23
max , , 1
34 103 104 104
α
∞
 
= = <

 
 


Chọn:
0
0 0
0
53
68
849
1030
699
520
x
X y
z
β
 
 
 
 
 
 
= = =
 
 
 
 
 

 
 
 
1 0
X X
α β
⇒ = +
Ta tính được:
1
2
3
0.591604
0.972764
1.521777
0.976290
0.999772
1.557123
0.981079
1.004124
1.562851
X
X
X
 
 
=
 
 
 
 

 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
Bài 2: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Seidel qua 3 bước.
1)
0.1 0.1 1.2
0.1 0.1 1.2
0.1 0.1 1.2
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

; với











=
0
0
0
0
X
1 1 6
0
10 10 5
1 1 6
0
10 10 5
1 1 6
0
10 10 5
x x y z
y x y z
z x y z

= − − +




⇔ = − + − +



= − − + +


Hay:
X X
α β
= +
Với:
1 1
0
10 10
1 1
0
10 10
1 1
0
10 10
α
 
− −
 
 
 
= − −
 

 
 
−
 
 
,
6
5
6
5
6
5
β
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
,


Kiểm tra điều kiện hội tụ:
1 1 1 1
max , , 1
5 5 5 5

α
∞
 
= = <
 
 
Cho:
0
0 0
0
0
0
0
x
X y
z
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
⇒
0 0 0
1 1 0 0

1 1 0
1 1 6
0
10 10 5
1 1 6
0
10 10 5
1 1 6
0
10 10 5
x x y z
X y x y z
z x y z

= − − +



= = − + − +



= − + + +


Tương tự ta tính được:

1
1.2
1.08

0.972
X
 
 
=
 
 
 

2
0.9948
1.00332
1.000188
X
 
 
=
 
 
 

3
0.999649
1.000016
1.000033
X
 
 
=
 

 
 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với
1n n
x x
+
−
<10-
5−
và đánh giá sai số.
1)





=+−−
=−+−
=−−
398,104,112,011,0
849,005,003,111,0
795,01,005.002,1
zyx
zyx
zyx
5 5 53
0
102 51 68
11 5 849
0

103 103 1030
11 3 699
0
104 26 520
x x y z
y x y z
z x y z

= + + +



⇔ = + + +



= + + +


Hay:
X X
α β
= +
Với:
5 5
0
102 51
11 5
0
103 103

11 3
0
104 26
α
 
−
 
 
 
=
 
 
 
 
 
,
53
68
849
1030
699
520
β
 
 
 
 
=
 
 

 
 
 


Kiểm tra điều kiện hội tụ:
5 16 23 23
max , , 1
34 103 104 104
α
∞
 
= = <
 
 
Chọn:
0
0 0
0
53
68
849
1030
699
520
x
X y
z
β
 

 
 
 
 
 
= = =
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0
X X
α β
⇒ = +
Ta tính được:

1
2
3
4
0.951604
0.972764
1.521777
0.976290
0.999772
1.557123

0.981079
1.004124
1.562850
0.981854
1.004914
1.563859
X
X
X
X
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 

=
 
 
 

5
6
7
8
0.981992
1.005046
1.564032
0.982015
1.005069
1.564062
0.982019
1.005072
1.564067
0.982019
1.005073
1.564068
X
X
X
X
 
 
=
 
 

 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 

⇒
{ }
8 7 6 6 6 5
max 0,10 ,10 10 10X X
ε
− − − −
− = = < =

Vậy: X
8

là nghiệm gần đúng của phương trình.
3)
1.02 0.25 0.3 0.515
0.41 1.13 0.15 1.555
0.25 0.14 1.21 2.780
x y z
x y z
x y z
− − =


− + − =


− − + =

25 5 103
0
102 17 204
41 15 311
0
113 113 226
25 14 278
0
121 121 121
x x y z
y x y z
z x y z

= + + +




⇔ = + + +



= + + +


Hay:
X X
α β
= +
Với:
25 5
0
102 17
41 15
0
113 113
25 14
0
121 121
α
 
 
 
 
=

 
 
 
 
 
,
103
204
311
226
278
121
β
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 

Kiểm tra điều kiện hội tụ:
55 56 39 55
max , , 1
102 113 121 102
α
∞

 
= = <
 
 
Chọn:
0
0 0
0
103
204
311
226
278
121
x
X y
z
β
 
 
 
 
 
 
= = =
 
 
 
 
 

 
 
 
1 0
X X
α β
⇒ = +
Ta tính được:

1
2
3
4
5
6
1.517924
1.864281
2.561058
1.715086
2.266821
2.826843
1.891920
2.373639
2.914154
1.943780
2.449390
2.963049
1.976728
2.474697
2.982529

1.988660
2.48
X
X
X
X
X
X
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 

 
 
 
 
=
 
 
 
=
7
8
9237
2.992264
1.992087
2.494858
2.996412
1.997684
2.497741
2.998390
X
X
 
 
 
 
 
 
 
=
 

 
 
 
 
=
 
 
 

9
10
11
12
13
14
1.998973
2.498946
2.999260
1.999524
2.499529
2.999666
1.999786
2.499783
2.999847
1.999902
2.499902
1.999931
1.999956
2.499955
2.999968

1.99998
X
X
X
X
X
X
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
=
 
 

 
 
 
=
 
 
 
=
15
16
0
2.499980
2.999986
1.999991
2.499991
2.999993
1.999996
2.499995
2.999997
X
X
 
 
 
 
 
 
 
=
 

 
 
 
 
=
 
 
 
⇒
{ }
16 15 6 6 6 6 5
max 5.10 ,5.10 ,4.10 5.10 10X X
ε
− − − − −
∞
− = = < =

Vậy: X
16
là nghiệm gần đúng của phương trình.

