ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC docx

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 1

KHI NO NGH N NG DNG O HM ?
TS. Lờ Thng Nht

o hm l mt khỏi nim rt quan trng ca Gii tớch lp 12. Trong cỏc thi
tuyn sinh i hc v Cao ng thng xuyờn xut hin cỏc bi toỏn c gii nh ng
dng o hm. Bi vit ny giỳp cỏc bn nm vng cỏc loi toỏn s dng o hm nh l
mt cụng c hu hiu.
1. Xột nghim phng trỡnh.
Trong cỏc bi toỏn v nghim ca phng trỡnh m tham s c lp vi n hoc
bin i phng trỡnh, t n ph t c iu ny thỡ cỏc bn hóy ngh n vic s
dng o hm.
Thớ d 1.1. (Khi A 2008)
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh sau cú ỳng 2 nghim phõn bit:
4
4
2 2 2 6 2 6
+ + - + - =
x x x x m

Gii:
Gi v trỏi l f(x) thỡ tp xỏc nh ca f(x) l x
ẻ
[0 ; 6]. Ta cú:
f(x) =
( )
3 3
4
4

1 1 1 1
2 6
2 2
2 6
x x
( x)
x
- + -
-
-

=
4 4 4 4
4
1 1 1 1 1 1 1
2 2x 2 2x(6 x) 2 6 x
6 x 6 x
2x 2x
ộ ự
ổ ử
- + + + +
ờ ỳ
ỗ ữ
- -
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ

T ú xột du ca f(x) theo
4 4

1 1
6 x
2x
-
-
ta cú bng bin thiờn ca f(x):

Do ú phng trỡnh cú ỳng 2 nghim
4
2 6 2 6 m 3 2 6
+ Ê < +

Thớ d 1.2. (Khi A 2007)Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc:
4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1
- + + = -

Gii:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com 2

Có th thy phng trình có dng đng cp bc hai. Vi điu kin x
³
1, chia hai v cho
x 1
+
> 0 ta đc phng trình tng đng:
4
x 1 x 1

3 m 2
x 1 x 1
- -
+ =
+ +

t
4 4
x 1 2
t 1
x 1 x 1
-
= = -
+ +
, ta có 0
£
t < 1.
Phng trình trên tr thành:
3t
2
+ m = 2t
Û
m = -3t
2

+ 2t (*)
Phng trình đã cho có nghim
Û
phng trình (*) có nghim tha mãn 0
£

t < 1.
Xét f(t) = -3t
2
+ 2t thì f’(t) = -6t + 2.
Ta có bng bin thiên ca f(t) vi t
)
0;1
Î
é
ë
là:

T đó ta có kt qu - 1 < m
1
3
£

Thí d 1.3 ( Khi B – 2007).
Chng minh vi mi giá tr dng ca tham s m, phng trình sau có hai nghim thc
phân bit:
x
2
+ 2x – 8 =
m(x 2)
-

Gii.
iu kin cn thc có ngha x
³
2. Khi đó bình phng hai v ta có:

(x
2
+ 2x – 8)
2
= m(x – 2)
Û
(x – 2) [(x – 2) (x + 4)
2
– m ] = 0
Û
2
x 2
(x 2)(x 4) m (*)
=
é
ê
- + =
ê
ë

Xét f(x) = (x – 2) (x + 4)
2
vi x > 2 ta có: f’(x) = 3x
2
+ 12x > 0 ,
"
x > 2.
Lp bng bin thiên:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com 3

Chng t vi m > 0 thì (*) luôn có đúng 1 nghim x > 2 tc là phng trình đã cho luôn có
đúng 2 nghim
2. Tìm giá tr ln nht, nh nht.
 tìm giá tr ln nht, nh nht ca hàm s trên mt min nào đó mà có th dùng
đo hàm đ xét chiu bin thiên ca hàm s đó thì đo hàm là mt công c tt. Thm chí có
nhng hàm s mà sau phép bin đi bin s đa v hàm s đn gin hn cng có th s
dng đo hàm đ tìm giá tr ln nht, nh nht.
Thí d 2.1. (khi D – 2003)
Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s y =
2
x 1
x 1
+
+
trên đon [-1; 2].
Gii. Ta có y’ =
( )
3
2
2
1 x
x 1
-
+
. Ta xét bng bin thiên ca y vi x
Î
[-1; 2]

T đó, vi x
Î
[-1 ; 2] thì y đt giá tr ln nht là
2
(khi x = 1) và đt giá tr nh nht là 0
(khi x = -1)
Thí d 2.2. (Khi B – 2003)
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s y = x +
2
4 x
-

Gii. Tp xác đnh là x
Î
[-2 ; 2]
Ta có: y’ = 1 -
2
x
4 x
-
=
2
2
4 x x
4 x
- -
-
. Vì y’ =0
2

2 2
x 0
4 x x x 2
4 x x
³
ì
ï
Û - = Û Û =
í
- =
ï
î
.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com 4

Mt khác y’< 0
2 2 2
2
x 0
4 x x 4 x x 2 x 2
4 x 0
>
ì
ï
ï
Û - < Û - < Û < <
í
ï
- >

ï
î
.
Do đó ta có bng bin thiên
x
-¥

2
-

2

2

+¥

y
’
+ 0 -
y

2 2


2
-

2

Suy ra
[ ]
x 2;2
max y 2 2
Î -
= và
[ ]
x 2;2
miny 2
Î -
= -
.
Thí d 2.3
Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s
y =
2
1 x 1 x 1 x
- + + + -

