Chuyên đề Phương trình lượng giác Toán pot

Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

1


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

C

ác bạn học sinh thân mến! Trong mỗi chúng ta ai cũng ấp ủ trong
mình những ước mơ, hồi bảo. Đối với riêng học sinh ở cấp THPT
chúng ta thì ước mơ lớn nhất khơng gì khác hơn, đó là thi đậu vào
trường Đại học, Cao đẳng mà chúng ta mong ước, cái ước mơ ấy lại càng có
cơ sở để trở thành hiện thực nếu như chúng ta cố gắng học tập. Ước mơ của
nhóm biên soạn chúng tơi cũng chẳng khác gì các bạn. Để góp phần thực
hiện cái ước mơ ấy nhóm chúng tơi đã quyết định soạn ra một quyển chun
đề lấy tên là “Phương trình lượng giác”. Khơng phải ngẫu nhiên mà nhóm
chúng tơi lại quyết định chọn chun đề này. Như các bạn đã biết, phương
trình lượng giác là một mảng khơng thể thiếu trong các kì thi Đại học và Cao
đẳng.

2


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Chương I:

Các
cơng thức
lượng giác
cần nhớ
3


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
•
•
•
•
•
•

sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
π
tan α =
( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z )
cos α
2
cos α

cot α =
( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
sin α
1
π
tan 2 α + 1 =
( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z )
2
cos α
2
1
cot 2 α + 1 =
( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
sin 2 α
kπ
tan α cot α = 1 ( với ∀α ≠
,k ∈ Z )
2

Cung hơn kém k2π và kπ :
•
•

sin ( x + k 2π ) = sin x

cos ( x + k 2π ) = cos x

tan ( x + kπ ) = tan x
• cot ( x + kπ ) = cot x
•

Cung đối :
•
•
•
•

sin ( − x ) = − sin x
cos ( − x ) = cos x

tan ( − x ) = − tan x

cot ( − x ) = − cot x

Cung bù :
•
•
•
•

sin ( π − x ) = sin x

cos ( π − x ) = − cos x

tan ( π − x ) = − tan x

cot ( π − x ) = − cot x

4

Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Cung phụ :

π

sin  − x ÷ = cos x
2


π

tan  − x ÷ = cot x
2


Cung hơn kém π/2 :

π

 2 ÷ 
2

π


cos  + x ÷ = − sin x

2

π

tan  + x ÷ = − cot x
2

π

cot  + x ÷ = tan x
2




ãcossin x+ x ữ = cos x
= sin x
ã
ã
ã



cot x ữ = tan x
2


Cung hơn kém π :
•
•

•
•

sin ( π + x ) = − sin x

cos ( π + x ) = − cos x
tan ( π + x ) = tan x

cot ( π + x ) = cot x

Công thức cộng :
•
•
•

sin ( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x ( ∀x, y ∈ ¡

)
cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y ( ∀x, y ∈ ¡ )
tan x ± tan y 
π

 ∀x, y, x ± y ≠ + kπ ÷
1 mtan x tan y 
2

cot x cot y m1
cot ( x ± y ) =
( ∀x, y, x ± y ≠ kπ )
cot y ± cot x

tan ( x ± y ) =

•
Cơng thức nhân đơi :
•
•
•

•

sin 2 x = 2sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
2 tan x
2
π


tan 2 x =
=
 ∀x, 2 x ≠ + kπ ÷
2
1 − tan x cot x − tan x 
2


cot 2 x − 1 cot x − tan x
cot 2 x =
=
( ∀x, 2 x ≠ kπ )
2cot x

2

5


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Cơng thức chia đơi :
•
•
•

x
=±
2
x
cos = ±
2
x
tan = ±
2

sin

1 − cos x
2
1 + cos x
2

1 − cos x 1 − cos x
=
1 + cos x
sin x

Cơng thức nhân ba :
•
•
•

•

sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x
cos3 x = 4cos 3 x − 3cos x
3tan x − tan 3 x 
π

tan 3 x =
 ∀x,3 x ≠ + kπ ÷
2
1 − 3tan x 
2

cot 3 x =

cot 3 x − 3cot x
( ∀x,3x ≠ kπ )
3cot 2 x − 1

Công thức hạ bậc :

