Ngan hang de thi Toan cao cap 1 (QT).pdf

1

Häc viÖn c«ng nghÖ b­u chÝnh
viÔn th«ng


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


NGÂN HÀNG ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1
( DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH QTKD )
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)

A. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM

1. Tính đạo hàm của hàm số:
2
ln( 1 )  y x x
.

2. Tính đạo hàm của hàm số: xey
x
sinln .

3. Tính đạo hàm của hàm số:
2 arctg x
y x e
.

4. Tính đạo hàm của hàm số:
sin
cos sin
x
y
x x x


.

5. Tính đạo hàm tại x = 0 của hàm số
4
1
sin khi 0
( )
0 khi 0
x x
f x
x
x








.

6. Tính vi phân của hàm số:
2
( ) arcsin
a
f x x
x
 
, a là hằng số.

7. Tính vi phân của hàm số:
2 2 3
( ) 2
x
y a x 
.

8. Tính dy và d
2
y biết
x
x
y
ln

.
9.Tính tích phân I 
2
1

x

x
e
dx
e
.

10. Tính tích phân
arctg( 1)I x dx 

.

11. Tính tích phân


 dx
x
x
I
2
sin
2sin1
.

12. Tính tích phân
3
x
I x dx

.
2

13. Tính tích phân
3
1
dx
I
x



.

14. Tính tích phân
2
9



dx
I
x
.

15. Tính tích phân
2
4



dx

I
x x
.


B. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM
1. Tính giới hạn sau
1
ln
lim
1
x
x
x


.
2. Tính giới hạn sau
3
0
tg
lim
x
x x
x


.
3. Tính giới hạn sau
4

0
1 1
lim
4
1
x
x
x
e

 

 

 
.
4. Tính giới hạn sau
 
1
4
0
lim


x
x
x
x e
.
5. Tính giới hạn sau

 
ln
0
lim 1
x
x
x



.
6. Chứng minh rằng
arcsin x
và
ln(1 )tgx
là các vô cùng bé tương đương khi
0x
.
7. Cho hàm số
ln(1 ) ln(1 )
khi 1, 0
( )
khi 0
x x
x x
f x
x
a x
  


 







Tìm hằng số
a
để hàm số liên tục tại
0x
.

8. Cho hàm số
2
khi 0
( )
khi 0
ax x
e
x
f x
x
A x


 







Tìm hằng số
A
để hàm số liên tục tại
0x
.

9. Tìm cực trị của hàm số
2
1
1



x
y
x
.
3
10.Tính tích phân:
1
2
4
0
(1 )
x dx
I

x



.
11.Tính tích phân:
0
3
1
1
x
x
ln
e
I dx
e




.
12. Tính tích phân:



3
3
22
9 dxxxI
.

13.Tính tích phân:
2
0
2I x sin x



.
14.Tính tích phân:
1
0
x
I x e dx



.
15.Tính đạo hàm cấp n của hàm số
2
4


x
y
x
.

C. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM

1. Tìm cực trị của hàm số

3 2 5
3z x x y  
.

2. Tìm cực trị của hàm số
yxyxyxz ln10ln4
22

.

3. Tìm cực trị của hàm số
2 2
(2 )(2 )z ax x by y   ,
. 0a b 
.

4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
2 4 8   z x xy x y


trên miền D:





20
10
y

x
.
5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
1 2  z x y
trên miền D:








0
0
1
y
x
yx
.

6.Giải phương trình vi phân
2
3
x
y y x e
 
  
.
7. Giải phương trình vi phân

cos
x
y y x e

  
.
8. Giải phương trình vi phân
3
7 12
x
y y y xe
 
   .
9. Giải phương trình vi phân
sin cos2y y x x

  
.
10. Giải phương trình vi phân 2 sin
x
y y y x e

 
    .

4
11. Giải phương trình vi phân
2
2
 

  
x
e
y y y
x
.
12. Giải phương trình vi phân
3
2

 
  
x
e
y y y
x
.
13. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy:
4 sin 2y y x

 
,
(0) 3, (0) 2y y

 
.

14. Giải phương trình vi phân
4 sin2 1y y x


  
.

15. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau:
3
4 3 ,
x
y y y e
 
  

(0) 1, (0) 9y y

 
.

D. CÂU HỎI LOẠI 4 ĐIỂM

1. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: 1
2
 xy ,
2
2
1
xy 
và
5y
.
b) Cho hàm số
y

x
z x y x e 
tính
 
  
x y
A x z y z x y
.
2. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 4
2
 xy , và
4 0x y  
,
b) Cho hàm số
,
11
22
2
yx
x
y
x
z 
tính
A 

2 2
 

x y

x z y z
.
3. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3
,y x y x  và
4y x

( 0)x 
.
b) Giải phương trình vi phân
2 2
x
y y y xe
 
  
.
4. a) Tính tích phân suy rộng sau:
2
1
3
dx
x



,
b) Cho hàm số
arctg
x
z

y

, tính
A 
" "
xx yy
z z
.
5. a) Tính tích phân suy rộng sau:
2
2
2
4
dx
x

,
b) Cho hàm số
2 2
( )z y f x y 
với
f
là hàm số có đạo hàm liên tục, tính

2
1 1
x y
z
A z z
x y y

 
  
.
6. a) Tính tích phân suy rộng sau:
2
3
2
1
dx
x



,
b) Giải phương trình vi phân
4 2sin

 y y x
.
5
7. a) Tính tích phân suy rộng sau:
0
x
xe dx



,
b) Tìm cực trị của hàm số
.

y
xeyxz 

8. a) Tìm cực trị của hàm số
3 2
3z x xy y y   
,
b) Tìm tích phân tổng quát của phương trình:
2
(2 ) ( 3 ) 0   x y dx x y dy .
9. a) Tìm cực trị của hàm số
2 2
2z x xy y x y     ,

b) Giải phương trình vi phân:
2

 y y x
.

10. a) Tìm cực trị của hàm số
xyyxz 3
33

,

b) Tìm tích phân tổng quát của phương trình:
2 2 3
(3 2 ) ( ) 0   x xy dx x y dy .

11. a) Tìm nghiệm của phương trình
1
1
1

 

y y
x
thỏa mãn điều kiện
(2) 1y
,
b) Giải phương trình vi phân:
3
6
 
  
x
y y y e .
12. a) Tính vi phân toàn phần của hàm số
arctg
x y
z
x y



,
b) Tìm tích phân tổng quát của phương trình
cos =1y y



.
13. a) Tính gần đúng giá trị
)198,003,1ln(
43
A

b) Giải phương trình vi phân
2
1

 
y
y y
x x
.
14. a) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
( 1) 0xdx x dy  
,
b) Giải phương trình vi phân
4 cosy y x
 
 
.
15. a) Tìm nghiệm của phương trình vi phân
2
1

 y y xy

x
thỏa mãn điều kiện
(1) 1y
,

b) Giải phương trình vi phân sau:
2
2 3y y y x
 
   .