Gii: t t =
1 x 1 x- + +
vi
x 1;1
Î -
é ù
ë û
thì
( )
2 2

1 1 1 x 1 x x
t '
2 1 x 2 1 x
2 1 x 1 x 1 x 1 x
- - + -
= - = =
+ -
- - - + +

Lp bng bin thiên ca t:
x
-¥

1
-

0

1

+¥

y
’
+ 0 -
y

2

2

2
1

T đó t
2;2
é ù
Î
ë û
(nhiu bn ch đt điu kin t
³
0 là sai).
Khi đó: t
2
= 2 +
2
2 1 x
-
nên
2
2
t 2
1 x
2
-
- =
Do đó: y = t +
2
t 2

2
-
=
2
t
2
+ t -1
www.MATHVN.com
www.mathvn.com 5

Giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s ó cho chớnh l giỏ tr ln nht v nh nht ca
hm s
y =
2
t
2
+ t 1 vi
t 2;2
ộ ự
ẻ
ở ỷ
.
Vỡ y = t + 1 > 0,
t 2;2
ộ ự
" ẻ
ở ỷ
nờn y t giỏ tr ln nht l 3 ( t =2) v giỏ tr nh nht l
2
( t

=
2
)
3. Chng minh bt ng thc.
Cú khỏ nhiu dng bt ng thc cú th chng minh bng cụng c o hm.
Thớ d 3.1. (khi A 2003)
Cho x, y, z l ba s dng v x + y + z
1
Ê
. Chng minh rng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
+ + + + +
.
Gii. Xột :
1 1 1
a x; ; b y; ; c z;
x y z
ổ ử
ổ ử ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ố ứ
r r r
thỡ: A =
| a | | b | | c | | a b c |

+ + + +
r uur r r r r
tc l:
A =
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
x y z
x y z
ổ ử
+ + + + + + + + + +
ỗ ữ
ố ứ

n õy ta cú hai cỏch i tip:
Cỏch 1: p dng bt ng thc Cụ - si ta cú :
x + y + z
3
3 xyz


1 1 1
x y z
+ +
3 .
3

1
xyz

Do ú: A

9
9t
t
+
vi t =
(
)
2
3
xyz
, trong ú : 0 < t
Ê
2
x y z
3
+ +
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
1
9
Ê
.
Khi ú f(t) = 9t +
9

t
cú f(t) = 9 -
2
9
t
< 0
ị
f(t)
1
f
9
ổ ử

ỗ ữ
ố ứ
= 82
A f (t) 82
ị
.
Cỏch 2: ( x + y + z)
2
+
2
1 1 1
x y z
ổ ử
+ +
ỗ ữ
ố ứ
= 81 ( x + y + z)

2
+
2
1 1 1
x y z
ổ ử
+ +
ỗ ữ
ố ứ
- 80 ( x + y + z)
2

( )
2
2
2
1 1 1
2 81(x y z) . 80 x y z
x y z
ổ ử
+ + + + - + +
ỗ ữ
ố ứ
2
1 1 1
18(x y z) 80(x y z)
x y z
ổ ử
+ + + + - + +
ỗ ữ

ố ứ


18 . 9 80 = 82. T ú suy ra iu phi chng minh.

Thớ d 3.2.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com 6

Chng minh: vi x
)
1;1
Î -
é
ë
thì
1 x 1 x 2
- + + ³

Gii. Xét f(x) =
1 x 1 x
+ + -
(xem thí d 2.3) ta có ngay f(x)
2
³
.
Thí d 3.3.
Chng minh 2008
2009
> 2009

2008

Gii. Xét hàm s f(x) =
ln x
x
vi x > 0 ta có: f’(x) =
2
1
x. ln x
x
x
-
=
2
1 ln x
x
-

Ta có vi x > e thì lnx > 1 nên f’(x) < 0. Do đó f(x) nghch bin vi x > e. Vì 2009 > 2008
> e nên
f(2009) < f(2008)
Û

ln 2009 ln2008
2009 2008
<
Û
2008 ln2009 < 2009 . ln 2008
Û
ln(2009

2008
)< ln
(2008
2009
)
Û
2008
2009
> 2009
2008



Bài tp t luyn
1. (Khi B – 2007). Cho x, y, z là ba s thc dng thay đi. Tìm giá tr nh nht ca biu
thc:
x 1 y 1 z 1
P x y z
2 yz 2 zx 2 xy
æ ö æ ö
æ ö
= + + + + +
ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø
è ø è ø

Gi ý.
2 2 2 2 2 2
x y z x y z

P
2 2 2 xyz
+ +
= + + +
. Vì x
2
+ y
2
+ z
2

³
xy + yz + zx nên:
2 2 2
x 1 y 1 z 1
P
2 x 2 y 2 z
æ ö æ ö æ ö
³ + + + + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
.
Xét f(t) =
2
t 1
2 t
+ vi t > 0. T đó đánh giá tng biu thc ta có điu phi chng minh.
2. Xét chiu bin thiên ca hàm s f(x) =
tan x

x
vi
x 0;
2
p
æ ö
Î
ç ÷
è ø
. T đó so sánh 10tan 9
0
và
9tan10
0
.
3. Bin lun s nghim phng trình:
x + 3 = m
2
x 1
+

4. Tìm m đ phng trình sau có nghim:
a. x +
2
1 x
-
= m
b.
x 6 x x(6 x) m
+ - - - =

www.MATHVN.com
www.mathvn.com 7

5. Tìm giá tr ln nht và nh nht:
a. y =
4 4
2 x 2 x
- + +

b. y = cos2x + 4cosx
c. y =
4 4
x 4 x x 4 x
+ - + + -
.