Tìm hiểu và nghiên cứu các đảm bảo xác thực thay cho đảm bảo mật phần 2 pptx

Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 6

Hình 10.4 Ma trận xác thực

Khoa 1 2 3 4
1 1 1 1 2
2 2 2 1 2
3 1 2 2 1
Các giá trị payoff(s,a) nh sau :
Payoff(1,1) =3/4 Payoff(1,1) =1/4
Payoff(2,1) =1/2 Payoff(2,2) =1/2
Payoff(3,1) =3/4 Payoff(3,2) =1/4
Payoff(4,1) =1/4 Payoff(4,2) =3/4
Bởi vậy Pd
0
=3/4 .Chiến lợc đánh lừa tối u của Oscar là đa một
thông báo bất kì trong số các thông báo (1,1),(3,1) hoặc (4,2) vào kênh.
Bây giờ ta sẽ chuyển sang tính Pd
1
.Trớc hết ta đa các giá trị khác
nhau của payoff(s,a;s,a).
(1,1)

(1,2)

(2,1)

(2,2)

(3,1)

(3,2)

(4,1)

(4,2)

(1,1)
(1,2)
2/3
0
1/3
1
2/3
1
1/3
0
1/3
1
2/3
0
(2,1)
(2,2)
1
1/2
0
1/2
0
1/2
1

1/2
0
1/2
1
1/2
(3,1)
(3,2)
2/3
1
1/3
0
2/3
0
1/3
1
0
1
1
0
(4,1)
(4,2)
1
2/3
0
1/3
0
2/3
1
1/3
0

1
1
0



Nh vậy ta có p
1.1
=2/3,p
2.2
=1/2,p
3.3
=1 với mọi giá trị s,a khác .Khi đó
việc đánh giá Pd
1
sẽ trở nên rất đơn giản:Pd
1
=7/8.Chiến lợc thay thế
tối u của Oscar là:
(1,1) (2,1)
(1,2) (2,2)
(2,1) (1,1)
(2,2) (1,1)
(3,1) (4,2)
(3,2) (1,1)
(4,1) (1,1)
(4,2) (3,1)

Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 7

Chiến lợc này thực sự dẫn đến Pd
1
=7/8
Việc tính toán Pd
1
trong ví dụ 10.2 dễ hiểu nhng khá dài dòng .Trên
thực tế có thể đơn giản hóa việc tính Pd
2
dựa trên nhận xét là ta đã
thực hiện việc chia cho đại lợng payoff(s,a) khi tính P
s,a
và sau đó
Lại nhân với payoff(s,a) khi tính Pd
1
.Dĩ nhiên là hai phép tính này loại
bỏ nhau.Giả sử định nghĩa :

q
s,a
=max{ AassSsKp
asekasekKK
K


==
',',':)(
'Ư})'(,)(:{
}
Với mọi s,a. Khi đó có công thức đơn giản hơn sau:

10.3.Các giới hạn tổ hợp
Ta đã thấy ràng độ an toàn của một mã xác định đợc đo bằng
Các xác xuất lừa bịp . Bởi vậy cần xây dựng các mã sao cho các xác
Xuất này nhỏ tới mức có thể .Tuy nhiên những khía canh khác cũng
Rất qoan trọng .Ta xem xét một số vấn đề cấn qoan tâm trong mã xác
thực .
1.Các xác xuất lừa bịp Pd
0
và Pd
1
phải đủ nhỏ để đạt đợc mức an toàn
mong muốn .
2.số các trạng thái nguồn phải đủ lớn để có thể truyền các thông tin cần
thiết bằng cách gán một nhãn xác thực vào một trạng thái nguồn .
3. Kích thớc của không gian khóa phải đợc tối thiểu hóa và các giá
trị của khóa phải truyền qua một kênh an toàn (Cần chú ý rằng phải
thay đổi khóa sau mỗi lần truyền tin giống nh khi dùng OTP).
Trong phần này sẽ xác địinh giới hạn dới đối với các xác suất lừa bịp
và chúng đợc tính theo các tham số của mã.Hãy nhớ lại rằng ta đã
định nghĩa mã xác thực là một bộ bốn (S,R,K,E).Trong phần này ta sẽ
ký hiệu R=l
Giả sử cố định một trạng thái nguồn sS.Khi đó có thể tính :


a

R
payoff(s,a)=

a

R

(K

K :ek(s)=a}
p
K
(K)
=
K

K
p
K
(K)
=1
Bởi vậy với mỗi sS,tồn tại một nhãn xác thực a(s) sao cho :
Payoff(s,a(s))1/l.
Dễ dàng rút ra định lý sau:

Đinh lý 10.1
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 8
Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực .Khi đó Pd
0

1/l trong đó

l=

R

.Ngoài ra Pd
0
=1/l khi và chỉ khi :

{K

K :ek(s)=a}
p(K)=1/l (10.4)

với mỗi s

S,a

R.
Baauy giờ ta sẽ chuyển sang phơng pháp thay thế .Giả sử cố định s,a
và s

,ss

.Ta có:

{
1
)(
)(
)(

)(
),;','(
})(:{
})(:
''
})(:{
}')'(,)(:{
==
=





=
=

=
==
asekKK
K
asekKK
K
RaRa
asekKK
K
asekasekKK
K
Kp
Kp

Kp
Kp
asaspayoff


Nh vậy tồn tại một nhãn thực a

(s

,s,a) sao cho :
Payoff(s

,a

(s

,s,a) :s,a)1/l
Định lý sau sẽ rút ra kết quả :