•
•
•
•
•

1
( 1 − cos 2 x )
2
1
cos 2 x = ( 1 + cos 2 x )
2
1 − cos 2 x 
π

tan 2 x =
 ∀x ≠ + kπ ÷
1 + cos 2 x 
2

1 + cos 2 x
cot 2 x =
( ∀x ≠ kπ )
1 − sin 2 x
3sin x − sin 3 x
sin 3 x =
4
3cos x + cos 3 x
3
sin 2 x =

Cơng•thức theo =
cos x :

Cơng thức theo t = tan
•
•

4
x
:
2

2t
1+ t2
1− t2
cos x =
1+ t2

sin x =

Cơng thức biến đổi tích thành tổng :
•

tan x =

2t 
x π

∀x, ≠ + kπ ÷

2 
1− t 
2 2


6


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Cơng thức biến đổi tích thành tổng :

1
sin ( x + y ) + sin ( x − y )  ( x > y )

2
1
• cos y sin x = sin ( x + y ) − cos ( y − x )  ( y > x )

2
Cơng • cos x cos ytổng  cos ( xtích ): + cos ( x − y ) 
thức biến đổi = 1 thành + y

2
1
sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y ) 

2

•
•

sin x cos y =

Cơng thức biến đổi tổng thành tích :
•
•
•
•
•

•

x+ y
x− y
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2cos
cos
2
2
x+ y
x− y
sin x − sin y = 2cos
sin
2

2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2sin
sin
2
2
sin ( x ± y ) 
π

tan x ± tan y =
 ∀x, y ≠ + kπ ÷
cos x cos y 
2

sin x + sin y = 2sin

cot x ± cot y =

sin ( y ± x )
( ∀x, y ≠ kπ )
sin x sin y

Các kết quả thường dùng :

7


Chun đề Phương trình lượng giác

•
•
•
•
•
•
•
•
•

•

10 Tốn

π
π


sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷
4
4


π
π


sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷
4
4



π

tan x + cot x = −2cot 2 x  ∀x ≠ k ÷
2

2 
π
tan x − cot x =
 ∀x ≠ k ÷
sin 2 x 
2
3 1
sin 4 x + cos 4 x = + cos 4 x
4 4
5 3
sin 6 x + cos 6 x = + cos 4 x
8 8
π x 
1 + sin x = 2 cos 2  − ÷
 4 2
π x 
1 − sin x = 2sin 2  − ÷
 4 2
π

2 cos  x − ÷
4


1 + tan x =
cos x
π

2 sin  − x ÷
4

1 − tan x =
cos x

Các hằng đẳng thức trong tam giác :
•
•
•
•
•
•
•

A
B
C
cos cos
2
2
2
A
B
C
cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin

2
2
2
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2cos A cos B cos C
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cos A cos B cos C
sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C
sin A + sin B + sin C = 4cos

8


Chun đề Phương trình lượng giác

•
•
•

10 Tốn

cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C
A
B
C
A
B
C
cot + cot + cot = cot cot cot
2

2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A
tan tan + tan tan + tan tan = 1
2
2
2
2
2
2

9


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Chương II:

Phương trình
lượng giác

10


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

I. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản. Dù cơ bản (chính vì cơ bản nên
nó mới có tên như vậy) nhưng cũng phải nêu ra đây bởi vì các PTLG khác
nếu giải được cũng phải đưa về một trong 3 PTCB sau đây:

x
1. sinα =

với α ≤ 1 , có nghiệm là:
 x = arcsinα + k2 π
 x = π − arcsinα +k2 π ( k ∈ Z)


x
2. cosα =

với α ≤ 1 , có nghiệm là:

x = ± arc cosα+k2 π ( k ∈ Z)
3. tgx = α có nghiệm là:
x = arcα + kπ ( k ∈ Z)
tg
gx

(hay là cotα =

có nghiệm là:
x = arc cotα + kπ ) ( k ∈ Z)
g

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

cos ( 3π sin x ) = cos ( π sin x )
Giải

3π sin x = π sin x + k 2π
 2π sin x = k 2π
⇔
⇔
 4π sin x = k 2π
3π sin x = −π sin x + k 2π
Do

k ∈ Z


 sin x ≤ 1


 k ≤1

⇔k
≤1
2



⇔

11

sin x = k
⇔
sin x = k

2

k
≤ 1 ⇔ k ∈ { 0; ±1; ±2}
2


Chuyên đề Phương trình lượng giác

sin x = 0

1
⇔ sin x = ±
2

sin x = ±1


10 Toán


sin 2 x = 0

1
⇔ sin x =

2

1
sin x = −

2

lπ

x = 2

lπ

 x = ± π + k 2π
x=


6
2
⇔
⇔
 x = ± π + kπ
 x = 5π + k 2π



6
6


7π
+ k 2π
x =
6


(l , k ∈Z )