4)
4 8
2 5 2 3
2 4 11
x y z
x y z
x y z
− + =



+ − =


+ + =


⇔

1 1
0 2
4 4
2 2 3
0
5 5 2
1 1 11
0
4 2 4
x x y z
y x y z
z x y z

= + − +



= − + − +




= − − + +


Hay:
X X
α β
= +
Với:
1 1
0
4 4
2 2
0
5 5
1 1
0
4 2
α
 
−
 
 
 
= − −
 
 
 
− −
 
 

,
2
3
2
11
4
β
 
 
 
 
=
 
 
 
 

Kiểm tra điều kiện hội tụ:
1 4 3 4
max , , 1
2 5 4 5
α
∞
 
= = <
 
 
Chọn:
0
0 0

0
2
3
2
11
4
x
X y
z
β
 
 
 
 
 
 
= = =
 
 
 
 
 
 
 
1 0
X X
α β
⇒ = +
Ta tính được:
1

2
3
4
5
6
1.6875
0.4
1.5
1.525
0.225
2.528125
1.424219
0.121250
2.256250
1.405625
0.027813
2.454570
1.393311
0.044078
2.384688
1.392809
0.011199
2.423711
X
X
X
X
X
X
 

 
= −
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
= −
 
 
 


= −

7
1.391272
0.026608
2.407397
X

 
 
 

 
 
= −
 
 
 

8
9
10
11
12
13
1.391499
0.019468
2.415486
1.391262
0.022794

2.411859
1.391337
0.021248
2.413582
1.391293
0.021967
2.412790
1.391311
0.021633
2.413161
1.3
X
X
X
X
X
X
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 

 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
=
14
91302
0.021788
2.412989
1.391306
0.021716
2.413069
X
 
 
−
 

 
 
 
 
= −
 
 
 

15
16
17
18
19
20
1.391304
0.021750
2.413032
1.391305
0.021734
2.413049
1.391304
0.021741
2.413041
1.391304
0.021738
2.413045
1.391304
0.021740
2.413043

1
X
X
X
X
X
X
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 

 
 
 
= −
 
 
 
=
.391304
0.021739
2.413043
 
 
−
 
 
 
{ }
20 19 6 6 5
max 0,0,4.10 10 10X X
ε
− − −
∞
− = = < =

Vậy: X
20
là nghiệm gần đúng của phương trình.

5)

4 2 9
2 4 5
3 9
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ − = −


− − = −


1 1 9
0
4 2 4
1 1 5
0
2 4 4
1 1
0 3
3 3
x x y z
y x y z
z x y z

= − − +




⇔ = − + + −



= + + +


Hay:
X X
α β
= +
Với:
1 1
0
4 2
1 1
0
2 4
1 1
0
3 3
α
 
− −
 
 
 
= −

 
 
 
 
 
,
9
4
5
4
3
β
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 

Kiểm tra điều kiện hội tụ:
3 3 2 3
max , , 1
4 4 3 4
α
∞
 

= = <
 
 
Chọn:
0
0 0
0
9
4
5
4
3
x
X y
z
β
 
 
 
 
 
 
= = = −
 
 
 
 
 
 
 

 
1 0
X X
α β
⇒ = +
Ta tính được:

1
2
3
4
5
6
1.0625
1.625
3.333333
0.989583
0.947917
2.8125
1.080729
1.041667
3.013888
1.003472
1.036892
3.013020
1.002713
0.998480
2.988859
1.005190
1.004

X
X
X
X
X
X
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 

 
 
= −
 
 
 
= −
7
141
3.001411
1.000330
1.002242
3.000349
X
 
 
 
 
 
 
 
= −
 
 
 

8
9
10
11

12
13
1.000386
1.000078
2.999362
1.000338
1.000352
3.000103
1.000037
1.000143
2.999995
1.000038
1.000019
2.999964
1.000022
1.000027
3.000006
1.0
X
X
X
X
X
X
 
 
= −
 
 
 

 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
=
14
00003
1.000009
2.999998
1.000003

1.000002
2.999998
X
 
 
−
 
 
 
 
 
= −
 
 
 
⇒
{ }
14 13 6 6 5
max 0,7.10 ,0 7.10 10X X
ε
− − −
∞
− = = < =

Vậy: X
14
l à nghiệm gần đúng của phương trình.

7)






=+−
=−+−
=−
6102
7210
910
zy
zyx
yx
1 9
0 0
10 10
1 2 7
0
10 10 10
2 6
0 0
10 10
x x y z
y x y z
z x y z

= + − +




⇔ = + + +



= + + +


Hay:
X X
α β
= +