Định lý10.2
Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực .Khi đó Pd
1
>=1/l trong đó
L=

R

.Ngoài ra Pd
1

1/l khi và chỉ khi :
l
Kp
Kp
asekKK
K
asekasekKK
K
/1
)(
)(
})(:{
}')'(,)(:{
=


=
==


Với mỗi s,s


S,s=s

,a,a


R

Chứng minh
Ta có : Pd
1
=

(s,a)

M
p
M
(s,a).p
s,a


(s,a)

M
p
M
(s,a)/l = 1/l

Ngoài ra dấu bằng chỉ tồn tại khi và chỉ khi p
s,a
=1/l với mỗi (s,a) .Tuy
nhiên điều kiện này lại tơng đơng với điều kiện :
Payoff(s

,a

;s,a)=1/l với mọi (s,a).

Định lý 10.3
Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực trong đó l=

R

.Khi
đóPd
0
=Pd
1
=1/l khi và chỉ khi :

2
}')'(,)(:{
/1)( lKp
asekasekKK
K
=

==
(10.6)
Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 9
Vớ mọi s,s


S,a,a


R,s

s


Chứng minh
Các phơng trình (10.4)và (10.5) boa hàm phơng trình (10.6).Ngợc
lại , phơng trình (10.6) kéo theo các phơng trình (10.4) và(10.5).
Nừu các khóa là đồng khả năng thì ta nhận đợc hệ quả sau:
Hệ quả 10.4:
Giả sử (S,R,K,e) là một mã xác thực ,trong đó l=R và các khoá chọn
đồng xác suất.Khi đó Pd
0
=Pd
1
=1/l khi và chi khi :
{KK :e
K
(s)=a,e
K
(s)=a}=K/l
2
(10.7)

Với mọi s,sS,ss,a,aR.

10.3.1.Các mạng trực giao

Trong phần này ta xét các mối liên quan gia các mã xác thực và các
cấu trúc tổ hợp đợc gọi là các mảng trực giao.Trớc tiên ta sẽ đa ra
các định nghĩa:

Định nghĩa 10.2:
Một mạng trực giao 0A(n,k,

)là một mảng kích thớc

n
2
xk chứa n kí
hiệu sao cho trong hai cột bất kì của mảng mỗi cặp trong n
2
cặp kí
hiệu chỉ xuất hiện trong đúng

hàng.
Các mạng trực giao là các cấu trúc đã đợc nghiên cứu kĩ trong lí
thuyets thiết kế tổ hợp và tơng đơng với các cấu trúc khác nh các
hình vuông Latinh trực giao hỏi các lới
Trong hình 10.5 ta đa ra một mảng trực giao 0A(3.3.1) nhận đợc từ
ma trận xác thực ở hình 10.3.

Hình 10.5. 0A(3.3.1)

012
201
120
102
021
210
222
111
000

Vietebooks Nguyn Hong Cng
Trang 10
Có thể dùng một mảng trực giao bất kì 0A(n,k,) để xây dựng một mã
xác thực có Pd
0
=Pd
1
=1/n nh đợc nêu trong định lí sau:

Định lí 10.5.
Giả sử có một mảng trực giao 0A(n,k,

).Khi đó cùng tồn tại một mã
xác thực (S,A,K,E).trong đó

S

=k,

R

=n,

K

=

n
2

và
Pd
0
=Pd
1
=1/n.
Chứng minh:
Hãy dùng mỗi hàng của mảng trực giao làm một quy tắc xác thực với
xác suất nh nhau bằng 1/(n
2
).Mối liên hệ tơng ứng gia mảng trực
giao và mã xác thực đợc cho ở bảng dới đây.Vì phơng trình (10.7)
đợc thoả mãn nên ta có thể áp dụng hệ quả 10.4 để thu đợc một mã
xác thực có các tính chất đã nêu.

Mảng trực giao Mã xác thực
Hàng Quy tắc xác thực
Cột Trạng thái nghuồn
Kí hiệu Nhãn xác thực

10.3.2.Phơng pháp xây dựng và các giới hạn đối với các 0A

Giả sử ta xây dựng một mã xác thực từ một 0A(n,k,).Tham số n sẽ
xác định số các nhãn (tức là độ an toàn của mã).Tham số k xác định số
các trạng thái nguồn mà mã có thể thích ứng.Tham số chỉ quan hệ tới
số khoá (là n
2
).Dĩ nhiên trờng hợp =1là trờng hợp mong muốn
nhất tuy nhiên ta sẽ thấy rằng đôi khi cần phải dùng các mảng trực giao
có lớn hơn.Giả sử ta muốn xây dựng một mã xác thực ới tập nguồn

xác định S và có một mức an toàn xác định (tức là để Pd
0
< và
Pd
1
<).Khi đó mảng trực giao thích hợp phải thoả mãn các điều kiện
sau:
1. n 1/
2. k S.(Xét thấy có thể loại một hoặc một số cột khỏi mảng
trực giao và mảng kết quả vẫn còn là một mảng trực giao,bởi
vậy không đòi hỏi k=S).
3. đợc tối thiểu hoá ,tuỳ thuộc vào các điếu kiện trên đợc
thoả mãn
Trớc tiên xét các mảng trực giao có =1 .Với một giá trị n cho
trớc ,ta cần làm cực đại hoá số cột,sau đây là một số điều kiện
cần để tồn tại .