Ví dụ 2: Giải phương trình

( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (1)
(Khối D, 2004)

Giải

(1) ⇔ ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x(2 cos x − 1)
⇔ ( 2 cos x − 1) ( sin x + cos x ) = 0
⇔ cos x =

1
∨ sin x + cos x = 0
2

π
+ k 2π ∨ tan x = −1

3
π
π
⇔ x = ± + k 2π ∨ x = − + kπ ( k ∈ Ζ )
3
4
⇔x=±

12


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Ví dụ 3: Giải phương trình

sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x + sin 5 x + sin 6 x = 0 (1)

(Đại học sư phạm Vinh,1997)

Giải
(1) ⇔ ( sin 6 x + sin x ) + ( sin 5 x + sin 2 x ) + ( sin 4 x + sin 3 x ) = 0

7x
5x
7x
3x
7x
x

.cos + 2.sin .cos + 2.sin .cos = 0
2
2
2
2
2
2
7x 
5x
3x
x
⇔ 2.sin  cos + cos + cos ÷ = 0
2 
2
2
2
⇔ 2.sin

7x 
x
x
2.cos 2 x.cos + cos ÷ = 0

2 
2
2
7x
x
⇔ 2.sin .cos ( 2.cos 2 x + 1) = 0
2

2
⇔ 2.sin

7x
=0
2
x
cos = 0
2

sin
⇔

cos 2 x = −

1
2

2π
7
x = π + k 2π ( k ∈ Ζ )
x=k

⇔

x=±

π
+ kπ
3

13


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Ví dụ 4: Giải phương trình

π

8.cos3  x + ÷ = cos 3 x ( 1)
3

(Đại học Quốc Gia Hà Nội, 1999)
Giải

π
π
Đặt t = x + ⇒ x = t −
3
3

( 1) ⇔ 8.cos3 t = cos ( 3t − x )
⇔ 8.cos3 t = − cos 3t
⇔ 8.cos3 t + cos 3t = 0
⇔ 8.cos3 t + 4 cos3 t − 3.cos t = 0
⇔ 3.cos t (4 cos 2 t − 1) = 0
⇔ cos t  2 ( 1 + cos 2t ) − 1 = 0



⇔ cos t ( 2 cos 2t + 1) = 0

cos t = 0
⇔

cos 2t = −

1
2

π
+ kπ
2
π
t = + kπ
3
π
t = − + kπ
3

⇔

π
+ kπ
6
x = kπ ( k ∈ Ζ )
x=

t=

⇔

x=−

14

2π
+ kπ
3


Chuyờn Phng trỡnh lng giỏc

10 Toỏn

Bài tập tự giải:
Bi 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

π

÷+ sin 2 x = 0
3

π
π


2. cos  x + ÷+ cos  x − ÷ = 1

3
3


3. tan 2 x.tan x = −1
4. sin 2 x + sin 2 x.tan 2 x = 3
5. 5cos 2 x + sin 2 x = 4
1
6. 3 sin x + cos x =
cos x
4
7. cos 2 x = sin 3 x − sin 4 2 x
π

8. tan  x − ÷ = 1 − tan x
4

1
3
3
9. sin x cos x = + cos x sin x
4
4
4
10. sin x + cos x = cos 4 x
1. cos  x +

11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x)
12. sin + cos =
13. sin 2 5 x + cos 2 3 x = 1

14. cos x cos 2 x cos 4 x =
15. sin ( π sin x ) = 1

− 2
16

cos 2 x
sin 2 x
=
16.
1 − sin x 1 − cos x
1
1
2
+
=
17.
cos x sin 2 x sin 4 x
18. 4sin 3 2 x + 6sin 2 x = 3
Bài 2 : Cho phương trình tan ( π cos x ) = cot ( π sin x )
1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ −3π ;π ] của phương trình.
Bài 3 : Cho phương trình sin6x + cos6x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.
2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng ( 0;π )
15


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

2
Bài 4: Giải và biện luận phương trình ( 2m − 1) cos 2 x + 2m sin x + 3m − 2 = 0
Mời các bạn cùng tham khảo qua phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
trong các đề thi tuyển sinh đại học sau :

1) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2005
2) ( 2 cos x − 1) ( sin x + cos x ) = 1
Trích ĐTTS Học viện Ngân hàng TPHCM, 2000
3) sin 3 x − cos 4 x = sin 5 x − cos 2 6 x
Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2002
3

2

2

4) cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos 3 3 x
Trích ĐTTS Đại học Tài chính Kế tốn Hà Nội,1998
5)sin x.cos 3 x + cos 3 x.sin 3 x = sin 3 4 x
Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương TPHCM,1999
2
6) cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x =
4
Trích ĐTTS Đại học Mở Hà Nội, 2000
3

7) cos3 x − 4sin 3 x − 3cos x.sin 2 x + sin x = 0

Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương, 1996
x
3x
x
3x 1
8) cos x.cos .cos − sin x.sin .sin
=
2
2
2
2 2
Trích ĐTTS Đại học Y Hà Nội, 1997
x π 
x π 
 x 2π 
 3x π 
9) 2 cos  − ÷− 6 sin  − ÷ = 2sin  +
÷− 2sin  + ÷
 5 12 
 5 12 
5 3 
 5 6
Trích ĐTTS Đại học Y Thái Bình, 1997

π
π


10) sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷
4

4


Trích ĐTTS Học viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, 1999

II. Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số
lượng giác
16


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số lượng giác gồm các
dạng sau đây.
a sin 2 u + b sin u + c = 0

a cos 2 u + b cos u + c = 0
a tan 2 u + b tan u + c = 0

;a ≠ 0

a cot 2 u + b tan u + c = 0
Cách giải
sin u = t 
 t ≤1
cos u = t 
Đặt tan u = t

cot u = t

Ví dụ 1: Giải phương trình

π
π 3


cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷.sin  3 x − ÷− = 0 (1)
4
4 2



(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005)
Giải

1 
π
 3
(1) ⇔ 1 − 2sin 2 x.cos 2 x + sin  4 x − ÷+ sin 2 x  − = 0
2 
2
 2
1
1
1
⇔ − .sin 2 2 x + ( − cos 4 x + sin 2 x ) − = 0
2
2

2
⇔ − sin 2 2 x + ( 2 sin 2 2 x − 1 + sin 2 x ) − 1 = 0
⇔ sin 2 2 x + sin 2 x − 2 = 0
⇔ sin 2 x = 1 ∨ sin 2 x = −2(!)
⇔ sin 2 x = 1
⇔ 2x =

π
+ k 2π , k ∈ Z
2

17


Chun đề Phương trình lượng giác

⇔x=

10 Tốn

π
+ kπ
4

Ví dụ 2: Giải phương trình
cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0(1)
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005)
Giải
(1) ⇔ 4 cos x − 3cos x + 2 cos x − 1 − cos x −1 = 0
3

2

⇔ 2 cos3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0

⇔ ( cos x − 1) ( 2 cos 2 x + 3cos x + 1) = 0

cos x = 1
⇔

x = k 2π

cos x = −1
1
cos x = −
2

x = π + k 2π
2π
x=±
+ k 2π
3

⇔

x = kπ
⇔

x=±

2π
+ k 2π
3

(k∈ Z)

Ví dụ 3: Giải phương trình
cos 2 3x.cos 2 x − cos 2 x = 0(1)
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2005)
Giải

18


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

1 + cos 6 x 
1 + cos 2 x
=0
÷.cos 2 x −
2
2


⇔ cos 6 x.cos 2 x − 1 = 0

( 1) ⇔ 


⇔ ( 4 cos3 2 x − 3cos 2 x ) .cos 2 x − 1 = 0
⇔ 4 cos 4 2 x − 3cos 2 2 x − 1 = 0

cos 2 2 x = 1
⇔

1
cos 2 2 x = − (Loại)
4

⇔ sin 2 x = 0
⇔ 2 x = kπ, k∈ Z
kπ
⇔ x = , k∈ Z
2
Ví dụ 4: Giải phương trình
5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ). tan 2 x
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối B, 2004)
Giải

Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ lπ , l ∈ Z
2

sin 2 x
(1) ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ).
cos 2 x

⇔ ( 5 sin x − 2 ). cos 2 x = 3(1 − sin x). sin 2 x

(

)

⇔ ( 5 sin x − 2 ) 1 − sin 2 x = 3(1 − sin x). sin 2 x

⇔ ( 5 sin x − 2 )(1 + sin x ) = 3 sin 2 x (do cos x ≠ 0 ⇒ sin x ≠ 1 )

⇔ 2 sin 2 x + 3 sin x − 2 = 0

⇔

1
2
sin x = −2.(!)
sin x =

19


Chun đề Phương trình lượng giác
x=
⇔

10 Tốn

π
+ k 2π

6

, k∈ Z
x=

5π
+ k 2π
6

So với điều kiện, ta thấy đây là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5: Giải phương trình
2 cos 6 x + sin 6 x − sin x. cos x

(

)

=0
2 − 2 sin x
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2006)
Giải

2
π
3π
⇔ x ≠ + k 2π ∧ x ≠
+ k 2π
2
4
4

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương :
2 cos 6 x + sin 6 x − sin x. cos x = 0
Điều kiện : sin x ≠

(

(

)

)

⇔ 2 1 − 3 sin 2 x. cos 2 x − sin x. cos x = 0
 3
 1
⇔ 21 − sin 2 2 x  − sin 2 x = 0
 4
 2
⇔ 3 sin 2 x + sin 2 x − 4 = 0
4
⇔ sin 2 x = 1 ∨ sin 2 x = − (!)
3
⇔ sin 2 x = 1
π
⇔ x = + lπ
4
So với điều kiện, ta thấy nghiệm của phương trình đã cho là: x =

5π
+ m2π

4

Ví dụ 6: Tìm các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình:
cos 3x + sin 3 x 

5 sin x +
 = 3 + cos 2 x (1)
1 + 2 sin 2 x 

(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2002)
Giải

20


Chuyên đề Phương trình lượng giác
Điều kiện: sin 2 x ≠ −

10 Tốn

1
2

Ta có:
cos 3 x + sin 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x + 3 sin x − 4 sin 3 x

(

)

= 4 cos 3 x − sin 3 x − 3( cos x − sin x )
= ( cos x − sin x ) [ 4(1 + sin x. cos x ) − 3]
= ( cos x − sin x )(1 + 2 sin 2 x )

Do đó: (1) ⇔ 5( sin x + cos x − sin x ) = 3 + 2 cos 2 x − 1
⇔ 2 cos 2 x − 5 cos x + 2 = 0
1

cos x = 2 ⇔ x = ± π + m 2π
⇔

3
cos x = 2
π
5π
Do : x ∈ ( 0;2π ) ⇒ x = ∨ x =
3
3
So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình:
π
5π
x = ;x =
3
3
Ví dụ 7: Xác định m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm thuộc khoảng

 π

 − ;2π 
 2



cos 3 x − cos 2 x + m cos x − 1 = 0 (1)
(Trích ĐTTS Đại học Y dược TPHCM, 1999)
Giải
(1) ⇔ 4 cos 3 x − 3 cos x − 2 cos 2 x − 1 + m cos x − 1 = 0

(

(

)

)

⇔ cos x 4 cos 2 x − 2 cos x + m − 3 = 0
cos x = 0
⇔
2
4 cos x − 2 cos x + m − 3 = 0.
π
• cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Ζ.
2
π
3π
 π

Do : x ∈  − ;2π  ⇒ x = ∨ x =
2
2

 2


21


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

• 4 cos 2 x − 2 cos x + m − 3 = 0.( 2)
Đặt t = cos x , − 1 ≤ t ≤ 1 .

( 2) ⇔ f ( t ) = 4t 2 − 2t + m − 3.

(3)
Với mọi m, phương trình (1) ln có hai nghiệm.
π 3π  π

x= ,
∈  − ;2π 
2

2



2



Do đó, ta cần định m để phương trình (2) có năm nghiệm x phân biệt thuộc khoảng
 π
 π 3π 
 − ;2π  \  ;  .
 2
 2 2 
Khi đó (3) có hai nghiệm t1, t2 thỏa điều kiện:

− 1 < t1 < 0 < t 2 < 1

4. f ( 0) < 0
m − 3 < 0
m < 3
.



⇔ 4. f ( − 1) > 0 ⇔ m + 3 > 0 ⇔ m > −3 ⇔ 1 < m < 3
4. f (1) > 0
m − 1 > 0
m > −1




Vậy giá trị m là: 1 < m < 3 .

Bài tập tự giải:

22


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

23


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

24


Chun đề Phương trình lượng giác

10 Tốn

III.Phương trình bậc nhất theo sin và cos

Ví dụ 1:

25